Istituzioni di Matematica per Scienze Ambientali

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Mariangela Perrone
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1 per Scienze Ambientali GEOMETRIA ANALITICA - Appunti 1 1 Dipartimento di Matematica Sapienza, Università di Roma Roma, 5 - Novembre 2012

2 Coordinate La corrispondenza tra numeri reali e punti di una retta dipende dalla scelta di un punto origine e di un punto unità. La corrispondenza tra coppie due numeri reali e punti di un piano dipende dalla scelta di due rette che si intersecano in un punto O che sarà punto origine per entrambe, di un punto unità sulla prima retta e di un punto unità sulla seconda. Gli elementi di cui al punto precedente si dicono sistema di riferimento cartesiano. Se le rette di un sistema di riferimento cartesiano sono ortogonali il sistema si dice ortogonale, altrimenti si dice obliquo. Se i punti unità sono equidistanti dal punto origine, il sistema di riferimento si dice monometrico, altrimenti si dice dimetrico.

3 Rette Una retta parallela all asse delle è costituita da tutti e soli i punti che hanno ordinata costante, ovvero i punti che verificano un equazione del tipo y = α. Una retta parallela all asse delle y è costituita da tutti e soli i punti che hanno ascissa costante, ovvero i punti che verificano un equazione del tipo = β. Una retta qualsiasi, purché non parallela all asse delle y, è costituita da tutti e soli i punti che che verificano un equazione del tipo y = m + q, dove m si dice coefficiente angolare e q si dice quota o termine noto. Il coefficiente angolare di una retta misura la sua inclinazione rispetto all asse delle. Rette crescenti hanno coefficiente angolare positivo e sempre più grande quanto più rapida è la crescita. Rette decrescenti hanno coefficiente angolare negativo e sempre più piccolo quanto più rapida è la decrescita. Attenzione: la bisettrice del primo e terzo quadrante ha coefficiente angolare uguale a uno se e solo se il sistema di riferimento è monometrico. La quota di una retta misura la distanza orientata dell intersezione della retta con l asse delle y e il punto origine. La quota è positiva se la retta interseca l asse delle y dalla stessa parte rispetto all origine del punto unità. La quota è negativa se la retta interseca l asse delle y da parte opposta rispetto all origine del punto unità.

4 Rette - sperimentazioni (I) Il calcolatore sceglie in maniera casule un valore m per il coefficiente angolare e un valore q per la quota, o termine noto, senza mostrarli e disegna una retta con tali coefficiente angolare e quota. Lo studente è invitato a scegliere il coefficiente angolare e la quota per avvicinarsi iterativamente il più possibile al grafico proposto dal calcolatore. Per esempio, per scegliere la retta di coefficiente angolare 0.2 e quota 1.3 e disegnarla in rosso basta eseguire il comando retta(0.2,1.3,red). m=runif(1,min=-5,ma=5) q=runif(1,min=-5,ma=5) curve(m*+q,lwd=2) retta=function(m,q,colore){ curve(m*+q,add=true,col=colore) }

5 Rette - sperimentazioni (II) Nella precedente slide il calcolatore sceglie automaticamente un riferimento cartesino ortogonale e dimetrico per imporre la scelta di un sistem monometrico, come si è soliti fare a scuola, bisogna porre uguale 1 il parametro asp nel comando curve. m=runif(1,min=-5,ma=5) q=runif(1,min=-5,ma=5) curve(m*+q,lwd=2,asp=1) retta=function(m,q,colore){ curve(m*+q,add=true,col=colore) } retta(0.2,1.3,"red")

6 Punti, vettori, prodotto scalare, distanze, angoli Fissato un sistema di riferimento cartesiano, che assumeremo anche monometrico e ortogonale, ad ogni punto è associata una coppia di numeri reali, le coordinate del punto, e viceversa. Ogni segmento orientato PQ determina un vettore, che si visualizza come una freccia che esce da P e termina in Q. Ad ogni vettore, come ad ogni punto, si associa una coppia di numeri reali, secondo la formula PQ = Q P = (q 1 p 1, q 2 p 2 ) Due coppie Q e P Due coppie P, Q e P, Q determinano lo stesso vettore se e solo se i quattro punti P, Q, P, Q sono i vertici di un parallelogramma. Analiticamente questo è equivalente a dire che le coordinate di Q P e di Q P sono ordinatamente uguali. Si è soliti rappresentare un vettore scegliendo una una freccia uscente dall origine. Sull insieme dei vettori esiste una struttura algebrica di somma, prodotto per scalari e prodotto scalare Analiticamente, se v = (v 1, v 2 ) e v = (v 1, v 2 ), allora v + v = (v 1 + v 1, v 2 + v 2 ), λ v = (λv 1, λv 2 ) e v v = v 1 v 1 + v 2 v 2.

7 Distanze e angoli Usando il prodotto scalare si può definire distanza tra due punti la quantità d(p, Q) = Q P = (Q P) (Q P) coseno dell angolo tra due vettori, cos θ = v w v w. dove, ricordiamo, angolo è la porzione di piano compresa tra due semirette con estremo in comune, che si dice vertice dell angolo la misura in radianti di un angolo è il rapporto tra la lunghezza dell arco staccato dall angolo ai una qualsiasi circonferenza centrata nel vertice dell angolo di e il raggio di tale circonferenza.

8 Parabole Una parabola è una curva che si ottiene sezionando un cono con un piano parallelo a una delle generatrici del cono. Una parabola si può anche definire come il luogo dei punti equidistanti da un punto fisso, Fuoco e da una retta fissa, direttrice.

9 Parabola - sperimentazioni (I) Il parametro a controlla la [concavità] della parabola: verso l alto se a > 0 e sempre più chiusa al crescere di a; verso il basso se a < 0 e sempre più chiusa al decrescere di a. Con il parametro b possiamo traslare la parabola verso destra e verso sinistra. Essso è legato all ascissa V del vertice della parabola attraverso la formula V = b 2a. Con il parametro c possiamo traslare la parabola verso l alto e verso il basso. Essso rapresenta l ordinata del punto di intersezione tra la parabola e l asse delle y. Lo studente è invitato a scegliere i parametri della parabola per avvicinarsi iterativamente il più possibile al grafico di una partabola proposta dal calcolatore. a=runif(1,min=-5,ma=5) b=runif(1,min=-5,ma=5) c=runif(1,min=-5,ma=5) curve(a*ˆ2+b*+c,from=-b/2*a-2,to=-b/2*a+2) parabola=function(a,b,c,colore){ curve(a*ˆ2+b*+c,add=true,col=colore) } parabola(1,-2,3,"green")

10 Parabola - sperimentazioni (II) Il codice che segue determina le coordinate di un insieme di punti equidistanti dall asse delle ascisse e dal punto di coordinate (0, 1). Precisamente sceglie un punto siffatto su ognuna delle rette = k con k in seq(-2,2,0.01). Per fare ciò usa la funzione uniroot(f(),a,b) che risolve numericamente una equazione f () = 0 nell intervallo [a, b]. =seq(-2,2,0.01) yy=c() for( in ){ yy=c(yy,uniroot(function(y)sqrt(ˆ2+(1-y)ˆ2)-sqrt(yˆ2), lower=0,upper=6)$root) } plot(,yy,t="l")

11 Funzioni lineari Le funzioni f () = a + b, con a, b R si dicono lineari. Il parametro a è la quota e rappresenta l ordinata dell intersezione del grafico della funzione con l asse delle ordinate, mentre b è il coefficiente angolare, cioè il rapporto tra il cateto verticale e il cateto orizzontale determinato come in figura da un qualsiasi punto della retta. Quota e coefficiente angolare y()=a+b (0,a) P=(,y)

12 Funzioni lineari Funzioni lineari y()=a+b a=3 a=2 a=-2 a=-3 a=1 a=1/2 a=1/3 a=-1/3 a=-1/2 a=-1

13 Funzioni lineari (II) Funzioni lineari y()=a+b b=1 b=1/2 b=0 b=-1/2 b=-1 a=1/3 b=1 b=1/2 b=0 b=-1/2 b=-1 a=-1

14 Segno dei polinomi di primo grado Segno di a+b, b>0 Segno di a+b, b<0 Segno di a + b per b > 0 f () = 0 per = a b a a ; f () > 0 per > b ; f () < 0 per < b y()=a+b Segno di a + b per b < 0 f () = 0 per = a b a a ; f () > 0 per < b ; f () < 0 per > b y()=a+b

15 Funzioni quadratiche y = c 2 Funzione y=c^2 y()=c^ c=2 c=1 c=1/2 c=-1/2 c=-1 c=-2

16 Funzioni quadratiche y = 2 + b Funzione y=b+^2 y()=b+^ b=2 b=1 b=0 b=-1 b=-2

17 Funzioni quadratiche y = a + 2 Funzione y=a+^2 y()=a+^ a=2 a=1 a=0 a=-1 a=-2

18 Segno dei polinomi di secondo grado Segno di a+b+c^2,a>0,delta>0 Segno di a+b+c^2,a>0,delta=0 Segno di a+b+c^2,a>0,delta<0 y() -3 3 y() 3 4 y() 3 4 Segno di a+b+c^2,a<0,delta>0 Segno di a+b+c^2,a<0,delta=0 Segno di a+b+c^2,a<0,delta<0 y() -3 3 y() -4-3 y() -4-3

19 Segno dei polinomi f () = a + b + c 2 1 = b b 2 4ac 2c e 2 = b+ b 2 4ac 2c > 0, c > 0 : f () = 0 per = 1 o = 2 ; f () > 0 per < 1 o > 2 ; f () < 0 per 1 < < 2 ; = 0, c > 0 : f () = 0 per = 1 = 2 ; f () > 0 per 1 = 2 ; f () < 0, mai. < 0, c > 0 : f () > 0 per 1 = 2 ; f () 0, mai. > 0, c < 0 : f () = 0 per = 1 o = 2 ; f () < 0 per < 1 o > 2 ; f () > 0 per 1 < < 2 ; = 0, c < 0 : f () = 0 per = 1 = 2 ; f () < 0 per 1 = 2 ; f () > 0, mai. < 0, c < 0 : f () < 0 per 1 = 2 ; f () 0, mai.

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