Se con e indichiamo l elemento neutro di in G, e deve appartenere ad H.

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1 Abbiamo visto a lezione che una sottoalgebra B di un algebra A è identificabile con l immagine di un omomorfismo iniettivo a valori in A. Una sottoalgebra B di A è in particolare un sottoinsieme non vuoto di A che ha tutte le proprietà di algebra considerata. Per esempio un sottogruppo H di un gruppo (G, ) è un sottoinsieme H di G che: è chiuso rispetto a, cioè per ogni coppia h, k di elementi di H l elemento h k è in H. In termini di applicazioni questo significa che l immagine della restrizione di al sottoinsieme H H di G G è contenuta 1 in H. Se con e indichiamo l elemento neutro di in G, e deve appartenere ad H. H è chiuso per inverso, ovvero per ogni h H, l inverso 2 h 1 di h rispetto a è ancora un elemento di H. Osserviamo che l inverso h 1 di h rispetto a in G esiste in quanto G è un gruppo rispetto a. Quello che vogliamo (affinché H possa essere un sottogruppo) è che questo elemento h 1 appartenga al sottoinsieme H. Qualcuno si potrebbe chiedere perché non chiediamo di verificare che in H è associativa (l associatività dell operazione è una delle proprietà di gruppo). La risposta è che se l operazione è associativa in G sicuramente lo sarà in H che è un suo sottoinsieme. Cioè l associatività è una conseguenza del fatto che H sia un sottoinsieme di G dove l associatività vale. Infatti sapere che è associativa in G significa che: x, y, z G (x y) z = x (y z) Allora x, y, z H essendo H G si ha che x, y, z stanno in G e quindi vale che: (x y) z = x (y z) Questo stesso ragionamento possiamo farlo per la eventuale proprietà commutativa (cioè se G è abeliano) e ci porta a dire che sottogruppi di gruppi abeliani sono abeliani. Quello che emerge è che le proprietà che coinvolgono solo quantificatori universali che sono vere in G, necessariamente sono vere in qualsiasi sottoinsieme di G. Le tre proprietà che dobbiamo verificare invece non coinvolgono solo quantificatori universali ma anche di esistenza e quindi in generale non sono vere per qualsiasi sottoinsieme. In realtà è facile mostrare che se un sottoinsieme non vuoto è chiuso per l operazione e per inverso allora sicuramente contiene l elemento neutro. Infatti se x è un elemento di H (un elemento esiste sicuramente visto che H non è vuoto), allora x 1 H (in quanto H è chiuso per inverso) e anche e = x x 1 è in H (in quanto H è chiuso per l operazione). Per verificare 1 Dove questo contenuta può significare anche che coincide con ma non è necessario. 2 Ci oè quell elemento tale che h h 1 = e

2 quindi che H G è sottogruppo di G basta verificare dunque che non è vuoto e che è chiuso per inverso e operazione. Facciamo vedere con un esempio come non sia vero in generale che un sottoinsieme non vuoto di un gruppo sia chiuso per operazione e che non sia vero in generale che sia chiuso per inverso: Esempio 1. Sia G = {Z, +}. Il sottoinsieme H = { 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3} non è chiuso per l operazione + e quindi non è un sottogruppo. Infatti per esempio +(3, 2) ovvero = 5 / H. Osserviamo che H non è un sottogruppo anche se non è vuoto, contiene l elemento neutro ed è chiuso per inverso. Il sottoinsieme H = N non è chiuso per l inverso e quindi non è un sottogruppo, pur non essendo vuoto, contenendo lo 0 ed essendo chiuso per l operazione somma. Abbiamo visto dunque che dato un sottoinsieme H non vuoto di un gruppo G per provare che è un sottogruppo basta provare che è chiuso per operazione e inverso. Il prossimo esercizio mostra come racchiudere queste verifiche in un unica verifica. Esercizio 1. Un sottoinsieme H non vuoto di un gruppo (G, ) è un sottogruppo se e solo se per ogni x, y in H l elemento x y 1 è ancora un elemento di H. Una implicazione chiesta dall esercizio è ovvia. Se H è un sottogruppo allora H è in particolare chiuso per inverso e operazione e dunque per ogni x, y in H anche y 1 appartiene ad H e di conseguenza anche x y 1 lo è. Viceversa vogliamo far vedere che se: x, y Hsi ha x y 1 H allora H è chiuso per inverso e operazione è dunque è un sottogruppo di (G, ). Per dimostrare queste due proprietà questa volta ci serve di sapere prima che e H, e allora dobbiamo dimostrarlo 3. Dimostriamo quindi separatamente che: e H. Infatti H non è vuoto, allora x H e quindi (considerando la coppia x, x) l ipotesi ci dice che x x 1 = e è un elemento di H. H è chiuso per inverso. Infatti abbiamo dimostrato che e H. A questo punto per ogni x H e considerando l ipotesi sui due elementi e, x di H si ha che e x 1 = x 1 sta in H. 3 Attenzione: se non servisse per dimostrare la chiusura per inverso e operazione potremmo non dimostrarlo e sarebbe una conseguenza, come abbiamo visto, di queste due proprietà, ma qui useremo il fatto che e H per dimostrare le due proprietà e a priori noi non possiamo sapere che e sta in H.

3 H è chiuso per l operazione. Infatti per ogni coppia x, y di elementi di H, noi sappiamo che y 1 H (punto precedente) e dunque considerando l ipotesi sulla coppia x, y 1 di H si ottiene che x (y 1 ) 1 = x y è in H Esercizio 2. Definiamo su Z l operazione ponendo: x y def. }{{} = x + y + 2 e consideriamo l applicazione φ : Z Z definita da: φ(n) = n Dimostrare che (Z, ) è un gruppo. 2. Dimostrare che φ è un isomorfismo di gruppi tra (Z, +) e (Z, ). La prima richiesta riguarda solo Z con la nuova operazione definita, la seconda richiesta invece riguarda anche l applicazione φ. 1. Mostriamo che (Z, ) è un gruppo. Chiusura rispetto a : per ogni a, b Z dobbiamo mostrare che a b è ancora un elemento di Z e questo è vero perché a b = a+b+2 e Z è chiuso per la somma. Esistenza dell elemento neutro: dobbiamo trovare un elemento e in Z tale che per ogni a Z: e a = a e = a. Per definizione e a = e + a + 2 quindi vogliamo che: e + a + 2 = a Ovvero e = 2 che è un elemento di Z. Chiusura per l inverso: per ogni a in Z vogliamo che esista b Z tale che a b = e cioè: a + b + 2 = 2 Ovvero l inverso di a è b = a 4 ed essendo Z un gruppo per la somma (ovvero chiuso per somma e opposto della somma) b è ancora un elemento di Z. Associatività di : dobbiamo mostrare che per ogni a, b, c Z si ha che: a (b c) = (a b) c Consideriamo il primo membro: a (b c) = }{{} a (b+c+2) = }{{} Analogamente per il secondo membro si ha: (a b) c = }{{} (a+b+2) c = }{{} a+(b+c+2)+2 }{{} = a+b+c+4 assoc. ++ (a+b+2)+c+2 = }{{} assoc. + a+b+2+c+2 Quest ultima scrittura è uguale, per la proprietà commutativa del + a a + b + c + 4.

4 2. Per dimostrare che φ è un isomorfismo tra (Z, +) e (Z, ) mostriamo che è iniettivo, surgettivo e che è un omomorfismo tra i due gruppi: Iniettività: è ovvio che φ è iniettiva in quanto associa all intero n l intero n 2. Allora φ(m) = φ(n) significa che m 2 = n 2 da cui si deduce che m = n (cioè φ(m) = φ(n) implica m = n). Surgettività: basta far vedere che per ogni a Z esiste un b Z tale che φ(b) = a. Ora essendo φ(b) = b 2 basterà scegliere b = a + 2 (cioè se per esempio vogliamo avere come immagine il numero 3 basterà scegliere in partenza 1). Omomorfismo: dobbiamo mostrare che per ogni a, b Z si ha: φ(a + b) = φ(a) φ(b) Ora φ(a + b) = a + b 2 mentre φ(a) = a 2 φ(b) = b 2 da cui: φ(a) φ(b) = (a 2) (b 2) = (a 2)+(b 2)+2 }{{} = a+b+2 assoc. e comm. + Dato un gruppo (G, ) e un elemento x G definiamo le potenze per m N di x per ricorrenza come segue: { x 0 = 1 x m+1 = x m x Si può estendere la definizione di potenza anche a m intero negativo ponendo: x m = m (x 1 ) }{{} cioé l inverso di x È facile provare che valgono tutte le proprietà delle potenze tra numeri: Esercizio 3. Sia (G, ) un gruppo, x G. Per ogni m, n Z vale: x m x n = x m+n (x n ) 1 = x n (x m ) n = x m n Dato un gruppo (G, ) e un elemento x G possiamo considerare il sottoinsieme H di G definito come segue: Si può scrivere anche: H = {y G x G e m Z tali che y = x m } H = {x m m Z} Cioè l insieme di tutte le potenze intere di x. Esercizio 4. Provare che (H, ) è un sottogruppo di (G, ).

5 Definizione 1. Dato un gruppo (G, ) e un elemento x di G, il sottogruppo H = {x m m Z} è detto sottogruppo generato da x. Sia (G, ) un gruppo e supponiamo che G sia un insieme finito non vuoto, ovvero con un numero finito di elementi maggiore di zero. Consideriamo il sottogruppo H generato da un elemento x. Essendo H un sottoinsieme di G sarà anch esso finito, dunque ad un certo punto ci dovranno essere due potenze di x che si ripetono, ovvero devono esistere m, n Z (con m > n) tali che: x m = x n Da cui: x m n = x m x n = x n x n = e Cioè il sottoinsieme A x di N definito da: A x = {n N\{0} x n = e} è non vuoto (m n è sicuramente diverso da zero, perché m e n sono diversi) e quindi ammette minimo che indichiamo con o(x). Tale minimo è detto ordine di x. Esercizio 5. L ordine di x è la cardinalità dell insieme H generato da x. Quello che dobbiamo far vedere è che se o(x) = k, H ha esattamente k elementi. Sicuramente H non può avere più di k elementi perchè dal fatto che x k = e segue che dopo k le potenze si ripetono uguali a quelle precedenti (per esempio x k+1 = x k x 1 = e x 1 = x 1 ). Per essere sicuri che siano esattamente k elementi dobbiamo mostrare che per potenze da 1 a k non ci sono ripetizioni, ovvero non esistono 0 < a < b < k tali che x a = x b. Questo è vero perché altrimenti avremmo e = x b a con b a minore di k, ma noi sappiamo, per definizione di ordine, che k è il più piccolo intero positivo per cui x k = e. Definizione 2. Se esiste x G tale che il sottogruppo H generato da x è uguale a G si dice che il gruppo (G, ) è ciclico. Esempio 2. I gruppi (Z m, +) sono tutti ciclici. Basta infatti osservare che l elemento [1] m ha ordine m che è la cardinalità di Z m. Esercizio 6. Dato (Z m, +) esistono altri generatori oltre alla classe di 1? Ovvero esistono elementi (diversi da [1] m ) che hanno ordine m? Esercizio 7. Se (G, ) è un gruppo ciclico, un omomorfismo φ da (G, ) su un qualsiasi altro gruppo (G, ) è definito univocamente dando l immagine di un generatore (cioè fissata l immagine di un generatore le altre immagini sono obbligate dall essere un omomorfismo). Consideriamo un generatore g di G e un omomorfismo φ tale che φ(g) = g G. Facciamo vedere che l immagine di un qualsiasi a G è determinata. Essendo g un generatore esiste m Z tale che a = g m allora: φ(a) = φ(g m ) }{{} = (φ(g)) m φ omomorfismo

6 Esercizio 8. Dati due gruppi ciclici finiti (G, ) e (G, ) sono isomorfi se e solo se hanno la stessa cardinalità. In tal caso un isomorfismo è dato dall omomorfismo che associa ad un generatore del primo il generatore dell altro. Se i due gruppi sono isomorfi, significa che esiste un omomorfismo bigettivo e una bigezione tra insiemi finiti esiste solo se i due insiemi hanno la stessa cardinalità. Viceversa se G e G hanno la stessa cardinalità e g e g sono due generatori, l omomorfismo φ definito da: φ(g) = g è un isomorfismo (provarlo per esercizio). Esercizio 9. Se a è l ordine di un elemento x di un gruppo finito (G, ) e x b = e allora a divide b. Consideriamo la divisione euclidea di b con a: Abbiamo per ipotesi che: b = a q + r 0 r < a e = x b = x a q+r }{{} = (x a ) q x r = e x r = x r prop.potenze Cioè r è tale che x r = e. Ma r < a e quindi non può essere positivo (perché a è per definizione il minimo intero positivo tale che x a = e) e perciò r = 0, cioè a divide b. Esercizio 10. Consideriamo (Z m, ), dove: Z m = {x Z m x é invertibile} Dimostrare che è un gruppo abeliano. Che il prodotto è in Z m sia associativo e commutativo deriva dall associatività in Z del prodotto. Che l elemento neutro [1] m appartenga a Z m è chiaro, visto che il suo inverso è [1] m (e quindi è invertibile). Che sia chiuso per inverso segue dal fatto che se a è invertibile (e quindi appartiene a Z m) anche il suo inverso a 1 lo è (in quanto ha come inverso a stesso). Che sia chiuso per prodotto, ovvero che il prodotto x y di due invertibili x, y sia invertibile, segue dal fatto che esistono x 1 e y 1 (x e y sono invertibili) e il prodotto y 1 x 1 è l inverso di x y. Infatti: (x y) (y 1 x 1 ) = x (y y 1 ) x 1 = x e x 1 = x x 1 = e Esercizio 11. Verificare se:

7 1. (Z 7, ) è ciclico (e quindi è isomorfo a (Z 6, +) che è ciclico con lo stesso numero di elementi). 2. (Z 12, ) è ciclico (e quindi è isomorfo a (Z 4, +) che è ciclico con lo stesso numero di elementi). Vediamo un caso alla volta: dimostrare la ciclicità equivale abbiamo visto a trovare un elemento di ordine la cardinalità del gruppo. 1. Z 7 = {[1] 7, [2] 7, [3] 7, [4] 7, [5] 7, [6] 7 } è inutile provare l ordine di [1] 7 che sappiamo essere 1, e anche [6] 7 = [ 1] 7 che sappiamo essere 2. Proviamo con gli altri elementi, partendo da 2: Quindi 2 ha ordine 3. Proviamo con 3: Qui possiamo fermarci, infatti essendo sicuramente 3 6 = (3 3 ) 2 ( 1) 2 = 1. Questo non basta, 6 potrebbe non essere l ordine perché potrebbe esserci un numero n più piccolo, nella fattispecie o 4 o 5, tale che 3 n 1. Allora prima di concludere che l ordine di 3 è 6 e che quindi (Z 7, ) è ciclico dobbiamo provare che 35 e 3 6 non sono equivalenti alla classe di 1 in Z 7? La risposta è no, perché da un esercizio precedente abbiamo mostrato che se n è tale che x n = e allora l ordine di x divide n. Ora abbiamo che 3 6 1, dunque l ordine di 3 non potrà mai essere né 4 né 5 che non dividono Lasciato per casa (sono solo 4 elementi e in realtà da provare solo 2 perché come abbiamo notato [1] 12 e [ 1] 12 hanno ordine rispettivamente 1 e 2 e quindi non possono essere generatori). Risposta: (Z 12, ) non è ciclico.