QUADRICHE / RICHIAMI

Transcript

1 M.GUIDA, S.ROLANDO, QUADRICHE / RICHIAMI Fissato nello spazio un riferimento cartesiano R =(O; x, y, z),sichiamaquadrica ogni superficie cartesiana del tipo Q : a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 33 z 2 +2a 12 xy +2a 13 xz +2a 23 yz +2a 14 x +2a 24 y +2a 34 z + a 44 =0 con a 11,a 12,a 13,a 22,a 23,a 33 non tutti nulli, cioè Q : F (x, y, z) =0con F (x, y, z) generico polinomio di secondo grado in x, y, z. Ad ogni quadrica Q si associano le matrici simmetriche A = a a 11 a 12 a 11 a 12 a 13 a a 22 a 23 e B =... a 22 a 23 a a a 33 a a 44 e Q è detta degenere se det B =0, non degenere se det B = 0. SinoticheA èlamatrice della forma quadratica costituita dai termini di 2 grado dell equazione di Q e si ottiene da B cancellando le ultime riga e colonna. Una quadrica non degenere può essere un ellissoide (reale o immaginario), un iperboloide (ad una o due falde), un paraboloide (ellittico o iperbolico). Una quadrica degenere può essere un cono, un cilindro, una coppia di piani incidenti o paralleli (eventualmente coincidenti), una retta, un punto o l insieme vuoto. Nel seguito ci occupiamo solo del riconoscimento e della rappresentazione grafica delle quadriche non degeneri in forma canonica, ossia disposte in modo speciale rispetto agli assi del riferimento e per questo rappresentate da equazioni particolarmente semplici. ELLISSOIDI in forma canonica Sono le quadriche Q rappresentate da un equazione del tipo: αx 2 + βy 2 + γz 2 = δ con δ > 0 ecoefficienti α, β, γ concordi tra loro. Se α, β, γ sono tutti negativi, allora Q è l insieme vuoto e si parla di ellissoide immaginario. Se invece α, β, γ sono tutti positivi, allora Q è detto ellissoide reale, o semplicemente ellissoide; in tal caso, riscrivendo l equazione di Q nella forma Q : x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 =1 (a 2 = δ/α, ecc.),icoefficienti a, b, c si dicono semiassi di Q ed hanno significato geometrico analogo a quello dei semiassi dell ellisse (cf. figura). Un ellissoide è di rotazione se e solo se ha almeno due semiassi uguali tra loro (in tal caso viene anche detto sferoide) ed è una sfera se e solo se a = b = c. IPERBOLOIDI IPERBOLICI (o AD UNA FALDA) in forma canonica Sono le quadriche Q rappresentate da un equazione del tipo αx 2 + βy 2 + γz 2 = δ con δ > 0 econuncoefficiente α, β, γ negativo e due positivi. A seconda delle possibili combinazioni dei segni dei coefficienti α, β, γ, l iperboloide Q può avere tre configurazioni diverse (riportate in figura), che ritraggono sostanzialmente la stessa superficie

2 2 M.GUIDA, S.ROLANDO, 2014 disposta in tre posizioni diverse rispetto agli assi. Ai fini di una rappresentazione grafica di Q, basta allora tener presente la forma comune alle tre configurazioni e riconoscere la configurazione specifica intersecando Q con i piani coordinati. α > 0, β > 0, γ < 0 interseca z =0in un ellisse (x =0e y =0in iperboli) α > 0, β < 0, γ > 0 interseca y =0in un ellisse (x =0e z =0in iperboli) α < 0, β > 0, γ > 0 interseca x =0in un ellisse (y =0e z =0in iperboli) L iperboloide ad una falda è una superficie rigata (cioè unione di rette) ed è di rotazione se e solo se i due coefficienti positivi della sua equazione sono uguali tra loro. IPERBOLOIDI ELLITTICI (o A DUE FALDE) in forma canonica Sono le quadriche Q rappresentate da un equazione del tipo αx 2 + βy 2 + γz 2 = δ con δ > 0 e con due coefficienti α, β, γ negativi e uno positivo. Per una rappresentazione grafica di Q, valgono le considerazioni già fatte per l iperboloide a una falda. α < 0, β < 0, γ > 0 non interseca z =0 (x =0e y =0in iperboli) α < 0, β > 0, γ < 0 non interseca y =0 (x =0e z =0in iperboli) α > 0, β < 0, γ < 0 non interseca x =0 (y =0e z =0in iperboli) L iperboloide a due falde è di rotazione se e solo se i due coefficienti negativi della sua equazione sono uguali tra loro. PARABOLOIDI ELLITTICI in forma canonica Sono le quadriche Q rappresentate da un equazione di uno dei seguenti tipi: αx 2 + βy 2 =2δz, αx 2 + βz 2 =2δy, αy 2 + βz 2 =2δx con δ > 0 e α, β concordi. A seconda del tipo di equazione e del segno di α, β (entrambi positivi o entrambi negativi), il paraboloide Q può avere sei configurazioni diverse (riportate in figura), che ritraggono sostanzialmente la stessa superficie disposta in modo diverso rispetto agli assi. Per disegnare Q, basta allora tener presente la forma comune alle sei configurazioni e riconoscere quella specifica intersecando Q con piani ortogonali all asse della variabile che appare al primo grado nell equazione.

3 M.GUIDA, S.ROLANDO, αx 2 + βy 2 =2δz, α, β > 0 interseca z = k>0 in ellissi (x =0e y =0in parabole) αx 2 + βz 2 =2δy, α, β > 0 interseca y = k>0 in ellissi (x =0e z =0in parabole) αy 2 + βz 2 =2δx, α, β > 0 interseca x = k>0 in ellissi (y =0e z =0in parabole) αx 2 + βy 2 =2δz, α, β < 0 interseca z = k<0 in ellissi (x =0e y =0in parabole) αx 2 + βz 2 =2δy, α, β < 0 interseca y = k<0 in ellissi (x =0e z =0in parabole) αy 2 + βz 2 =2δx, α, β < 0 interseca x = k<0 in ellissi (y =0e z =0in parabole) Il paraboloide ellittico è sempre un grafico ed è di rotazione se e solo se α = β. PARABOLOIDI IPERBOLICI (o A SELLA) in forma canonica Sono le quadriche Q rappresentate da un equazione di uno dei seguenti tipi: αx 2 + βy 2 =2δz, αx 2 + βz 2 =2δy, αy 2 + βz 2 =2δx con δ > 0 e α, β discordi. A seconda del tipo di equazione e dei segni di α e β, il paraboloide Q può avere sei configurazioni diverse, riportate in figura. Per rappresentare graficamente Q, bastatenerpresentelaforma comune alle sei configurazioni e riconoscere quella specifica intersecando Q con i due piani coordinati contenenti l asse della variabile che appare al primo grado nell equazione. αx 2 + βy 2 =2δz α > 0, β < 0 interseca x =0e y =0 in parabole (z = k in iperboli) αx 2 + βz 2 =2δy α > 0, β < 0 interseca x =0e z =0 in parabole (y = k in iperboli) αy 2 + βz 2 =2δx α > 0, β < 0 interseca y =0e z =0 in parabole (x = k in iperboli)

4 4 M.GUIDA, S.ROLANDO, 2014 αx 2 + βy 2 =2δz α < 0, β > 0 interseca x =0e y =0 in parabole (z = k in iperboli) αx 2 + βz 2 =2δy α < 0, β > 0 interseca x =0e z =0 in parabole (y = k in iperboli) αy 2 + βz 2 =2δx α < 0, β > 0 interseca y =0e z =0 in parabole (x = k in iperboli) Il paraboloide iperbolico è una superficie rigata, è sempre un grafico e non è mai di rotazione.

5 M.GUIDA, S.ROLANDO, QUADRICHE / ESERCIZI È sottinteso che nello spazio si è fissato un riferimento cartesiano R =(O; x, y, z). Ricordiamo brevemente i seguenti fatti teorici. Quadriche non degeneri in forma canonica. Hanno equazione di due tipi: reale se,, > 0 ellissoide se,, concordi immaginario se,, < 0 x 2 + y 2 + z 2 = con,, = 0e > 0 a1falda(oiperbolico) il numero di falde iperboloide coincide con il numero se,, discordi di coe cienti negativi a 2 falde (o ellittico) tra,, x 2 + y 2 =2 z con, = 0e > 0 (o x 2 + z 2 =2 y, o y 2 + z 2 =2 x) paraboloide ellittico se, concordi iperbolico (o a sella) se, discordi L ellissoide si disegna tramite semiassi (come l ellisse). Le altre si disegnano conoscendo le loro 4 figure e posizionandole rispetto agli assi tramite intersezioni con piani ortogonali agli assi. Riconoscimento di cilindri. Sia S : F (x, y, z) =c una superficie cartesiana. Se F (x, y, z) non dipende da x oday odaz, alloras è l insieme vuoto (ad es. x 2 + y 2 = 1) oppure S è un cilindro fatto di rette parallele all asse coordinato della variabile assente. Riconoscimento di coni. Sia S : F (x, y, z) =0una superficie cartesiana. Se F (x, y, z) è una somma di monomi dello stesso grado in x, y, z, alloras è la sola origine (ad es. x 2 + y 2 + z 2 =0) oppure S è un cono con vertice nell origine. ESERCIZIO 1. Riconoscere e disegnare le seguenti quadriche: (i) Q :2x 2 +3y 2 +2z 2 =3 (ii) Q : x 2 2y 2 z 2 2=0 (iii) Q : x 2 y +3z 2 =0 (iv) Q : x 2 y 2 4z 2 +1=0 (v) Q : x 2 + z 2 6z +6=0 (vi) Q : x 2 + y 2 3z 2 =0. ESERCIZIO 2. Classificare le seguenti quadriche al variare del parametro reale t: (i) Q t : x 2 ty 2 + tz 2 1=0 (ii) Q t : x 2 +2y 2 + tz 2 = t 2 (iii) Q t : x 2 ty 2 + tz 2 +1=0.

6 2 M.GUIDA, S.ROLANDO, 2014 Risultati esercizio 1. (i) Q è un ellissoide (in forma canonica), di semiassi a = 3/2, b =1e c = 3/2. Il suo disegno è in Figura 1. (ii) Q : x 2 2y 2 z 2 =2è un iperboloide a due falde (in forma canonica), disposto in modo da non intersecare il piano x =0(l equazione 2y 2 z 2 =2è impossibile). Il suo disegno èinfigura2. (iii) Q : x 2 +3z 2 = y è un paraboloide ellittico (in forma canonica), che interseca i piani y = k con k>0 nelle ellissi x 2 +3z 2 = k, y = k. Il suo disegno è in Figura 3. (iv) Q : x 2 +y 2 +4z 2 =1è un iperboloide ad una falda (in forma canonica), disposto in modo da intersecare il piano x =0nell ellisse y 2 +4z 2 =1, x =0. Il suo disegno è in Figura 4. (v) Q è un cilindro parallelo all asse y. Completando il quadrato in z, sitrova Q : x 2 +(z 3) 2 =3 e quindi Q interseca il piano y =0secondo la circonferenza con centro in (0, 0, 3) e raggio 3. Il suo disegno è in Figura 5. (vi) Q : x 2 + y 2 3z 2 =0è un cono (di rotazione) con vertice nell origine, che interseca i piani z = k secondo le circonferenze x 2 + y 2 =3k 2, z = k. Il suo disegno è in Figura 6. Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5 Figura 6 Risultati esercizio 2. (i) Q t : x 2 ty 2 + tz 2 =1è un iperboloide ad una falda se t = 0,mentreQ 0 : x 2 =1èla coppia di piani x = ±1.

7 M.GUIDA, S.ROLANDO, (ii) Q t è un ellissoide a punti reali se t>0 ed un iperboloide ad una falda se t<0. Set =0, allora Q 0 : x 2 +2y 2 =0è una retta (l asse z), in quanto l equazione x 2 +2y 2 =0equivale a x = y =0. (iii) Q t : x 2 + ty 2 tz 2 =1è un iperboloide a due falde se t = 0,mentreQ 0 : x 2 =1non ha punti reali.