L INSIEME DEI NUMERI REALI. DEFINIZIONE DI INSIEME NUMERICO L insieme numerico è un insieme i cui elementi sono numeri reali.

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1 PROF GIOVANNI IANNE L INSIEME DEI NUMERI REALI DEFINIZIONE DI INSIEME NUMERICO L insieme numerico è un insieme i cui elementi sono numeri reali DEFINIZIONE DI INTERVALLO L intervallo è un particolare insieme numerico costituito da infiniti numeri reali Gli intervalli possono essere limitati e non limitati DEFINIZIONI DI INTERVALLI LIMITATI a, b R( a b) Intervallo chiuso di estremi a e b: a b R a b Intervallo semiaperto superiormente di estremi a e b: a b R a b Intervallo semiaperto inferiormente di estremi a e b: a b R a b Intervallo aperto di estremi a e b: a b R a b DEFINIZIONI DI INTERVALLI NON LIMITATI ar Intervallo chiuso non limitato superiormente di estremo a: a R a Intervallo aperto non limitato superiormente di estremo a: a R a Intervallo chiuso non limitato inferiormente di estremo a: a R a Intervallo aperto non limitato inferiormente di estremo a: a R a Intervallo aperto non limitato: R

2 DEFINIZIONE DI INSIEME AMPLIATO DEI NUMERI REALI L insieme ampliato dei numeri reali è l insieme costituito da tutti i numeri reali e dai simboli, ossia: e R R, Pertanto: R R INTORNO DI UN PUNTO O DI UN NUMERO L intorno di un punto è usato per indicare intervalli aperti costituiti da punti molto prossimi al punto DEFINIZIONE DI INTORNO COMPLETO DI UN PUNTO O DI UN NUMERO L intorno completo di un punto è un qualsiasi intervallo aperto contenente Da osservare che l intorno è un intervallo aperto solo per convenzione; ne segue che, appartenendo all intorno, ne è necessariamente un punto interno In simboli I R,, ; La rappresentazione geometrica di un intorno completo di è un qualsiasi segmento, privato degli estremi, che contenga (come punto interno) il punto di ascissa R

3 L ampiezza dell intorno misura ; infatti si ha DEFINIZIONE DI INTORNO CIRCOLARE DI UN PUNTO O DI UN NUMERO Nel caso in cui risulti, l intorno I è simmetrico rispetto a In tal caso l intorno si dice circolare di centro In simboli I c ; e raggio La rappresentazione geometrica di un intorno circolare è la seguente: R Proprietà Si può dimostrare che l intersezione e l unione di due o più intorni completi di è ancora un intorno completo di In particolare l intersezione e l unione di due o più intorni circolari di è un intorno circolare di DEFINIZIONE DI INTORNO DESTRO DI UN PUNTO O DI UN NUMERO L intorno destro del punto è un qualsiasi intervallo aperto avente come estremo sinistro In simboli, un intorno destro di la cui ampiezza misura è

4 I d ; R, ( ) I ( ) La rappresentazione geometrica è la seguente: R DEFINIZIONE DI INTORNO SINISTRO DI UN PUNTO O DI UN NUMERO L intorno sinistro del punto è un qualsiasi intervallo aperto avente come estremo destro In simboli, un intorno sinistro di la cui ampiezza misura è I s ; R, ( ) I ( ) La rappresentazione geometrica è la seguente: R DEFINIZIONE DI INTORNO DI MENO INFINITO L intorno di meno infinito è un qualsiasi intervallo illimitato del tipo ;a In simboli I( ) ; a R a DEFINIZIONE DI INTORNO DI PIU INFINITO L intorno di più infinito è un qualsiasi intervallo illimitato del tipo b ; In simboli I( ) b ; R b

5 DEFINIZIONE DI PUNTO ISOLATO DI UN INSIEME NUMERICO Sia X R e sia R Si dice che è un punto isolato di X se esiste almeno un intorno di che non contiene altri elementi di X diversi da Per verificare che un punto di un insieme è isolato basta determinare un solo intorno di quel punto che non contenga altri punti dell insieme stesso Esempio Consideriamo l insieme X n,,,,,,,,, n N n Rappresentiamo l insieme X sulla retta orientata e consideriamo il suo punto Osserviamo che è possibile determinare un intorno di che non contenga altri elementi di X, per esempio ; Allora è un punto isolato di X R Nello stesso modo, è possibile dimostrare che tutti gli altri punti di X sono punti isolati (tranne l uno che come vedremo è punto di accumulazione per l insieme X ) Per esempio, per dimostrare che è un punto isolato di X si può prendere l intorno circolare di raggio 8 Se un insieme contiene un numero finito di punti, questi sono tutti punti isolati Per esempio, l insieme Y,,, è formato da quattro punti tutti isolati Anche un insieme di infiniti punti può essere costituito da punti tutti isolati

6 Per esempio, l insieme dei numeri naturali N è un insieme infinito, ma tutti i suoi punti sono punti isolati: basta prendere per ciascun punto il suo intorno circolare di raggio e osservare che non contiene altri numeri naturali DEFINIZIONE DI PUNTO DI ACCUMULAZIONE DI UN INSIEME NUMERICO Sia X R e sia R Si dice che, che può anche non appartenere all insieme X, è un punto di contiene infiniti punti di X accumulazione di X se ogni intorno completo di distinti da In simboli: è un punto di accumulazione di X ) I X, I ( Esempio Consideriamo di nuovo l insieme X n,,,,,,,,, n N n All aumentare di n, i corrispondenti valori di X si avvicinano al valore E possibile verificare che il punto gode della seguente proprietà: comunque scegliamo un intorno completo di (anche di raggio molto piccolo), questo contiene infiniti elementi di X Quindi è un punto di accumulazione di X e non appartiene all insieme X Esempio Gli elementi dell insieme R dei numeri reali sono tutti punti di accumulazione di R Esempio 3 L insieme X R, n,,3, n

7 ammette lo zero come punto di accumulazione: infatti in qualunque intorno di cadono infiniti numeri del tipo n, pur di prendere n sufficientemente grande Tutti gli elementi dell insieme sono invece punti isolati Più precisamente lo zero è un punto di accumulazione sinistro perché elementi dell insieme cadono solo nell intorno destro di zero Esempio L insieme Q dei numeri razionali ha per punti di accumulazione tutti i numeri reali (infatti nell intorno di un qualsiasi numero reale cadono infiniti numeri razionali) Esempio 5 I punti di accumulazione dell insieme costituito dai punti dell intervallo aperto a; b sono tutti quelli dell intervallo chiuso b sinistro e b destro a; ; a sarà punto di accumulazione Gli esempi che abbiamo esaminato mostrano che un punto di accumulazione di un insieme può appartenere o non appartenere all insieme stesso