Esericizi Quadriche e Coniche nello spazio

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1 Esericizi Quadriche e Coniche nello spazio 1. In R 3 sia A = (1, 1, 0) e sia r la retta passante per A, parallela al piano x + y + z = 0 e complanare alla retta s di equazione cartesiana x + y z = 0 = x + y. Scrivere l equazione della circonferenza Γ passante per B = (0, 0, 1) e tangente in A alla retta r. Determinare il centro e il raggio di Γ. Il piano x + y + z = 0 passa per A e quindi contiene r. Il fascio di piani per s ha equazione λ(x + y z) + x + y = 0. Imponendo il passaggio per A otteniamo λ = 1 e il piano 3x + 3y z = 0. La retta r ha equazioni cartesiane x + y + z = 0 = 3x + 3y z, che si possono semplificare a x + y = 0 = z. Il piano contenente la circonferenza Γ é il piano per r contenente B. Abbiamo il fascio λ(x + y) + z = 0. Imponendo il passaggio per B abbiamo l equazione impossibile 1 = 0 e pertanto il piano cercato corrisponde a λ = (o a µ = 0 scrivendo il fascio nella forma λ(x + y) + µz = 0!), i.e. risulta x + y = 0. Il centro di Γ appartiene al paino x + y = 0, al piano ortogonale a r passante per A e all asse del segmento AB. Scriviamo le equazioni di questi due ultimi piani. La retta r ha equazioni parametriche x = t, y = t, z = 0 e direzione L((1, 1, 0)). Il piano ortogonale a r passante per A ha equazione cartesiana (x 1) (y + 1) = 0, i.e. x y = 0. Il punto medio di AB é P = ( 1, 1, 1 ) mentre la retta < A, B > ha direzione L((1, 1, 1)). L asse del segmento AB ha equazione (x 1/) (y + 1/) (z 1/) = 0, i.e. x y z 1 = 0. L intersezione dei tre piani determinati é il punto C = (1, 1, 3 ), che é il centro della circonferenza Γ. Se r é il raggio di Γ abbiamo r = d(c, A) = 9. La sfera di 4 centro C e raggio 3 ha equazione cartesiana che si semplifica in L equazione di Γ é { (x 1) + (y + 1) + (z 3 ) = 9 4 x + y + z x + y 3z + = 0. x + y = 0 x + y + z x + y 3z + = 0.

2 . Studiare, al variare del parametro k R, la quadrica Q k R 3 di equazione x (k + 1)xy + y kz kx + k = 0. I punti (0, 0, ±1) Q k per ogni k R e le quadriche Q k sono quinti tutte a punti reali. I determinanti delle matrici associate a Q k sono: Abbiamo F k = F k = 1 (k + 1) 0 k (k + 1) k 0 k 0 0 k 1 (k + 1) 0 (k + 1) k = k 3 (k + 3). = k (k + ). Per k = 0 abbiamo l equazione (x y) = 0 e la quadrica Q 0 é di rango 1. Se k = 3 abbiamo ρ(f 3 ) = ρ(f 3 ) = 3 e Q 3 é un cono irriducibile reale. Supponiamo k 0, 3. Per k < 3 e k > 0 avremo punti iperbolici e per 3 < k < 0 avremo punti ellittici. Per k = otteniamo un paraboloide ellittico mentre per k 0, 3, avremo o ellissoidi o iperboloidi. Possiamo dedurre che per k < 3 e k > 0 Q k risulta un iperboloide iperbolico o a una falda. Rimane da considerare solamente l intervallo 3 < k < 0, k. Calcoliamo ora gli autovalori di F k. Il polinomio caratteristico é c(t) = (k + t)(t + k) e gli autovalori sono k di moleplicitá e k +. Nel nostro intervallo k risulta positivo e abbiamo k + > 0 se e solamente se k >. Pertanto per < k < 0 gli autovalori hanno tutti dello stesso segno e avremo ellissoidi reali mentre per 3 < k < otteniamo iperboloidi ellittici o a due falde. 3. Sia Π il piano di equazione x y = 0 e sia C k = Q k Π. (a) Determinare i valori di k R tali che C k Π risulta una conica riducibile; Sostituendo nella equazione di Q k l espressione x = y possiamo scrivere C k come { x y = 0 kx kz kx + k = 0. Se k = 0, la prima equazione é identicamente soddisfatta, C 0 coincide con Π e pertanto C 0 non é una conica. Se k 0, la seconda equazione, dividendo per k, diventa x + z + x 1 = 0 che rappresenta un cilindro ellittico irriducibile di direzione l asse y.

3 Γ = {P Π : d(p, F ) = d(p, r)} = Q Π. Il piano Π non essendo parallelo alla direzione del cilindro lo taglia lungo una conica irriducibile. In conclusione C k é una conica irriducibile per ogni k 0. (b) Riconoscere la conica C k Π per i valori di k R per cui é irriducibile. Dall analisi precedente deduciamo che C k é una conica irriducibile per ogni k 0, che risulta un ellisse essendo sezione piana di un cilindro ellittico irriducibile. 4. In R 3 sia F = (1, 1, 1), sia r la retta di equazione cartesiana x y = 0 = z e sia Π il piano di equazione cartesiana x + y = 0. (a) Riconoscere il luogo Q = {P R 3 : d(p, F ) = d(p, r)} R 3 ; Sia P = (a, b, c) R 3. Abbiamo d(p, F ) = (a 1) + (b 1) + (c 1). L equazione dei piani ortogonali a r é x + y + k = 0, k R. Il piano ortogonale a r passante per P = (a, b, c) ha equazione cartesiana x + y a b = 0. Questo piano interseca la retta r nel punto P = ( a+b, 0). Abbiamo, a+b d(p, r) = d(p, P ) = (a a + b ) + (b a + b ) + c = ( a b ) + c. Uguagliando le due espressioni precedenti otteniamo a a b b c c + 1 = a + b ab che si semplifica nell equazione: a + b + ab 4a 4b 4c + 6 = 0. Il luogo Q R 3 é pertanto la quadrica di equazione x + xy + y 4x 4y 4z + 6 = 0. Calcoliamo i determinanti delle matrici associate a Q: F = = 0 ρ(f ) = 3. 6 F = = 0 ρ(f ) = 1. La quadrica Q é pertanto un cilindro parabolico. + c, (b) Determinare una equazione della parabola Γ R 3 avente come fuoco F e come direttrice la retta r; Il piano passante per r e contenente F é il piano Π di equazione x y = 0. Per definizione di parabola abbiamo

4 Quindi Γ : { x + xy + y 4x 4y 4z + 6 = 0 x y = 0. (c) Riconoscere il luogo Q = {P R 3 : d(p, F ) = d(p, Π)} R 3 ; Se P = (a, b, c), abbiamo d(p, Π) = a+b e quindi d(p, Π) = a +b +ab. Uguagliando questa espressione con d(p, F ) otteniamo a a b b c c + 1 = a + b + ab, che si semplifica nell equazione: a + b + c ab 4a 4b 4c + 6 = 0. Il luogo Q R 3 é pertanto la quadrica di equazione x xy + y + z 4x 4y 4z + 6 = 0. Calcoliamo i determinanti delle matrici associate a Q: F = = F = = La quadrica Q é pertanto un paraboloide ellittico. = 3 < 0. = 0, ρ(f ) = = 5. (a) Nel piano R studiare il fascio di coniche tangenti alla retta l : x + y = 0 nel punto A = (1, 1) e tangenti alla retta m : x y = 0 nel punto B = (1, ). La retta passante per i punti A e B ha equazione x 1 = 0. L equazione del fascio é h(x 1) + (x + y)(x y) = 0, che si puó riscrivere come (h + )x + xy y hx + h = 0. Dopo aver moltiplicato per, otteniamo le matrici associate di cui calcoliamo i determinanti:

5 F h = (h + ) 1 h 1 0 h 0 h = 1 h 0 h (h + ) h h h = F h = = h 16h = 18h. (h + ) 1 1 = 4(h + ) 1 = 4h 9. Le coniche riducibili del fascio si hanno per h = 0, e sono quindi le coniche di equazione (x+y)(x y) = 0, rispettivamente (x 1) = 0. Per h 0, le coniche risultano irriducibili. Per h = 9 abbiamo una parabola, per h < abbiamo ellissi e per h > 9 abbiamo iperboli. Non ci sono circonferenze nel 4 fascio. Da h + 4 = 0 deduciamo che per h = 1 abbiamo una iperbole equilatera. (b) Determinare la conica del fascio precedente passante per P = (1, 3) e la conica del fascio passante per Q = (, 1). Sostituendo le coordinate di P = (1, 3) nell equazione del fascio otteniamo l equazione impossibile 3 = 0. Quindi il punto sta sulla conica che corrisponde al valore del parametro h =, che é (x 1) = 0. Sostituendo le coordinate di Q = (, 1) nell equazione del fascio otteniamo l equazione h + 9 = 0. Quindi il punto sta sulla conica che corrisponde al valore del parametro h = 9, che é 7x xy + y 18x + 9 = 0. (c) Riconoscere il luogo descritto dai centri delle coniche del fascio. Per h 0,, 9, il centro della conica del fascio é la soluzione del sistema 4 Γ : { (h + )x + y h = 0 x y = 0. Per h 9 la due rette non sono parallele e per questi valori di h le rette si 4 incontrano in punto sulla seconda retta. Il luogo dei centri é quindi la retta di equazione x y = In R 3 sia F = (1, 0, 1), sia r la retta di equazioni cartesiane x + y + 1 = 0 = x z + 1 e sia s la retta di equazioni cartesiane y z 1 = 0 = x + z + 1. Determinare (a) la retta passante per F e incidente r e s; Il piano Π 1 contenente r e passante per F ha equazione x y z + 1 = 0; il piano Π contenente s e passante per F ha equazione x + y z = 0. La retta passante per F e incidente r e s ha equazioni cartesiane x + y z = 0 = x y z + 1.

6 (b) l equazione dell ellisse avente fuoco F, direttrice relativa a F la retta r e eccentricità 3 4. Sia P = (a, b, c) R 3. Abbiamo d(p, F ) = (a 1) +b +(c 1). La retta r ha equazione parametrica x = t, y = 1 t, z = 1 + t. L equazione dei piani ortogonali a r é x y + z + k = 0, k R. Il piano ortogonale a r passante per P = (a, b, c) ha equazione cartesiana x y + z a + b c = 0. Questo piano interseca la retta r nel punto P = ( a b+c, a+b c 1, a b+c 1 ). Abbiamo d(p, r) = d(p, P ) = (a a b + c 3 ) +(b a + b c 1 = 1 9 [(a + b c + ) + (a b + c + 1) + (a b c 1) ]. ) +(c a b + c 1 ) = 3 L ellisse risulta essere l intersezione del piano Π 1 con il luogo dei punti P R 3 tali che d(p,f ) = 3, i.e. tali che 16d(P, F d(p,r) 4 ) = 9d(P, r). Pertanto l equazione dell ellisse risulta { x y z + 1 = 0 16[x + y + z x z + ] = [x + y z + ] + [x y + z + 1] + [x y z 1]. 7. Studiare, al variare del parametro k R, la quadrica Q k R 3 di equazione x + kxy + y + kz + x ky = 0. Calcoliamo i determinanti delle matrici associate a Q k : 1 k 0 1 F k = k 1 0 k 0 0 k 0 = 3k 3 k = k(3k + 1). 1 k 0 0 F k = 1 k 0 k k = k(1 k ). Per k 0 abbiamo F k 0 e quindi quadriche non-degeneri. Se k = 0, la quadrica ha equazione (x + 1) + y 1 = 0 ed é un cilindro ellittico. Se k < 0, allora Q k é una quadrica non degenere a punti iperbolici mentre per k > 0 la quadrica non degenere Q k avrá punti ellittici. La quadrica Q 1 è quindi un paraboloide ellittico mentre la quadrica Q 1 é un paraboloide iperbolico. Supponiamo ora k 0, 1, 1. Gli autovalori di F k sono k, 1 + k e 1 k. Se k < 0, gli autovalori avranno segno diverso e pertanto Q k sará un iperboloide iperbolico o a una falda. Se 0 < k < 1 i tre autovalori risultano positivi e Q k sará un ellissoide reale. Per k > 1 gli autovalori avranno segno discorde e Q k sará un iperboloide ellittico o a due falde.

7 Sia Π il piano di equazione z = 0 e sia C k = Q k Π. (a) Determinare i valori di k R tali che C k Π risulti una conica riducibile; (b) riconoscere la conica C k Π per i valori di k R per cui è irriducibile. La conica C k ha equazione z = 0 = x +kxy+y +x ky = 0 e puó essere identificata con una conica nel piano R di coordinate (x, y). I determinanti delle matrici associate a C k sono: F k = 1 k 1 k 1 k 1 k 0 = 3k 1 = (3k + 1) < 0. F k = 1 k k 1 = 1 k. La conica C k è irriducibile per ogni k R ed è una parabola per k = ±1. Per 1 < k < 1 abbiamo F k > 0 e C k è una ellisse (reale), che per k = 0 diventa una circonferenza di raggio 1 e centro in ( 1, 0). Per k < 1 e k > 1 la conica C k è una iperbole, mai equilatera. 8. Scrivere l equazione del cono Q R 3 avente vertice in V = (0, 0, 1) e contenente l iperbole equilatera del fascio Γ. L equazione del fascio Γ k é kx + (k + 1)xy y + x y = 0 = z e l iperbole equilatera del fascio corrisponde al valore k = 1 in corrispondenza del quale si ottiene la conica Γ 1 di equazione x + xy y + x y = 0 = z. Le quadriche contenenti Γ 1 hanno equazioni della forma x + 4xy y + x y + z(ax + by + cz + d) = 0, (a, b, c, d) R 4, che possiamo riscrivere come x + 4xy y + cz + axz + byz + x y + dz = 0. Imponiamo ora che V = (0, 0, 1) sia vertice della quadrica precedente: a 1 b 1 a b c d 1 1 d = da cui si deduce facilmente a = 1, b = 1, c = d = 0. Il cono ha equazione x + xy y xz + yz + x y = ,

8 9. In R 3 sia l 1 la retta di equazioni cartesiane x y + z + 1 = 0 = x + z e sia l la retta di equazioni cartesiane x y + z 1 = 0 = x y (a) Calcolare d(l 1, l ) Le rette hanno equazioni parametriche di questa forma: (t, 1, t), rispettivamente (s, s, 1). Sono sghembe. Il fascio di piani contenente l 1 ha equazione: x + z + λ(y 1) = 0. Questo piano risulta parallelo a l se e solamente se λ = 1. Il piano Π di equazione x y + z + 1 = 0 è parallelo a l. Allora d(l 1, l ) = d(π, (0, 0, 1)) = 3 = 3. 3 (b) Determinare il luogo Q dei punti P R 3 tali che d(p, l 1 ) + d(p, l ) =, verificando che Q R 3 é una quadrica. Sia P = (a, b, c) R 3. Il piano ortogonale a l 1 e passante per P ha equazione x z a + c = 0 e taglia l 1 nel punto P 1 = ( a c a c, 1, ). Il piano ortogonale a l e passante per P ha equazione x y a b = 0 e taglia l nel punto P = ( a+b, a+b, 1). Allora d(p, l 1) = d(p, P 1 ) = ( a+c ) + (y 1) mentre d(p, l ) = d(p, P ) = ( a b ) + (z 1). Uguagliando e semplificando si ottiene l equazione: a ab + 3b + ac + 3c 4b 4ac = 0. (c) Riconoscere la quadrica Q. Intersecando con l asse delle y (delle b con le notazioni precedenti!) si vede che ci sono almeno due punti reali in Q, che quindi non è ellisse immaginario o cono immaginario, etc, etc. Le matrici associate a Q sono:

9 F = , F = Abbiamo F = 1 0, i.e. ρ(f ) = 3, e F = 3 < 0, i.e. punti ellittici. Il polinomio caratteristico di F è (3 t)(t 4)(t 1), che ha radici di segno concorde. Allora Q risulta un ellissoide reale Sia k R un parametro reale e sia Q k R 3 la quadrica di equazione kx + kxy + ky xz yz z kx ky kz k = 0. (a) Determinare i valori di k R per cui Q k é degenere e riconoscere Q k in questi casi. Intersecando con l asse delle x si vede che ci sono almeno due punti reali per ogni k 0 e Q k non potrà essere nè un ellissoide immaginario, nè un cono immaginario, etc, etc. Le matrici associate a Q k sono: F k = k k 1 k k k 1 k k k k k k, F = k k 1 k k Abbiamo F k = k (k + 1)(k 1) e F k = k(k + 1). La quadrica Q k è non degenere per k 0, 1, 1. Per k = 0 otteniamo la quadrica di equazione z(z + x + y) = 0 di rango. Per k = 1, abbiamo ρ(f 1 ) = 3 e ρ(f ) =. Si vede facilmente che si tratta di un cilindro ellittico. Se k = 1, abbiamo un cono reale. (b) Determinare, se esistono, i valori di k R per cui Q k è un iperboloide iperbolico. Supponiamo ora k 0, 1, 1. La quadricha Q k è non-degenere e ha punti iperbolici se e solamente se F k > 0 e quindi se e solamente se 1 < k < 1, k 0. Per questi valori Q k risulta un iperboloide iperbolico In R 3 sia l la retta di equazioni cartesiane x + y + z = 0 = y z e sia m la retta di equazioni parametriche x = t ; y = 1 + t ; z = 1 + t; t R. (a) Calcolare d(l, m). La retta m risulta ortogonale a l. Sia Π il piano di equazione y z = 0. Abbiamo m Π = e Π. Le rette l e m sono sghembe. Sia P = (0, 1, 1) m. Deduciamo che d(l, m) = d(p, Π) = 1 ( 1) 1 + ( 1) =.

10 (b) Determinare la parabola Γ avente direttrice l e fuoco F = (1, 1, ). La parabola Γ é l intersezione del piano Π contenente l e F, avente equazione cartesiana x + y + z = 0 con il luogo Q dei punti P = (a, b, c) R 3 tali che Abbiamo d(p, l) = d(p, F ). d(p, F ) = (a 1) + (b 1) + (c + ) = a + b + c a b + 4c + 6. Calcoliamo ora d(p, l). La retta l ha equazioni parametriche x = t; y = t; z = t; t R. Il piano Π, ortogonale l e passante per P, ha equazione cartesiana (x a) + (y b) + (z c) = 0. Questo piano interseca l nel punto Q = ( b+c a, b+c a, b+c a. Quindi d(p, l) = d(p, Q) = (a + b + c a 3 = ( a + b + c ) + ( 3 ) + (b b + c a 6 a + 5b c ) + ( 6 ) + (c b + c a ) = 6 a b + 5c ) (a) Scrivere l equazione del fascio Φ di coniche tangenti alla retta l : x + y = 0 = z nel punto O = (0, 0, 0), passanti per A = (, 1, 0) e aventi x y = 0 = z come asse di simmetria. Le coniche sono contenute nel piano z = 0 e quindi utilizzeremo per descrivere il fascio le coordinate (x, y). Poiché x y = 0 é asse di simmetria, le coniche passano anche per il punto B = (1, ), simmetrico di A rispetto all asse di simmetria. Per generare il fascio utilizzeremo le coniche degeneri Φ 1 = l A, B e Φ = O, A O, B. L equazione del fascio risulta che diventa (x + y)(x + y 3) + t(x y)(x y) = 0, (t + 1)x + ( 5t)xy + (t + 1)y 3x 3y = 0. (b) Riconoscere le coniche del fascio Φ. Abbiamo F t = [ 4t + 5t 5t 4t + Le coniche riducibili del fascio sono Φ 1 con molteplicità 1 e Φ con molteplicità. Per t 0, la conica Φ t risulta irriducibile. Abbiamo F t = t( 9t + 36). La conica Φ 4 é una parabola. Per 0 < t < 4 la conica Φ t é una ellisse, che per t = 5 é una circonferenza. Per t < 0 e t > 4 la conica Φ t é una iperbole, che risulta equilatera per t = 1. ].

11 (c) Scrivere l equazione della sfera S R 3 passante per Q = (1, 1, 1) e contenente l unica circonferenza del fascio Φ. La circonferenza del fascio Φ ha centro C = (s, s, 0) sull asse di simmetria e si trova a distanza uguale da A e da O. Deduciamo s = d(c, O) = d(c, A) = (s ) + (s 1) e quindi s = 5 6 e C = ( 5 6, 5 6, 0). Il centro C t della sfera si trova sulla retta n, ortogonale a z = 0 e passante per C le cui equazioni parametriche sono: x = 5 6 ; y = 5 6 ; z = t; t R. Imponendo d(c t, O) = d(c t, Q) otteniamo t = t t e quindi t = 1. L equazione della sfera é: 6 che si semplifica a (x 5 6 ) + (y 5 6 ) + (z ) = x + 3y + 3z 5x 5y + z = In R 3 consideriamo le rette x = +t l 1 : y = t z = +t e l : x = +s y = s z = s e la retta l 3 di equazioni cartesiane x y = 0 = z. (a) Verificare che l 1, l e l 3 sono a due a due sghembe. Facile verifica lasciata allo studente. (b) Determinare l equazione del luogo dei punti dello spazio descritto dalle rette incidenti l 1, l e l 3. Riconoscere tale luogo. Sia P u = (u, u, 0) il punto generico della retta l 3. Determiniamo l unica retta l u passante per P u e incidente l 1 e l. La retta l 1 ha equazioni cartesiane x y = 0 = x + y z mentre la retta l ha equazioni cartesiane x y + = 0 = x + y + z. Il piano Π u 1 passante per P u e contenente l 1 ha equazioni cartesiane u(x y + ) (x + y + z) = 0 mentre il piano Π u passante per P u e contenente l ha equazione cartesiana u(x y ) + (x + y z) = 0. Quindi l u ha equazioni cartesiane u(x y + ) (x + y + z) = 0 = u(x y ) + (x + y z). Eliminando il parametro u dalle equazioni cartesiane di l u si ottiene l equazione x y z = 0. Il luogo richiesto è un paraboloide iperbolico.

12 14. Sia k R un parametro e sia Q k R 3 la quadrica di equazione Riconoscere Q k al variare di k R. x + ky + kz + yz + kx + k = 0. Le matrici associate alla quadrica sono k F k = 0 k k 0 e F k = k 0 0 k k k Deduciamo F k = k(k + 1)(k 1) e F k = k 1. Gli autovalori di F k sono 1, k + 1, k 1. Se k 0, 1, 1 la quadrica risulta non degenere. Se k = 1 abbiamo ρ(f 1 ) = e la quadrica Q 1 è unione di due piani. Se k = 1, abbiamo ρ(f 1 ) = 3 e ρ(f 1 ) = e quindi Q 1 é un cilindro, che risulta iperbolico essendo gli autovalori non nulli di F 1 di segno discorde. Per k = 0 otteniamo ρ(f 0 ) = 3 = ρ(f 0 ) e Q 0 é un cono reale perchè gli autovalori di F 0 sono di segno discorde. Supponiamo ora k 0, 1, 1. Osserviamo che in questo caso Q k non é mai un paraboloide e quindi sará o un ellissoide o un iperboloide. Abbiamo F k > 0 se e solamente se 1 < k < 0. Per 1 < k < 0 avremo quindi un iperboloide iperbolico o a una falda visto che gli autovalori sono di segno discorde (due positivi e uno negativo). Se k < 1, allora k + 1 < 0 e quindi gli autovalori hanno segni distinti. Pertanto se k < 1 abbiamo Q k è un iperboloide ellittico o a due falde. Sia ora k > 0. Se k > 1, allora k + 1 > 0 e k 1 > 0 e Q k é un ellissoide reale. Se 0 < k < 1 gli autovalori hanno segno discorde e avremo un iperboloide ellittico. In conclusione per k < 1 e per 0 < k < 1 abbiamo iperboloidi ellittici; per 1 < k < 0 abbiamo iperboloidi iperbolici mentre per k > 1 abbiamo ellissoidi reali..