Teoria degli Insiemi

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1 Angelica Malaspina Dipartimento di Matematica, Informatica ed Economia Università degli Studi della Basilicata, Italy distributive

2 distributive distributive

3 Il concetto di insieme è assunto come primitivo, ovvero come una collezione (famiglia, classe) di oggetti detti elementi dell insieme. Useremo le lettere maiuscole dell alfabeto A, B, C,... per indicare un insieme. Useremo le lettere minuscole dell alfabeto: a, b, c, x, y,... per indicare gli elementi di un insieme: Per indicare che un elemento appartiene ad un insieme useremo la seguente simbologia: x A che si legge l elemento x appartiene all insieme A o in breve x appartiene ad A. distributive

4 Tale rappresentazione si ottiene enumerando gli oggetti entro parentesi graffe. Esempio: A = {a, e, i, o, u} P = {2, 4, 6, 8, 10,...} L insieme costituito da un solo elemento si chiama singleton. L insieme privo di elementi si chiama insieme vuoto e si indica con. distributive

5 E possibile rappresentare l insieme enunciando la che tiene assieme gli oggetti. La scrittura A = {x : P x } indica che l insieme A è costituito da quegli elementi x che godono della P x. Esempio: A = {x : x è una vocale}. distributive

6 mediante grafici grafici di Eulero-Venn E possibile rappresentare mente un insieme racchiudendo gli elementi entro una linea chiusa continua e non intrecciata come dalla figura che rappresenta l insieme A composto dalle vocali. a e i o u A distributive

7 usuali Il simbolo si legge : or / tale che per ogni esiste non esiste! esiste uno e uno solo or implica or non implica equivalente; se, e solo, se appartiene / non appartiene insieme vuoto distributive

8 Implicazione ed equivalenza P, Q P Q P è sufficiente perchè si verifichi Q Q è necessaria perchè si verifichi P P Q P è verificata se, e solo se, Q è verificata P è equivalente a Q (P Q) (non è vera Q non è vera P) distributive

9 tra insiemi Due insiemi A e B si dicono uguali se ogni elemento di A è anche un elemento di B e viceversa. In simboli si scrive In caso contrario, si scrive A = B. A B per indicare che i due insiemi non hanno gli stessi elementi. distributive

10 Sottoinsiemi di un insieme Un insieme A si chiama sottoinsieme di un insieme B qualora tutti gli elementi di A appartengano all insieme B. Si scrive A B e si legge l insieme A e contenuto nell insieme B. Se A B e se esiste un elemento di B che non sia in A si dice che A è un sottoinsieme proprio di B e si scrive A B. A = B A B e B A distributive

11 di un insieme in un altro Accade spesso che tutti gli insiemi du cui si tratta siano sottoinsiemi di un determinato insieme U, detto insieme universo. La famiglia di tutti i sottoinsiemi (propri e non) di U si chiama insieme delle parti e si indica con P(U) = {A : A U} Se A U, si definisce complementare di A rispetto ad U l insieme degli elementi di U che non appartegono ad A. In simboli A c = {x U : x / A } distributive

12 Unione tra insiemi L è l operazione che associa a due insiemi A e B l insieme A B (che si legge A unito B) i cui elementi appartengono ad almeno uno di questi insiemi (cioé o solo ad A, o solo a B o ad entrambi). In simboli, si scrive A B = {x : x A o x B}. Proprietà commutativa: A B = B A; Proprietà associativa: (A B) C = A (B C); Proprietà di idempotenza: A A = A; Proprietà dell insieme vuoto: A = A = A. distributive

13 Intersezione tra insiemi L è l operazione che associa a due insiemi A e B l insieme A B (che si legge A intersecato B) i cui elementi appartengono sia ad A che a B. In simboli, si scrive A B = {x : x A e x B}. Proprietà commutativa: A B = B A; Proprietà associativa: (A B) C = A (B C); Proprietà di idempotenza: A A = A; Proprietà dell insieme vuoto: A = A =. Due insiemi A e B si dicono disgiunti quando A B =. distributive

14 Proprietà distributive dell rispetto all : A (B C) = (A B) (A C); dell rispetto all : A (B C) = (A B) (A C); Proprietà di assorbimento: A (A B) = A; A (A B) = A. distributive

15 Differenza fra due insiemi La fra due insiemi A e B è l insieme, indicato con A \ B, costituito da tutti gli elementi di A che non appartengono a B, ovvero A \ B = {x A : x / B}. La di due insiemi non gode della commutativa: A \ B B \ A. distributive

16 Coppia ordinata Siano A e B due insiemi non vuoti. Si chiama coppia ordinata l insieme indicato con (a, b) avente come prima componente l elemento a A e come seconda componente l elemento b B. Dalla definizione segue che (a, b) (b, a). In particolare, (a, b) = (a, b ) a = a e b = b. distributive

17 fra due insiemi Definiamo tra gli insiemi A e B l insieme di tutte le le coppie ordinate che hanno come prima componente un elemento di A e come seconda componente un elemento di B. In simboli: A B = {(a, b) : a A, b B}. Se A = B si indica solitamente A A = A 2 distributive

18 Proprietà del Il di due insiemi distinti non gode della commutativa, cioé A B B A; A = A = ; distributiva rispetto all : A (B C) = (A B) (A C); distributiva rispetto all : A (B C) = (A B) (A C). distributive