GLI INSIEMI. Dispensa a cura del prof. Vincenzo Lo Presti

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1 GLI INSIEMI Dispensa a cura del prof. Vincenzo Lo Presti

2 CONCETTO DI INSIEME In matematica si chiama insieme un raggruppamento di cose, persone o entità che rispettano un determinato criterio, mediante il quale si può stabilire con assoluta certezza quali sono gli elementi che compongono l insieme. RGGRUPPMENTI CHE COSTITUISCONO INSIEMI Le città italiane con più di abitanti Gli alunni della classe che pesano sino a 60 kg I rettangoli che hanno la base di 10 cm RGGRUPPMENTI CHE NON COSTITUISCONO INSIEMI Le città italiane grandi Gli alunni simpatici della classe I rettangoli piccoli

3 SIMOLOGI DEGLI INSIEMI Gli insiemi si indicano con le lettere maiuscole dell alfabeto italiano:,, C, D, E, Gli elementi di un insieme si indicano con le lettere minuscole dell alfabeto italiano: a,b,c,d,e, In matematica alcune lettere maiuscole sono riservate a particolari insiemi numerici: N Insieme dei numeri naturali P Insieme dei numeri naturali pari D Insieme dei numeri naturali dispari Z Insieme dei numeri interi relativi Q Insieme dei numeri razionali

4 SIMOLOGI DEGLI INSIEMI Nello studio degli insiemi si utilizzano particolari simboli Simbolo di appartenenza c L elemento c appartiene all insieme 4 N Il 4 appartiene all insieme dei numeri naturali Simbolo di non appartenenza -3 N Il -3 non appartiene all insieme dei numeri Naturali

5 TIPI DI INSIEMI Gli insiemi possono essere: Finiti se hanno un numero ben preciso di elementi Infiniti se hanno infiniti elementi Esempi: L insieme dei divisori di 12 è un insieme finito in quanto ha un numero ben preciso di elementi (sei ed esattamente 1,2,3,4,6,12) L insieme dei multipli di 6 è un insieme infinito in quanto ha infiniti elementi (6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66,72 )

6 INSIEME VUOTO Un insieme si dice vuoto se non ha elementi L insieme vuoto si indica con o con {} Esempi: L insieme dei multipli di 4 che sono dispari L insieme dei quadrati con tre lati L insieme dei divisori di 13 che sono pari

7 RPPRESENTZIONE Per rappresentare un qualsiasi insieme possiamo utilizzare tre diversi metodi. Si voglia ad esempio rappresentare l insieme delle vocali dell alfabeto italiano che chiameremmo ttraverso la rappresentazione tabulare o per elencazione: Con il diagramma di Eulero Venn: = a;e;i;o;u Enunciando la proprietà caratteristica : = x x è una vocale dell alfabeto italiano} e a o i u

8 SOTTOINSIEME = a; b; c, d; e; f = b; d e c b d a f Si dice che l insieme è sottoinsieme dell insieme se tutti gli elementi di appartengono anche ad

9 SOTTOINSIEMI, INCLUSIONE, b C c d a è un SOTTOINSIEME IMPROPRIO di Ogni insieme è un SOTTOINSIEME (IMPROPRIO) di sé stesso,,.. C è un SOTTOINSIEME DI C L insieme vuoto è un SOTTOINSIEME (IMPROPRIO) di ogni insieme C,,..

10 PPRTENENZ e INCLUSIONE PPRTENENZ INCLUSIONE b d L elemento b appartiene all insieme b L insieme b è strettamente incluso nell insieme b L insieme d;b è uguale ad d;b oppure d;b =

11 INTERSEZIONE E l insieme degli elementi che appartengono sia ad sia a = x x e x

12 INSIEMI DISGIUNTI Due insiemi si dicono disgiunti se la loro intersezione è vuota Se = allora e si dicono DISGIUNTI

13 CSI PRTICOLRI DELL INTERSEZIONE = Se allora = =

14 UNIONE E l insieme degli elementi che appartengono ad o a, cioè ad almeno uno dei due insiemi dati. = x x o x

15 UNIONE DI INSIEMI DISGIUNTI L UNIONE degli insiemi e è l insieme degli elementi che appartengono ad o a, cioè ad almeno uno dei due insiemi dati.

16 CSI PRTICOLRI DELL UNIONE = Se allora = =

17 = a; b; c; d; e; f = d; e; f; g; h; i; l g a d b e h c f l i = d; e; f = a; b; c; d; e; f; g; h; i; l

18 DIFFERENZ. - E l insieme formato da tutti gli elementi di che non appartengono a - = x x e x - Si tolgono ad tutti gli elementi che appartengono a E costituito dagli elementi di che NON appartengono a

19 DIFFERENZ. -, -. = a; b; c; d; e; f = d; e; f; g; h; i; l g a d b e h c f l i - = a; b; c - = g; h; i; l

20 DIFFERENZ. -, -. a b c g d e h f l i a b c - = a; b; c g d e h f l i a b c - = g; h; i; l g d e h f l i

21 CSI PRTICOLRI DELL DIFFERENZ TR INSIEMI - = - = Se = allora - = e - = Se allora - =

22 INSIEME COMPLEMENTRE Dati due insiemi e con si chiama complementare di rispetto ad la differenza - = - = x x e x

23 INSIEME COMPLEMENTRE E l insieme degli elementi di a Che non appartengono ad b c f d e = a; b; g g

24 PRODOTTO CRTESINO Si definisce prodotto cartesiano di due insiemi e, e si indica x, l insieme formato da tutte le coppie ordinate (x;y) dove il primo elemento appartiene ad e il secondo a x = (x;y) x e y Si legge cartesiano Dati gli insiemi: = a; b; c; e = 1;2 x = (a ;1), (a ;2), (b ;1), (b ;2), (c ;1), (c ;2) a b c 1 2

25 RPPRESENTZIONE GRFIC DEL PRODOTTO CRTESINO L insieme x = (a; 1); (a; 2); (b; 1); (b; 2); (c; 1); (c; 2) può essere rappresentato graficamente nei seguenti modi: a b c 1 2 Rappresentazione SGITTLE Rappresentazione mediante tabella a DOPPI ENTRT Rappresentazione CRTESIN 2 1 (a;1) (b;1) (c;1) 1 2 (a;2) (b;2) (c;2) a b c / a b c

26 OSSERVZIONI SUL PRODOTTO CRTESINO La coppia (x;y) è diversa dalla coppia (y;x) Gli elementi dell insieme cartesiano sono coppie x = 2 x x Se e hanno rispettivamente n e m elementi, l insieme x possiede nxm elementi.

27 b INSIEME DELLE PRTI P() = a; b; c; a c Dato un insieme, l insieme di tutti i suoi SOTTOINSIEMI propri e impropri, si definisce insieme delle parti di e si indica con P() I possibili SOTTOINSIEMI di L insieme delle sono: parti di è: a b c a; b a; c b; c a; b; c P() = ; a ; b ; c ; a; b ; a; c ; b; c ; a; b; c Gli elementi di P() sono INSIEMI Se contiene n elementi, P() ne contiene 2 n

28 INSIEME DELLE PRTI P() Gli elementi di P() sono INSIEMI ed esattamente tutti i sottoinsiemi propri e i due sottoinsiemi impropri (l insieme stesso e l insieme vuoto) REGOL PER DETERMINRE IL N. DI ELEMENTI DELL INSIEME DELLE PRTI Se contiene n elementi, P() ne contiene 2 n Esempi: -Se n=3 (esempio precedente) 2 3 =8 -Se n=5 (esempio precedente) 2 5 =32 -Se n=1 (esempio precedente) 2 1 =2

29 PRTIZIONE DI UN INSIEME Si consideri un numero n di sottoinsiemi di. Si chiama PRTIZIONE di un insieme un gruppo di sottoinsiemi di se risultano verificate le seguenti condizioni: 1 2 Ogni sottoinsieme è proprio I sottoinsiemi sono a due a due disgiunti 3 L unione di tutti i sottoinsiemi dà l insieme

30 Trova: C ESERCIZIO N. 1.. C m n g a d b e h c f Clicca sulla risposta corretta l i C = g; h; i; l C = d; e; f C = d C = e; f Esercizio Successivo