Propedeutico di matematica Centro Multimediale Montiferru. Lezione 1. Gli insiemi

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1 Lezione 1 Gli insiemi Definizione: Un insieme è una collezione di oggetti aventi certe caratteristiche in comune. Gli oggetti si definiscono elementi dell insieme. Esempi: Insieme delle lettere dell alfabeto, insieme delle persone aventi lo stesso gruppo sanguigno, insieme di tutti gli studenti del CMM In matematica possiamo definire: l insieme dei numeri naturali N l insieme dei numeri reali R l insieme dei numeri primi, ovvero di tutti i numeri divisibili solo per se stessi e per l unità (1,3,5,7,11,13,17,19,23,.) Per rappresentare un insieme si usano le lettere maiuscole e gli elementi che appartengono all insieme vengono indicati con le lettere minuscole. consideriamo i numeri 1,5,9,23,54. Questi numeri sono numeri naturali che definiscono un insieme S rappresentabile nel modo seguente: S={1,5,9,23,54} Un insieme è completamente definito quando si assegnano tutti i suoi elementi distinti tra loro. Per indicare che un elemento x appartiene ad un insieme S si usa il simbolo ε. Per esempio se vogliamo esprimere in notazione insiemistica la frase 5 appartiene all insieme S scriviamo: 5 ε S. Per indicare invece che un elemento non appartiene ad un insieme S usiamo il simbolo. esempio: l elemento 10 non appartiene all insieme S precedente per cui si può scrivere: 10 S. Un insieme che non contiene elementi si dice insieme vuoto e si indica nel modo seguente:. Per indicare l insieme di tutti i numeri naturali usiamo la lettera N. 1

2 N={1,2,3,4,5,6,7,8,9.} I puntini indicano l impossibilità di scrivere tutti gli elementi dell insieme poiché essi sono infiniti. Altro esempio: Sia A={a,b,c,d,e,f,,u,v,z} l insieme delle lettere dell alfabeto e sia B={a,e,i,o,u} l insieme delle vocali allora possiamo affermare che: a ε B; a ε A; b ε A; v ε A b B; v B Sia Z={ -3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.} l insieme dei numeri relativi. Allora possiamo dire che: 1 ε Z; 1 ε N; 9 ε N; -3 ε Z -3 N; 2/3 Z; 2/3 N; 2/3 Q con Q insieme dei numeri razionali. Quantificatori Oltre al simbolo di appartenenza ε esistono altri due simboli molto usati in campo insiemistico. Questi sono chiamati quantificatori e sono: simbolo (quantificatore esistenziale) che esprime la frase esiste almeno. Per esempio: se scriviamo x stiamo esprimendo sinteticamente la frase esiste almeno un x. Simbolo (quantificatore universale). La scrittura x significa per ogni x Per esprimere concisamente la frase esiste un solo x scriviamo invece x Per descrivere un insieme si possono elencare tutti i suoi elementi oppure descriverlo con una proprietà caratteristica. 2

3 Consideriamo l insieme dei numeri naturali minori di 10. Possiamo rappresentare questo insieme nei seguenti due modi: 1. A={1,2,3,4,5,6,7,8,9} 2. Con la notazione insiemistica: A={x ε N: x<10} X è l insieme delle x appartenenti ai naturali tale che x<10, dove i due punti significano tale che. Sottoinsiemi Definizione: dato un insieme A, si dice che B è un sottoinsieme di A e si scrive (si legge B incluso in A oppure B contenuto in A ), se ogni elemento di B è anche un elemento di A A={1,2,3,4} B={1,2,3} allora è vero anche che. Per convenzione inoltre l insieme vuoto è un sottoinsieme dell insieme A e quindi di qualunque insieme. Nel caso esista almeno un elemento di A che non appartiene a B allora si dice che B è contenuto propriamente (strettamente) in A o meglio che B è un sottoinsieme proprio di A e si scrive B A. X = insieme Np dei numeri pari N = insieme dei numeri naturali Allora Np N Analogamente l insieme Nd dei numeri dispari è contenuto propriamente nell insieme dei numeri naturali e scriviamo: Nd N 3

4 Per indicare che un insieme X non è contenuto in un insieme Y si scrive: X Y e si legge X non è contenuto in Y X={-1,2,3,4,10,20} Y={0,1,2,3,4,5 }= N (naturali) Poiché l insieme X ha come suo elemento -1, che non è un numero naturale, allora l insieme X non è contenuto in Y X Y Unione, intersezione, differenza tra insiemi Definizione: dati due insiemi A e B si definiscono i seguenti insiemi: Insieme unione: si indica con A U B. Esprime l insieme degli elementi x che appartengono ad A oppure appartengono a B. A={1,2,3} B={1,2,3,4} Abbiamo che l unione dei due insieme è A U B ={1,2,3,4} Insieme intersezione: si indica con A B L insieme intersezione esprime l insieme degli elementi x che appartengono sia ad A sia a B A={1,2,3} B={1,2} A B={1,2} Insieme differenza o complementare: si indica con A\B e significa A-B. Esprime l insieme degli elementi x che appartengono ad A ma non a B. A={1,2,3,4} 4

5 B={1,2} A B={3,4} Propedeutico di matematica Insieme differenza simmetrica: si indica con A B. Esprime l insieme degli elementi x che appartengono ad A ma non a B oppure che appartengono a B ma non ad A. A={1,2,3,4,5} B={0,1,2,5,7} A B={0,3,4,7} Insieme vuoto: nel caso all operazione di intersezione o di differenza non corrisponde alcun elemento si parla di insieme vuoto. L insieme vuoto viene indicato con il simbolo Esempio di insieme vuoto A={1,2,3} B={4,5,6} A B= Insieme delle parti Definizione: dato un insieme E, l insieme di tutti i sottoinsiemi di E si chiama insieme delle parti di E o insieme potenza e si indica con P(E). Prodotto cartesiano di insiemi Siano S e T due insiemi e siano, x un elemento dell insieme S e y un elemento dell insieme T vale a dire: x ε S e y ε T. Allora indichiamo con (x,y) la coppia ordinata di prima coordinata x e seconda coordinata y. Considerando un punto P di coordinate x=1 e Y=3 questo è differente dal punto Q di coordinate x=3 e Y=1 anche se gli elementi sono gli stessi (1 e 3). E quindi importante l ordine con cui gli elementi si succedono. 5

6 Definizione: l insieme di tutte le coppie ordinate (x,y) con x ε S e y ε T si chiama prodotto cartesiano di S e T e si indica con SxT. In notazione simbolica abbiamo SxT={(x,y): xεs e yεt} Siano S={1,2} e T={a,b} allora il prodotto cartesiano SxT è l insieme: SxT={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)} N.B SxT è diverso da TxS TxS={(a,1),(a,2),(b,1),(b,2)} Esercizi 1. Consideriamo gli insiemi X={1,2,3} Y={2,8,16} Z={8,9,10} determinare XuY, XuZ e YuZ XuY={1,2,3,8,16} XuZ={1,2,3,8,9,10} YuZ={2,8,9,10,16} 2. Consideriamo i seguenti insiemi A={1,2,3,4,5,6,7,8,9} B={2,4,6,8} C={1,3,5,7,9} Determinare i seguenti insiemi AuB; AuC; BuC; A B; A C; B C; A-B; A-C; C-B AuB=A; AuC=A; BuC=A A B=B; A C=C; B C= A-B=C; A-C=B; C-B=C 6

7 3. Consideriamo gli insiemi X={1,2,3} Y={2,8,16} Determinare (X-Y) Y soluzione: (X-Y)={1,3} (X-Y) Y={1,3} {2,8,16}= 4. Determinare i seguenti sottoinsiemi di N { nεn: } { nεn: } Soluzione: { nεn: }={0,1} Infatti: ; n(n-1)=0; n=0 e n=1; { nεn: }={0,2} infatti: ; n(n-2)=0; n=0 e n=2; 5. Sia S={a,b}; determinare l insieme SxS, prodotto cartesiano di s per S. SxS={(a,a),(a,b),(b,b),(b,a)} 6. Siano S={1,2,3} e T={3,4,5} Determinare il prodotto cartesiano (S-T)xS Determiniamo prima l insieme (S-T) S-T={1,2} (S-T)xS={1,2}x{1,2,3}={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)} 7