Insiemi e funzioni. Lorenzo Pisani Facoltà di Scienze Mm.Ff.Nn. Università degli Studi di Bari

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1 Insiemi e funzioni Lorenzo Pisani Facoltà di Scienze Mm.Ff.Nn. Università degli Studi di Bari ottobre 2007

2 Indice 1 Insiemi Inclusione Famiglie di insiemi Insieme delle parti Unione e intersezione Di erenza e complementare Coppie ordinate e prodotto cartesiano 10 3 Funzioni Gra co e relazioni Immagini dirette e suriettività Iniettività e bigettività Restrizioni Funzione composta Funzioni invertibili

3 In questa dispensa presentiamo alcuni elementi di linguaggio insiemistico, la cosiddetta teoria ingenua degli insiemi. Parlare di Teoria, al nostro livello di approfondimento, è abbastanza pretenzioso. Infatti la Teoria degli Insiemi propriamente detta è una teoria formale, sviluppata agli inizi del Novecento, per risolvere le contraddizioni che erano emerse nell uso ingenuo del linguaggio insiemistico. Si tratta di una teoria ben al di là del nostro interesse e della nostra portata. D altra parte dobbiamo osservare che il linguaggio insiemistico, più o meno ingenuo, è il linguaggio di tutta tutta la matematica contemporanea. Le contraddizioni si presentano ad un livello di astrazione un po distante dall uso comune e le cautele prescritte dalla teoria formale degli insiemi non costituiscono a atto una forzatura per il lavoro quotidiano della grande maggioranza dei matematici. 1 Insiemi Il concetto di insieme viene assunto come primitivo, di esso possiamo solo precisare l uso. Insieme va inteso come sinonimo di aggregato di oggetti. La proprietà fondamentale a nché si possa parlare di insieme è che si possa univocamente stabilire se un oggetto vi appartiene oppure no. Quindi ha senso parlare dell insieme degli iscritti al C.d.L. in Informatica di Bari; non ha senso parlare dell insieme dei baresi amanti della natura. A livello formale si precisa (assioma di estensionalità) che un insieme viene univocamente determinato dai solo suoi elementi. Il modo più semplice per individuare e rappresentare un insieme è quello di elencare i suoi elementi tra parentesi gra e, attribuendo all insieme stesso anche una denominazione (nei casi più semplici una lettera maiuscola). Quindi, ad esempio, poniamo A = f1; 3; 5; 7; 9g: In base all assioma di estensionalità, l ordine di elencazione non è a atto rilevante al ne di identi care un insieme. Quindi, ad esempio, sarà del tutto legittimo scrivere f1; 3; 5; 7; 9g = f5; 9; 7; 3; 1g: In altri casi è possibile individuare un insieme descrivendo esattamente i suoi elementi. Ad esempio, nel seguito del paragrafo assumiamo che C denoti l insieme delle citta italiane capoluogo di provincia. Individuato e denotato un insieme, si introduce un simbolo per la nozione di appartenenza (risp. non appartenenza) 2 (risp. =2). Ad esempio 3 2 A 2 =2 A Bari 2 C Trani =2 C Parigi =2 C: In questa dispensa noi diamo per buona l esistenza di alcuni insiemi costituiti da numeri N = f0; 1; 2; 3; : : : g ; Z = f0; 1; 1; 2; 2; : : : g : 3

4 e diamo per note alcuni semplici proprietà sui numeri interi. Osservazione 1.1 L insieme N rappresenta il primo e fondamentale insieme in nito, la cui esistenza è assunta per assioma. A livello storico e loso co gli insiemi in niti rappresentano un punto di svolta: si è passa dal riconoscere un in nito potenziale (per ogni numero naturale esiste un numero naturale successore), al concepire, rappresentare e maneggiare un in nito attuale. Per alcuni autori sono proprio gli insiemi in niti che mettono in moto il processo che porterà alla formalizzazione della Teoria degli insiemi. Come de nizione intuitiva di in nito possiamo pensare ad un insieme che non è possibile rappresentare tramite elenco. Tra breve saremo in grado di dare una de nizione formale. Come situazione estrema abbiamo la possibilità che un insieme (in nito) venga individuato da una proprietà di cui godono i suoi elementi (principio di comprensione). Ammettere questa principio, senza alcuna limitazione, dà origine ad alcuni paradossi che rendono la teoria ingenua degli insiemi inconsistente, ossia contraddittoria. Più tardi avremo modo di illustrare il più celebre tra i paradossi. Quello che si accetta comunemente è il cosiddetto assioma di speci cazione: ciascuna proprietà individua un nuovo insieme selezionando gli oggetti da un insieme preesistente. Questo assioma è alla base del modo più comune di rappresentare un insieme A = fx 2 E j x : : : g dove al posto dei puntini di sospensione scriviamo la proprietà in base alla quale e ettuiamo la selezione tra gli elementi del pre ssato insieme E. Ad esempio possiamo considerare l insieme e si ottiene, evidentemente, D = fx 2 C j x si trova in Pugliag D = fbari, Brindisi, Foggia, Lecce, Tarantog : Allo stesso modo possiamo considerare l insieme (questa volta in nito) fx 2 N j x primog = f2; 3; 5; 7; 11; : : : g : Con il simbolo? si denota l insieme vuoto, ossia privo di elementi. Come caso particolare di insieme nito possiamo considerare anche un insieme con un singolo elemento, indicato ovviamente con fag. Dobbiamo precisare che nell ambito della teoria degli insiemi, c è una sostanziale di erenza tra a e fag. Invece osserviamo che, in base a quanto si è detto sopra, fag = fa; ag infatti entrambi gli insiemi contengono il solo elemento a. 4

5 1.1 Inclusione Assegnati due insiemi A; B si può presentare una situazione di particolare interesse: tutti gli elementi di A sono elementi anche di B, in simboli 8x 2 A : x 2 B In questo caso si dice che A è incluso in B, (oppure che A una parte di B, oppure che A è un sottoinsieme di B) e si scrive A B Questa situazione è quella che si presenta ogni volta che utilizziamo l assioma di speci cazione. Riportiamo alcune proprietà dell inclusione. Proposizione 1.2 (proprietà ri essiva e transitiva) Per ogni insieme A risulta A A: Assegnati altri due insiemi B; C A B e B C =) A C: In forza dell assioma di estensionalità due insiemi coincidono se hanno gli stessi elementi. La seguente proposizione traduce questo assioma in termini formali, dunque oltre che un teorema può essere considerata una de nizione. Proposizione 1.3 Per ogni coppia di insiemi A; B risulta A = B se e solo se A B e B A: Osservazione 1.4 E interessante notare come si formalizza la negazione dell inclusione. A 6 B vuol dire che non tutti gli elementi di A appartengono anche a B, ossia esiste almeno un elemento di A che non appartiene a B. In simboli 1.2 Famiglie di insiemi 9x 2 A tale che x =2 B Anche se la consuetudine tende a distinguere tra singoli oggetti ed insiemi di oggetti, tra queste nozioni non vi è una distinzione concettuale, come del resto accade nella realtà. Ad esempio: ogni uomo è un insieme di cellule, ma ciò non esclude di considerare insiemi i cui elementi siano uomini, ad esempio una famiglia o una classe; a sua volta un condominio è un insieme di famiglie, così come una scuola è un insieme di classi. Dunque non è escluso di poter considerare insiemi i cui elementi siano a loro volta insiemi. Per una semplice questione di gusto linguistico non si parla quasi mai di insieme di insiemi, ma si preferisce, come sinonimo, famiglia di insiemi. Come esempio limite per il principio di comprensione possiano considerare la proprietà A è un insieme. 5

6 Se questa proprietà de nisse un insieme dovremmo considerare A = fa è un insiemeg ossia l insieme di tutti gli insiemi. Per questo insieme A potremmo scrivere A 2 A (1) D altra parte nella nostra intuizione si stabilisce una sorta di gerarchia tra diversi livelli di oggetti: ad esempio possiamo stabilire se una cellula appartiene o no ad un organismo, ma ci appare privo di senso chiederci se una cellula appartiene ad un altra cellula, tanto meno a se stessa. Dunque, in contrasto con (1), ci sembra normale che un insieme non appartenga a se stesso e la scrittura A =2 A ci sembra più ragionevole. In realtà sono proprio questa scrittura e la proprietà che essa esprime che hanno messo in crisi la teoria ingenua degli insiemi. Consideriamo la famiglia N = fa insieme j A =2 Ag : Se (in forza del principio di comprensione) ammettiamo che N stesso sia un insieme, risulta allora N 2 N () N =2 N : 1.3 Insieme delle parti Tra le famiglie di insiemi abbiamo un tipico esempio. Assegnato un insieme E rimane individuato l insieme denominato insieme delle parti di E e denotato con P(E). Come dice il nome stesso, gli elementi di P(E) sono tutti i sottoinsiemi di E, a partire da? per nire ad E stesso. In simboli A 2 P(E) () A E: Esercizio 1.5 Assegnato E = fa; b; cg, descriviamo P(E) sotto forma di elenco P(E) = f?; fag ; fbg ; fcg ; fa; bg ; fa; cg ; fb; cg ; Eg : Osservazione 1.6 Talvolta l insieme delle parti di E viene denominato anche insieme potenza e viene indicato con 2 E. Infatti, come si può veri care nell esercizio precedente, se E contiene n oggetti, allora P(E) contiene 2 n oggetti. 1.4 Unione e intersezione Assegnati due insiemi A e B rimangono individuati altri due nuovi insiemi, denominati rispettivamente unione ed intersezione di A e B A [ B = fx 2 A o x 2 Bg ; A \ B = fx 2 A e x 2 Bg : Osservazione 1.7 Riguardo l uso della disgiunzione o, precisiamo che questa va intesa in senso inclusivo. Quindi, con riferimento all unione, intendiamo un insieme costituito da oggetti che appartengano ad A, o a B, o ad entrambi. 6

7 Esempio 1.8 Assegnati A = f1; 3; 5; 7; 9g ; B = f2; 3; 5; 7g ; risulta A [ B = f1; 2; 3; 5; 7; 9g ; A \ B = f3; 5; 7g : Proposizione 1.9 (proprietà commutativa e associativa) Per ogni terna di insiemi A; B; C risulta: A [ B = B [ A; (A [ B) [ C = A [ (B [ C) : Osservazione 1.10 La proprietà associativa consente di de nire l unione di tre o più insiemi. Con un opportuno formalismo si può de nire l unione di una generica famiglia di insiemi. Osservazione 1.11 Ovviamente valgono analoghe proprietà per l intersezione. Proposizione 1.12 (proprietà distributiva) Per ogni terna di insiemi A; B; C risulta (A \ B) [ C = (A [ C) \ (B [ C) ; (A \ B) [ C = (A \ C) [ (B \ C) : Proposizione 1.13 Per ogni coppia di insiemi A; B risulta A \ B A B A [ B: Proposizione 1.14 Per ogni terna di insiemi A; B; C risulta che A; B C =)A [ B C; A B; C =)A B \ C: Esercizio 1.15 Per ogni coppia di insiemi A; B le seguenti proposizioni sono equivalenti: a) A B; b) A \ B = A; c) A [ B = B: Esercizio 1.16 Per ogni terna di insiemi A; B; C risulta A = B se e solo se A \ C = B \ C; A [ C = A [ C: Concludiamo con due altre due de nizioni 7

8 De nizione 1.17 Gli insiemi A e B si dicono disgiunti se A \ B =?. Esempio 1.18 Gli insiemi sono disgiunti. M = fx 2 N j x multiplo di 10g ; D = fx 2 N j x disparig De nizione 1.19 Assegnati un insieme E ed una famiglia di insiemi F = ff 1 ; F 2 ; F 3 ; : : : g, si dice che la famiglia F costituisce una partizione di E se risulta E = F 1 [ F 2 [ F 3 [ : : : e gli insiemi della famiglia F sono a due a due disgiunti. Esempio 1.20 Gli insiemi individuano una partizione di N. P = fx 2 N j x parig ; D = fx 2 N j x disparig 1.5 Di erenza e complementare De nizione 1.21 Assegnati due insiemi A e B, si de nisce l insieme di erenza Esempio 1.22 Assegnati risulta A B = fx 2 A j x =2 Bg : A = f1; 3; 5; 7; 9g ; B = f2; 3; 5; 7g ; A B = f1; 9g ; B A = f2g : Esercizio 1.23 In generale gli insiemi A B, B A sono disgiunti. Si precisi in quale caso risulta A B = B A: Esercizio 1.24 Per ogni coppia di insiemi A; B risulta (A B) [ (A \ B) = A; (2) (A B) \ (A \ B) =?: (3) Dunque la famiglia F = fa B; A \ Bg realizza una partizione dell insieme A. 8

9 Esercizio 1.25 Per ogni coppia di insiemi A; B la famiglia F = fa B; B A; A \ Bg realizza una partizione dell insieme A [ B. In alcune situazioni si ssa un insieme universo E, nel senso che si considerano solo insiemi A E. In tal caso ha senso la seguente de nizione. De nizione 1.26 Si de nisce complementare di A (rispetto ad E) l insieme { E (A) = E A Se non sono possibili ambiguità, possiamo anche scrivere semplicemente {(A). In base alla de nizione, il complementare di un insieme A E è esso stesso contenuto in E, quindi ha senso calcolarne il complementare. Proposizione 1.27 (proprietà involutoria) Per ogni insieme A E { {(A) = A Proposizione 1.28 Per ogni coppia di insiemi A; B E A B () {(B) {(A) Proposizione 1.29 (leggi di De Morgan) Per ogni coppia di insiemi A; B E {(A [ B) = {(A) \ {(B) {(A \ B) = {(A) [ {(B) Dimostrazione. Si dimostrano anzitutto due inclusioni {(A [ B) {(A) \ {(B) {(A) [ {(B) {(A \ B) valide per ogni coppia di insiemi. Se nella prima consideriamo {(A) e {(B) in luogo di A e B otteniamo {({ (A) [ { (B)) { {(A) \ { {(B) = A \ B Quindi, passando al complementare {(A \ B) { {({ (A) [ { (B)) = { (A) [ { (B) : Analogamente si prova la quarta inclusione {(A) \ {(B) {(A [ B): 9

10 2 Coppie ordinate e prodotto cartesiano Quando abbiamo introdotto la nozione di insieme abbiamo parlato di aggregato di elementi, eventualmente rappresentabile tramite un elenco, con ordine di elencazione arbitrario e quindi irrilevante. In altri termini ciò che era rilevante era la nozione di aggregato, originato o meno tramite un qualche criterio. Ora presentiamo un nuovo oggetto, caratterizzato da un numero pre ssato di elementi e dall ordine di elencazione. Come motivazione partiamo da alcune situazioni concrete in cui un oggetto di questo tipo può rivelarsi utile. Per identi care una casella su una scacchiera servono due coordinate e, una volta ssata una convenzione, l ordine in cui riportiamo le coordinate è assolutamente rilevante. Una fabbrica di penne comunica ogni settimana con i rappresentanti di zona. Se a priori ci si è accordati, è su ciente che i rappresentanti trasmettano solo tre numeri che riportano le vendite rispettivamente di penne rosse, penne blu e penne nere. Per individuare un vettore nel piano (risp. nello spazio) è su ciente indicare le sue due (risp. tre) componenti. Queste, ovviamente, devono riferirsi ad un pre ssato sistema di coordinate. Si de nisce coppia ordinata una lista costituita da due elementi. Una coppia ordinata si denota con (a; b), gli oggetti a e b prendono rispettivamente il nome di prima e seconda coordinata. Nella nozione di lista includiamo quella parimenti intuitiva di ordine, quindi risulterà (1; 3) 6= (3; 1): Osservazione 2.1 Se si vuole evitare di parlare di lista e invece si vuole ricondurre la nozione di coppia ordinata a quella di insieme, si pone (a; b) = ffa; bg ; fagg : Infatti la famiglia a secondo membro contiene due insiemi: l insieme fa; bg riporta i due oggetti che compaiono in elenco, l insieme fag precisa quale elemento occupa il primo posto. A livello di curiosità osserviamo che (a; a) = ffagg Osservazione 2.2 In modo ovvio la nozione di coppia ordinata trova la sua generalizzazione in terne o n-ple ordinate. Assegnati due insiemi A; B, l insieme delle coppie ordinate (a; b) tali che a 2 A e b 2 B prende il nome di prodotto cartesiano di A e B e si denota con il simbolo A B. Il prodotto cartesiano A A si denota comunemente con A 2. Esercizio 2.3 Assegnati A = f1; 3; 5; 7; 9g e B = f2; 3; 5; 7g, rappresentare sotto forma di elenco il prodotto cartesiano A B. 10

11 Osservazione 2.4 Come si può veri care facilmente nel precedente esempio, se gli insiemi A e B contengono rispettivamente m ed n oggetti, il prodotto cartesiano contiene m n coppie ordinate. Osservazione 2.5 Sussistono ovvie proprietà distributive del tipo (A [ B) C = (A C) [ (B C) : (4) Esercizio 2.6 Si veri chi attraverso un esempio che A B 6= B A. Utilizzando le formule (2-3) e (4) si provi che (A B) \ (B A) = (A \ B) 2 : 3 Funzioni Assegnati due insiemi E e F, per funzione (o applicazione) da E in F intendiamo una legge che a ciascun elemento del primo insieme associ un elemento del secondo. Se chiamiamo f tale legge, si scrive f : E! F oppure, in alcuni casi, E f! F: L insieme E prende il nome di insieme di partenza, o insieme di de nizione, o dominio. L insieme F prende il nome di insieme di arrivo, o codominio. Per ogni x 2 E l elemento di F che la funzione f associa ad x viene denotato con f(x) e prende il nome di valore di f in x. Dunque si parla anche di funzione de nita in E a valori in F. Se vogliamo fornire esempi concreti di funzione, non è su ciente precisare gli insiemi di partenza e di arrivo, ma anche il modo in cui la funzione opera. Se il dominio è un insieme nito, almeno in teoria è possibile presentare una tabella con i valori che funzione la assume. Esempio 3.1 Consideriamo l insieme Possiamo de nire una funzione tramite la seguente tabella E = f; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;!g: f : E! N x! f(x) Quando il dominio è un insieme in nito siamo obbligati ad indicare una legge di associazione tramite una formula, più o meno complicata. 11

12 Esempio 3.2 Possiamo de nire g : N! N ponendo 8x 2 N : g(x) = 2x + 1: Quindi avremo, ad esempio g(0) = 1; g(3) = 7; g(7) = 15; g(12) = 25: Esempio 3.3 Possiamo de nire h : N! Z ponendo 8x 2 N : h(x) = x 2 10x 20: Quindi avremo, ad esempio h(0) = 20; h(3) = 41; h(7) = 41; h(12) = 4: Esempio 3.4 Possiamo de nire k : N! N ponendo x + 1 k(x) = 2x se x è pari, se x è dispari. Quindi avremo, ad esempio k(0) = 1; k(3) = 6; k(7) = 14; k(12) = 13: Talvolta si adottano notazioni alternative, del tipo riportato di seguito x 2 N 7! g(x) = 2x N: Osserviamo che anche in questa notazione sono presenti tutti gli elementi che individuano una funzione: il nome della funzione stessa, gli insiemi di partenza e di arrivo, la legge con cui la funzione opera. Non si deve confondere f; g; h che è il nome della funzione, con f(x); g(x); h(x) che è un elemento dell insieme di arrivo. D altra parte, per brevità di linguaggio, ove siano pre ssati e sottointesi dominio e codominio, si dirà in breve funzione f(x) (ad esempio funzione x 2 ), intendendo la funzione che a ciascun x (in un pre ssato dominio) associa l elemento f(x) (in un pre ssato codominio). Concludiamo segnalando due esempi particolarmente semplici di funzioni. Esempio 3.5 Assegnato un qualsiasi A si può sempre de nire la funzione identica x 2 A 7! i A (x) = x 2 A: Assegnato un secondo insieme B 6=? possiamo anche de nire la funzione x 2 A 7! b 2 B Si tratta della cosiddetta funzione costante, di costante valore b, per la quale possiamo anche rinunciare ad un simbolo speci co. Osservazione 3.6 Un tipo particolare di funzioni è dato dalle cosiddette funzioni empiriche: si tratta di funzioni non de nite da una formula ma dall osservazione di un fenomeno. Un tipico esempio è dato la funzione che associa a ciascun tempo t, la temperatura T osservata al tempo t in un pre ssata località. 12

13 3.1 Gra co e relazioni Consideriamo assegnata una funzione f : E! F. L insieme prende il nome di gra co. G f = f(x; y) 2 E F j y = f(x)g Esempio 3.7 Il gra co della funzione f dell Esempio 3.1 è dato da G f = f(; 1); (; 2); (; 3) ; (; 4) ; (; 1); : : : g E evidente che riportare esplicitamente il gra co equivale a descrivere completamente la nostra funzione. Alcuni autori fanno derivare il concetto di funzione da quello di relazione. Nel linguaggio comune per relazione si intende un rapporto che esiste tra due oggetti di qualsivoglia natura. 1. x è glio di y (x uomo o donna, y donna), 2. x è madre di y (x donna, y uomo o donna), 3. x è madre di y gli (x donna, y numero), 4. x pesa y chili (x uomo o donna, y numero), 5. x ha lo stesso peso di y (x uomo o donna, y uomo o donna), 6. x pesa più di y (x uomo o donna, y uomo o donna), 7. x è coniugato con y (x uomo o donna, y uomo o donna), 8. x + y = 1 (x numero, y numero), 9. x 2 + y 2 = 1 (x numero, y numero). Si è detto all inizio che una proprietà P attribuibile ad un singolo oggetto x 2 E individua un sottoinsieme A E A = fx 2 E j x veri ca P g : Analogamente una proprietà attribuibile a due oggetti x 2 E ed y 2 F individua un sottoinsieme nel prodotto cartesiano R E F R = f(x; y) 2 E F j x ed y veri cano P g Queste circostanze giusti cano la seguente de nizione: nel linguaggio insiemistico, per relazione si intende un insieme R E F di coppie. Ovviamente nella pratica matematica rivestono particolare interesse solo alcuni tipi di relazioni, con ben precise proprietà. Alcune delle relazioni 1-9 danno origine ad una funzione, nel senso che ciascun x individua univocamente un certo y. Si tratta delle relazioni 1, 3, 4, 8. La relazione 7 richiede qualche precisazione: ammesso di trovarci in situazione di monogamia, per avere una funzione dovremmo dare una de nizione anche per i single, intendendo, ad esempio, che ciascun single è in relazione con se stesso. Le relazioni 5 e 6 non danno origine ad una funzione ma costituiscono rispettivamente un esempio di relazione di equivalenza e d ordine. Osservazione 3.8 Se una relazione dà origine ad una funzione, essa coincide con il gra co della funzione stessa. 13

14 3.2 Immagini dirette e suriettività Consideriamo assegnata una funzione f : E! F. De nizione 3.9 Per ogni A E si de nisce immagine diretta di A tramite f il seguente sottoinsieme di F f(a) = fy 2 F j 9x 2 A t.c. y = f(x)g Esempio 3.10 Consideriamo la funzione f dell Esempio 3.1. Assegnato l insieme A = f; ; ; ; ; ; g risulta che Considerato per esercizio si calcoli f(a 1 ). f(a) = f1; 2; 3; 4; 5g : A 1 = E Proposizione 3.11 Per ogni coppia di sottoinsiemi A 1 ; A 2 E, se A 1 A 2, allora f(a 1 ) f(a 2 ). Proposizione 3.12 Per ogni coppia di sottoinsiemi A 1 ; A 2 E risulta f(a 1 [ A 2 ) = f(a 1 ) [ f(a 2 ). Ovviamente tra tutti i possibili sottoinsiemi di E possiamo considerare E stesso. De nizione 3.13 L immagine diretta di f(e) = fy 2 F j 9x 2 E t.c. y = f(x)g prende il nome di insieme dei valori di f, oppure immagine di f. In generale l insieme dei valori è contenuto nell insieme di arrivo, quindi ha senso la de nizione seguente. De nizione 3.14 Si dice che la funzione f è suriettiva se l insieme dei valori di f coincide con l intero insieme di arrivo. Proposizione 3.15 La funzione f è surgettiva se e solo se per ogni y 2 F esiste x 2 E tale che f(x) = y. Esiste anche una nozione inversa che permette di associare a sottoinsiemi di F sottoinsiemi di E. De nizione 3.16 Per ogni B F si de nisce immagine reciproca (o controimmagine) di A tramite f il seguente sottoinsieme di E A 1 f (B) = fx 2 E j f(x) 2 Bg : Esempio 3.17 Consideriamo la funzione f dell Esempio 3.1. Assegnato l insieme B = f1; 2; 3g ; risulta che 1 f (B) = f; ;!; ; ; ; g : 14

15 3.3 Iniettività e bigettività De nizione 3.18 Una funzione f : E! F si dice iniettiva se per ogni coppia di elementi x 1 ; x 2 2 E si ha che f(x 1 ) = f(x 2 ) =) x 1 = x 2 : Osservazione 3.19 E facile dare un interpretazione diretta della iniettività: la funzione trasforma coppie di elementi distinti in coppie di valori distinti. Con riferimento agli esempi precedenti (3.1, 3.2, 3.3, 3.4) risulta quanto segue: la funzione f non è iniettiva, infatti f() = 1 = f(); la funzione g è iniettiva; la funzione h non è iniettiva, infatti h(3) = 41 = h(7); la funzione k è iniettiva. Sappiamo che f è surgettiva se e solo se per ogni y 2 F esiste almeno un x 2 E tale che f(x) = y. Sussiste un analoga caratterizzazione per l ingettività. Proposizione 3.20 La funzione f è ingettiva se e solo se per ogni y 2 F esiste al più un x 2 E tale che f(x) = y. Le nozioni di funzione ingettiva e surgettiva ci consentono di formalizzare la nozione di insieme in nito. De nizione 3.21 Un insieme E si dice in nito se esiste una funzione f : E! E ingettiva ma non surgettiva. Esempio 3.22 La funzione g : N! N introdotta nell Esempio 3.2 è ingettiva ma non surgettiva. Dunque l insieme N è in nito anche da un punto di vista formale. De nizione 3.23 Una funzione f : E! F si dice bigettiva se risulta ingettiva e surgettiva. Un banale esempio di funzione bigettiva è dato dalla funzione identica. Altri esempi li vedremo in seguito. Sussiste inoltre una caratterizzazione che si deduce dalle Proposizioni 3.15 e Proposizione 3.24 Una funzione f : E! F è bigettiva se e solo se per ogni y 2 F esiste ed è unico x 2 E tale che f(x) = y. Osservazione 3.25 Le funzioni bigettive hanno particolare interesse perché invertendo l ordine nelle coppie che costituiscono il gra co si ottiene ancora una funzione (formalmente un gra co di funzione), in cui risultano scambiati gli insiemi di partenza e di arrivo. 15

16 3.4 Restrizioni Assegnata una funzione f : E! F, se A E, possiamo considerare una nuova funzione denominata restrizione di f ad A f ja : A! F; 8x 2 A : f ja (x) = f(x): In sostanza la restrizione opera esattamente come la funzione originaria, tranne che per il dominio che è cambiato. Le ragioni per cui può essere utile e ettuare una restrizione saranno evidenti negli esempi che seguono. Osservazione 3.26 Esiste anche un operazione in un certo senso inversa alla restrizione. Assegnata una funzione ' : A! F, se A E si de nisce prolungamento di ' ad E una qualsiasi funzione f : E! F tale che f ja = '. Anche nell insieme di arrivo si può operare una specie di restrizione. Assegnata una funzione f : E! F, possiamo considerare come insieme di arrivo B = f(e), anziché tutto F. Quella che si ottiene è una funzione de nita in E a valori in B che opera esattamente come la funzione originaria, ma con in più la proprietà di essere suriettiva. Questa operazione, talvolta, viene chiamata riduzione. Restrizione e riduzione sono le principali tecniche per ottenere funzioni bigettive. Anzitutto osserviamo che se una funzione è ingettiva, la corrispondente funzione ridotta è bigettiva. Si tratta di una operazione così naturale che per la funzione ridotta si continua ad adoperare lo stesso simbolo. Esempio 3.27 La funzione g dell Esempio 3.2 è ingettiva. Risulta che g(n) = D = fx 2 N j n disparig Quindi la funzione g : N! D che opera al modo seguente è bigettiva. x 2 N 7! g(x) = 2x D Se una funzione non è neanche ingettiva, allora per ottenere una bigezione serve anche una restrizione. Esempio 3.28 Consideriamo la funzione f presentata nell Esempio 3.1. L insieme dei valori è dato da B = f1; 2; 3; 4; 5; 6g Quindi f : E! B è suriettiva. Ora passiamo individuare in E un sottoinsieme A tale che f ja : A! B sia bigettiva. Ad esempio possiamo scegliere A = f; ; ; ; ; g : La scelta di A non è a atto univoca, infatti, ad esempio, possiamo considerare anche A 0 = f; ; ; ; ; g : 16

17 3.5 Funzione composta Siano assegnate due funzioni f : A! B g : C! D Se B = C, allora è possibile applicare consecutivamente prima f e poi g, nel senso che a ciascun x 2 A associamo f(x) 2 B = C e quindi possiamo considerare il corrispondente g(f(x)) 2 D; in simboli x 2 A 7! f(x) 2 B = C 7! g(f(x)) 2 D Quella che abbiamo ottenuto è una funzione che parte da A e arriva in D. Tale funzione prende il nome di funzione composta e si denota con il simbolo g f g f : A! D 8x 2 A : (g f) (x) = g(f(x)) Osservazione 3.29 Per poter operare la composizione non è indispensabile che si abbia B = C. E su ciente richiedere B C, o, come ipotesi minima, Esempio 3.30 Assegnate le funzioni e risulta quanto segue. f(a) C: f : Z! Z f(x) = 2x 1 g : Z! N g(x) = x 2 + x L insieme di arrivo di f è Z e coincide con l insieme di partenza di g, quindi ha senso calcolare per cui risulta (g f) : Z! Z (g f) (x) = g(f(x)) = (f(x)) 2 + f(x) = = (2x 1) 2 + (2x 1) = 4x 2 2x: L insieme di arrivo di g è N che è contenuto in Z insieme di partenza di f, quindi ha senso calcolare per cui risulta f g : Z! N (f g) (x) = f(g(x)) = 2g(x) 1 = = 2(x 2 + x) 1 = 2x 2 + 2x 1: 17

18 Osservazione 3.31 Dalla de nizione di funzione composta consegue immediatamente che in generale non è possibile invertire l ordine di composizione tra due funzioni. Nei casi in cui ha senso (vedi esempio precedente) le funzioni g f e f g sono diverse. Esercizio 3.32 Si dimostri che la funzione composta di funzioni iniettive (risp. suriettive) è essa stessa iniettiva (risp. suriettiva). 3.6 Funzioni invertibili Sia assegnata una funzione f : E! F. La funzione f si dice invertibile se esiste una funzione g : F! E tale che oppure, più sinteticamente 8x 2 E : g(f(x)) = x; 8x 2 F : f(g(x)) = x; g f = i E ; f g = i F ; dove i E ed i F denotano rispettivamente le funzioni identiche su E ed F (vedi Esempio 3.5). Tale funzione g se esiste, è unica, prende il nome di inversa di f e si denota con il simbolo f 1. Esercizio 3.33 Per dare un esempio non banale di funzione invertibile dobbiamo utilizzare anche l insieme Q costituito dai numeri razionali (le frazioni). Assegnata la funzione f : Q! Q de nita da f(x) = 2 3 x 1 6 ; si provi che la funzione g : Q! Q de nita da g(x) = 3 2 x è l inversa di f. La veri ca consiste nel calcolare le due funzioni composte g(f(x)) e f(g(x)). La seguente proposizione fornisce una caratterizzazione delle funzioni invertibili. Proposizione 3.34 La funzione f : E! F è invertibile se e solo se è bigettiva. Ricordiamo infatti che, parlando di funzioni bigettive, si era detto che invertendo l ordine nelle coppie che costituiscono il gra co si ottiene ancora una funzione, in cui risultano scambiati gli insiemi di partenza e di arrivo: ora possiamo precisare che si tratta della funzione inversa. Dal punto di vista operativo, è abbastanza raro che si riesca ad esplicitare la funzione inversa; una possibile procedura è illustrata di seguito. 18

19 Esempio 3.35 Per determinare l inversa di f(x) = 2 3 x 1 6 è su ciente risolvere l equazione y = 2 3 x 1 6 rispetto ad x (cioè considerando x come incognita e y come dato). Si ottiene x = 3 2 y : (5) Ovviamente per ottenere una funzione scritta nel modo consueto (ossia y = g(x)), nell espressione (5) dobbiamo scambiare x con y. Ovviamente la parte di cile di questa procedura sta nel risolvere rispetto ad x. 19

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