Formulario. Coordinate del punto medio M di un segmento di estremi A(x 1, y 1 ) e B(x 2, y 2 ): x1 + x y 2

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1 Formulario Componenti di un vettore di estremi A(x 1, y 1 e B(x 2, y 2 B A = AB = (x2 x 1 i + (y 2 y 1 j Distanza tra due punti A(x 1, y 1 e B(x 2, y 2 : AB = (x 2 x (y 2 y 1 2 Coordinate del punto medio M di un segmento di estremi A(x 1, y 1 e B(x 2, y 2 : ( x1 + x 2 M, y 1 + y Equazione di una retta passante per un punto P 0 (x 0, y 0 e perpendicolare a un vettore n (a, b: a(x x 0 + b(y y 0 = 0 Equazione di una retta passante per un punto P 0 (x 0, y 0 e parallela a un vettore u (l, m: x x 0 = y y 0 l m oppure in forma parametrica: x = x 0 + lt y = y 0 + mt Equazione di una retta passante per due punti A(x 1, y 1 e B(x 2, y 2 : oppure x x 1 x 2 x 1 = y y 1 y 2 y 1 x y 1 x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 = 0 Parametri direttori di una retta in forma cartesiana ax + by + c = 0: V( b, a Parametri direttori di una retta in forma parametrica x = x 0 + lt e y = y 0 + mt: V(l, m

2 Coefficiente angolare di una retta in forma cartesiana ax + by + c = 0: µ = a b Coefficiente angolare di una retta in forma parametrica x = x 0 + lt e y = y 0 + mt: µ = m l Condizione di allineamento di tre punti A(x 0, y 0, B(x 1, y 1 e C(x 2, y 2 : x 0 y 0 1 x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 = 0 Condizione di parallelismo tra due rette r: ax + by + c = 0; s: a x + b y + c = 0: oppure a a = b b µ = µ oppure, espressa mediante i parametri direttori l m = l m Condizione di perpendicolarità tra due rette r: ax + by + c = 0; s: a x + b y + c = 0: oppure aa + bb = 0 µ = 1 µ oppure, espressa mediante i parametri direttori ll + mm = 0 Fascio proprio di rette passanti per un punto P (x 0, y 0 : a(x x 0 + b(y y 0 = 0 Fascio improrio di rette aventi direzione parallela al vettore V (l, m: mx ly + k = 0

3 Fascio di rette generato dalle rette ax + by + c = 0 e a x + b y + c = 0: λ(ax + by + c + µ(a x + b y + c = 0 Condizione di appartenenza ad un fascio di tre rette: r: a 1 x + b 1 y + c 1 = 0; s: a 2 x + b 2 y + c 2 = 0; t: a 3 x + b 3 y + c 3 = 0: a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 = 0 Distanza del punto P (x 0, y 0 dalla retta r di equazione ax+by +c = 0: d(p, r = ax 0 + by 0 + c a 2 + b 2 Equazione di una circonferenza di centro C(α, β e raggio r: (x α 2 + (y β 2 = r 2 Coordinate del centro e misura del raggio di una circonferenza, data l equazione cartesiana x 2 + y 2 + ax + by + c = 0: C( a 2, b 2 r2 = a2 4 + b2 4 c Equazione di una circonferenza passante per tre punti A(x 1, y 1, B(x 2, y 2, C(x 3, y 3 : x 2 + y 2 x y 1 x y2 1 x 1 y 1 1 x y2 2 x 2 y 2 1 = 0 x y2 3 x 3 y 3 1 Posizione di una retta s rispetto a una circonferenza di centro C(α, β e raggio r: 1. d(c, s < r; retta secante 2. d(c, s = r; retta tangente 3. d(c, s > r; retta esterna Posizioni reciproche di due circonferenze rispettivamente di centro C 1 e C 2 e raggio r 1 e r 2 : 1. C 1 C 2 > r 1 + r 2 ; circonferenze esterne 2. C 1 C 2 = r 1 + r 2 ; circonferenze tangenti esternamente

4 3. r 1 r 2 < C 1 C 2 < r 1 + r 2 ; circonferenze secanti 4. r 1 r 2 = C 1 C 2 < r 1 + r 2 ; circonferenze tangenti internamente 5. r 1 r 2 > C 1 C 2 > 0; circonferenze una interna all altra 6. C 1 C 2 = 0; circonferenze concentriche Coseno dell angolo formato da due vettori u(l, m e v(l, m : u v cos ûv = ± u v = ± ll + mm l 2 + m 2 l 2 + m 2 Equazioni parametriche di una circonferenza di centro C(α, β e raggio r: { x = α + r cos θ 0 θ < 2π y = β + r sin θ Cambiamenti di riferimento: Traslazione di vettore OO (a, b. Si passa da un sistema di riferimento R(O, i, j ad un nuovo sistema di riferimento R (O, i, j: { x = a + X y = b + Y { X = x a Y = y b oppure, in versione vettoriale: ( ( ( ( x a X X = + y b Y Y = ( x y ( a b Cambiamenti di riferimento: Rotazione di un angolo ϕ. Si passa da un sistema di riferimento R(O, i, j ad un nuovo sistema di riferimento R (O, i, j : { x = X cos ϕ Y sin ϕ y = X sin ϕ + Y cos ϕ { X = x cos ϕ + y sin ϕ Y = x sin ϕ + y cos ϕ ( cos ϕ sin ϕ oppure, in versione vettoriale, ponendo R = sin ϕ cos ϕ ( x y ( X = R Y ( X Y ( = R 1 x y si fa notare che, essendo R una matrice ortogonale, la sua inversa coincide con la trasposta: R 1 = t R :

5 Cambiamenti di riferimento: Rototraslazione di vettore OO (a, b e di angolo ϕ. Si passa da un sistema di riferimento R(O, i, j ad un nuovo sistema di riferimento R (O, i, j : { x = X cos ϕ Y sin ϕ + a y = X sin ϕ + Y cos ϕ + b { X = (x a cos ϕ + (y b sin ϕ Y = (x a sin ϕ + (y b cos ϕ ( cos ϕ sin ϕ oppure, in versione vettoriale, ponendo R = sin ϕ cos ϕ ( x y ( X = R Y ( a + b ( X Y ( = R 1 x y : R 1 ( a b si fa notare che, essendo R una matrice ortogonale, la sua inversa coincide con la trasposta: R 1 = t R Definizione: una Conica è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante il rapporto delle distanze da un punto fisso detto Fuoco e da una retta fissa detta Direttrice. Chiameremo Eccentricità della conica questo rapporto. Equazione di una conica di fuoco F (x 0, y 0, direttrice d : ax+by+c = 0 ed eccentricità e: Fissato un generico punto P (x, y, P appartiene alla conica se e solo se P F d(p, d = e da cui (x x (y y (ax + by + c2 = e a 2 + b 2 Classificazione di una conica per mezzo della sua eccentricità: Se il fuoco appartiene alla direttrice (F d allora la conica è detta degenere e si hanno i seguenti casi: 1. e < 1 la conica è formata dal solo punto F ; 2. e = 1 la conica si riduce a una retta (contata due volte; 3. e > 1 la conica si spezza in due rette distinte Se il fuoco non appartiene alla direttrice (F d allora la conica è detta non degenere e si hanno i seguenti casi: 1. e < 1 la conica si dice ellisse; 2. e = 1 la conica si dice parabola; 3. e > 1 la conica si dice iperbole

6 Matrice associata a una conica di equazione generale a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 13 x + 2a 23 y + a 33 = 0: A = con a ij = a ji per ogni i j. a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Equazione in forma matriciale di una conica a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 13 x + 2a 23 y + a 33 = 0: t X A X = ( x y 1 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Rotazione di angolo θ di una conica in forma matriciale: x y 1 = 0 t X tr A R X = 0 con e R = cos θ sin θ 0 sin θ cos θ X = x y 1 quindi la matrice associata alla conica dopo la rotazione è la matrice B = t R A R Invarianti per traslazione, rotazione e roto-traslazione di una conica: 1. Invarianti per traslazione Determinante della matrice associata A Rango della matrice associata A Elementi del minore A Invarianti per rotazione Determinante della matrice associata A Rango della matrice associata A Determinante del minore A 33 Elemento a 33

7 3. Invarianti per roto-traslazione Determinante della matrice associata A Rango della matrice associata A Determinante del minore A 33 Traccia di A 33 Equazioni canoniche di una conica: Ellisse oppure Iperbole oppure Parabola oppure x 2 a 2 + y2 b 2 = ±1 αx 2 + βy 2 + γ = 0 x 2 a 2 y2 b 2 = ±1 αx 2 + βy 2 + γ = 0 y 2 + 2px = 0 αy 2 + 2βx = 0 Riduzione a forma canonica di una conica: Ellisse ed iperbole con αx 2 + βy 2 + γ = 0 γ = Det(A Det(A 33 α e β sono le soluzioni dell equazione di secondo grado t 2 T r(a 33 t + Det(A 33 = 0 Nel caso dell ellisse, se γ ha segno concorde con α e β allora si ha una ellisse immaginaria. Questa stessa formula va bene anche per le coniche semplicemente degeneri di tipo parabolico ed iperbolico, per le quali si trova sempre γ = 0.

8 Parabola con e αy 2 + 2βx = 0 α = T r(a 33 β = ± Det(A T r(a 33 Conica semplicemente degenere di tipo parabolico posto si ha k = y 2 = k t 2 = a2 13 a 11 = a2 23 a 22 t 2 T r(a 33 a 33 T r(a 33 Se k > 0 si ha una coppia di rette parallele reali. Se k < 0 si ha una coppia di rette parallele complesse. Conica semplicemente degenere di tipo parabolico In questo caso l equazione canonica diventa semplicemente l equazione di uno dei due assi coordinati, contato due volte. Cioé x 2 = 0 oppure y 2 = 0. Geometria dello spazio Equazione parametrica di un piano passante per tre punti A(x 0, y 0, x 0 B(x 1, y 1, z 1 C(x 2, y 2, z 2 : x = x 0 + λ(x 1 x 0 + µ(x 2 x 0 y = y 0 + λ(y 1 y 0 + µ(y 2 y 0 z = z 0 + λ(z 1 z 0 + µ(z 2 z 0 Equazione cartesiana di un piano passante per tre punti A(x 0, y 0, x 0 B(x 1, y 1, z 1 C(x 2, y 2, z 2 : x x 0 y y 0 z z 0 x 1 x 0 y 1 y 0 z 1 z 0 x 2 x 0 y 2 y 0 z 2 z 0 = 0 Giacitura di un piano: La giacitura di un piano ax + by + cz + d = 0 è il sottospazio vettoriale di R 3 generato da due vettori linearmente indipendenti appartenenti al piano. Per trovarli basta individuare tre punti del piano non allineati.

9 Condizione di parallellismo tra due piani ax + by + cz + d = 0 e a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0: Due piani sono paralleli se hanno la stessa giacitura. Analiticamente a = b = c a 1 b 1 c 1 Equazione di un piano passante per un punto P 0 (x 0, y 0, z 0 e ortogonale al vettore n(a, b, c: a(x x 0 + b(y y 0 + c(z z 0 = 0 Vettore normale al piano ax + by + cz + d = 0: n(a, b, c Distanza tra due punti A(x 1, y 1, z 1 e B(x 2, y 2, z 2 : AB = (x 2 x (y 2 y (z 2 z 1 2 Coordinate del punto medio M di un segmento di estremi A(x 1, y 1, z 1 e B(x 2, y 2, z 2 : ( x1 + x 2 M, y 1 + y 2, z 1 + z Angolo diedro tra due piani π 1 e π 2 : È l angolo acuto α formato dalle normali ai due piani. cos α = n 1 n 2 n 1 n 2 Area del parallelogramma individuato dai vertici A B C : Area = AB AC Area di un triangolo di vertici A B C : Area = 1 AB AC 2 Distanza del punto P (x 0, y 0, z 0 dal piano π di equazione ax + by + cz + d = 0: d(p, π = ax 0 + by 0 + cz 0 + d a 2 + b 2 + c 2

10 Equazione parametrica di una retta passante per il punto A(x 0, y 0, x 0 e avente direzione r(l, m, n : x = x 0 + lt y = y 0 + mt z = z 0 + nt Equazione di una retta passante per un punto P 0 (x 0, y 0, z 0 e parallela a un vettore r(l, m, n: x x 0 l = y y 0 m = z z 0 n Equazione di una retta passante per due punti A(x 1, y 1, z 1 e B(x 2, y 2, z 2 x x 1 x 2 x 1 = y y 1 y 2 y 1 = z z 1 z 2 z 1 Parametri direttori della retta individuata dai due piani π : ax + by + cz + d = 0 e π 1 : a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0: Sono le componenti del vettore che si ottiene facendo il prodotto vettoriale dei due vettori normali ai piani che individuano la retta. r = n n 1 = i j k a b c a 1 b 1 c 1 Distanza di un punto P (x 0, y 0, z 0 da una retta avente direzione r(l, m, n e passante per il punto R(x r, y r, z r : r P R d(p, r = r Angolo α fra una retta avente direzione r(l, m, n e un piano π: α è l angolo complementare all angolo formato dalla direzione della retta con il vettore n normale al piano. Quindi sin α = n r n r Condizione di parallellismo tra una retta e un piano: La retta è parallela al piano se non ha punti in comune col piano stesso. In termini vettoriali la retta è parallela al piano se la sua direzione non appartiene alla giacitura del piano e se un qualsiasi punto della retta non appartiene al piano stesso.

11 Fascio di piani generato dai piani ax + by + cz + d = 0 e a x + b y + c z + d = 0: λ(ax + by + cz + d + µ(a x + b y + c z + d = 0 Fascio improprio di piani: ax + by + cz + k = 0 Condizione di appartenenza di 3 piani a un fascio; ax + by + cz + d = 0 a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0: Consideriamo la matrice A = a b c d a 1 b 1 c 1 d 1 a 2 b 2 c 2 d 2 I tre piani appartengono allo stesso fascio se il rango di A è diverso da 3, cioè tutti i suoi minori di ordine 3 devono avere determinante nullo. Distanza fra due rette sghembe, una di direzione r(l, m, n e passante per il punto R(x r, y r, z r e l altra di direzione s(l, m, n e passante per il punto S( s, y s, z s : r s RS d = r s Equazione di una sfera di centro C(α, β, γ e raggio r: (x α 2 + (y β 2 + (z γ 2 = r 2 Coordinate del centro e misura del raggio di una sfera, data l equazione cartesiana x 2 + y 2 + z 2 + ax + by + cz + d = 0: ( C a 2, b 2, c r 2 = a b2 4 + c2 4 d Posizione di una retta s rispetto a una sfera di centro C(α, β, γ e raggio r: 1. d(c, s < r; retta secante 2. d(c, s = r; retta tangente 3. d(c, s > r; retta esterna Posizione di un piano π rispetto a una sfera di centro C(α, β, γ e raggio r:

12 1. d(c, π < r; piano secante 2. d(c, π = r; piano tangente 3. d(c, π > r; piano esterna Posizioni reciproche di due sfere rispettivamente di centro C 1 e C 2 e raggio r 1 e r 2 : 1. C 1 C 2 > r 1 + r 2 ; sfere esterne 2. C 1 C 2 = r 1 + r 2 ; sfere tangenti esternamente 3. r 1 r 2 < C 1 C 2 < r 1 + r 2 ; sfere secanti 4. r 1 r 2 = C 1 C 2 < r 1 + r 2 ; sfere tangenti internamente 5. r 1 r 2 > C 1 C 2 > 0; sfere una interna all altra 6. C 1 C 2 = 0; sfere concentriche Equazioni parametriche di una sfera di centro C(α, β, γ e raggio r: x = α + r sin ϕ cos θ y = β + r sin ϕ sin θ 0 θ < 2π 0 ϕ < π z = γ + r cos ϕ Cilindro generalizzato: Data una curva γ detta direttrice il cilindro generalizzato è il luogo geometrico di tutte le rette (dette generatrici, parallele a una direzione fissata r(l, m, n, e incidenti a γ. L equazione del cilindro è P γ P = λ r x = x γ + lλ y = y γ + mλ z = z γ + nλ dove P γ è un generico punto della curva γ e P (x, y, z è un punto generico dello spazio. Cono generalizzato: Data una curva γ detta direttrice il cono generalizzato è il luogo geometrico di tutte le rette, (dette generatrici, incidenti a γ, e uscenti da un punto fisso V (x 0, y 0, z 0 detto vertice. L equazione del cilindro è P γ P = λ P γ V x = x γ + λ(x 0 x γ y = y γ + λ(y 0 y γ z = z γ + λ(z 0 z γ dove P γ è un generico punto della curva γ e P (x, y, z è un punto generico dello spazio.

13 Superficie di rotazione: Una superficie di rotazione è il luogo geometrico dei punti dello spazio descritto dalla rotazione di una curva (generatrice attorno a una retta data (asse. Quadriche di rotazione: Le quadriche di rotazione sono le superfici di rotazione che si ottengono facendo ruotare una conica attorno a uno dei sui assi di simmetria. Trasformazione in coordinate sferiche: Un punto P dello spazio, oltre che dalle coordinate cartesiane, può essere identificato dalle componenti del suo vettore posizione OP. x = ρ sin β cos α y = ρ sin β sin α z = ρ cos β dove ρ è il modulo del vettore OP, β è l angolo che il vettore OP forma con l asse delle z e α è l angolo formato dalla proiezione del vettore OP sul piano [xy] con l asse delle ascisse. Questa trasformazione non si può applicare ai punti dell asse delle z (infatti per questi l angolo α è indefinito. Trasformazione in coordinate cilindriche: Anche in questo caso il punto P è individuato dalle componenti del suo vettore posizione x = ρ cos α y = ρ sin α z = z dove ρ è il modulo del vettore OP, e α è l angolo formato dalla proiezione del vettore OP sul piano [xy] con l asse delle ascisse.