Soluzioni. 1. Disegnare il grafico della funzione f : R 2 R, nei casi:

Transcript

1 Soluzioni. Disegnare il grafico della funzione f : R 2 R, nei casi: (a) f(, ) =. La funzione dipende solo dalla coordinata. In questo caso il grafico rappresenta un piano (vedi figura). (b) f(, ) = 2. La funzione dipende solo dalla coordinata. Le sezioni del grafico con piani verticali paralleli al piano z sono parabole, mentre le sezioni del grafico con piani verticali paralleli al piano z sono rette orizzontali (vedi figura) (c) f(, ) = In questo caso il grafico rappresenta un paraboloide passante per (0, 0, 4) con concavità rivolta verso il basso (vedi figura). 2. Descrivere le curve di livello della funzione f : R 2 R, nei casi: (a) f(, ) =. L equazione = c, ovvero = c definisce delle rette parallele alla bisetrice del primo e terzo quadrante (vedi figura) (b) f(, ) =. Per c = 0, l equazione = 0 definisce le due rette = 0 e = 0, ovvero i due assi coordinati. Se c > 0 l equazione = c, ovvero = c/, definisce due rami di iperbole nel primo e nel terzo quadrante, mentre se c < 0 l equazione = c, ovvero = c/, definisce due rami di iperbole nel secondo e nel quarto quadrante (vedi figura) (c) f(, ) = sin(). Per c l equazione sin() = c ha come soluzioni = arcsin(c) + kπ, con k Z, che rappresenta un insieme di rette parallele all asse delle (vedi figura). (d) f(, ) = sin() sin(). Per c =, l equazione sin() sin() = ha come soluzione l insieme dei punti del piano della forma (π/2 + 2kπ, π/2 + 2hπ), e della forma π/2 + 2kπ, π/2 + 2hπ) con k, h Z. Per c = 0, l equazione sin() sin() = 0 ha come soluzione sin() = 0 oppure sin() = 0, che rappresentano rispettivamente nel piano le rette = kπ, con k Z (parallele all asse delle ) e le rette = hπ, con h Z, (parallele all asse delle ).

2 Per 0 < c < oppure < c < 0 l equazione sin() sin() = c rappresenta una famiglia di curve chiuse che si ripetono con periodicità di (2π, 2π) nel piano (vedi figura). (e) f(, ) =, dove f è definita in {(, ) 2+ R2 : 2 + 0}. Per c l equazione c = c definisce nel piano la curva =, 2+ +c ovvero una retta passante per l origine e di coefficiente angolare c. Per +c c = l equazione = c definisce nel piano la retta = 0 (l asse 2+ delle ). Le linee di livello sono quindi rette passanti per l origine e di inclinazione dipendente dal valore di c (vedi figura). (f) f(, ) = e, dove f è definita in {(, ) R 2 : 0}. L equazione e = c definisce, al variare di c R, la famiglia di curve della forma = ce (vedi figura). 3. Descrivere le superfici di livello della funzione f : R 3 R, nei casi: (a) f(,, z) = 2 + z. L equazione 2 + z = c definisce, al variare di c R, una famiglia di piani paralleli fra loro, ortogonali al vettore di componenti (2,, ). La figura 3(a) ne rappresenta due. (b) f(,, z) = 2 + z 2 Per c > 0, l equazione 2 +z 2 = c rappresenta, al variare di c, una famiglia di cilindri infiniti, il cui asse di simmetria è l asse delle, e raggio pari a c. La figura 3(b) ne rappresenta uno. (c) f(,, z) = e z 2. Per c > l equazione e z 2 = c, ovvero z 2 = log(c), definisce la superficie sferica di raggio log(c) (vedi figura 3(c)). (d) f(,, z) = z 2. Per c > 0 l equazione z 2 = c, ovvero z 2 = c 2, rappresenta la superficie dell elissoide di semiassi c, c/ 2 e c/2 (vedi figura 3(d)). (e) f(,, z) = dove f è definita in {(,, z) R 3 : z } (z ) 2 Per c = 0 l equazione = 0, ovvero = 0 rappresenta l asse (z ) 2 delle z. Per c > 0 l equazione = c, ovvero z = ± (z ) 2 2 c + 2 rappresenta un cono con vertice nel punto (0, 0, ). L angolo di apertura del cono dipende dal valore di c. La figura 3(e) ne rappresenta uno.

3 ( z (f) f(,, z) = log ), dove f è definita in {(,, z) R 3 : (, ) (0, 0), z > 0}. ( z L equazione log = c, ovvero z = e c ( 2 2 ), rappresenta, al ) variare di c, una famiglia di paraboloidi passanti per (0, 0, 0). La figura 3(f) ne rappresenta 2.

4 5,0 2,5 5,0 0,0,5 0,0,5 2,5 5,0 5,0 2,5 0,0,5 5,0 5,0 es (a): il grafico della funzione f(, ) = ,0,5 5 0, ,5 0 5,0 2,5 0,0 5,0 5,0,5 es (b): il grafico della funzione f(, ) = 2

5 es (c): il grafico della funzione f(, ) = K2 K 0 2 K K2 es 2(a): alcune curve di livello della funzione f(, ) =

6 2 K2 K 0 2 K K2 es 2(b): alcune curve di livello della funzione f(, ) = K6 K4 K K2 K4 K6 es 2(c): alcune curve di livello della funzione f(, ) = sin()

7 es 2(d): alcune curve di livello della funzione f(, ) = sin() sin() K2 K 0 2 K K2 K3 K4 es 2(e): alcune curve di livello della funzione f(, ) = 2+

8 3 2 K K2 K3 es 2(f): alcune curve di livello della funzione f(, ) = e 20 3, ,2 2,8 0,8 0,8 2,8 3,2,2 es 3(a): alcune superfici di livello della funzione f(,, z) = 2 + z

9 2,0,6,2 0,8 0, ,0 0,4 0,8z,2 2 2,6,0 es 3(b): superficie di livello della funzione f(,, z) = 2 + z 2 2,0,6,2 0,8 0, ,0 0,4 0,8 z,2 2 2,6,0 es 3(c): superficie di livello della funzione f(,, z) = e z 2

10 2,0,6,2 0,8 0, ,0 0,4 0,8 z,2 2 2,6,0 es 3(d): superficie di livello della funzione f(,, z) = z ,2 3 3,2,2,2,2 0,2 0,8 0,8,8 7 2,8 2,8 7 es 3(e): superficie di livello della funzione f(,, z) = (z ) 2

11 ,2 2,8 50 3,2,2 0 0,8,2 0,8 2,8 ( es 3(f): alcune superfici di livello della funzione f(, ) = log ) z 2 + 2