x appartiene ad N, tale che x è maggiore uguale a 9, e ( x minore uguale a 12.

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1 Cos è un insieme? Gruppo d oggetti, detti elementi, aventi la/e stessa/e caratteristica/che. 1) Come lo definisco? Utilizziamo sempre una lettera Maiuscola per nominarlo. Un insieme può essere definito in tre modi: a) Per elencazione: elenco tutti gli elementi; l ordine non importanza. = { } ; = { } b) Per caratteristica: definisco la /e caratteristica / e di un elemento! = { } = { } oppure = { } c) Con il diagramma di Eulero Venn o semplicemente Venn. a. e. i. o. u i ; b 3 ; 8 Osservazione. Dato l insieme D = { } Per definire l insieme D possiamo utilizzare i seguenti modi. i) Sulla retta numerica. ii) Utilizzando i simboli di D = { } che si legge: x appartiene ad N, tale che x è maggiore uguale a 9, e ( x minore uguale a Scritto in modo raggruppato : D = { }. oppure D = { } che si legge: x appartiene ad N, tale che x è maggiore di 8, e ( x minore a 13, dove i valori estremi non sono compresi. Scritto in modo raggruppato : D = { } iii) Con gli intervalli. Considero solo gli estremi, facendo attenzione se son compresi oppure no. Nel nostro caso: [ ] ; gli estremi sono compresi, si legge: x appartiene all intervallo da 9 compreso a 12 compreso. Oppure ] [ ; dove gli estremi non sono compresi, si legge: x appartiene all intervallo da 8 non compreso a 13 non compreso. 1

2 2) Insiemi particolari. a) L insieme vuoto. Un insieme senza elementi è detto vuoto e viene rappresentato nel seguente modo. = { } oppure = Esempi d insiemi senza elementi, cioè vuoti. = { } = { } C = { } C = { } D = b) I multipli di un numero. I multipli di un numero vengono contrassegnati con M n nel seguente modo. M n = { } M 2 = { } = { } M 7 = { } = { } Osservazione: Pur essendo lo zero multiplo di tutti i numeri, quando definiamo un insieme per elencazione lo si tralascia, poiché altrimenti il multiplo più piccolo tra due o più numeri sarebbe sempre zero! c) I divisori di un numero. I divisori di un numero vengono contrassegnati con D n nel seguente modo. D n = { } D 2 = { } = { } D 7 = { } = { } D 12 = { } = { } Per determinare i divisori di un numero devo conoscere i criteri di divisibilità. ( Vedi scheda ). d) I numeri primi. I numeri che posseggono solo due divisori sono detti primi. P = { } { } Per determinare i numeri primi il matematico greco Eratostene utilizzò un metodo particolare che è spiegato con l esercizio81 a pagina 76 del testo di matematica. 2

3 3) Operazioni con gli insiemi. Dati gli insiemi: { } = { } { }={ } Determina: a) L intersezione :. { ( } ; si legge intersezione. Un altro modo per definirlo per caratteristica : { ( ( } Per elencazione: { } e notiamo che possiamo definirlo anche come { } Con il diagramma di Venn: b) L insieme unione:. { ( } ; si legge unione ltro modo per definirlo per caratteristica : { ( ( } Per elencazione: { } Con il diagramma di Venn: 3

4 c) La differenza : { ( } ; si legge differenza - Per elencazione: { } Con i diagramma di Venn: Determina ora ; cosa noti? { ( } ; si legge differenza. Per elencazione: { } Con i diagramma di Venn: Cosa puoi dire di e? 4) Esercizi: a) Dati gli insiemi = { } ; = { } Determina: i) Gli insiemi e per elencazione. ii) I seguenti insiemi per elencazione ; ; ; ; iii) Rappresenta con un unico diagramma di Venn i due insiemi. 4

5 5) Le operazioni con tre o più insiemi. ( Testo pag. 54 esercizi 10 14) Dati : = { } ={ } = { } = { } C = { } ={ } Per rappresentarli determino prima l intersezione tra tutti e tre gli insiemi, inseguito presi due a due. { } ; { } ; { } ; { } Rappresento la situazione con un unico diagramma di Venn C 6) Mettiti alla prova: Rappresenta con un unico diagramma di Venn i seguenti insiemi: = { } ={ } = { } ={ } C = { } ={ } 7) Rappresenta i seguenti insiemi con un unico diagramma di Venn: S={ } ={ } L = { } { } P= { } = { } 5

6 8) Sottoinsieme di un insieme Inclusione: a) Definisci per elencazione i seguenti insiemi, cosa noti? Rappresentali con un unico diagramma di Venn. = { } = { } = { } { } t. e. a. m. i. c. Siccome tutti gli elementi dell insieme appartengo anche all insieme, si dice che l insieme è sottoinsieme dell insieme ; matematicamente scriveremo anche interpretare come l insieme include l insieme ; e scriveremo. Prova ora a svolgere le seguenti operazioni con gli insiemi: { } ; { } ; { } ; ; { }. Posso Osservazione : L insieme è anche detto insieme complemento di dispetto a, nel nostro caso scriveremo : { } b) Dati gli insiemi C = { } = { } E = { } = { } Determina: i) Gli insiemi e per elencazione. ii) I seguenti insiemi per elencazione ; ; ; ; iii) Rappresenta con un unico diagramma di Venn i due insiemi. 6