1.1 Elementi di logica matematica

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1 CAPITOLO 1 Nozioni preliminari 1.1 Elementi di logica matematica La logica nacque nella Grecia classica e si sviluppò poi come scienza che tratta la validità di un affermazione analizzando i nessi inferenziali, soprattutto deduttivi, tra le proposizioni che la compongono. Fin dai suoi albori, essa si trovò in stretto rapporto con la matematica. In matematica, infatti, si costruiscono teorie rigorose e la logica fornisce al matematico gli strumenti per controllare la validità dei suoi ragionamenti. In particolare con logica matematica si intenderà quella parte della logica applicata all analisi della validità del ragionamento matematico. RDefinizione (Proposizione) Si dice proposizione (o enunciato) una affermazione alla quale si può far corrispondere (tramite un criterio oggettivo) il valore vero o il valore falso. Il valore di verità vero sarà indicato con V ed il valore di verità falso con F. EEsempio 1.1 Sia P la proposizione Un qualsiasi numero dispari è divibile per due. P risulta falsa in quanto, ad esempio, il numero dispari 3 non risulta divisibile per due. RDefinizione (Proposizione decidibile) Si dice decidibile una proposizione che può essere o provata o confutata. EEsempio 1.2 (Antinomia di Russel ( )) Se un insieme contiene se stesso come elemento (ad esempio tale è l insieme di tutti gli insiemi) si dirà che esso è autoincluso. Si consideri ora l insieme A composto da tutti gli insiemi non autoinclusi. Sia P la proposizione L insieme A è autoincluso. Se si provasse P allora A dovrebbe contenere se stesso come elemento ma ciò contraddice la definizione di A. Se, invece, la proposizione P fosse confutata allora A non conterrebbe se stesso come elemento e, in base alla definizione di A, dovrebbe pertanto contenere se stesso come elemento e sarebbe pertanto autoincluso. La proposizione P non può pertanto, onde evitare contraddizioni, essere né provata né confutata. Nel seguito si supporrà che tutte le proposizioni considerate siano decidibili. 1

2 CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI 2 Alcune proposizioni non sono scomponibili : ad esempio la proposizione 2 è un numero non può essere scomposta in 2 è e un numero. Tali proposizioni saranno dette semplici. A partire da proposizioni semplici si possono costruire altre proposizioni che possono essere invece scomposte: ad esempio, a partire dalle proposizioni semplici 2 è un numero e 2 è pari si può costruire la proposizione, che sarà detta composta, 2 è un numero e 2 è pari Operazioni logiche RDefinizione (Equivalenza logica). Due proposizioni P e Q si dicono equivalenti se hanno gli stessi valori di verità. L equivalenza tra P e Q si indicherà con P = Q. EEsempio 1.3 Sia P la proposizione il triangolo ABC è isoscele e Q la proposizione il triangolo ABC ha due angoli uguali. Si ha, ovviamente, P = Q. RDefinizione (Somma logica) Date due proposizioni P e Q si dice somma logica di P e Q, e si indica con P Q, la proposizione che è vera se almeno una delle due proposizioni risulta vera. E utile rappresentare i valori di verità della somma logica tramite la seguente tabella di verità: EEsempio 1.4 Si considerino le proposizioni P Q P Q V V V V F V F V V F F F P = Il numero n è divisibile per 2 Q = Il numero n è divisibile per 5 La proposizione P Q è Il numero n è divisibile per 2 o il numero n è divisibile per 5. RDefinizione (Prodotto logico) Date due proposizioni P e Q si dice prodotto logico di P e Q, e si indica con P Q, la proposizione che è vera solo se entrambe le forme proposizionali sono vere. E utile rappresentare i valori di verità della somma logica tramite la seguente tabella di verità,

3 CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI 3 EEsempio 1.5 Si considerino le proposizioni P Q P Q V V V V F F F V F F F F P = Il numero n è multiplo di 7 Q = Il numero n è multiplo di 5 La proposizione P Q è Il numero n è multiplo di 7 e contemporaneamente il numero n è multiplo di 5. RDefinizione (Negazione logica) Date la proposizioni P si dice negazione di P, e si indica con P, la forma proposizionale che è vera se P è falsa ed è falsa se P è vera. E utile rappresentare i valori di verità della somma logica tramite la seguente tabella di verità, EEsempio 1.6 P P F V Si consideri la proposizione P = Il numero n è divisibile per 2. La negazione di tale proposizione è P = Il numero n non è divisibile per 2. RDefinizione (Relazione di implicazione logica) Date due proposizioni P e Q si dice relazione di implicazione logica, e si indica con 1 P Q, la relazione che sussiste tra P e Q nel caso in cui dalla verità di P segue la verità di Q. Se invece P è falsa Q potrebbe essere vera o falsa. Si dice anche che P è condizione sufficiente per Q oppure che Q è condizione necessaria per P. EEsempio 1.7 Si considerino le proposizioni V F P = Il numero n è divisibile per 10 Q = Il numero n è divisibile per 5 1 Tale relazione si legge P implica Q.

4 CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI 4 Siccome un numero divisibile per 10 è anche divisibile per 5 si può affermare che P Q : affinché un numero sia divisibile per 5 è sufficiente che sia divisibile per 10. "Osservazione Se tra P e Q sussiste la relazione di implicazione logica P Q non è detto che sussista anche la relazione Q P. Dall esempio precedente risulta chiaro, in effetti, che un numero divisibile per 5 non necessariamente è divisibile per 10 (si consideri, ad esempio, il numero 15). Se però accade che oltre all implicazione logica P Q sussiste anche l implicazione Q P si dice che P è condizione necessaria e sufficiente per Q o, viceversa, che Q è condizione necessaria e sufficiente per P. In tal caso si usa la notazione P Q. RDefinizione (Teorema) Si dice teorema una proposizione deducibile (sia essa Q) a partire da assiomi o altre proposizioni (indicati con P). La proposizione P si chiamerà ipotesi mentre la proposizione Q sarà detta tesi. "Osservazione Per la dimostrazione di un teorema si useranno essenzialmente due tecniche: dimostrazione diretta (o costruttiva): supponendo valida l ipotesi P si deduce che la tesi Q è in relazione di implicazione logica con P : P Q dimostrazione indiretta (o per assurdo): si suppone valida l ipotesi P e la negazione della tesi Q o, in altri termini, si suppone vera la proposizione P Q. Se si arriva ad una contraddizione (come può essere la negazione dell ipotesi o di qualche assioma) si imputa tale contraddizione all aver assunto come vera la negazione della tesi Q. Onde evitare contraddizioni si ritiene quindi falsa la negazione della tesi e vera la tesi stessa Q. 1.2 Elementi di teoria degli insiemi Secondo le parole di Cantor ( ), padre della moderna teoria degli insiemi un insieme è una collezione di oggetti determinati e distinti della nostra percezione o del nostro pensiero concepiti come un tutto unico. A ben vedere, tuttavia, il termine collezione è usato semplicemente come sinonimo di insieme e la precedente frase non può essere una definizione della nozione insieme. Una definizione rigorosa della nozione di insieme esula dagli scopi del presente testo: ci si limiterà pertanto a considerare gli insiemi come un concetto primitivo, sinonimo di collezione, aggregato, famiglia, classe o popolazione (in statistica) di oggetti. Nel seguito gli insiemi saranno indicati con lettere maiuscole, A, B,C,... mentre gli elementi dell insieme saranno indicati con lettere minuscole, a, b, c,... Se un

5 CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI 5 elemento a appartiene all insieme A ciò si esprimerà simbolicamente con a A, che si legge l elemento a appartiene all insieme A. In modo analalogo se a non appartiene all insieme A si scriverà a A Individuazione di un insieme Per caratterizzare un insieme si userà prevalentemente specificare gli elementi che lo compongono. Ciò sarà fatto in due modi: elencare direttamente gli elementi che appartengono all insieme. Ad esempio, se l insieme A è composto dagli elementi a,b,c si userà la notazione A = {a,b,c} indicare la proprietà o le proprietà che caratterizzano gli elementi dell insieme. Ad esempio, se A è l insieme dei numeri pari e positivi si potrà caratterizzarlo come (il simbolo si legge tale che ) A = {n (n pari) (n positivo)}. "Osservazione Si conviene di considerare identici (salvo menzione esplicita) due insiemi che differiscono solo per l ordine in cui gli elementi sono elencati: ad esempio {a,b,c} si considera identico a {a,c,b} Sottoinsiemi Siano A e B due insiemi. Se ogni elemento di A è anche un elemento di B si dirà che A è un sottoinsieme di B e si scriverà A B. Più formalmente (il simbolo si legge per ogni e il simbolo : si legge si ha ): RDefinizione (Sottoinsieme) a A : a A a B A B.

6 CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI 6 Figura 1.1 Rappresentazione di Eulero-Venn di un insieme A contenuto nell insieme B. Se risulta anche B A allora gli insiemi A e B coincidono, e si scrive A = B. Se l insieme A non coincide con l insieme B si scriverà A B. E comodo introdurre un insieme, detto insieme vuoto ed indicato con il simbolo, caratterizzato dal fatto di non contenere alcun elemento. Per convenzione si assume che, dato un qualunque insieme A, l insieme vuoto sia un suo sottoinsieme: RDefinizione (Sottoinsieme proprio) A A. Se l insieme A è un sottoinsieme dell insieme B ma A non coincide né con B né con l insieme vuoto si dirà che l insieme A è un sottoinsieme proprio di B, e si scriverà A B. Più formalmente: (A B) ( b B b A) A B. Si veda la figura 1.1 in cui l insieme A è un sottoinsieme proprio dell insieme B. EEsempio 1.8 L insieme dei numeri dispari è un sottoinsieme (proprio) dell insieme dei numeri interi L insieme dei numeri pari non è sottoinsieme dei numeri dispari L insieme dei numeri razionali è un sottoinsieme (proprio) dell insieme dei numeri reali

7 CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI 7 RDefinizione (Insieme delle parti) Sia dato un insieme X. Si dice insieme delle parti di X, e si indica con P (X ), l insieme i cui elementi sono tutti e soli i sottoinsiemi di X. EEsempio 1.9 Dato l insieme X = {a,b,c} l insieme delle parti di X è dato da P (X ) = {,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}} Operazioni tra insiemi Si consideri un insieme ambiente X e siano A, B e C suoi sottoinsiemi. Si possono definire le seguenti operazioni tra gli insiemi A e B : 1. Unione tra insiemi, indicata con A B. Essa è data dall insieme i cui elementi sono elementi di A oppure elementi di B : A B = {x X (x A) (x B)} Figura 1.2 Diagramma di Eulero-Venn rappresentante l unione tra gli insiemi A e B. EEsempio 1.10 Siano A = {a,c, f } e B = {a,b}. Risulta A B = {a,c, f,b}. Si osservi che l unione tra insiemi gode delle proprietà commutativa associativa A B = B A, (A B) C = A (B C ).

8 CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI 8 Si ha, inoltre, e A = A A B A B = B 2. Intersezione tra insiemi, indicata con A B. Essa è data dall insieme i cui elementi sono sia elementi di A sia elementi di B : A B = {x X (x A) (x B)} Figura 1.3 Rappresentazione di Eulero-Venn dell intersezione tra gli insiemi A e B. EEsempio 1.11 Siano A = {a,c, f } e B = {a,b}. Risulta A B = {a}. Si osservi che l unione tra insiemi gode delle proprietà commutativa associativa Si ha, inoltre, e A B = B A, (A B) C = A (B C ). A = A B A B = A

9 CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI 9 RDefinizione (Insiemi disgiunti) Gli insiemi A e B si dicono disgiunti se risulta A B =. A B Figura 1.4 Rappresentazione di Eulero-Venn degli insiemi disgiunti A e B. 3. Differenza tra insiemi, indicata con A\B. Essa è data dall insieme ottenuto eliminando da A gli elementi in comune con B : A\B = {x X (x A) (x B)} Figura 1.5 Rappresentazione di Eulero-Venn della differenza A\B. EEsempio 1.12 Siano A = {a,c, f } e B = {a,b}. Risulta A\B = {c, f }.

10 CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI 10 Si osservi che può risultare A\B = A pur essendo B e A\B = pur essendo A B. Tale proprietà non autorizza pertanto ad applicare alla differenza tra insiemi le proprietà tipiche della differenza aritmetica tra numeri. Tra le operazioni di unione e intersezione tra insiemi sussistono le seguenti relazioni distributive: A (B C ) = (A B) (A C ) A (B C ) = (A B) (A C ). La differenza X \A è l insieme che contiene tutti gli elementi di X che non appartengono ad A. Essa si chiama complementare di A (rispetto a X ) e si indica con C X A o con A. Risulta, ovviamente, e A A = X A A =. Sussitono inoltre le seguenti proprietà (leggi di de Morgan): A B = A B A B = A B

11 CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI 11 Esercizi 1.1) Per le coppie di insiemi seguenti si determini A B, A B, A\B, B\A : A = {1,3,5,7} B = {2,4,6,8} A = {0,1,2,3,4} B = {2,3,5} 1.2) La proposizione = { } è vera o falsa? Utilizzando la rappresentezione grafica di Eulero-Venn, si risolvano gli esercizi seguenti: 1.3) Siano A, B,C sottoinsiemi dell insieme delle parti di un opportuno insieme X. La proposizione A\(B\C ) = (A\B)\C è vera o falsa? 1.4) La proposizione (A\B) B = A è vera o falsa? 1.5) La proposizione (A B)\B = A è vera o falsa? Prodotto cartesiano Dati gli insiemi A e B il prodotto cartesiano tra essi, denotato con A B, è dato da tutte le possibili coppie ordinate (a,b) con a A e b B. EEsempio 1.13 Sia A = {0,1} e B = {0,2}. Si ha: mentre A B = {(0,0),(0,2),(1,0),(1,2)} B A = {(0,0),(0,1),(2,0),(2,1)}. Si osservi che A B B A essendo, ad esempio, la coppia ordinata (0,2) diversa dalla coppia ordinata (2,0). Come visto nell esempio precedente risulta, in generale, A B B A. E possibile effettuare il prodotto cartesiano dell insieme A con se stesso: A A. Si usa la notazione A A = A 2. Più in generale si indicherà con A n il prodotto cartesiano di A con se stesso effettuato n volte:

12 CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI 12 } A A {{... A } = A n, n vol te il cui generico elemento è dato dall n upla ordinata (a 1, a 2,..., a n ), con a 1, a 2,..., a n A Applicazioni Si considerino due insiemi non vuoti A e B. Se ad un elemento di A si fa corrispondere, tramite un qualche criterio (o legge) uno ed un solo elemento di B si dice che risulta definita una applicazione (o funzione) da A a B. Più precisamente RDefinizione (Applicazione) Si dice applicazione o funzione da A a B un legame di natura arbitraria che associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B. Se si indica la legge di corrispondenza tra elementi di A ed elementi di B con il simbolo f, si userà spesso la notazione f : A B. Se all elemento a A l applicazione f fa corrispondere l elemento b B si userà anche la notazione b = f (a). L elemento b B è detto anche immagine di a A tramite l applicazione f. f. a. b A B Figura 1.6 Rappresentazione grafica dell applicazione f : A B.

13 CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI 13 R Definizione (Dominio e immagine) Sia data l applicazione f : A B. L insieme A si dice dominio dell applicazione. Si dice invece immagine di A tramite f, e si indica con f (A), l insieme di tutti gli elementi b B che provengono da qualche a A : f (A) = {b B b = f (a), a A}. L insieme f (A) è detto anche codominio dell applicazione f. Nel seguito saranno definite le nozioni di iniettività, suriettività, immagine inversa, invertibilità e grafico di un applicazione f : A B. RDefinizione (Suriettività) L applicazione f : A B si dice suriettiva se l insieme B coincide con l immagine f (A) cioè se f (A) = B. "Osservazione Si osservi che una funzione f : A B è suriettiva se e solo se b B a A b = f (a). "Osservazione Una funzione f definita nel dominio A può sempre essere ricondotta ad una funzione suriettiva considerandola come funzione da A a f (A). RDefinizione (Grafico) Si dice grafico di f : A B il sottoinsieme G f di A B definito come RDefinizione (Immagine inversa) G f = {(a,b) A B b = f (a) a A}. Sia f : A B e b B. Si dice immagine inversa di b, e si indica con f 1 (b), l insieme degli elementi a A tali che b = f (a) : EEsempio 1.14 f 1 (b) = {a A b = f (a)}. Siano A = {0,1,2,3,4} e B = { 1,1} e f : A B l applicazione che fa corrispondere ad ogni a A il valore ( 1) a : f (a) = ( 1) a. Si ha:

14 CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI 14 f (0) = ( 1) 0 = 1, f (1) = ( 1) 1 = 1, f (2) = ( 1) 2 = 1, f (3) = ( 1) 3 = 1, Risulta pertanto, f (4) = ( 1) 4 = 1 e f 1 (1) = {0,2,4} RDefinizione (Iniettività) f 1 ( 1) = {1,3}. L applicazione f : A B si dice iniettiva se per ogni b f (A) l immagine inversa f 1 (b) contiene un solo elemento. In altri termini: f è iniettiva se a, a A : a a f (a) f (a ). f a. a.. b A B Figura 1.7 Un esempio di applicazione non iniettiva: f (a) = f (a ) = b {a, a } f 1 (b).

15 CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI 15 EEsempio 1.15 Sia A = {±1,±2,±3,±4}, B l insieme dei numeri naturali compreso lo zero 2 : B = {0,1,2,3,4,...} e sia f : A B l applicazione f (a) = a 2 1. L applicazione f non è suriettiva perché, ad esempio, 4 B non è immagine di alcun elemento di A. Essa non è nemmeno iniettiva visto che, ad esempio, f 1 (3) = {±2}. EEsempio 1.16 Sia A = N N, B = N e f : A B l applicazione definita da f (a,b) = ab con a,b N. L applicazione f è suriettiva in quanto ogni intero in B è ottenibile come prodotto di interi: dato ad esempio l intero c B esso è certamente immagine della coppia (a,b) A con a = 1 e b = c. L applicazione f non è però iniettiva in quanto esistono coppie diverse (a,b) A a cui f associa la stessa immagine in B, come ad esempio (1,12) a cui corrisponde f (1,12) = 1 12 = 12, (2,6) a cui corrisponde f (2,6) = 2 6 = 12 e (3,4) a cui corrsiponde f (3,4) = 3 4 = 12. RDefinizione (Biiezione) Se l applicazione f : A B è sia iniettiva sia suriettiva si dice che essa è una biiezione o una corrispondenza biunivoca. "Osservazione Una corrispondenza biunivoca f : A B fa corrispondere a un elemento del dominio A uno ed un solo elemento di B e, per ogni elemento di B una ed una sola controimmagine nel dominio A : stabilisce pertanto una corrispondenza biunivoca tra gli insiemi A e B. EEsempio 1.17 Siano A = {0,1,2} e B = {0,1,2,3,4,5}. Sia f la legge che fa corrispondere ad ogni elemento di A il suo quadrato: Si avrà: f (a) = a 2. f (0) = 0 2 = 0, 2 Come si vedrà meglio nel seguito, tale insieme è indicato con il simbolo N.

16 CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI 16 f (1) = 1 2 = 1, f (2) = 2 2 = 4, per cui 0 B è l immagine di 0 A,1 B è l immagine di 1 A e 4 B è l immagine di 2 A. L immagine di A tramite f è data da f (A) = {0,1,4}. Siccome f (A) B, l applicazione f non è suriettiva. L applicazione risulta invece iniettiva perché a due elementi distinti del dominio fa corrispondere due elementi distinti di B. Non essendo suriettiva, essa non può essere una biiezione. EEsempio 1.18 Siano A = {0,1,2,3} e B = {0,2,4,6,8,10,...,24}. Sia f definita da Risulta: f (a) = a 3 a. f (0) = = 0, f (1) = = 0, f (2) = = 6, f (3) = = 24. Si ha che 0 B è l immagine di 0,1 A, 6 B è l immagine di 2 A e 24 B è l immagine di 3 A. L immagine di A tramite f è data da f (A) = {0,6,24}. Siccome f (A) B, l applicazione f non è suriettiva. L applicazione non è iniettiva perché a due elementi distinti del dominio, 0,1 A fa corrispondere un solo elemento di B : il valore 0. Non essendo suriettiva né iniettiva, essa non può essere una biiezione.

17 CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI Insiemi numerici Nel resto del testo saranno usati, principalmente, insiemi i cui elementi sono numeri Insieme dei numeri naturali L esempio più semplice di insieme numerico è quello i cui elementi sono i numeri interi positivi o nulli. Tale insieme è detto insieme dei numeri naturali e si indica con il simbolo N. Si ha, più esplicitamente, RDefinizione (Operazione interna) N = {0,1,2,3,4,...}. Si dice operazione interna in un insieme A un operazione che fa corrispondere a due elementi di A un elemento di A stesso. Nell insieme dei numeri naturali sono definite due operazioni interne: somma, +, e prodotto,. Tali operazioni soddisfano le proprietà associativa, a,b,c N : (a + b) + c = a + (b + c) commutativa, a,b,c N : (a b) c = a (b c) a,b N : a + b = b + a e distributiva, a,b N : a b = b a a,b,c N : (a + b) c = a c + b c. Nell insieme dei numeri naturali N esistono inoltre gli elementi neutri rispetto la somma (il simbolo si legge esiste ), a N 0 N a + 0 = a

18 CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI 18 e rispetto il prodotto, "Osservazione a N 1 N a 1 = a. Nell insieme N non esistono gli elementi inverso di somma e prodotto. Ad esempio l elemento inverso del numero 2 rispetto alla somma (detto anche opposto) dovrebbe essere un a N tale che 2 + a = 0. Come è noto, però, il numero a che soddisfa la relazione precedente è il numero 2 che non appartiene a N. Analogamente l elemento inverso rispetto al prodotto (detto anche reciproco) del numero 2 dovrebbe essere un a N tale che 2 a = 1. Come è noto il numero a che soddisfa la relazione precedente è il numero 1/2 che, però, non appartiene a N. "Osservazione Laddove ciò non comporti ambiguità il prodotto di due numeri, a b sarà indicato brevemente con ab. "Osservazione L insieme dei numeri naturali privati dello zero si indica con N + : N + = {1,2,3,...} Insieme dei numeri relativi L insieme dei numeri interi dotati di segno è detto insieme dei numeri relativi ed è indicato con il simbolo Z. Si ha: Z = {0,±1,±2,±3,...}. Come per l insieme dei numeri naturali, anche nell insieme dei numeri relativi si possono introdurre le operazioni interne di somma e prodotto che verificano le stesse proprietà associativa, commutativa e distributiva soddisfatte dai numeri naturali. Anche in Z esistono gli elementi neutri per la somma,0, e per il prodotto, 1. A differenza di N, tuttavia, in Z esiste l elemento inverso rispetto la somma: a Z b Z a + b = 0.

19 CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI 19 Chiaramente l elemento b in questione è unico ed è dato dal numero relativo a : a + b = 0 b = a. Così come in N, anche nell insieme dei relativi non esiste l elemento inverso rispetto al prodotto. EEsempio 1.19 Utilizzando le proprietà dell insieme dei numeri naturali relativi si dimostri che meno per meno fa più o, in termini più precisi, che ( a) = a. Soluzione. Il numero ( a) è l opposto di a. D altra parte l opposto b di a è chiaramente b = a, pertanto (il simbolo si legge identico a ) b a = ( a) Insieme dei numeri razionali L insieme dei numeri razionali, denotato con Q, è l insieme definito da Q = { m (m,n Z) (n 0)}, n cioè l insieme di tutti i numeri che possono essere espressi come frazione. Così come N e Z anche Q soddisfa le proprietà associativa, commutativa e distributiva. In Q, così come in Z esiste l opposto di ogni elemento. A differenza degli insiemi dei numeri interi, naturali o relativi, in Q esiste per ogni numero, escluso lo zero, il numero reciproco: ( a Q) (a 0) b Q ab = 1 : il reciproco b del numero a è indicato con a 1 e coincide con il numero razionale 1 a. Benché dal punto di vista aritmetico l insieme dei numeri razionali sia abbastanza ricco, potendosi effettuare utilizzando i suoi elementi le operazioni di somma e prodotto e le relative operazioni inverse, per gli scopi dell Analisi Matematica esso non è sufficiente. Si consideri infatti il seguente teorema che dimostra che non è sempre possibile effettuare l operazione di estrazione di radice quadrata lavorando solo con numeri razionali. wteorema (Irrazionalità di 2): 2 Q. Dimostrazione Si supponga, per assurdo, che 2 sia un numero razionale. Sarà allora possibile rappresentare tale numero come 2 = m n (1.1)

20 CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI 20 con, per ipotesi, m e n primi tra loro o, in altre parole, in modo che la frazione m/n non sia ulteriormente semplificabile. In tal caso risulterebbe, elevando al quadrato ambo i membri della relazione (1.1), 2 = m2 n 2 m2 = 2n 2. (1.2) Dall ultima relazione segue che m 2, essendo divisibile per 2, è pari, che comporta che anche m è un numero pari. In tal caso si può porre m = 2s, s N. Inserendo tale relazione nella (1.2) si ottiene m 2 = 2n 2 4s 2 = 2n 2 2s 2 = n 2, cosicché anche n 2 e, di conseguenza, n sono numeri pari. Si è provato quindi che sia m sia n sono numeri pari: in tal modo si arriva ad una conclusione assurda visto che per ipotesi si era assunto che m e n fossero primi tra loro Rappresentazione cartesiana degli insiemi numerici Si introduca, in ciascuno degli insiemi numerici N, Z e Q la relazione d ordine. Più formalmente si supponga di dotare gli insiemi in questione di un ordinamento totale, una relazione cioè, che goda delle proprietà: a a (a b) (b a) (a b) (b c) (a c) (a b) (b a) a = b, a,b,c dell insieme in considerazione. Se risulta a b si dice anche che a precede b. Avendo introdotto una relazione d ordine si possono ordinare gli elementi di ciascun insieme considerato, potendo sempre stabilire se un qualsiasi elemento precede o meno un qualsiasi altro elemento. In particolare, introducendo la retta orientata (ed avendo fissato un opportuna unità di misura) gli insiemi sopra considerati possono essere rappresentati come punti della retta orientata. Tale rappresentazione è detta cartesiana. Si osservino le figure seguenti raffiguranti le rappresentazioni cartesiane di N, Z e Q.

21 CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI N Z Q Figura 1.8 Rappresentazione cartesiana degli insiemi N, Z e Q. "Osservazione I punti situati sulla retta orientata non individuano sempre un numero razionale. Ad esempio, si veda la figura 1.9, considerando su tale retta il punto corrispondente alla diagonale del quadrato unitario, cioè 2, come si è mostrato in precedenza, esso non è razionale. Si può affermare, quindi, che sulla retta orientata sono presenti dei punti non rappresentabili come numeri razionali Figura 1.9 Il punto 2 appartiene alla retta orientata Insiemi limitati RDefinizione (Insieme superiormente limitato) Sia A Q. Si dice che l insieme A è superiormente limitato se esiste un numero razionale più grande di ciascun numero appartenente all insieme A. Più formalmente, l insieme A è superiormente limitato se M Q a A : a M.

22 CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI 22 Il numero M si chiama maggiorante di A. In modo analogo si può definire un insieme inferiormente limitato: RDefinizione (Insieme inferiormente limitato) L insieme A Q si dice inferiormente limitato se Il numero m si chiama minorante di A. RDefinizione (Insieme limitato) m Q a A : a m. Se un insieme A Q è superiormente e inferiormente limitato si dice che esso è limitato. "Osservazione Se un insieme ammette un maggiorante allora ne ammette infiniti (ad esempio se M è un maggiorante è chiaro che tutti numeri M + n, n N sono ancora maggioranti). Analogamente, se un insieme ammette un minorante allora ne ammette infiniti. Si consideri un insieme A Q limitato superiormente. Come osservato in precedenza, l insieme A ammetterà infiniti maggioranti. Tra questi un ruolo chiave nelle considerazioni che seguiranno, è svolto dal più piccolo dei maggioranti. Tale numero sarà detto estremo superiore dell insieme A e sarà indicato con il simbolo sup A. Più precisamente: RDefinizione (Estremo superiore) Sia A Q superiormente limitato. Si dice estremo superiore di A il numero S = sup A che soddisfa le proprietà 1. a A : a S, cioè S è un maggiorante di A 2. ɛ > 0 a a > S ɛ, cioè S è il più piccolo dei maggioranti di A. In modo analogo si definisce l estremo inferiore di un insieme inferiormente limitato, inf A, come il più grande dei minoranti dell insieme stesso: RDefinizione (Estremo inferiore) Sia A Q inferiormente limitato. Si dice estremo inferiore di A il numero s = inf A che soddisfa le proprietà 1. a A : a s, cioè s è un minorante di A 2. ɛ > 0 a a < s + ɛ, cioè s è il più grande dei minoranti di A.

23 CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI 23 Si consideri inoltre la seguente RDefinizione (Massimo e minimo) Se l estremo superiore sup A dell insieme A appartiene all insieme esso è detto massimo di A ed è indicato con max A. Se l estremo inferiore inf A dell insieme A appartiene all insieme esso è detto minimo di A ed è indicato con min A. Se l insieme A Q non ammette maggioranti si dirà che esso è illimitato (o non limitato) superiormente. Più precisamente: RDefinizione (Insieme superiormente illimitato) Un insieme A Q si dice superiormente illimitato se M Q a A a > M. In tal caso si pone sup A = +. In modo analogo si definisce RDefinizione (Insieme inferiormente illimitato) Un insieme A Q si dice inferiormente illimitato se In tal caso si pone inf A =. K Q a A a < K. Se l insieme A è un sottoinsieme limitato dei numeri naturali N o dei numeri relativi Z ammette sempre anche massimo e minimo. Ciò invece cessa di essere sempre vero per un generico A Q, come mostrato nel seguente EEsempio 1.20 Sia A = {x Q (x 2 2) (x > 0)}. L insieme A è composto da tutti i numeri razionali positivi e non superiori a 2. Il più grande dei minoranti di A è x = 0 e,quindi, inf A = 0. Siccome 0 A esso non è il minimo di A. Il più piccolo dei maggioranti A, invece, essendo pari a 2, non esiste in Q : l insieme A, pur essendo limitato superiormente non ammette l estremo superiore in Q. EEsempio 1.21 Sia A = {x Q 5 < x < 7}. Il più piccolo dei maggioranti di A è 7 che, non essendo razionale, non può essere l estremo superiore dell insieme A. In modo analogo, il più grande dei minoranti di A è 5 Q : l insieme A non ammette nemmeno l estremo inferiore in Q. Gli esempi precedenti mostrano che un generico sottoinsieme A di Q, sebbene limitato, non è detto che ammetta, in Q, estremo superiore e/o inferiore. In altre parole non è detto che, in Q, l insieme dei maggioranti (o minoranti) di un insieme limitato ammetta un minimo (o un massimo). Per gli scopi dell Analisi Matematica, quindi, il solo insieme dei numeri razionali non è sufficiente. Per tale motivo si introduce l insieme dei numeri reali R.

24 CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI Insieme dei numeri reali Come visto in precedenza l insieme dei numeri razionali Q, benché soddisfacente dal punto di vista algebrico (esistenza delle operazioni inverse di somma e prodotto) non è sufficiente per tutti gli scopi dell Analisi Matematica e, in particolare, in tutte quelle problematiche che hanno bisogno di un insieme ambiente continuo. Il fatto che Q non contenga i numeri irrazionali si può esprimere intuitivamente ripensando alla rappresentazione cartesiana di tale insieme: sulla retta orientata (continua) non tutti i punti sono rappresentabili come razionali. La formalizzazione rigorosa di tale argomento risiede nel fatto che in Q un insieme limitato non sempre ammette gli estremi superiore ed inferiore. Per ovviare a tale inconveniente si introduce l insieme dei numeri reali R. Esso può essere pensato, intuitivamente, come l insieme dei numeri razionali Q al quale siano aggiunti i numeri irrazionali. In termini più rigorosi si può pensare di introdurre un insieme con le stesse proprietà algebriche di Q e assumendo il cosiddetto assioma di continuità (o assioma di Dedekind) che comporta che ogni sottoinsieme limitato di R ammette gli estremi superiore ed inferiore. RDefinizione (Insieme ovunque denso) L insieme A R si dice ovunque denso in R se, comunque scelti a,b A esiste un punto c A compreso tra a e b. "Osservazione Pur non essendo continuo, l insieme dei numeri razionali è ovunque denso in R. In effetti, dati i due numeri razionali a e b, il numero c = a+b 2 è razionale e, rappresentando il punto medio tra a e b è compreso tra essi. Gli insiemi dei numeri interi, naturali o relativi, non sono invece ovunque densi in R. "Osservazione Le definizioni di insieme limitato superiormente e inferiormente, estremo superiore ed inferiore, massimo e minimo ed insieme illimitato, date in precedenza per un generico sottoisinsieme dei numeri razionali possono essere estese immediatamente al caso di un sottoinsieme A R : è sufficiente sostituire in tali definizioni Q con R. EEsempio 1.22 Si consideri l insieme A = {x R x = ( 1) n (n 1), n N}. Per valori di n pari risulta ( 1) n = 1 per cui ai valori di n {0,2,4,6,8,...} corrispondono gli elementi { 1, 1, 3, 5, 7,...}. Pertanto l insieme A non è limitato superiormente e risulta, quindi, sup A = +. Per valori di n dispari si ha ( 1) n = 1 e ad essi corrispondono gli elementi {..., 8, 6, 4, 2,0} : l insieme A = {0,±2,±4,±6,±8,...} non è limitato nemmeno inferiormente e, pertanto, inf A =.

25 CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI 25 EEsempio 1.23 Sia A = {x R x 2 x 0}. Risolvendo la disequazione x 2 x 0, che ammette la soluzione x (,0) (1,+ ), si ottiene A = (,0) (1,+ ). Tale insieme è illimitato superiormente, sup A = +, e inferiormente, inf A = Intervalli e intorni Un ruolo fondamentale nell Analisi Matematica è svolto da particolari sottoinsiemi di R, detti intervalli limitati e rappresentabili come segmenti della retta orientata. Si ha: RDefinizione (Intervalli) L insieme {x R a < x < b} si dice intervallo aperto e si indica con il simbolo (a,b) L insieme {x R a x b} si dice intervallo chiuso e si indica con il simbolo [a,b] L insieme {x R a < x b} si dice intervallo semiaperto (o semichiuso) e si indica con il simbolo (a,b] L insieme {x R a x < b} si dice intervallo semiaperto (o semichiuso) e si indica con il simbolo [a,b). I principali sottoinsiemi illimitati di R sono i cosiddetti intervalli illimitati, rappresentabili come semirette. Si distinguono i seguenti intervalli illimitati: (, a] = {x R x a} (, a) = {x R x < a} [a,+ ) = {x R x a} (a,+ ) = {x R x > a} Secondo le notazioni introdotte è chiaro che l intero insieme dei numeri reali può essere rappresentato come R = (,+ ). Un altra classe di sottoinsiemi di R molto importante nella formulazione dell Analisi Matematica è quella degli intorni. Dato il punto x 0 R si dice

26 CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI 26 Intorno sinistro di x 0 di semiampiezza δ l intervallo (x 0 δ, x 0 ), indicato anche con I x 0,δ Intorno destro di x 0 di semiampiezza δ l intervallo (x 0, x 0 +δ), indicato anche con I + x 0,δ Intorno simmetrico (o, brevemente, intorno) di x 0 di semiampiezza δ l intervallo (x 0 δ, x 0 + δ), indicato anche con I x0,δ Intorno generico di x 0 coincidente con un qualsiasi intervallo aperto contenente il punto x 0. A volte è comodo lavorare con il cosidetto insieme dei reali ampliato, indicato con R: esso coincide con l insieme dei reali R al quale siano aggiunti i punti ± : R = R {,+ }. Come intorno del punto + si converrà di scegliere l intervallo I = (a,+ ) e come intorno del punto si converrà di scegliere l intervallo I = (, a) Elementi di topologia unidimensionale Sia A R. RDefinizioni (Punti interni, isolati, di frontiera e di accumulazione) Il punto x 0 A è detto punto interno di A se I xo tutto costituito da punti di A Il punto x 0 A è detto punto isolato di A se I xo che non contiene punti di A distinti da x 0 Il punto x 0 R è detto punto di frontiera di A se I xo risulta che I xo è costituito da punti di A e del suo complementare Il punto x 0 R è detto punto di accumulazione di A se I xo contiene punti di A distinti da x 0 risulta che I xo Dal punto di vista intuitivo un punto di accumulazione è un punto di R intorno al quale si addensano infiniti punti di A. L insieme dei punti di accumulazione di un insieme A si chiama derivato di A e si indica con A. "Osservazione I punti di frontiera e di accumulazione non necessariamente appartengono ad A.

27 CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI 27 RDefinizione (Insiemi aperti e chiusi) L insieme A si dice aperto se è costituito solo da punti interni. Un insieme A è detto chiuso se il suo complementare A è aperto. Sussiste il seguente teorema che stabilisce un legame tra un insieme chiuso ed i suoi punti di accumulazione wteorema {A è chiuso} {A A} Dimostrazione Necessità ( ) Sia A chiuso e x un suo punto di accumulazione, x A. Si supponga, per assurdo, che x A. Siccome A è aperto il punto x sarà un suo punto interno: I x A : esisterebbe pertanto un intorno di x in cui non cadono punti di A, ed esso non potrebbe essere pertanto, contrariamente all ipotesi di partenza, un punto di accumulazione di A. Sufficienza ( ) Sia x A. Siccome per ipotesi A contiene tutti i suoi punti di acumulazione il punto x non è un punto di accumulazione di A. Pertanto esiste un intorno I x in cui non cadono punti di A. Tale intorno è quindi tutto contenuto in A : ne segue che A è aperto e quindi il suo complementare A è chiuso. EEsempio 1.24 Sia A = {x R x = ( 1)n (n 2), n N + }. n L insieme A è dato dall unione degli elementi ottenuti per n pari e per n dispari. Ai valori di n pari corrispondono gli elementi di A {0, 2 4, 4 6, 6 8, 8 10, 10 12, } {0, 1 2, 2 3, 3 4, 4 5, 5 6,...} e, all aumentare di n, tali valori si avvicinano ad 1. Ai valori di n dispari corrispondono gli elementi di A { 1 1, 1 3, 3 5, 5 7, 7 9, 9 11,...} {1, 1 3, 3 5, 5 7, 7 9, 9 11,...} : all aumentare di n tali valori si avvicinano al valore 1. L insieme A è quindi dato da A = { 1,..., 9 11, 7 9, 5 7, ,0, 1 2, 2 3, 3 4, 4 5, 5 6,...,1}.

28 CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI 28 Esso è costituito da soli punti isolati e ha due punti di accumulazione, 1 e 1 : A = { 1,1}. In effetti, ad esempio, in ogni intorno del punto 1, anche piccolo, cadono infiniti punti dell insieme A ed esso è pertanto un suo punto di accumulazione. L estremo superiore dell insieme è sup A = 1che, appartenendo all insieme stesso risulta essere anche il suo valore massimo: max A = 1. L estremo inferiore dell insieme A è invece dato dal valore 1 : inf A = 1. Siccome inf A A, l insieme A non ammette minimo. EEsempio 1.25 Sia dato l insieme A = [ 1,2]. In ogni intorno di qualsiasi punto di A cadono infiniti punti dell insieme pertanto si ha A = A e l insieme A risulta essere chiuso. L estremo superiore di A è sup A = 2 = max A, visto che 2 A. L estremo inferiore di A è, invece, inf A = 1 = min A, visto che 1 A. EEsempio 1.26 Sia dato l insieme A = [ 1,2] Q, cioè l insieme di tutti i razionali compresi tra 1 e 2. In ogni intorno di un punto arbtrario dell insieme [ 1, 2] cadono infiniti punti dell insieme A perciò l insieme dei punti di accumulazione di A è l intervallo [ 1,2]. Siccome, per esempio, 2 A ma 2 A l insieme A non è chiuso. L estremo superiore di A è il punto 2 che appartenendo ad A risulta essere anche il suo valore massimo: sup A = 2 = max A. L estremo inferiore di A è il punto 1 A : inf A = 1 = min A. 1.3 Sommatoria e produttoria Sommatoria Nelle applicazioni dell Analisi Matematica si ha spesso a che fare con la somma di n termini. E opportuno quindi introdurre un simbolo che possa descrivere in modo compatto tale somma di n termini. Si consideri il seguente EEsempio 1.27 Si supponga di dover considerare la somma S dei primi n numeri interi: S = n. Tale somma può essere scritta in modo compatto introducendo il simbolo di sommatoria Σ : n S = k, che si legge: somma in k, per k che va da 1 a n, di k.

29 CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI 29 Se si deve esprimere in modo compatto la somma dei primi n interi pari, si ottiene: S = n, Più in generale, si consideri la somma S n S = 2k. S = a m + a m+1 + a m a n, essa può essere espressa in modo compatto come S = n a k. k=m Per rappresentare la somma di n termini mediante il simbolo di sommatoria è comunque necessario 1. stabilire il legame esistente tra gli addendi della somma ed i numeri interi 2. individuare i numeri interi a cui corrispondono il primo e l ultimo termine della somma EEsempio 1.28 Si scriva in termini di sommatoria la somma S = Soluzione Siccome il generico addendo della somma S è un multiplo di 5, esso potrà essere scritto come 5k. Al primo addendo corrisponde k = 1 e all ultimo k = 20. Ne segue che S = 20 EEsempio 1.29 Si scriva in termini di sommatoria la somma 5k. S =

30 CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI 30 Soluzione Il generico addendo della somma S si può esprimere come k+1 k e, siccome il primo addendo si ottiene per k = 1 e l ultimo per k = 74, si ha: EEsempio 1.30 S = 74 Si scriva in termini di sommatoria la somma k + 1 k. Soluzione S = Il generico addendo della somma S, escludendo il segno, è dato da 1 k, con k che parte da 1 ed arriva a 25. Siccome gli addendi con k dispari hanno segno negativo e quelli con k pari hanno segno positivo, il termine generico può essere scritto come ( 1) k 1 k. Si è ottenuto, quindi, EEsempio 1.31 Si consideri la somma S = 25 ( 1) k 1 k. S = Indicando il k-esimo addendo della somma S con a k, k = 1,...,7, il legame tra i singoli addendi e i numeri interi è a k = ( 1)k 2k 1. Il primo termine della somma corrisponde a k = 1 mentre l ultimo a k = 7, in modo che S = 7 ( 1) k 2k 1.

31 CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI Somma dei primi n interi Si vuola esprimere tramite sommatoria e poi calcolare la somma S dei primi n numeri interi: S = n = n k. Si ha, utilizzando la proprietà commutativa della somma, S = n S = n + (n 1) + (n 2) Sommando membro a membro le ultime due relazioni si ottiene: da cui, EEsempio S = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) (n + 1) = }{{} n volte S = = n(n + 1), n n(n + 1) k =. 2 Si calcoli la somma dei primi 100 interi. Soluzione Si ha EEsempio 1.33 Calcolare la somma Soluzione Si ha: ( ) k = = S = 78 k S = =

32 CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI Somma dei primi n termini di una progressione geometrica Si dice progressione geometrica una successione {a 1, a 2, a 3,...a n } in cui a k+1 a k = q, k = 1,...,n. Il rapporto tra un termine e il suo precedente, q, è detto ragione della progressione geometrica. Si consideri, per semplicità, la progressione geometrica con primo termine pari a 1 : {1, q, q 2, q 3,..., q n 1 }, e si voglia calcolare la somma dei suoi n termini: Se q = 1 si ottiene n S = 1 + q + q 2 + q q n 1 = q k. mentre se q 1 si ha: S = n S = 1 + q + q 2 + q q n 1 qs = q + q 2 + q 3 + q q n e, sottraendo membro a membro le due precedenti relazioni, si ottiene: S qs = 1 q n (1 q)s = 1 q n. Poiché q 1, la precedente relazione diviene: da cui S = 1 qn 1 q, EEsempio 1.34 Si calcoli la somma n 1 { n se q = 1 q k = 1 q n 1 q se q 1.

33 CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI 33 Soluzione S = Si ha a che fare con la somma dei primi 5 termini di una progressione geometrica con primo termine unitario e ragione q = 3. Si ha: EEsempio 1.35 Si calcoli la somma S = 4 3 k = = 121. Soluzione 30 S = ( 1 2 )k. S è la somma dei primi 31 termini di una progressione geometrica con primo termine pari a 1 e ragione q = 1/2. Si ottiene, pertanto, S = 1 ( 1 2 ) = 2(1 ( 1 2 )31 ) = 2( ) = = Prorietà della sommatoria La sommatoria gode delle seguenti proprietà 1. Omogeneità: 2. Additività: n n ca k = c a k n n n (a k + b k ) = a k + b k 3. Cambio di variabili per l indice di somma(sia n > m): n n a k = k=m m 1 a k a k 4. Somma di termini costanti n n c = c 1 = cn.

34 CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI 34 EEsempio 1.36 Si calcoli la somma 150 S = 7k. Soluzione Si ha, per l omogeneità, S = 7k = 7 k. Utilizzando la formula per la somma dei primi n interi si ottiene: EEsempio 1.37 Si calcoli la somma S = 7 k = 7 = S = Soluzione Si ha, tenendo conto che S è la somma di 51 addendi tutti pari a 6, EEsempio 1.38 Calcolare la somma S = 50 6 = = 6 51 = 306 Soluzione 100 S = (3 + 2k). Usando le proprietà di additività ed omogeneità della sommatoria, si ottiene S = k.

35 CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI 35 Poiché risulta e = 3 1 = = 303 si ottiene k = = 5050, 2 S = = EEsempio 1.39 Si calcoli la somma S = 80 (4k + 3 k ). Soluzione Usando le proprietà di additività ed omogeneità della sommatoria, si ottiene La prima somma vale S = 4 80 k k. mentre per la seconda si ha k = 4 = Si ottiene, pertanto, 80 3 k = = EEsempio 1.40 Si calcoli la somma S =

36 CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI 36 Soluzione S = 80 k=20 (4k + 3 k ). La somma S può essere riscritta utilizzando il cambio di variabili per l indice di somma come S = 80 (4k + 3 k ) 19 (4k + 3 k ). La prima sommatoria è stata valutata nell esempio precedente mentre per la seconda si ottiene 19 (4k + 3 k ) = 4 19 k k = = Si ottiene, infine, = EEsempio 1.41 S = = Si calcoli la somma S = 10 (2 k 2k). Soluzione Si ha: S = Per la prima sommatoria si ottiene 10 2 k 10 2k. mentre per la seconda 10 2 k = = 211 1

37 CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI 37 cosicché 10 2k = k = 2 = 110, 2 Esercizi S = = ) Si deduca una formula chiusa per la somma dei primi n numeri pari. 1.7) Si deduca una formula chiusa per la somma dei primi n numeri dispari Produttoria Analogamente a quanto visto per il simbolo di sommatoria, il simbolo di produttoria, Π, è usato per indicare in modo compatto il prodotto tra n termini: n a 1 a 2 a 3... a n = a k. In particolare nel seguito sarà usato spesso il prodotto dei primi n interi: n k = n. Tale prodotto è chiamato fattoriale di n e si indica anche con il simbolo n!, "Osservazione n! = n. Convenzionalmente si estende il valore del fattoriale di n anche a n = 0. Per definizione si assume 0! = 1. Tra le proprietà del fattoriale di n nel seguito sarà utilizzata la seguente: n! = n(n 1)!.