Funzioni elementari. Tutorial di Barberis Paola - agg grafici con GEOGebra - software open source

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1 Funzioni elementari Proporzionalità diretta e inversa Retta, funzione identità e funzione costante Parabola, funzione quadratica e cubica Funzione omografica Funzione esponenziale e logaritmica Funzioni goniometriche : seno, coseno, tangente Tutorial di Barberis Paola - agg grafici con GEOGebra - software open source

2 FUNZIONI MATEMATICHE =f(x) La funzione è una legge tale che per ogni valore di x corrisponde uno ed un sol valore di. SE tale legame è di tipo matematico si ha una funzione matematica. Possono presentarsi in : F(x,)=0 FORMA IMPLICITA o =f(x) FORMA ESPLICITA Esempio: 2x-+6=0 forma implicita: per esplicitare ricavo la = 2x+6 Si chiama GRAFICO la rappresentazione nel piano cartesiano delle coppie (x,) che soddisfano la funzione. Per tracciare il grafico ricavo la forma esplicita =f(x) assegno valori arbitrari alla x ( appartenenti al Dominio) calcolo le corrispondenti ( Codominio o insieme delle immagini ) rappresento le coppie in un sistema di assi cartesiani

3 FUNZIONI algebriche Proporzionalita diretta =mx x raddoppiando / triplicando x, raddoppia / triplica anche la Il rapporto fra e x è COSTANTE x = 3 = 3x RETTA PASSANTE PER L ORIGINE =-2x =2x =-x =x =0.5x Y=0 =-0.5x Dominio: x R m si chiama COEFFICIENTE ANGOLARE : Modificando m cambia la pendenza della retta

4 FUNZIONI algebriche: formula esplicita generica della retta RETTA generica =mx+q Dominio: x R Y = 1 2 x + 5 x m= 1/2 COEFFICIENTE ANGOLARE determina la pendenza Se m>0 la retta cresce Se m<0 la retta decresce se m=0 retta =q orizzontale q=5 TERMINE NOTO INTERCETTA CON L ASSE DELLE Y Y=1/2x+5 Y=1/2x Se q=0 ottengo =mx retta passante per l origine. Es: Se q=0 e m=1 ottengo la FUNZIONE IDENTITA : = x = 1 2 x Se m=0 ottengo la FUNZIONE COSTANTE =q.es: = 5

5 FUNZIONI algebriche: RETTE PARTICOLARI Funzione identità =x =x x La funzione identità =x si chiama anche retta bisettrice del primo e terzo quadrante x Funzione costante =k (=q) esempio =3 x Variando la x, la è sempre costante: In particolare l asse delle x ha equazione: =0 3 =3 X (=0)

6 FUNZIONI algebriche : parabola generica PARABOLA =ax 2 +bx+c Dominio: x R a determina la concavità - se a>0 concava verso l alto - se a<0 concava verso il basso x =x 2-6x Xvertice =! b 2a =!!6 2 = +3 Yvertice =! (b2! 4ac) 4a =! (36! 20) 4 =!4 V=(+3,-4) asse di simmetria: x=3

7 AMPIEZZA DI UNA PARABOLA Dipende dal valore di a SE a=1 AMPIEZZA REGOLARE della funzione quadratica fondamentale =x 2 =x 2 =2x 2 =0.5x 2 =0.1x 2

8 FUNZIONI algebriche : parabole incomplete Funzione quadratica =ax 2 Dominio: x R Esempio con a=1 =x 2 V=(0,0) asse di simmetria: x=0 x Parabola pura e spuria Il vertice si trova sull asse V=(0;c) Passa sempre per l origine ( 0;0)

9 FUNZIONI algebriche : Funzione cubica =ax 3 x 0 0 =x Dominio: x R L ORIGINE (0 ; 0) E CENTRO di simmetria

10 FUNZIONI algebriche x /3 1/2 Proporzionalità inversa =k/x Moltiplicando la x per due/tre/ecc, --> la si divide per due/tre/ecc. Il prodotto fra e x è COSTANTE ix = 2 = 2 x IPERBOLE EQUILATERA riferita ai propri ASINTOTI Dominio: x L asse delle x (la retta =0 ) è asintoto orizzontale L asse delle (la retta x=0 ) è asintoto verticale Con k<0 negativo, i rami si trovano nel II e IV quadrante

11 FUNZIONI algebriche FUNZIONE OMOGRAFICA = ax + b cx + d C = " $! d c ; a # c % ' & Centro di simmetria = 4x! 2 5x +15 " C =!3; 4 % $ ' # 5 & D: 5x+15 0; x -3 (-,-3)U(-3,+ ) C Y=4/5 x=-3 =4/5 ASINTOTO VERTICALE ASINTOTO ORIZZONTALE X= -3

12 FUNZIONI trascendenti (non algebriche) FUNZIONE ESPONENZIALE =a x a>0, a 1 =(1/2) x =2 x Dominio: x R Codominio: >0 Se la base a>1, la funzione CRESCE. Es: =2 x Se la base 0<a<1, la funzione DECRESCE. Es: =(1/2) x L asse delle x (=0) è un asintoto orizzontale. Se la base è il numero e (circa 2,71 ) si ha la funzione: =e x

13 FUNZIONI trascendenti FUNZIONE LOGARITMICA N.B: La funzione logaritmica è inversa di quella esponenziale =log a x a>0,a 1 =log 2 x Dominio : x>0 Codominio: R Se a>1 la funzione CRESCE: =log 2 x Se 0<a<1 la funzione DECRESCE: =log 1/2 x =log 1/2 x L asse (cioè la retta x=0) è ASINTOTO VERTICALE SE base=e (~2,71 ) si ha la funzione =lnx logaritmo naturale

14 FUNZIONI trascendenti goniometriche FUNZIONE SENO =senx DOMINIO: x є R Codominio: Grafico nell intervallo: [ 0, 2π] K P O H π 2π π~3,14 Ricordo che, in una circonferenza goniometrica, il seno dell angolo α è l ordinata del punto P estremo del raggio vettore: senα=ok

15 FUNZIONI trascendenti goniometriche FUNZIONE COSENO =cosx DOMINIO: x є R Codominio: Grafico nell intervallo: [ 0, 2π] K P O H π 2π π~3,14 Ricordo che, in una circonferenza goniometrica, il COSENO di un angolo α è l ascissa del punto P, estremo del raggio vettore. cosα=oh

16 FUNZIONI trascendenti goniometriche FUNZIONE TANGENTE =tgx DOMINIO: x R con x π/2+kπ Codominio: R Grafico nell intervallo:(-π/2,+π/2) T A tg(x) = AT -π/2 π +π/2 Ricordo che, si definisce TANGENTE dell angolo α l ordinata del punto T