la somma delle distanze dai due fuochi assume il valore costante 2a.

Transcript

1 Appendice A Le coniche A.1 L ellisse Rappresentazione implicita L ellisse di semiassi a e b (0 < b a) è una curva del piano dotata di due assi di simmetria ortogonali che, nel riferimento individuato da tali assi, si esprime nella forma implicita x 1 a + x b 1. (A.1.1) L ellisse è una curva chiusa e limitata che interseca l asse x 1 nei punti di ascissa ±a e l asse x nei punti di ordinata ±b. Il punto di intersezione tra gli assi di simmetria si denomina centro dell ellisse. Si definiscono fuochi i due punti dell asse x 1 di ascissa ±c con c a b. (A.1.) Si definiscono, ancora, direttrici le due rette di equazione x 1 ± a c. (A.1.3) (i) L ellisse di semiassi a e b coincide con il luogo dei punti del piano per i quali la somma delle distanze dai due fuochi assume il valore costante a. (ii) L ellisse di semiassi a e b coincide con il luogo dei punti del piano per i quali il rapporto tra la distanza da un fuoco e quella dalla corrispondente direttrice assume il valore costante c/a. Il numero e c a, (A.1.4) 355

2 356 d1 d P F1 F Figura A.1.1: l ellisse. il cui significato geometrico è definito dalla (ii), prende il nome di eccentricità dell ellisse ed è, per sua definizione, compreso nell intervallo [0, 1). La distanza p a c c (A.1.5) di un fuoco dalla corrispondente direttrice definisce il parametro dell ellisse. La completa determinazione di un ellisse, nel riferimento dei suoi assi di simmetria, richiede l assegnazione di due elementi. Questi possono essere i valori dei due semiassi a e b; il secondo semiasse può essere sostituito dalla distanza focale c. Anche la coppia formata dall eccentricità e e dal parametro p è sufficiente a individuare la curva. Nelle applicazioni, sovente, si suole rappresentare l ellisse per mezzo del semiasse maggiore a e dell eccentricità e. Per tale motivo è utile esprimere gli altri elementi dell ellisse in funzione di questi due: c ae, b a 1 e, p a 1 e. (A.1.6) e Rappresentazione parametrica: l anomalia eccentrica Dalla rappresentazione implicita (A.1.1) dell ellisse scaturisce immediatamente l esistenza di un angolo α il cui coseno vale x 1 /a ed il cui seno vale x /b. Si determina in tal modo una rappresentazione parametrica dell ellisse: x 1 a cos α, x b sin α. (A.1.7)

3 357 θ α φ Figura A.1.: anomalia centrale, anomalia focale, anomalia eccentrica. Ogni punto dell ellisse corrisponde a un determinato valore dell angolo α che prende il nome di anomalia eccentrica del punto. Per chiarire il significato geometrico di tale parametro, si osservi che a cos α può interpretarsi come l ascissa del punto della circonferenza di raggio a la cui anomalia vale α; similmente, b sin α è l ordinata del punto della circonferenza di raggio b di anomalia α. Dunque, disegnate le due circonferenze di raggi a e b, si tracci la semiretta con origine nel centro dell ellisse ed anomalia α. Dal punto in cui questa semiretta interseca la circonferenza interna si conduca una retta parallela all asse delle ascisse; similmente, dal punto in cui la semiretta interseca la circonferenza esterna si disegni la retta parallela all asse delle ordinate. Le due rette si intersecano in un punto che appartiene all ellisse e che ha anomalia eccentrica uguale ad α. Rappresentazione polare Una seconda rappresentazione polare dell ellisse, accanto alla (??), si stabilisce assumendo quale polo un fuoco, ad esempio quello di ascissa positiva, e quale semiasse polare la semiretta uscente dal polo e avente direzione e verso del semiasse delle ascisse positive. Denotate con (r, φ) le coordinate polari che in tal modo si definiscono, risulta x 1 c + r cos φ, (A.1.8) x r sin φ. Inserendo tali espressioni nella (A.1.1) e moltiplicando per a b, si ottiene b (c + r cos φ) + a r sin φ a b

4 358 e dunque 0 a b b c b r cos φ b cr cos φ a r sin φ b (a c ) b r cos φ b cr cos φ a r + a r cos φ b 4 + (a b )r cos φ b cr cos φ a r b 4 + c r cos φ b cr cos φ a r (b cr cos φ) a r, donde segue ar b cr cos φ. D altra parte, è b cr cos φ b c(x c) b + c cx a cx a ac 0, e dunque ar b cr cos φ. Risolvendo rispetto a r e tenendo conto delle (A.1.6) si perviene alla seguente rappresentazione dell ellisse ep r (A.1.9) 1 + e cos φ che può anche esprimersi nella forma r a(1 e ) 1 + e cos φ. (A.1.10) Introducendo la (A.1.10) nelle (A.1.8) si determina una nuova rappresentazione parametrica dell ellisse in termini dell anomalia φ: x 1 a e + cos φ 1 + e cos φ, x a (1 e ) sin φ 1 + e cos φ. (A.1.11)

5 359 Rappresentazione parametrica polare Una ulteriore rappresentazione polare dell ellisse si determina esprimendo la distanza dal fuoco in funzione dell anomalia eccentrica. Si ha, infatti, r (x 1 c) + x (a cos α c) + b sin α a cos α + c ac cos α + b b cos α c cos α + a ac cos α (a c cos α), ovvero r a c cos α. In termini di semiasse maggiore ed eccentricità, si ha r a(1 e cos α). (A.1.1) Uguagliando le due rappresentazioni (A.1.10) e (A.1.1), che esprimono entrambe la distanza del punto corrente dell ellisse dal fuoco, si ha a(1 e ) a(1 e cos α). (A.1.13) 1 + e cos φ Risolvendo la (A.1.13) rispetto a cos α e utilizzando l identità sin φ ± 1 cos φ, si determinano immediatamente le due relazioni cos φ cos α e 1 e cos α, 1 e sin φ sin α, 1 e cos α (A.1.14) che forniscono implicitamente il legame tra l anomalia reale e quella eccentrica di un medesimo punto dell ellisse. In modo del tutto analogo si stabiliscono le due formule inverse cos α e + cos φ 1 + e cos φ, (A.1.15) 1 e sin φ sin α 1 + e cos φ. La relazione che lega tra loro i valori di φ e α relativi a un medesimo punto può anche esprimersi in una diversa forma ricorrendo alle formule di bisezione della

6 360 tangente; si ha ovvero tan φ sin φ 1 + cos φ ( 1 e 1 + cos α e ) 1 sin α 1 e cos α 1 e cos α 1 e 1 e cos α 1 e cos α 1 e cos α + cos α e sin α 1 e sin α 1 e 1 + cos α tan φ 1 + e 1 e tan α. (A.1.16) La (A.1.1) insieme alla (A.1.16) fornisce una rappresentazione polare parametrica in funzione dell anomalia eccentrica. Vogliamo infine determinare le derivate delle due funzioni α(φ) e φ(α), inversa l una dell altra, che esprimono il cambiamento di parametro tra anomalia e anomalia eccentrica. Differenziando la (A.1.14) 1, si ha r a(1 e cos α) r a 1 e φ e dunque sin φ dφ 1 e sin α dα (1 e cos α) 1 e φ 1 e cos α. (A.1.17) Del tutto analogamente, differenziando la (A.1.15) 1, si ha da cui segue sin α dα 1 e sin φ dφ, (1 + e cos φ) 1 e α 1 + e cos φ. (A.1.18) A. L iperbole Rappresentazione implicita L iperbole di semiassi a e b è una curva del piano dotata di due assi di simmetria ortogonali che, nel riferimento individuato da tali assi, si esprime nella forma implicita x 1 a x b 1. (A..1)

7 361 L iperbole è costituita da due componenti connesse, i rami, ciascuna delle quali è una curva aperta e non limitata. L iperbole interseca l asse x 1 nei punti di ascissa ±a e non ha intersezioni con l asse delle ordinate. Il punto di intersezione tra gli assi di simmetria si denomina centro dell iperbole. Si definiscono fuochi i due punti dell asse x 1 di ascissa ±c con c a + b. (A..) Si definiscono, ancora, direttrici le due rette di equazione x 1 ± a c. (A..3) (i) L iperbole di semiassi a e b coincide con il luogo dei punti del piano per i quali la differenza tra le distanze dai due fuochi assume, in valore assoluto, il valore costante a. (ii) L iperbole di semiassi a e b coincide con il luogo dei punti del piano per i quali il rapporto tra la distanza da un fuoco e quella dalla corrispondente direttrice assume il valore costante c/a. Il numero e c a, (A..4) il cui significato geometrico è definito dalla (ii), prende il nome di eccentricità dell iperbole ed è, per sua definizione, un numero maggiore di 1. La distanza p c a (A..5) c di un fuoco dalla corrispondente direttrice definisce il parametro dell iperbole. Come nel caso dell ellisse, anche per l iperbole tutti i parametri possono esprimersi a partire dal semiasse a e dall eccentricità; in proposito, è facile ricavare le seguenti identità: c ae, b a e 1, p a e 1. (A..6) e Rappresentazione parametrica: l anomalia eccentrica Una rappresentazione parametrica dell iperbole è espressa dalla coppia di equazioni x 1 ±a cosh α, x b sinh α, (A..7)

8 36 d1 d P F1 F Figura A..1: l iperbole. ξ a dξ 1 ξ ξ a a log(ξ + ξ a ) cosh α + sinh α e α nella quale occorre scegliere il segno + o quello a seconda che ci si riferisca al ramo dell iperbole contenuto nel semipiano delle ascisse positive o in quello delle ascisse negative. Come nel caso dell ellisse, il parametro α si denomina anomalia eccentrica. La sua interpretazione geometrica è però, in questo caso, leggermente meno immediata; essa risulta proporzionale all area del triangoloide che ha un lato coincidente col segmento che congiunge il centro dell iperbole con il suo punto generico, un secondo che si identifica col segmento che congiunge il centro con l intersezione dell iperbole con l asse delle ascisse ed il terzo dato dall arco di iperbole tra l intersezione con l asse delle ascisse ed il punto generico. Tale area vale infatti A ab cosh α sinh α b a ab ab ab α. cosh α sinh α ab log(cosh α + sinh α) a cosh α a ξ a dξ [cosh α sinh α log[a(cosh α + sinh α)] + log a] Rappresentazione polare Determiniamo ora una rappresentazione polare fissando come polo il fuoco di ascissa negativa e come asse polare la semiretta uscente dal polo ed avente di-

9 363 x c x 1 Figura A..: anomalia centrale, anomalia focale, anomalia eccentrica. rezione e verso del semiasse positivo delle ascisse. Denotando con (r, φ) le relative coordinate, si ha x 1 c + r cos φ, (A..8) x r sin φ. Inserendo tali espressioni nella (A..1) e moltiplicando per a b, si ottiene e dunque b ( c + r cos φ) a r sin φ a b 0 a b b c b r cos φ + b cr cos φ + a r sin φ b (a c ) b r cos φ + b cr cos φ + a r a r cos φ b 4 (a + b )r cos φ + b cr cos φ + a r b 4 c r cos φ b cr cos φ + a r (b cr cos φ) + a r, donde segue D altra parte, è ar b cr cos φ. b cr cos φ b c(x 1 + c) b c cx 1 a cx 1. Consideriamo separatamente i due rami dell iperbole. Il primo, quello che contiene il fuoco all interno della propria concavità, è contenuto nel semipiano x 1 < 0 e tutti

10 364 i suoi punti hanno ascissa minore di a; si ha pertanto b cr cos φ a cx 1 a + ac a(c a) > 0 e quindi ar b cr cos φ, da cui, risolvendo rispetto a r e tenendo a mente le (A..6), si ottiene r ep 1 + e cos φ. (A..9) ovvere, equivalentemente, φ ( arccos( e 1 ), arccos( e 1 )) r a(e 1) 1 + e cos φ. (A..10) Introducendo la (A..10) nelle (A..8) si determina una nuova rappresentazione parametrica per il ramo di iperbole considerato in termini dell anomalia φ: e + cos φ x 1 a 1 + e cos φ, x a (e 1) sin φ 1 + e cos φ. (A..11) Per quanto riguarda il ramo dell iperbole contenuto nel semipiano x 1 > 0, si ha b cr cos φ a cx 1 < 0 e dunque da cui o anche ar b + cr cos φ; r ep 1 + e cos φ. r a(e 1) 1 + e cos φ. Le corrispondenti equazioni parametriche sono (A..1) (A..13) x 1 a e + cos φ 1 + e cos φ, x a (e 1) sin φ 1 + e cos φ. (A..14)

11 365 Rappresentazione parametrica polare La rappresentazione polare dell iperbole si determina esprimendo la distanza dal fuoco in funzione dell anomalia eccentrica. Per quanto riguarda il ramo con le ascisse negative si ha r (x 1 + c) + x ( a cosh α + c) + b sinh α a cosh α + c ac cosh α + b cosh α b c cosh α + a ac cosh α (c cosh α a), ovvero r c cosh α a. In termini di semiasse maggiore ed eccentricità, si ha r a(e cosh α 1). (A..15) In modo del tutto analogo, per il ramo dell iperbole di ascisse positive si trova r a(e cosh α + 1). (A..16) Uguagliando le due rappresentazioni (A..10) e (A..15), che esprimono entrambe la distanza del punto corrente dell iperbole dal fuoco, si ha a(e 1) a(e cosh α 1). (A..17) 1 + e cos φ Risolvendo la (A..17) rispetto a cos α e utilizzando l identità sin φ ± 1 cos φ, si determinano immediatamente le due relazioni cos φ e cosh α e cosh α 1, e 1 sin φ sinh α. e cosh α 1 (A..18) In modo del tutto analogo si determinano le relazioni inverse cosh α e + cos φ 1 + e cos φ e 1 sinh α sin φ. 1 + e cos φ (A..19)

12 366 Anche nel caso dell iperbole possiamo esprimere il legame tra le variabili φ e α in modo più diretto ricorrendo alle formule di bisezione; si ha ovvero tan φ sin φ 1 + cos φ ( e e cosh α ) 1 sinh α e cosh α 1 e cosh α 1 e 1 e cosh α 1 e cosh α 1 e cosh α 1 + e cosh α sinh α e 1 sinh α e cosh α tan φ e + 1 e 1 tanh α. (A..0) Vogliamo infine determinare le derivate delle due funzioni α(φ) e φ(α), inversa l una dell altra, che esprimono il cambiamento di parametro tra anomalia e anomalia eccentrica. Differenziando la (A..18) 1, si ha 1 e e sin φ dφ e sin α dα (1 e cos α) r a(e cosh α 1) r a e 1 φ e dunque φ e 1 e cosh α 1. Del tutto analogamente, differenziando la (A..19) 1, si ha e 1 e sinh α dα e sin φ dφ, (1 + e cos φ) (A..1) da cui segue α e e cos φ, (A..) A.3 La parabola Rappresentazione implicita La parabola di parametro p è una curva del piano dotata di un asse di simmetria. Nel riferimento avente tale asse come retta delle ascissa e origine nel punto in cui esso interseca la curva, questa si esprime con l equazione x px 1. (A.3.1)

13 367 Si definisce fuoco il punto dell asse x 1 di ascissa p/. Si definisce, ancora, direttrice la retta di equazione x 1 p. Il parametro p è dunque la distanza tra il fuoco e la direttrice. (A.3.) (i) La parabola coincide con il luogo dei punti del piano per i quali il rapporto tra la distanza da un fuoco e quella dalla direttrice assume il valore costante e 1. d P r φ F Figura A.3.1: la parabola. Rappresentazione parametrica: l anomalia eccentrica A partire dalla (A.3.1) si determina immediatamente la rappresentazione parametrica x 1 1 α, x p α (A.3.3) nella quale il parametro α costituisce l anomalia eccentrica relativa alla parabola ed il cui significato geometrico è implicitamente contenuto nella (A.3.3).

14 368 Rappresentazione polare Denotate con (r, φ) le coordinate polari con polo nel fuoco e asse polare coincidente con quello delle ascisse, si ha x 1 p + r cos φ, x r sin φ. Sostituendo queste espressioni nella (A.3.1) troviamo 0 r sin φ + p ( p ) + r cos φ r r cos φ p + pr cos φ r (p r cos φ) e dunque D altra parte si ha r p r cos φ. p r cos φ p x 1 p p x 1 in quanto x 1 < 0. Si ha così da cui segue > 0 r p r cos φ r p 1 + cos φ. (A.3.4) Rappresentazione parametrica polare Determiniamo anche per la parabola la rappresentazione parametrica delle coordinate polari (r, φ) in funzione dell anomalia eccentrica α. Si ha ( p r 1) + x + x ( ) p α + pα p 4 + α4 4 pα + pα 1 4 (p + α )

15 369 e dunque, in definitiva, r 1 (p + α ) (A.3.5) Uguagliando la (A.3.4) con la (A.3.5) e risolvendo rispetto a cos φ abbiamo Si ha poi cos φ p p + α 1 sin φ 1 cos φ 1 (p α ) (p + α ) p p α p + α p α p + α. (p + α ) (p α ) (p + α ) (p + α + p α )(p + α p + α ) (p + α ) 4pα (p + α ). Ricapitolando l anomalia φ che corrisponde ad un determinato valore α dell anomalia eccentrica si determina dalle relazioni A partire da tali identità si ottiene ovvero cos φ p α p + α, sin φ p α p + α. tan φ sin φ 1 + cos φ p α (1 p + α + p α p + α ) 1 p α p + α p + α p + α + p α tan φ α p. (A.3.6) (A.3.7) In definitiva, la rappresentazione parametrica polare della parabola è fornita dalle equazioni (A.3.5) e (A.3.7).

16 370 Differenziando la seconda di tali relazioni si ha ( p dα cos φ ) 1 dφ p 1 + cos φ dφ p 1 + cos φ dφ; r 1 (p + α ) φ p p + α p r φ in definitiva, troviamo ed anche ovvero α p 1 + cos φ φ 1 + cos φ p 1 ( 1 + p ) α p p + α 1 p p + α + p α p + α p p + α, φ p p + α. (A.3.8) (A.3.9) Osservazione A conclusione di questa sezione vogliamo osservare come, in virtù delle relazioni (A.1.9), (A..9) e (A.3.4), l equazione r ep 1 + e cos φ (A.3.10) rappresenti un ellisse se e (0, 1), il ramo di iperbole contenente il polo al proprio interno se e > 1 e la parabolase e 1. In definitiva essa descrive una conica per ogni valore del parametro p > 0 e per ogni eccentricità e > 0. Il ramo dell iperbole esterno al polo ha invece equazione ep r 1 e cos φ. (A.3.11)