CLASSE LIMITE DI UNA SUCCESSIONE DI NUMERI REALI C. MADERNA, G. MOLTENI, M. VIGNATI

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1 CLASSE LIMITE DI UNA SUCCESSIONE DI NUMERI REALI C. MADERNA, G. MOLTENI, M. VIGNATI Consideriamo l insieme R = R {, + } ottenuto aggiungendo all insieme dei numeri reali i simboli e +. Introduciamo in R una relazione binaria < nel modo seguente: quando opera su una coppia di numeri reali, la relazione < coincide con la usuale relazione d ordine in R, mentre quando opera su una coppia in cui almeno uno dei due elementi è un simbolo, la relazione è così definita < + < c per ogni c R c < + per ogni c R E immediato verificare che (R, <) è un insieme totalmente ordinato, cioè che valgono le seguenti proprietà: i) se α, β R, allora α β oppure β α; ii) se valgono contemporaneamente α β e β α, allora α = β; iii) se α, β, γ R e α β e β γ allora α γ. La presenza della relazione d ordine in R permette di introdurre per i sottoinsiemi non vuoti E R i concetti di massimo di E, minimo di E, maggiorante e minorante di E, estremo superiore ed estremo inferiore di E. Osserviamo, in particolare, che = min R,+ = max R. Inoltre ogni sottinsieme non vuoto E R è itato sia inferiormente che superiormente, poiché e + sono rispettivamente un minorante e un maggiorante di E; infine ogni sottinsieme non vuoto E R è dotato di estremo superiore e estremo inferiore. DEFINIZIONE Sia { } R una successione di numeri reali. Diciamo che λ R è un valore ite della successione se esiste una sottosuccessione {k } k 1 λ = k. k + Chiamiamo classe ite della successione il sottoinsieme Λ R costituito da tutti e soli i valori ite. Date: 1

2 2 C. MADERNA, G. MOLTENI, M. VIGNATI TEOREMA La classe ite di una successione { } R di numeri reali è non vuota. Dim. Se { } è una successione di numeri reali itata, per il teorema di Bolzano-Weierstrass esiste una sua sottosuccessione convergente: ne segue che il ite della sottosuccessione è un valore ite e quindi Λ. Se { } è una successione di numeri reali non itata, ad esempio, superiormente, verifichiamo che + Λ, cioè che esiste una sottosuccessione divergente a +. (In modo analogo si verifica che se la successione è non itata inferiormente, Λ). Costruiamo la sottosuccessione nel seguente modo: poiché { } è non itata superiormente, per ogni M > 0 esiste n = n(m) > M. Per M = 1, denotiamo con n 1 l indice n(1); poiché { } n>n1 è non itata superiormente, fissato M = 2, esiste n(2) > 2 e n > n 1 ;denotiamo con n 2 l indice n(2). Iterando il procedimento, costruiamo una sottosuccessione {k } k 1 k > k per ogni k 1. Dal criterio del confronto otteniamo quindi che {k } k 1 diverge a +. Si può dimostrare il seguente risultato TEOREMA La classe ite di una successione { } R di numeri reali ha massimo e minimo in R. DEFINIZIONE Data una successione { } di numeri reali, chiamiamo ite superiore e ite inferiore della successione il massimo e il minimo della sua classe ite; in simboli, poniamo sup = max Λ inf = min Λ. Il ite superiore è anche detto massimo ite e denotato con i simboli max mentre il ite inferiore è detto anche minimo ite e denotato anche min. ESEMPI 1) Sia = ( 1) n, cioè consideriamo la successione 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,... La classe ite è costituita dai numeri reali ±1. Quindi sup = 1 inf = 1. 2) La classe ite della successione { } definita come 0, 1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, 0, 5, 0, 6, 0, 7,...

3 CLASSE LIMITE DI UNA SUCCESSIONE DI NUMERI REALI 3 è costituita da λ = 0 e λ = +. Quindi sup = + inf = 0. 3) La classe ite della successione 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... è costituita da tutti gli interi naturali. Quindi sup = + inf = 1. 4) Sia { } una successione regolare, convergente o divergente.poiché ogni sottosuccessione è anch essa regolare, convergente allo stesso ite o divergente con lo stesso segno rispettivamente, la classe ite è costituita da un solo elemento, il ite della successione. Ne segue che il ite superiore e il ite inferiore coincidono e sono uguali al ite. 5) L insieme Q dei numeri razionali è un insieme numerabile e quindi può essere elencato in una successione {q n }. Si può verificare che la classe ite di {q n } è tutto R. Dalla definizione di ite superiore e inferiore seguono immediatamente le seguenti proprietà: inf sup inf ( ) = sup sup ( ) = inf Inoltre, poiché il ite inferiore l e il ite superiore L sono elementi della classe ite, essi sono in particolare iti di opportune sottosuccessioni estratte dalla successione. Vale anche il seguente teorema: TEOREMA Se sup = L R, allora per ogni ε > 0 esiste n 0 = n 0 (ε) Se < L + ε per ogni n n 0. inf = l R, allora per ogni ε > 0 esiste n 1 = n 1 (ε) > l ε per ogni n n 1.

4 4 C. MADERNA, G. MOLTENI, M. VIGNATI Dim. Dimostriamo la tesi relativa al ite superiore. Ragioniamo per assurdo: esiste ε > 0 per ogni n N esiste almeno un m > n tale che a m L + ε. Preso n = 1, si 1 l intero m corrispondente. Preso n 1, si 2 l intero m corrispondente 1, e iteriamo il procedimento. in questo modo costruiamo una sottosuccessione della successione data k L + ε per ogni k. Se {k } k è itata, per il teorema di Bolzano-Weierstrass è possibile estrarre una sua sottosuccessione convergente; ma questa è in particolare una sottosuccessione di { } n e il suo ite, sia α, soddisfecessariamente la disuguaglianza α L + ε. siamo giunti ad un assurdo, poiché α Λ e α > L = max Λ. Se {k } k è non itata superiormente, allora esiste una sottosuccessione divergente a + e ancora siamo giunti ad un assurdo, poiché + sarebbe un valore ite. La tesi relativa al ite inferiore si dimostra in modo del tutto analogo. COROLLARIO Sia { } una successione di numeri reali. Allora se e solo se { } è regolare. inf = sup Dim. Se la successione è regolare, abbiamo visto (esempio 3) che la classe ite contiene un solo elemento e quindi il minimo e il massimo di Λ coincidono. Viceversa supponiamo che valga la ( ): allora Λ = {α} con α R. Se α R, allora per il teorema precedente si ha che per ogni ε > 0 α ε < < α + ε ( ) definitivamente cioè = α. Se α = +, dimostriamo che { } diverge a +, cioè che per ogni M > 0 esiste n 0 per ogni n n 0 si ha > M. Ragioniamo per assurdo: esiste M > 0 per ogni n N esiste m > n tale che a m M. Posto n = 1, denotiamo con n 1 l intero m corrispondente; posto n = n 1 denotiamo con n 1 l intero corrispondente e iteriamo così il procedimento. Otteniamo una sottosuccessione {k } k 1 k M per ogni k cioè una sottosuccessione itata superiormente; essa è anche itata inferiormente (altrimenti la classe ite conterrebbe anche ) e quindi per il teorema di Bolzano-Weierstrass ha una sottosuccessione convergente; sia a

5 CLASSE LIMITE DI UNA SUCCESSIONE DI NUMERI REALI 5 il suo ite. Siamo giunti ad un assurdo, poiché a dovrebbe appartenere a Λ. La dimostrazione che se α = allora { } diverge a è del tutto analoga. I concetti di,ite superiore e inferiore di una successione di numeri reali possono essere introdotti anche in un modo differente; presentiamo qui il procedimento e enunciamo il relativo risultato. Sia { } R; per ogni n 1 poniamo b n : = inf k n a k = inf {, +1, +2,...} c n : = sup a k = sup {, +1, +2,...}. k n Osserviamo che le successioni {b n } e {c n } sono in generale successioni in R e non in R: infatti, se { } è non itata inferiormente, b n = per ogni n e, se { } è non itata superiormente, c n = + per ogni n. Se però { } è una successione itata, allora {b n } e {c n } sono successioni di numeri reali e in particolare risultano essere successioni monotone: infatti per ogni n si ha b n b n+1 c n c n+1, cioè {b n } è monotona crescente e {c n } è monotona decrescente. Esse sono quindi regolari e b n = sup b n c n = inf c n. Comunque sia la successione { }, possiamo considerare sup inf a k inf sup a k. k n k n TEOREMA Sia { } R. Allora inf = sup inf a k k n sup = inf ( ) sup a k. k n