DEFINIZIONE E UNA CLASSIFICAZIONE PER LE FUNZIONI n

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1 CAPITOLO : FUNZIONI DEFINIZIONE E UNA CLASSIFICAZIONE PER LE FUNZIONI n m Siano m, n { 1,, } Definiamo funzione, da R a R, una azione, n denominata f, che ad ogni punto P di R, ovvero di un suo sottoinsieme n non vuoto Ω R, ( P è la variabile d ingresso o indipendente) fa m corrispondere un unico punto Q di R (Q è la variabile dipendente): INPUT OUTPUT n P R n m scriveremo f : R R ; INPUT f m Q R OUTPUT P Ω f m Q R m scriveremo f : Ω R Per evidenziare la dipendenza della variabile Q dalla variabile P, si scrive Q = f ( P) Interessano particolarmente i seguenti casi m = n =1(funzione reale di variabile reale): al posto della relazione Q = f ( P) si può scrivere y = f ( ), ove è la variabile indipendente ed y la variabile dipendente n = e m = 1 (funzione reale di due variabili reali): al posto di Q = f ( P) si può scrivere z = f (, y), ove, y sono le variabili indipendenti e z è la variabile dipendente n = e m = 1 (funzione reale di tre variabili reali): al posto di Q = f ( P) si può scrivere w = f (, y, z), ove, y, z sono le variabili indipendenti e w è la variabile dipendente n =1 e m = (funzione di una variabile a valori vettoriali di dimensione due): t è la variabile indipendente ed al posto di Q = f ( P) si può scrivere Q = f () t n =1 e m = (funzione di una variabile a valori vettoriali di dimensione tre): t è la variabile indipendente ed al posto di Q = f ( P) si può scrivere ancora Q = f () t Si potrebbero considerare anche i casi: n = e m =, al posto di Q = f ( P) si può scrivere Q = f ( u, v)= ( ( u,v),y( u,v) ) R ; n = e m =, al posto di Q = f ( P) si può scrivere Q = f ( u, v)= ( ( u,v),y( u,v),z( u,v) ) R ; 1

2 n = e =, al posto di Q = f P si può scrivere Q = f ( u,v, w)= ( ( u,v,w ),y( u,v,w) ) R ; n = e m =, al posto di Q = f ( P) si può scrivere Q = f ( u,v, w)= ( ( u,v,w ),y( u,v,w ),z( u,v,w) ) R m ( ) n DEFINIZIONE l insieme dei punti P R per cui ha senso l espressione f ( P) è detto dominio, o insieme di definizione, della funzione (l insieme di definizione si denota f Ω Dom f ); Dom ( ) e deve essere ( ) m R dei punti f ( P) il sottoinsieme di Q =, al variare di P in Dom f è detto codominio, o insieme immagine, della funzione (si denota con Im( f )) ad ogni funzione resta associato un sottoinsieme, denotato G( f ), dello n m spazio cartesiano prodotto R R, detto grafico della funzione: n m G( f ) = ( P,Q) R R / P Dom( f ) e Q = f ( P) Quando n + m è possibile rappresentare con un disegno il grafico della funzione: nel piano, se n + m =, e nello spazio, se n + m = Mediante una loro rappresentazione grafica, partiamo da alcuni sottoinsiemi di R, ovvero R, e vediamo se sono riconducibili al grafico di una qualche funzione SOTTOINSIEMI DI R CHE SONO IL GRAFICO DI UNA FUNZIONE Questi sottoinsiemi possono essere solo il grafico di una funzione reale di una variabile reale In questo caso una retta parallela all asse y interseca l insieme in non più di un punto LA RETTA ESEMPIO 1 l insieme (,y) R / y = con f ( ) = ; risultano Dom ( f ) = (, + ) e ( f ) = (, + ) l insieme {(,y) R / y = } f ( ) = ; risultano Dom ( f ) = (, + ) e Im ( f ) = (, + ) con b 0 l insieme {(,y) R / a + by + c = 0} funzione f tale che f ( ) a c b b Dom ( f ) = (, + ), mentre: a 0 ( f ) = (, + ) a = 0 Im f = c (fissato y (, + ) abbiamo f 1 ( by + c) ( ) b ( ( by + c) ) c = a b a ( ) è il grafico della funzione f Im è il grafico della funzione f con 1 ( ) = b è il grafico della = In questo caso risulta ancora Im ; ( )= a 1 by + c c y + c c = b b b b y )

3 In ogni caso gli insiemi sono tutti e soli i punti di una retta non parallela all asse y LA PARABOLA Vedere l appendice ESEMPIO L insieme (,y) R / y = con f ( ) =, Dom ( f ) = (, + ) e ( f ) = (, + ) è il grafico della funzione f Im (questo risultato non è ancora pienamente giustificabile) L insieme è anche la cubica di equazione y = ESEMPIO L insieme (,y) R / y = con f ( ) = con Dom ( f ) = (, + ) e ( f ) = [,+ ) è il grafico della funzione f Im 0 ESEMPIO 4 Il grafico della funzione f con ( ) Dom( f ) = [ 0,+ ) e ( f ) = [,+ ) (,y) [ 0, + ) [ 0, + ) / y = f =, con Im 0 (ancora non giustificabile) è l insieme ESEMPIO 5 L insieme (,y) R / y = con f ( ) =, con Dom ( f ) = (, + ) e ( f ) = (, + ) è il grafico della funzione f Im ESEMPIO 6 L insieme (,y) R / y = ma{ n Z,n } della funzione f con f ( ) uguale alla parte intera di f ( ) = []) Abbiamo Dom ( f ) = (, + ) e Im ( f ) = Z è il grafico (si scrive L IPERBOLE Vedere ancora l appendice ESEMPIO 7 Il grafico della funzione f con ( ) Dom( f ) = (, 0 ) ( 0, + ) e ( f ) = (,+ ) 1 f =, con Im 0, è l insieme (,y) R,con y 0/ y = 1 (fissato (,+ ) y 0 esiste e risulta

4 f 1 1 = y 1 y = y ) ESEMPIO 8 La funzione f con f ( ) = 4 ha come dominio l insieme Dom( f ) = [, ] e come immagine l insieme ( f ) [ 0,] Im = ; fissato y [ 0, ] abbiamo 4 y [ 0, ] Dom( f ) e f 4 y = 4 4 y = 4 ( 4 y )= y = y = y L insieme ( ) ( ) ( ),y Dom f Im f / y = 4 y, grafico della funzione f, è una mezza circonferenza di centro l origine e raggio SOTTOINSIEMI DI R CHE NON SONO IL GRAFICO DI UNA FUNZIONE: INSIEMI DI LIVELLO PER UNA FUNZIONE IN DUE VARIABILI Siano la funzione f : R e Ω R Im( f ) α DEFINIZIONE Definiamo insieme di livello α per la funzione f il seguente sottoinsieme, non vuoto, di Dom ( f ): P Dom f / f P = α { ( ) ( ) } Più propriamente quelli definiti sono le proiezioni degli insiemi di livello α sul piano y Per ora possiamo permetterci di confonderli ESEMPIO 9 Supponiamo che la quota di una montagna sia espressa, in 4 metri, dalla formula f (,y) = 4000 y Vediamo che V = ( 0, 0, f ( 0, 0) ) è il punto della montagna a quota più alta ( f ( 0, 0) = 4000 ) Come ed y aumentano, in modulo, la quota diminuisce ({(,y) R / f (, y) = α} α 4000 ) In questo caso il punto più alto è V e le curve di livello indicano punti a quota non maggiore Tutti i punti su una curva di livello sono alla stessa quota e due curve di livello diverso non possono avere punti in comune Alcuni notevoli sottoinsiemi di livello R possono essere visti come insiemi di 4

5 LA CIRCONFERENZA Sono assegnati C 0 = ( 0, y0 ) R ed r [ 0,+ ) DEFINIZIONE La circonferenza, di centro punti (,y) del piano tali che d C,,y = ( ( )) r C0 0 e raggio r, è l insieme dei Poiché abbiamo d ( C0,(,y) ) = r ( C0,(,y) ) r ( ) + ( y y) = + + y d = 0 0 r y y0 y = r + y 0 y0 y y0 r = 0, possiamo affermare che la curva di livello 0 della funzione f : R R, con f (,y) = + y 0 y0 y 0 + y0 r, è la circonferenza di centro, e raggio r 0,+ ( 0 ) [ ) 0 y ESEMPIO 10 se c ( 0, + ) allora l insieme (,y) R / + y = c, circonferenza di centro l origine e raggio c, è l insieme di livello 0 della funzione f : R R con f (,y) = + y c, ovvero l insieme di livello c della funzione f : R R con f (,y) = + y se c (, 0) allora l insieme {(,y) R / + y = c} è un insieme vuoto ESEMPIO 11 determinare una equazione per la circonferenza di raggio e centro nel punto ( 1,) La circonferenza è l insieme,y R / d,y, 1, = ; una sua equazione risulta essere {( ) (( )( )) } d ((,y)(, 1, ) ) =, ovvero ( 1) + ( y ) =, ( 1) + ( y ) = 9 Se poniamo, = 1 e y, = y, allora, rispetto alle nuove coordinate, y,, l equazione della circonferenza è, + y, ( ) ( ) = 9 scrivere l espressione analitica di una funzione f : R R che ha la circonferenza come curva di livello 0 ( 1) + ( y ) = y + 4 4y 9 = 0 + y 4y 4 = 0 e f,y = + y 4y ( ) 4 5

6 NOTA 1 L equazione + y = 1, ovvero + y 1 = 0, non può essere riscritta nella forma y f = Possiamo solo riscriverla nella forma ( ) 0 y = 1 Per ogni [ 1, 1] questa ha le soluzioni y = 1 e y = 1 che risultano distinte per ( 1, 1) Geometricamente questi due valori corrispondono alle ordinate dei punti evidenziati nel disegno =, ha come grafico la metà superiore della circonferenza (vedere Esempio 8) Similmente la funzione La funzione f :[ 1, 1] R, con f ( ) 1 [ 1, ] R ( ) g : 1, con g = 1, ha come grafico la metà inferiore della stessa circonferenza Nessuna delle due funzioni è definita al di fuori dell intervallo 1, 1 [ ] I punti (, y), le cui coordinate soddisfano l equazione + y = 1, sono tutti e soli i punti che distano 1 dall origine Essi formano una circonferenza di raggio 1e centro l origine Similmente i punti (, y), le cui coordinate soddisfano l equazione + y = 4, sono tutti e soli quelli che distano dall origine Il risultato può essere esteso? L espressione a + ay + b + cy + d = 0, con 0 a, b, c e d R può essere l equazione di una circonferenza? ESEMPIO 1 Data la relazione + y + 4 6y 10 = 0 vogliamo vedere se è l equazione di una circonferenza, e, in caso affermativo, determinarne centro e raggio il coefficiente di è uguale al coefficiente di y che, dividendo, possono essere resi uguali a 1: + y + y 5 = 0 Poiché risulta: ( a) + ( y b) = r ( a) + ( y b) = r a + a + y by + b r = 0 + y a by + ( a + b r ) = 0, la relazione + y + y 5 = 0 è l equazione della circonferenza di centro il punto ( a,b) e raggio r se a, b e r sono soluzione del sistema a = b = a + b r = 5 (l espressione di partenza è l equazione di una circonferenza se e solo se nella terza equazione r risulta uguale ad un numero positivo) 6

7 b = ed r = ( 1) + ( ) + 5= Allora la relazione + y + y 5 = 0 può essere Risolvendo il sistema, abbiamo a = 1, = 4 4 riscritta nella forma e questa è l equazione (in ( + 1 ) + ( y ) = 4 forma standard) della circonferenza di raggio e centro il punto ( 1, ) ESEMPIO 1 Data la relazione + y + y + 4 = 0 vogliamo vedere se è l equazione di una circonferenza, e, in caso affermativo, determinarne centro e raggio La relazione in esame è l equazione della circonferenza di centro il punto ( a, b) e raggio r se a, b e r sono soluzione del sistema a = b = a + b r = 4 a = a = 1 D altra parte b = = a = 1 b b = a + b r = , r = 4 4 r = < 0 4 allora il sistema non ha soluzioni e la relazione iniziale non è l equazione di una circonferenza L ELLISSE Siano a, b, c, d, e R, con ab > 0, e f (,y) = a + by + c + dy + e,y R / f, y = 0 può essere una ellisse Allora l insieme di livello ( ) ( ) α y y β di equazione (standard) ( ) + ( ) = 1 ( ) 4 ESEMPIO 14 Sia f,y = 4 + 5y y + Vogliamo vedere se l insieme {(,y) R / f (, y) = 0} è una ellisse e, in caso affermativo, scriverne l equazione standard Si procede come nell esempio visto per la circonferenza: α y y β ( ) + ( ) = 1 β β ( ) + α ( y y) α β = 0 β + β ( ) + α α yy + α ( y) α b = 0 + α y β α yy + β ( ) + α ( ) β = β y 7 y α 0

8 { = 0} (,y) R / F(, y) è una ellisse se e solo se ha soluzione il sistema nelle quattro incognite α, β, e y : β = 4 β = 4 α = 5 α = 5 β = 8 = 8 ; = 1 8 α y = 100 y = 100 = 50 l insieme è una ellisse e la sua equazione standard risulta essere ( 1) ( y+ ) + = Come può essere descritta geometricamente una ellisse? ESEMPIO 15 Rappresentare graficamente l ellisse con equazione + y 4 9 standard = 1 intersezione dell ellisse con l asse : y + = = 1 = 4 {, } 4 ; y = 0 y = 0 y = 0 y = 0 le intersezioni sono i punti (,0) e (, 0) ; intersezione dell ellisse con l asse y : + 4 = 0 y 9 = 1 y = 1 = 9 y, 9 ; = 0 = 0 = 0 0, e ( 0, ) a,b appartiene all ellisse a,b a, b a, b appartengono all ellisse y le intersezioni sono i punti ( ) l ellisse è un insieme simmetrico: se il punto ( ) anche i punti ( ), ( ) e ( ) asse y C ( 0 5) e C ( 0, 5) consideriamo i punti (fuochi), sull, 1, punto (, y) appartiene all ellisse se e solo se d( C1,(,y) ) + d( C,(, y) ) = 6 Cominciamo col considerare i punti (,y) con 1 y 0 d ( C1,(,y) ) + d( C,(, y) ) = 6 ( d ( C1,(,y) ) + d( C,(, y) )) = 6 d 0, 5,,y + d 0, 5,, y = ( ( )( )) ( )( ) ) 6 + ( 5 y) + + ( 5 y) + ( 5 y) + ( 5 ) = 6 + y y 5y y + 5y + 8 Il

9 + 5 + y 5y y + 5y = y + ( + y + 5) ( 5y) ( + y + 5) + ( 5y) = 18 ( + y + 5) ( 5y) = 1 y y y y 0y = 1 y y y y = 1 y 4 4 ( 1 ) + y y y = y y y y = y 6 6y + y y = y = y = y = 1 + y = siamo ora in grado di rappresentare graficamente l ellisse DEFINIZIONE Sono assegnati due punti C1, del piano e α 0, + L ellisse, avente i fuochi nei punti C1, C appartenenti all asse maggiore lungo α, è l insieme dei punti (,y) del piano tali che C,,y + d C,, y = ( ( )) ( ( )) α d 1 C ( ) NOTA la definizione permette di rappresentare graficamente l ellisse se C 1 = C, allora l ellisse degenera in una circonferenza di centro C1 e raggio 1 α Partendo dalla definizione come si opera per rappresentare graficamente una ellisse? Consideriamo l ellisse di equazione y + = 1, con a,b > 0 b a a > b: l asse maggiore è il segmento, dell asse, di estremi ( a,0) e ( a,0) ; l asse minore è il segmento, dell, di estremi, b 0,b ; asse y ( 0 ) e ( ) i due fuochi sono i punti a b, 0 e a b, 0 ; α = a a = b: vedere circonferenza a < b : l asse maggiore è il segmento, dell, di estremi, b asse y ( 0 ) e (,b) 9 0 ;

10 l asse minore è il segmento, dell asse, di estremi ( a,0) ( ) e a,0 ; i due fuochi sono i punti 0, b a e 0, b a ; α = b ESEMPIO 16 Rappresentare graficamente l ellisse con equazione standard + y = Poiché = a < b = 5, risultano: l asse maggiore è il segmento di estremi ( 0, 5) e ( 5) l asse minore è il segmento di estremi (,0) e (, 0) ; i due fuochi sono i punti ( 0, 1) e ( 1) α =10 0, ; 0, ; ESEMPIO 17 Rappresentare graficamente l ellisse con equazione standard ( 1) ( y+ ) + = Si premette il cambiamento di variabili, = 1 e y, = y + (nelle vecchie variabili l origine è spostata, senza rotazioni, in ( 1, ) ) Si deve rappresentare, nelle nuove variabili, l ellisse con equazione, y +, 5 4 ( ) ( ) standard = 1 Per il disegno è meglio rappresentare le due coppie di assi LA PARABOLA Qui interessa l insieme (,y) vedere l appendice { R / a + by + cy + d = 0} con ab 0: SOTTOINSIEMI DI R CHE NON SONO IL GRAFICO DI UNA FUNZIONE: SOSTEGNO DI UNA FUNZIONE IN UNA VARIABILE A VALORI VETTORIALI DI DIMENSIONE DUE Siano Ω R e la funzione f : Ω R, con f ( t ) = ( ( t),y( t) ), una funzione a valori vettoriali di dimensione due Per come è stato definito risulta G( f ) = {( t,() t,y() t ) R / t Dom( f )} I n questo caso interessa l insieme immagine o sostegno della funzione {( () t,y() t ) R / t Dom( f )} e una sua rappresentazione grafica Dato un sottoinsieme di R se questo è il sostegno della funzione vettoriale f, allora la funzione stessa ne è una parametrizzazione 10

11 ESEMPIO 18 Sia la funzione g : Ω R L insieme G ( g) (grafico della funzione, (,y) R / Ω, y = g( ) ) è il sostegno della funzione vettoriale f : Ω R, con f () t = ( t,g( t) ) () t = t, t Ω, è una parametrizzazione dell insieme G( g) y() t = g() t ESEMPIO 19 L insieme (,y) vertici ( 1, 0), ( 0, 1), ( 1,0 ) e modi { R / + y = 1} è il bordo del quadrato di ( 0, 1) Questo insieme può essere visto in altri è l insieme di livello 1 della funzione f : R R tale che f,y = + ; ( ) y, tale che = t + è il sostegno della funzione vettoriale f :[ 0 4] R () t = t ( t) f () t = ( () t,y() t ) e:, per t [ 0, 1) ; y() t = t + 1 y() t () t = t + ( t) = t 4, per t [,) ;, per t [,4] y() t = t y() t = t = t + 1, per t [ 1, ); Gli insiemi descritti nei quattro casi sono segmenti; le equazioni sono quelle di una retta con delle limitazioni sui parametri Nel seguente esempio viene considerato un insieme che non è il grafico di una funzione e non può essere convenientemente visto come un insieme di livello ESEMPIO 0 Rappresentare graficamente il sostegno della funzione vettoriale f :[ 0, 4] R tale che f ( t ) = ( ( t),y( t) ) e: () t = t () t = 1 ( t) = t 1, per t [ 0, 1) ;, per t [ 1, );, per t [,) ; y() t = 0 y() t = t 1 y() t = 1 () t = t + 8, per t [,4] y() t = t + 4 ALCUNI SOTTOINSIEMI DI R Nello spazio tridimensionale possono essere considerati, fra i suoi sottoinsiemi, i grafici delle funzioni in due variabili, le superfici di livello per le funzioni in tre variabili ed i sostegni delle funzioni vettoriali di dimensione 11

12 GRAFICI DELLE FUNZIONI IN DUE VARIABILI Una rappresentazione di questi grafici non è semplice Sono di aiuto gli insiemi di livello delle funzioni ESEMPIO 1 Sia la funzione f : R R tale che f (,y) = + y Dom ( f ) = R, Im( f ) = R (per ogni α R, risulta f ( α, 0) = α grafico è l insieme (,y,z) R / z = + y Il punto (,y,z) R ) ed il suo appartiene al grafico se e solo se y + z = 0 (equazione del grafico) Allora il grafico è un piano passante per l origine (di equazione y + z = 0) Una sua normale esterna è il vettore ( 1, 11, ) e gli insiemi di livello sono tutti delle rette ESEMPIO Sia la funzione f : R R tale che f (,y) = + y ( f ) = R Im( ) [ 0 ) [ ) Dom e f =,+ (per ogni α 0, + l insieme delle soluzioni dell equazione + y = α è costituito dai punti della circonferenza, che degenera in un punto per α = 0, di centro l origine e raggio α ) Il grafico della funzione è l insieme,y,z R / z = + y Questo insieme si ottiene considerando nel {( ) } piano z ( y = 0), come sottoinsieme di R, la parabola di equazione z = e ruotando la stessa attorno all asse z (paraboloide di rotazione) ESEMPIO Sia la funzione f : R R tale che f (,y) = y ( f ) = R Im( f ) = R α < 0 abbiamo (,y) = y = α {(,y) R / y = α} ( ) = α ; Dom e : per f ed y sono non nulli e di segno opposto è una iperbole, grafico della funzione g con g per α = 0 l insieme {(,y) R / y = α} coincide con i punti degli assi ed y ; per α > 0 l insieme {(,y) R / y = α} è ancora una iperbole, grafico della funzione g con g( ) = α ESEMPIO 4 Sia la funzione f : R R tale che f (,y) = y

13 Risultano Dom Fissato α (, + ( f ) {( )} = R 0, 0 e Im( f ) = ( 0,+ ) 1 + y + y = 1 α 0 ) abbiamo f (,y) = α = α L insieme di livello α della funzione è una circonferenza di centro l origine e raggio 1 Come nell Esempio anche in questo caso il α grafico della funzione si ottiene ruotando attorno all asse z il grafico di una opportuna funzione (quale?) SUPERFICI DI LIVELLO PER LE FUNZIONI IN TRE VARIABILI Sia la funzione f : R R Non possiamo sperare di rappresentare il grafico, però possiamo, in alcuni casi, rappresentarne gli insiemi di livello,y,z R / f,y, z = α α Im f {( ) ( ) } che è non vuoto se e solo se ( ) ( ) ESEMPIO 5 Siano 0,y0,z0 R è fissato e la funzione f : R R tale che f (,y,z)= ( 0 ) + ( y y0 ) + ( z z0) per α > 0 ( α = r, r > 0 ) l insieme {(,y,z) R / ( 0 ) + ( y y0 ) + ( z z0 ) = α} è la superficie sferica (sfera) di equazione ( 0 ) + ( y y0 ) + ( z z0 ) = r, con centro nel punto ( 0,y0, z0 ) e raggio r ; l insieme dei punti che soddisfano la disequazione ( 0 ) + ( y y0 ) + ( z z0 ) α è la palla (piena) di centro il punto ( 0,y0, z0 ) e raggio r per = 0 l insieme si riduce al punto,y, α ( ) 0 0 z0 ESEMPIO 6 Sia la funzione f : { R / + y + z = 1} l insieme (,y,z) vertici nei punti ( 1 0, 0) R R tale che f (,y,z) = + y + z è la superficie del prisma con,, ( 0, 10, ), ( 1, 0, 0), ( 0, 10, ), ( 0, 01, ) e ( 0, 0, 1) ; può essere visto anche come la superficie di livello 1 della funzione f la disequazione + y + z 1 caratterizza i punti del prisma (pieno) con vertici nei punti ( 1 0, 0),, ( 010, ),, ( 1, 0, 0), ( 0, 10, ), ( 0, 01, ) e ( 0 0, 1), SOSTEGNI DI FUNZIONI VETTORIALI DI DIMENSIONE TRE ESEMPIO 7 sia la funzione f : R R, con f ( t) = ( ( t),y( t),z( t) ) = ( 1 + t, t, t), una funzione a valori vettoriali di dimensione tre Il sostegno 1

14 di questa funzione vettoriale è rappresentato dalla retta passante per il punto ( 1,, 0) e avente come direzione il vettore ( 1, 11, ) sia la funzione f : R R, con f ( t) = ( ( t),y( t),z( t) ) = ( 1+ t, t, t ), una funzione a valori vettoriali di dimensione tre Il sostegno di questa funzione vettoriale è rappresentato dalla semiretta che parte dal punto ( 1,, 0) nella direzione del vettore ( 1, 11, ) [, ) ( ) ( ( ) ( ) ( )) = ( ) sia la funzione g : 0 + R, con g t = t,y t,z t 1 + t, t,t, una funzione a valori vettoriali di dimensione tre Il sostegno di questa funzione vettoriale è rappresentato dalla stessa semiretta del caso precedente È notevole che diverse funzioni a valori vettoriali abbiano lo stesso sostegno Viceversa, se possibile, la parametrizzazione di un insieme con una funzione vettoriale non è unica f [ ] ESEMPIO 8* Sia la funzione : 0, 0π R, con f () t = ( () t,y() t,z( t) )= ( cos t,sint, t), una funzione a valori vettoriali di dimensione tre Il sostegno di questa funzione vettoriale è rappresentato da una spirale attorno all asse z È di facile verifica quando si conoscono le funzioni trigonometriche Torneremo in un altro capitolo per esempi di questo tipo 14