3. Massimo, minimo, maggioranti e minoranti. Insiemi limitati. Estremi superiori ed inferiori.

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1 3. assimo, minimo, maggioranti e minoranti. Insiemi limitati. Estremi superiori ed inferiori. Definizione: assimo Sia un insieme di numeri reali. Def. Si dice massimo di, se esiste, quel numero che appartiene ad ed è maggiore o uguale di ogni altro elemento dell insieme R massimo di a, a

2 Definizione: inimo Sia un insieme di numeri reali. Def. Si dice minimo di, se esiste, quel numero m che appartiene ad ed è minore o uguale di ogni altro elemento dell insieme R m minimo di m a, m a Insiemi senza assimo e minimo Non tutti gli insiemi di numeri reali sono dotati di massimo o di minimo!

3 Insiemi senza assimo e minimo Esempio 1. Sia l insieme dei numeri reali positivi { x R : > 0} = x allora sicuramente possiamo affermare che min e max infatti lo zero sicuramente non può essere il minimo poiché 0 assimo e minimo sono unici Si può facilmente verificare che, se esistono, il massimo o il minimo di un insieme sono unici Dimostrazione (per assurdo): siano dati 1 =max ed 2 =max con 1 2 ; allora vale che: 1 1 se a, a se a, a = 2

4 Esempi Esempio 2. Consideriamo l insieme N dei numeri naturali. llora min N = 1 ma max N Esempio 3. Consideriamo l insieme Z p dei numeri relativi pari: Z p = {..., 4, 2,0,2,4,6,... } allora: min Z e max p Z p Esempi Esempio 4. Consideriamo l insieme 1 B = : n N n allora ed n 0 = 1,,,,...,, n min B ma max B = 1 infatti u 0 1/4 1/2 1

5 Esempi Esempio 5. Consideriamo l insieme I =]2,9[ Sicuramente possiamo affermare che min I e max I aggiorante e minorante: definizione Def. Un numero reale L si dice maggiorante per un insieme di numeri reali se è maggiore o uguale di ogni elemento di. In simboli: L maggiorante di L a, a Def. Un numero reale l si dice minorante per un insieme di numeri reali se è minore o uguale di ogni elemento di. In simboli: l minorante di l a, a

6 Relazione maggiorante/minorante con max/min OSSERVZIONE 1 ovviamente, il massimo ed il minimo di un insieme, se esistono, sono anche rispettivamente un maggiorante ed un minorante. R massimo di a, a R maggiorante di a, a NON è vero il viceversa a aggiorante e minorante: osservazioni OSSERVZIONE 2 Un insieme di numeri reali non sempre ammette maggioranti o minoranti Esempio. Sia dato l insieme non solo inoltre { x R : > 0} = x min e max minoranti ma maggioranti (lo 0, così come tutti numeri negativi sono dei minoranti di )

7 Esercizio Insieme ={x R : 5 x 12} B={x R : x 7} C={x R : x>0} D={x R : x<4} N numeri naturali Z p ={, 4, 2, 0, 2, 4, } in ax inoranti (esistono) aggioran ti (esistono) Inf sup I= (2,9) I= [2,9) I= (2,9] I= [2,9] Definizione: limitato superiormente/inferiormente Def. Un insieme di numeri reali si dice limitato superiormente se ammette un maggiorante Def. Un insieme di numeri reali si dice limitato inferiormente se ammette un minorante Def. Un insieme di numeri reali si dice limitato se è limitato sia superiormente che inferiormente. In simboli: limitato l, L R : l a L, a

8 Definizione: estremo superiore Def. Sia un insieme di numeri reali non vuoto e limitato superiormente ( ammette maggioranti). llora si dice che R è l estremo superiore di se è il minimo dei maggioranti di. In simboli: = sup x, x ε > 0, x : ε < x Estremi (sup e inf) di un insieme numerico Def. Sia un insieme numerico limitato superiormente. Diciamo che R èl estremo superiore di, indicato col simbolo sup, se è il minimo dei maggioranti di. Cioè, verifica le due proprietà: i) x, x ii ) ε > 0, x : ε < x u 0 -ε

9 Definizione: estremo inferiore Def. Sia un insieme di numeri reali non vuoto e limitato inferiormente ( ammette minoranti). llora si dice che m R è l estremo inferiore di se è il massimo dei minoranti di. In simboli: m = inf m x, x ε > 0, x : m + ε > x Estremi (sup e inf) di un insieme numerico Def. Sia un insieme numerico limitato inferiormente. Diciamo che m R è l estremo inferiore di, indicato col simbolo inf, se m è il massimo dei minoranti di. Cioè, m verifica le due proprietà: i) m x, x ii ) ε > 0, x : m + ε > x u 0 m m+ε

10 Limitato sup/inf => estremo superiore/inferiore TEORE. Sia un insieme di numeri reali, con, allora vale che: se è limitato superiormente ammette estremo superiore se è limitato inferiormente ammette estremo inferiore Limitato sup/inf: osservazioni OSSERVZIONE. Se è un insieme di numeri reali, con e non limitato superiormente, allora si pone: sup = + llo stesso modo, se è un insieme di numeri reali, con e non limitato inferiormente, allora si pone: inf =

11 Limitato sup/inf: osservazioni Ogni insieme di numeri reali diverso dall insieme vuoto ammette sia estremo superiore che estremo inferiore. In particolare: se è limitato superiormente, ammette estremo superiore finito se è limitato inferiormente, ammette estremo inferiore finito Limitato sup/inf: esempi Esempio 1. Consideriamo l insieme dei numeri reali positivi Vediamo le diverse proprieta { x R : > 0} = x min e max minoranti ma maggioranti Inoltre possiamo dire che inf = 0 e sup = +

12 Limitato sup/inf: esempi Esempio 2. Sia dato Z p = abbiamo già detto che {..., 4, 2,0,2,4,6,... } min Z e max p Z p minorantiz e maggioranti p Z p Inoltre possiamo dire che inf Z p = e sup Z p = + Limitato sup/inf: esempi Esempio 3. Consideriamo di nuovo l insieme 1 B = : n N n bbiamo già detto che ed n 0 = 1,,,,...,, n min B ma max B = 1 inoltre possiamo dire che inf B = 0 e sup B = max B = 1

13 Limitato sup/inf: esempi Esempio 4. Consideriamo l insieme C n 1 = : n N n ed n 1 n 0 = 0,,,,...,, n u 0 1/2 2/3 3/4 1 allora vale che min C = inf C = 0, maxc, supc = 1 Limitato sup/inf: rappresentazione grafica Esempio 5. Consideriamo l insieme E=[2,7) allora si ha che E è limitato sia superiormente che inferiormente e vale che min E = inf E = 2, max E, sup E = 7 u E 0 2 x E,7 x ε > 0, x E : 7 ε < 7 7-ε x

14 Esercizio Insieme ={x R : 5 x 12} B={x R : x 7} C={x R : x>0} D={x R : x<4} N numeri naturali Z p ={, 4, 2, 0, 2, 4, } in ax inoranti (esistono) aggioran ti (esistono) Inf sup I= (2,9) I= [2,9) I= (2,9] I= [2,9] Cosa abbiamo imparato massimo di a, a L maggiorante di a, L a = sup a, a ε > 0, a : ε < a

15 Cosa abbiamo imparato 1. massimo minimo (def. punto) 2. maggioranti e minoranti (def. punto) 3. insiemi limitato superiormente e inferiormente (def. Insieme) 4. estremi superiori ed estremi inferiori (def. punto)