Esercizi di Elementi di Teoria degli Insiemi

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1 Esercizi di Elementi di Teoria degli Insiemi Gemma di Petrillo aprile Esercizi sulla prima parte Esercizio 1.1. I seguenti fatti sono equivalenti: 1. Se < A i i I > è una sequenza di insiemi non vuoti, allora i I A i = {f f è una funzione dom(f) = I i I f(i) A i }. (Assioma della scelta) 2. Se F è una famiglia non vuota di insiemi non vuoti, allora esiste una funzione di scelta f con dom(f) = F e tale che A F, f(a) A. 3. Se F è una famiglia non vuota di insiemi non vuoti a due a due disgiunti, allora esiste un insieme di scelta X tale che A F; A X contiene esattamente un elemento. 4. Ogni funzione surgettiva ammette inversa destra, cioè per ogni coppia di insiemi A e B e f : A B con Im(f) = B, g : B A tale che f g = id B. 5. Data una sequenza di insiemi non vuoti < A i,j (i, j) I J >, si ha: A i,j = Svolgimento. easteregg i I j J f:i J i I A i,f(i) (2 1). Sia F =< A i i I > e sia g la funzione indicizzatrice, cioè g : I F i A i Poiché la famiglia F è non vuota, per ipotesi esiste una funzione di scelta f con dom(f) = F e tale che A i F, f(a i ) A i. Ma allora considerando la composizione, abbiamo una funzione ϕ = f g : I F tale che i I, ϕ(i) = f(g(i)) = f(a i ) A i, ossia ϕ(i) A i i I. 1

2 (2 3) Sia F una famiglia non vuota di insiemi non vuoti a due a due disgiunti. Per ipotesi, esiste una funzione di scelta f tale che A F, f(a) A. Ponendo X = Im(f), si ha che A F, f(a) = b A e quindi f(a) X A. Supponendo che esista b f(a), b X A, si dovrebbe avere b = f(b) per qualche B F, B A. Ma allora b = f(b) A B X A B = per ipotesi, assurdo. Segue la tesi. (3 4) Sia f : A B surgettiva. Allora la famiglia F = {f 1 (b) b B} è una famiglia non vuota di insiemi non vuoti (per surgettività) a due a due disgiunte (perché f è una funzione e dunque le fibre sono disgiunte). Ma allora per ipotesi esiste un insieme di scelta X tale che b B, X f 1 (b) contiene esattamente un elemento. Possiamo quindi definire la funzione g : B A b f 1 (B) X Si ha f(g(b)) = f(α) con α f 1 (b), e dunque f(α) = b, da cui f g = id B, tesi. (1 5) Sia F =< A i,j (i, j) I J > una sequenza di insiemi non vuoti. Mostriamo le due inclusioni. Poniamo Γ = i I j J A i,j e Λ = f:i J i I A i,f(i). Se x Γ, allora i I j J tale che x A i,j, pertanto è ben definita la famiglia non vuota di insiemi non vuoti F x = {C i J j C i x A i,j }. Per ipotesi esiste dunque una funzione f x con dominio I e tale che f x (i) C i i I, ossia esiste f x : I J tale che x A i,fx(i) i I. Ne consegue che x Λ. Viceversa, si ha: Λ A i,j Γ Da cui la tesi. f:i J i I j Im(f) (5 1) Consideriamo una sequenza di insiemi non vuoti F =< A i i I > e consideriamo l applicazione Θ : I F F (i, x) A i,x = A i A j x A j A j Per ipotesi, so che Γ := i I A i,x = A i,f(i) =: Λ x F f:i F i I Ora, l insieme di sinistra è non vuoto perché per ogni i I è sufficiente prendere x A i e si ha A i,x, pertanto se y Γ f y : I F tale che i I, y A i,fy(i) che dunque è diverso dal vuoto. Ma allora, poiché in particolare y A i, si ha che f y (i) A i i I. 2

3 (4 3) Sia F una famiglia non vuota di insiemi non vuoti a due a due disgiunti. Risulta quindi essere ben definita la mappa f : F F x A Dove A è l unico insieme della famiglia tale che x A (se ne esistesse un altro, facciamo B, avrei A B, assurdo). La funzione f è inoltre surgettiva, perché F è una famiglia di insiemi non vuoti: per ipotesi esiste dunque l inversa destra g : F F tale che f(g(a)) = A A F. Ma allora, per come è definita f, necessariamente g(a) A e a questo punto l insieme di scelta è dato da X = Im(g). Esercizio 1.2. Siano A e B due insiemi. Se A = B, allora P(A) = P(B). Svolgimento. Poiché A e B sono equipotenti, per definizione esiste una funzione f : A B bigettiva. Definiamo allora: ˆf : P(A) P(B) U f(u) La buona definizione segue immediatamente dalla bigettività di f; inoltre ˆf è surgettiva perché, dato W B, ˆf(f 1 (W )) = W perché f è bigettiva. Infine, dati U A, V A, se f(u) = f(v ), allora U = f 1 (f(u)) = f 1 (f(v )) = V, dove l uguaglianza centrale è sempre valida (controimmagini di due insiemi uguali coincidono), mentre quelle estreme valgono perché f è bigettiva. Segue che ˆf è biunivoca, e dunque P(A) = P(B). Esercizio 1.3. Se A = A, B = B e A B = A B = allora A B = A B. Svolgimento. Per definizione di equipotenza, esistono due funzioni bigettive f : A A e g : B B. Definiamo h : A B A B come segue: { f(x) se x A h(x) = g(x) se x B L iniettività e la surgettività di h seguono immediatamente: infatti se a A B, siccome i due insiemi sono disgiunti, si avrà a A o a B e pertanto h è surgettiva perché f e g lo sono. Se h(x) = h(y), allora questi apparterrano ad uno stesso insieme, facciamo A : poiché A e B sono disgiunti, per definizione h(a) A e h(b) B e quindi, essendo anche A e B disgiunti, x A e y A, da cui h(x) = f(x) = f(y) = h(y) x = y per iniettività di f. Senza l ipotesi A B = A B =, si trovano dei controesempi. Siano infatti A = B = {1 2 3}, A = {4 5 6} e B = {7 8 9}: A B = A ha cardinalità 3, mentre A B ha cardinalità 6, e quindi non possono essere in bigezione. Esercizio 1.4. Se A = A e B = B, allora A B = A B. 3

4 Svolgimento. Date le bigezioni f e g come nell esercizio precedente, definisco la mappa: ϕ : A B A B (a, b) (f(a), g(b)) Mostriamo che ϕ è bigettiva: se (f(x), g(y)) = (f(z), g(t)) allora f(x) = f(z) e g(y) = g(t) e per iniettività di f e g si ha x = z e y = t, e cioè (x, y) = (z, t) e ϕ è iniettiva. Per quanto riguarda la surgettività, consideriamo una coppia (x, y) A B : x A x = f(a) per qualche a A (perché f è surgettiva) e y B y = g(b) per qualche g B (perché g è surgettiva), da cui (x, y) = (f(a), g(b)) = ϕ((a, b)) e ϕ è surgettiva. Esercizio 1.5. Se A = A e B = B allora F un(a, B) = F un(a, B ). Svolgimento. Denotando con f e g le bigezioni dell esercizio precedente, per ogni ϕ F un(a, B) consideriamo il seguente diagramma: ϕ A B f g A B Da cui ponendo ϕ = g ϕ f 1 l applicazione: è la bigezione cercata. F : F un(a, B) F un(a, B ) ϕ ϕ Esercizio 1.6. Dimostrare, senza AC, che se A N è infinito allora A = N. Svolgimento. Poiché A è infinito, A è non vuoto e togliendo da A una quantità finita di elementi si ottiene nuovamente un insieme non vuoto. Pertanto possiamo definire per ricorrenza la funzione f : N A come: { f(1) = min(a) f(n + 1) = min(a {f(1),..., f(n)}) n > 1 La funzione f è iniettiva per definizione, quindi resta da mostrare la surgettività. Dato k A, se k = min(a) allora k = f(1). Se k > min(a), consideriamo f(k): se f(k) = k ho finito, altrimenti f(k) > k e dunque deve esistere un intero j tale che k = f(j). Pertanto f è surgettiva. Esercizio 1.7. Se f : N A è surgettiva, allora A è finito o A = N. 4

5 Svolgimento. Per l assioma della scelta, esiste g : A N inversa destra di f, e dunque iniettiva. Quindi A = g(a) e, supponendo che A non sia finito, g(a) è un sottinsieme infinito di N e pertanto (per l esercizio precedente) N = g(a) = A. Esercizio 1.8. Se B C = A B A C = A B C. Svolgimento. Date f : B A e g : C A definiamo H(f, g) : B C A come { f(x) se x B H(f, g)(x) = g(x) se x C Consideriamo ora la mappa H : A B A C A B C (f, g) H(f, g) Date la coppia (f, g) e (f, g ) A B A C, se sono distinte si avrà che, senza perdita di generalità, f f. Di conseguenza H(f, g) e H(f, g ) assumono valori diversi su B, e quindi sono distinte; questo prova l iniettività. Data ora h A B C, poiché B C =, se si pone f = h B e g = h C, si ha H(f, g) = h e dunque H è surgettiva. Quindi H è la bigezione cercata. Esercizio 1.9. Per ogni relazione R, dom(r) R e Im(R) R. Svolgimento. Data R relazione su un insieme A, per definizione si ha: dom(r) = {a A b A (a, b) R} Im(R) = {b A a A (a, b) R} e pertanto si possono definire in modo naturale due mappe iniettive dom(r) R e Im(R) R. Segue la tesi. Esercizio Se A è un insieme infinito allora A N. Svolgimento. Poiché A è infinito, A è non vuoto e togliendo una quantità finita di elementi da A si ottiene un insieme non vuoto. Possiamo pertanto definire φ : N A come segue: { φ(1) = a1 A φ(n + 1) = a n+1 A {a 1,..., a n } La funzione φ è iniettiva per definizione, e quindi N A. Esercizio Siano A e B insiemi infiniti con A B = (A B) (B A) insieme finito. Allora A = B. 5

6 Svolgimento. Poiché A B è finito, anche A B e B A sono finiti. Vorremmo mostrare che A = B = A B. Poniamo A B = {a 1,..., a k } e fissiamo un elemento a A B. Per ogni i = 1,..., k, definiamo la funzione f i : A B A come { x se x a f i (x) = a i se x = a e denotiamo con f 0 l inclusione. Consideriamo F : (A B) {0,..., k} A (x, i) f i (x) La funzione F così definita è surgettiva, infatti se x A si hanno due casi: 1. Se x A B, allora x = F (x, 0) 2. Se x A B, allora x = a j per qualche j {1,..., k} e dunque x = F (x, j). Di conseguenza A (A B) {0,..., k} = A B. Ma A B A, pertanto A A B e quindi si ha l uguaglianza. Allo stesso modo si mostra che B = A B, da cui la tesi. Esercizio Se A = B, allora [A] ℵ 0 = [B] ℵ 0 e [A] c = [B] c. Svolgimento. La tesi segue direttamente dall Esercizio 1.2 per restrizione, tenendo presente che l immagine di un insieme con cardinalità ℵ 0 (c) tramite un applicazione bigettiva ha cardinalità ℵ 0 (c). 6