Materiale didattico relativo al corso di Matematica corso base Prof. G. Rotundo a.a.2013/14

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1 Materiale didattico relativo al corso di Matematica corso base Prof. G. Rotundo a.a.2013/14 ATTENZIONE: questo materiale contiene i lucidi utilizzati per le lezioni. NON sostituisce il libro, che deve essere comunque consultato per la preparazione degli argomenti corrispondenti. 1

2 Assi cartesiani ortogonali (p.31) Su ogni asse si fissa l origine 0 ed un sistema di misura. Un punto nel piano è individuato in maniera univoca da una coppia di coordinate: rispettivamente ascissa () ed ordinata (y) 4 y (3,4) 0 3 2

3 Intervalli (pp.54-56) ( a, b) { : a b} intervallo aperto ( ) b [ a, b] { : a b} intervallo chiuso a b [ a, b) { : a b} intervallo aperto a destra [ ) a b ( a, b] { : a b} intervallo aperto a sinistra a [ ] a ( ] b 3

4 e intorni (pp.56-57) Intorno completo simmetrico di 0 di semiampiezza (, ) { : } (, ) ( ) 0 4

5 e intorni (pp.56-57) Intorno completo simmetrico di 0 di semiampiezza (, ) { : } (, ) ( ) 0 5

6 e intorni (pp.56-57) Intorno completo simmetrico di 0 di semiampiezza (, ) { : } (, ) ( ) È la condizione che definisce l intervallo 0 6

7 e intorni (pp.56-57) Intorno completo simmetrico di 0 di semiampiezza (, ) { : } (, ) ( ) 0 7

8 e intorni (pp.56-57) Intorno completo simmetrico di 0 di semiampiezza (, ) { : } (, ) ( Che si può anche scrivere > - 0 ) 8

9 ( 0 ) 0 ( ) ( ) 0 9

10 ELEMENTI DI TEORIA DEGLI INSIEMI Descrizione di insieme Un insieme è una collezione di oggetti ben distinti fra di loro e riuniti in un tutt uno 10

11 RAPPRESENTAZIONE DEGLI INSIEMI Esempi Elenco {mele, pere, pomodori} Diagrammi di Venn Proprietà { è nell elenco} Gli insiemi si indicano con lettere latine maiuscole Gli oggetti in esso contenuti si dicono elementi dell insieme 11

12 Gli insiemi si indicano con lettere latine maiuscole Elenco Diagrammi di Venn Proprietà Esempi A= {mele, pere, pomodori} A A={ è nell elenco} L insieme vuoto non contiene elementi e si indica con Ø 12

13 Un insieme B è sottoinsieme di un insieme A se tutti gli elementi di B sono contenuti in A Esempi B {mele, pere} A {mele, pere, pomodori} { è nell elenco ed è giallo} { è nell elenco} Si scrive B A 13

14 Unione e intersezione Unione: l insieme degli elementi che appartengono ad almeno uno degli insiemi considerati Intersezione: l insieme degli elementi che appartengono a tutti gli insiemi considerati 14

15 Esempio di intersezione Se gli insiemi sono intervalli di numeri reali (a,b) e (c,d): - con c<b: - con b<c: a (a,b) (c,d)=(c,b) c b d a b c d (a,b) (c,d)= (insieme vuoto) 15

16 Esempio di unione Se gli insiemi sono intervalli di numeri reali (a,b) e (c,d): - con c<b: - con b<c: a (a,b)(c,d)=(a,d) c b d a b (a,b) (c,d) (rimane indicato in questo modo) 16 c d

17 Esempio 17

18 Richiami sull equazione di II grado Zeri di un polinomio di grado 2 Si ricorda che gli zeri di un qualsiasi polinomio di grado 2, cioè i valori per i quali il polinomio si annulla, sono le radici dell equazione : a 2 b c 0 18

19 Radici di un polinomio di grado 2 Le radici si calcolano mediante la formula (p.123) : 1,2 b b 2 2a 4ac 19

20 Esempio Per la funzione assegnata si ha : a=1, b=1, c=-1, quindi 1,2 b b 2 2a 4ac 1, *1*1 2*

21 Segno di un polinomio

22 RELAZIONI Dato un insieme A non vuoto qualsiasi una relazione in A è una legge che a ciascun elemento o sottoinsieme di A fa corrispondere uno o più elementi di A 22

23 RELAZIONI: esempio Esempio: sia A l insieme degli studenti presenti relazione essere nati nello stesso anno Lo studente è in relazione con lo studente y se sono nati nello stesso anno. Osservazione: ogni studente è in relazione con sé stesso ed eventualmente con altri 23

24 APPLICAZIONI Dati due insiemi A e B non vuoti, si chiama applicazione dell insieme A nell insieme B una legge che a ciascun elemento di A fa corrispondere un ben determinato elemento di B e si scrive f : A B 24

25 OSSERVAZIONE Elementi necessari per costruire una funzione: Dati due insiemi A e B non vuoti, si chiama applicazione dell insieme A nell insieme B una legge che a ciascun elemento di A fa corrispondere un ben determinato elemento di B Quindi la legge da sola non basta 25

26 APPLICAZIONI Inoltre se all elemento A L applicazione f associa y B Si dice che y è l immagine di per f e si scrive y f ( ) y 26

27 DIFFERENZE TRA RELAZIONI E APPLICAZIONI Dato A Una relazione associa uno o più elementi dello stesso insieme Una applicazione associa UN SOLO elemento, eventualmente di un altro insieme. 27

28 Esempi di applicazioni A B y z A B y A z B t y 28

29 NO A B y t 29

30 f( A) codominio di f è l immagine di tutti gli elementi di A è un insieme A f B f(a) f ( A) B è contenuto in B 30

31 f( A) codominio di f A f B f(a) f ( A) { y B : A: f ( ) y} { y B tale che esiste A con y f ( )} 31

32 Casi particolari: applicazioni iniettive A z f B y t f(a) Posso definire l applicazione inversa f -1 Se y è diverso da t allora è diverso da z f -1 A z B y t f(a) 32

33 Se l applicazione non è iniettiva z A B y Non posso invertire z NO A B y 33

34 Immagini inverse A f -1 (C ) f B C f(a) Dato un insieme C f ( A) C f ( A) L immagine inversa di C tramite f f 1 ( C) { A: f ( ) C} Osservazione: f 1 ( f ( A)) { A: f ( ) f ( A)} A 34

35 Caso particolare: applicazioni suriettive o surgettive A f B= f(a) se B f ( A) Se l applicazione è iniettiva e suriettiva allora si dice biunivoca o

36 Se A e B sono sottoinsiemi di A R, B R numeri reali f : A B f è una funzione 36

37 Se A e B sono sottoinsiemi di numeri reali f : A B f è una funzione 37

38 Notazioni L elemento y che corrisponde all elemento tramite legge f (la funzione) si indica con E la funzione si indica anche con y Note: 1. si legge: y uguale ad effe di y è immagine di tramite f è antiimmagine o controimmagine di y tramite f 2. f rappresenta la funzione e tutto ciò che è in parentesi si chiama argomento della funzione: in questo caso quindi è l argomento della funzione. Esempio: f() = La funzione assegnata è un polinomio di grado 2. y f () 38

39 Insieme di definizione In generale la funzione assegnata non può essere calcolata sempre. L insieme dei numeri reali per i quali la funzione può essere calcolata prende il nome di insieme di definizione della funzione. Chiamare campo di esistenza (CE) l insieme di definizione è un abuso di linguaggio. 39

40 Esempi di insiemi di definizione funzione f ( ) Condizione di definizione Insieme di definizione, 40

41 Esempi di insiemi di definizione funzione f ( ) 1 Condizione di definizione 0 Insieme di definizione,0 0, 41

42 Esempi di insiemi di definizione funzione f ( ) Condizione di definizione Insieme di definizione, 1 1, 42

43 Esempi di insiemi di definizione funzione f( ) Condizione di definizione Insieme di definizione (, ) 43

44 Esempi di insiemi di definizione funzione f ( ) Condizione di definizione Insieme di definizione Il numero sotto radice deve essere 0 0, 44

45 Esempi di insiemi di definizione funzione f ( ) 1 Condizione di definizione 0 Insieme di definizione 0, 45

46 Esempi di insiemi di definizione funzione f ( ) e Condizione di definizione Insieme di definizione, 46

47 Esempi di insiemi di definizione funzione f() = log (1+) Condizione di definizione Insieme di definizione ( 1, ) 47

48 48 Esempi di insiemi di definizione funzione Condizione di definizione Insieme di definizione 2 1 ) ( f : 0 1 1,2 2 radici, ,

49 promemoria: Segno di un polinomio Si ricorda che un qualsiasi polinomio di grado 2 assume sempre il segno del coefficiente del termine di grado più elevato (cioè il segno di a) tranne che nell intervallo tra le radici. Quindi il polinomio assegnato è sempre positivo tranne che per i valori di tra 1 5 e

50 Esempi di insiemi di definizione funzione f ( ) 1 2 Condizione di definizione Insieme di definizione (, ) 50

51 2 1 0 Per la funzione assegnata si ha : a=1, b=1, c=1, quindi 1, *1*1 2* Poiché il numero sotto radice è negativo il polinomio non ha radici reali e quindi non si annulla mai. Inoltre poiché un qualsiasi polinomio di grado 2 assume sempre il segno del coefficiente del termine di grado più elevato (cioè il segno di a) tranne che nell intervallo tra le radici si ha che il polinomio risulta sempre positivo. 51

52 Esempi di insiemi di definizione funzione Condizione di definizione 2 f() = log(1++ ) >0, Insieme di definizione (, ) 52

53 Grafico di una funzione f : A B G( f ) {(, y): A, yb e y f ( )} Il grafico si può rappresentare su un piano cartesiano 53

54 Costruzione per punti del grafico di una funzione Esempio Costruzione per punti del grafico della funzione: f() = + 1

55 f() f() = + 1 f() = + 1 f() =

56 f() f() = + 1 f() = + 1 f() = f(0) = = 1 f(0)=1 0

57 f() f() = + 1 f() = + 1 f() = f(0) = = f(0)=1 0 1

58 f() f() = + 1 f() = + 1 f() = f(0) = = 1 1 f(1) = = 2 f(1)=

59 f() f() = + 1 f() = + 1 f() = f(0) = = 1 1 f(1) = = 2 2 f(1)=

60 f() f() = + 1 f() = + 1 f() = f(0) = = 1 1 f(1) = = 2 f(2)=3 2 f(2) = = 3 f(1)=

61 f() f() = + 1 f() = + 1 f() = f(0) = = 1 1 f(1) = = 2 f(2)=3 2 f(2) = = 3 3 f(1)=

62 f() f() = + 1 f() = + 1 f() = f(0) = = 1 f(3)=4 1 f(1) = = 2 2 f(2) = = 3 f(2)=3 3 f(3) = = 4 f(1)=

63 f() f() = + 1 f() = + 1 f() = f(0) = = 1 f(3)=4 1 f(1) = = 2 2 f(2) = = 3 f(2)=3 3 f(3) = = 4 4 f(1)=

64 f() f() = + 1 f(4) = 5 f(3)=4 f() = + 1 f() = + 1 f(2)=3 0 f(0) = = 1 1 f(1) = = 2 f(1)=2 2 f(2) = = f(3) = = 4 4 f(4) = =

65 Costruzione del grafico per punti Si disegna un punto di coordinate (,y) se y=f() Esempio f ( ) 2 1 f() ½ 2 ¾ 5/2 7/8 11/4 3/2 4 5/4 7/2 9/8 13/4 f( ) 0 ½ ¾ 3/2 65

66 Operazioni geometriche sui grafici pp e funzioni elementari 66

67 Punto di accumulazione Il concetto di punto di accumulazione riguarda una proprietà di un punto rispetto ad un insieme. 67

68 Punto di accumulazione Definizione: Dato un insieme A ed un punto di R, un punto 0 è detto di accumulazione per l insieme A se comunque si fissi un intorno di 0 in tale intorno cade almeno un punto di A distinto da. 0 68

69 Punto di accumulazione [ comunque si fissi un intorno di 0 in tale intorno cade almeno un punto di A distinto da 0 ] Esempio 1: A = N Intorno grande Intorno piccolo Quindi le richieste della definizione NON sono verificate e quindi non ci sono punti di accumulazione. 69

70 Punto di accumulazione Esempio 1: A {0} [1, ) L insieme contiene 0 e tutti i numeri reali da 1 in poi, 1 incluso. Considero 0 4 Intorno grande Le richieste della definizione sono verificate quindi 4 è punto di accumulazione. Intorno piccolo 70

71 Punto di accumulazione Esempio 1: Considero A {0} [1, ) 0 0 Intorno grande Intorno piccolo Quindi le richieste della definizione NON sono verificate e quindi non è punto di accumulazione

72 Punto di accumulazione Il concetto di punto di accumulazione è importante perché se il punto è di accumulazione mi posso avvicinare rimanendo sempre su un punto dell insieme che sto considerando. 72

73 Calcolare una funzione in un punto f : A B, A R, B R Esempio y f ( ) f ( ) 2 1 f (1) 2*11 3 f (2) 2*

74 Introduzione al concetto di limite Invece di calcolare la funzione in un punto 0 voglio vedere cosa succede ai valori assunti dalla funzione man mano che si avvicina a 0 Quindi non interessa conoscere l eventuale valore di f in ma interessa sapere cosa fa f vicino a

75 Introduzione al concetto di limite La frase si avvicina a 0 viene riscritta per brevità nel seguente modo: 0 Il simbolo si legge tende si avvicina oppure 75

76 Introduzione al concetto di limite Esempio: studiare il comportamento della funzione f ( ) 1 in 0 =1 Osservazione: vogliamo vedere cosa succede quando si avvicina ad 0 Non ci interessa sapere cosa fa la funzione proprio in 0, quindi aggiungo 0 76

77 Introduzione al concetto di limite Esempio: studiare il comportamento della funzione f ( ) 1 in 0 =1, 0 Osservazione: Il valore della funzione f in 0 può essere calcolato senza alcun problema: f(1)=2, ma non siamo interessati al calcolo del valore della funzione nel punto 0 siamo interessati ai valori assunti dalla funzione per valori della vicini ad 0 77

78 Grafico di f ( ) 1 Vogliamo capire come cambiano i valori della funzione man mano che si avvicina ad 0, cioè ad 1 Prendo quindi valori di un po più piccoli di 1 e vado a salire fino a 1. In corrispondenza traccio i valori di f( ) 78

79 f ( ) 1 f() ½ 3/2 ¾ 7/4 7/8 15/8 3/2 5/2 f( ) 2 Osservo che se mi avvicino a =1 con valori più piccoli (grandi) di 1, allora i valori di f() rimangono più piccoli (grandi) di 2, ma vanno avvicinandosi a 2 0 ½ ¾ 1 3/2 79

80 Mi accorgo che man mano che mi avvicino a 1 i valori della funzione si avvicinano a 2, sia che mi avvicini prendendo valori più piccoli sia che prendendo valori più grandi. Siccome abbiamo concordato di scrivere le parole si avvicina mediante la freccia possiamo scrivere che f( ) 2 per 1 80

81 Se invece di considerare il valore 1 consideriamo un valore qualsiasi di 0 possiamo ripetere il ragionamento, solo che f() invece di avvicinarsi a 2 si avvicinerà ad un altro valore che lascio indicato con l (lettera elle, mnemonicamente utile perché la parola limite inizia con la l). 81

82 Quindi in generale per questa funzione di questo esempio posso scrivere: f ( ) l per 0 Si può quindi dare una definizione intuitiva di limite iniziando ad usare termini più matematici: Se 0 f ( ) l per Allora si dice che per tendente a 0 la funzione tende al limite finito l e si scrive : lim 0 f ( ) l 82

83 p.150 Esempio 2: Calcolare Innanzitutto osservo che per lim ho che lim 1 1 quindi calcolare questo limite è uguale a calcolare perché, come abbiamo detto prima, faccio tendere a 1, molto vicino, ma non considero proprio il punto 0 =1 Ma allora qui si ripete il discorso fatto per la funzione dell esempio precedente: man mano che 1 i valori di f( ) si avvicinano ad un valore che in questo caso è uguale a 2. 83

84 Esempio 3 : Calcolare il limite della seguente funzione per che si avvicina a 0 f 2 ( ) 1 abbiamo già visto l insieme di definizione Osservo che posso calcolare il valore della funzione in 0: f( 0 ) = 0 ma non posso avvicinarmi a 0 perché non ci sono punti dell insieme di definizione vicini a piacere a 0. non si può calcolare il lim 0 f ( ) 84

85 Cerchiamo di esprimere quanto visto finora in termini ancora più matematici, perché dobbiamo poi arrivare ad un metodo di calcolo. Invece di continuare a considerare esempi consideriamo una funzione qualsiasi che chiamiamo f() Considero inoltre un valore 0 ed l (lettera elle). Riconsideriamo la definizione di limite. 85

86 lim 0 f ( ) l Chiariamo bene cosa vuol dire f ( ) l Se vuol dire che i valori di f() sono sempre più vicini a l se f ( ) l per l f ( ) l 0 Quindi fisso un intorno di l ( l, l) l l ed i valori della funzione cadranno nel suo interno, cioè 0 l f () l

87 lim 0 f ( ) l Quando i valori di f() sono vicini a l? se f ( ) l per 0 Quando è sufficientemente vicino a 0 l Cioè quando la distanza di da 0 è minore di cioè 0 0 l l

88 lim 0 f ( ) l In generale il modo di scegliere dipenderà da se f ( ) l per 0 Quindi metto un pedice per ricordarlo l l l

89 lim 0 f ( ) l se f ( ) l per 0 se l f () l per 0 0 l l l comunque scelgo, fisso a seconda di e

90 l f () l f ( ) l è equivalente a 0 0 è equivalente a 0 Abbiamo detto che non guardo il valore della funzione in 0, ma solo nei punti vicini, cioè 0 0 quindi per completare la definizione scrivo 0 90

91 Inoltre la frase comunque scelgo positivo può essere riscritta utilizzando il simbolo per ogni nel seguente modo La frase esiste delta positivo può essere riscritta usando il simbolo esiste nel seguente modo: ed in definitiva tutta la definizione di limite può essere riscritta nel seguente modo:

92 Definizione Sia dato 0 punto di accumulazione per l insieme di definizione della funzione. Si dice che per tendente 0 la funzione tende al limite finito l ( oppure ha per limite l) e si scrive: lim 0 f ( ) l se 0 0 :0 0 si ha che f ( ) l 92

93 Osservazioni Domanda: Quale legame esiste tra epsilon e delta? Risposta: Delta deve essere scelto in modo che se si considera tra 0-delta ed 0+delta accade sicuramente che f() è tra l-epsilon ed l+epsilon. Non bisogna per forza scegliere il delta più grande per cui questo accade. D.: E se voglio scegliere il valore di delta più grande come procedo? R.: Delta serve per definire la massima distanza di cui ci si allontana da 0, simmetricamente a sinistra ed a destra di 0. Per esempio nella figura posso aumentare delta fino a che f(0-delta)=l-epsilon, perché posso verificare che per questo valroe di delta accade anche che f(0+delta)<l+epsilon. Se pero la condizione f(0+delta)<l+epsilon non era verificata, allora non potevo fissare questo valore di delta, ma dovevo cercarne uno più piccolo. D.: Perché allora non calcolo direttamente 0-delta=f -1 (l-epsilon)? R.: Perché devo controllare anche 0+delta=f -1 (l+epsilon). l l l