Data le funzioni e con, e tre generici insiemi, non. x A X. , a sua volta a questo elemento corrisponde, tramite la funzione, l elemento

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Ida Clemente
5 anni fa
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Funzione composta Chiariamo prima di tutto il concetto di unzione composta: Data le unzioni e con, e tre generici insiemi, non necessariamente numerici, si ha che tramite ad ogni (x) Y l elemento : A

1 Funzione composta Chiariamo prima di tutto il concetto di unzione composta: Data le unzioni e con, e tre generici insiemi, non necessariamente numerici, si ha che tramite ad ogni (x) Y l elemento : A X Y g : Y Z X Y Z corrisponde un unico elemento, a sua volta a questo elemento corrisponde, tramite la unzione, l elemento. Si ottiene quindi una nuova unzione che ad ogni associa indica con, oppure con. x A X g( (x)) Z h : A X Z x A g( (x)) Z. Questa unzione, ottenuta componendo le due unzioni di partenza, si h = g h = g[ ] g Consideriamo le due unzioni numeriche: (x) = 1 x 1 g(x) = x R /{1} e. La prima unzione ha come dominio, mentre la seconda è [0, + [ h = g deinita in. Se adesso consideriamo la unzione composta si ottiene: h(x) = (g(x) h(x) = ( x) h(x) = 1 x 1 [0; 1[ ]1; + [ che è deinita per. Se invece si considera la unzione l = g si ottiene: l(x) = g( (x)) l(x) = g ( 1 x 1 ) l(x) = 1 x 1 che è deinita in [1; + [. Quindi in generale l ordine è importante quando si considerano le unzioni composte. 1 di 6

2 RAPPRESENTAZIONE INSIEMISTICA DI UNA FUNZIONE COMPOSTA 2 di 6

3 Funzione inversa Per introdurre la unzione inversa di una unzione dobbiamo assicurarci che tale unzione sia iniettiva. Ovvero : A X Y A Y Una unzione si dice iniettiva quando elementi distinti di hanno in immagini x 1, x 2 A x 1 x 2 (x 1 ) (x 2 ) distinte, ovvero, con, si ha. Possiamo quindi introdurre la corrispondenza inversa, ovvero quella regola che associa agli elementi del codominio le loro controimmagini, ovvero gli elementi di da cui quelli provengono. Il problema è che non sempre la corrispondenza inversa è una unzione, in quanto un elemento di (X ) può avere in X Y più di una controimmagine. Ma se la unzione è iniettiva questo non avviene, e quindi la corrispondenza inversa è una unzione, che si dice unzione inversa, e si indica con 1. Si ha quindi: X Data : A X Y una unzione iniettiva. Chiamiamo sua inversa la unzione, deinita su (X ) X y (X ) e a valori in, che ad ogni associa la sua controimmagine. (x) = y x = 1 (y) Dato che si ha che. Importante e utile è considerare cosa si ottiene componendo una unzione con la sua inversa. x = 1 [ (x)] y = [ 1 (y)] 3 di 6

4 Dunque la unzione composta mediante e 1 è la unzione identità, ovvero la unzione che a ogni elemento di un insieme associa l elemento stesso. Esercizi. Es1. Determinare la unzione inversa di (x) = 3x (x) = 1 2x 2. (x) = 3 x (x) = x (x) = 3 x : R R (x) = x R Es2. Stabilire se la unzione deinita da è invertibile su tutto. Altrimenti determinare il più grande intervallo contenente il punto a questo intervallo sia invertibile, e scrivere la unzione inversa. x = 1, tale che la restrizione di : R R (x) = (x + 1) 2 R Es3. Stabilire se la unzione deinita da è invertibile su tutto. Altrimenti determinare il più grande intervallo contenente il punto a questo intervallo sia invertibile, e scrivere la unzione inversa. x = 0, tale che la restrizione di Es4. Stabilire se la unzione deinita da è invertibile su tutto. Altrimenti determinare il più grande intervallo contenente il punto : R R (x) = (x 1) 2 R di a questo intervallo sia invertibile, e scrivere la unzione inversa. x = 4, tale che la restrizione Es5. Disegnare un graico della unzione: (x) = { x, se x 0 1 x, se x > 0 e stabilire se è invertibile nel suo dominio. Es5. Date le unzioni: (x) = 3x g(x) = 1 2x,, 4 di 6

5 g g scrivere l espressione analitica della unzione composte e. Es 6. Date le unzioni: (x) = 1 x 2 g(x) = 1 x,, g g g g scrivere l espressione analitica della unzione composte,, e. Es7. Date le unzioni: (x) = 3 2 x + 7 g(x) = x2 6x,, g g g g scrivere l espressione analitica della unzione composte, e. Es8. Date le unzioni (x) = (x + 1) 2 0, se x < 0 g(x) = { π, se x 0, g g scrivere l espressione analitica delle unzioni composte, e. Es9. Date le unzioni (x) = x 2 1 x, se x 2 g(x) = { x 2, se x > 2, g g scrivere l espressione analitica delle unzioni composte e. Es10. Date le unzioni x 1, se x 0 (x) = { 1 x, se x < 0 x, se x 0 g(x) = { x 2, se x < 0, g g scrivere l espressione analitica delle unzioni composte e. Es11. Data la unzione provare che questa unzione è iniettiva se e solo se esiste un applicazione tale che, con la unzione identità che ad ogni elemento associa lo stesso elemento, ovvero per ogni. Come si scrive l enunciato: : A B φ : B A φ = i A i A a A i A (a) = a a A : A B iniettiva φ : B A t.c. φ = i A 5 di 6

6 Es12. Data la unzione g : A B provare che questa unzione è suriettiva se e solo se esiste ψ : B A g ψ = i B i B un applicazione tale che, con la unzione identità che ad ogni elemento b B i B (b) = b b B associa lo stesso elemento, ovvero per ogni. 6 di 6

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