Lezione Sfere nello spazio

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1 Lezione Sfere nello spazio In questa lezione studieremo alcuni dei più semplici oggetti geometrici non lineari : circonferenze e sfere nello spazio S 3. Analizzeremo poi in dettaglio il caso delle circonferenze in un piano qualsiasi. Definizione 12.1 (Sfere). Siano fissati un punto 2 S 3 eunnumerorealepositivo % 2 R. Definiamo sfera di centro eraggio% il luogo S(, %) dei punti P 2 S 3 a distanza fissata % da, ovverotaliched(p, ) =%. Nella Figura 12.1 è illustrata una sfera di centro eraggio%. z ρ S(,ρ) O y x Figura 12.1 Fissiamo in S 3 un riferimento Oxyz eanalizziamolacondizioned(p, ) =%: entrambe le quantità ai due membri sono positive, quindi essa è equivalente alla condizione d(p, ) 2 = % 2.Seilpunto ha coordinate =(x,y,z ) 2 S 3,dalla condizione d(p, ) 2 = % 2 si ottiene l equazione cartesiana della sfera nello spazio (x x ) 2 +(y y ) 2 +(z z ) 2 = %

2 124 Svolgendo i conti si trova l equazione cartesiana della sfera di centro =(x,y,z ) eraggio% x 2 + y 2 + z 2 2x x 2y y 2z z + x 2 + y 2 + z 2 % 2 =0: (12.1.1) ciò significa che S(, %) ={ (x, y, z) x 2 + y 2 + z 2 2x x 2y y 2z z + x 2 + y 2 + z 2 % 2 =0}. Osserviamo che, dal momento che siamo interessati al luogo dei punti che annullano l equazione (12.1.1) e non all equazione stessa, possiamo sostituire ad essa un qualsiasi suo multiplo non nullo: quindi, per ogni 2 R non nullo, abbiamo anche S(, %) ={ (x, y, z) (x 2 +y 2 +z 2 2x x 2y y 2z z +x 2 +y 2 +z 2 % 2 )=0}. Esempio La sfera di centro =(0, 2, 1) eraggio% =1ha equazione (x 0) 2 +(y +2) 2 +(z 1) 2 1=x 2 + y 2 + z 2 +4y 2z +4=0. Anche l equazione 2x 2 2y 2 2z 2 8y +4z 8=0 èun equazionedellastessasferadicentro =(0, 2, 1) eraggio% =1 L equazione (12.1.1) ha due caratteristiche principali: la prima è che manca dei monomi misti (cioè in xy, xz, yz), la seconda è che i coefficienti dei termini quadratici sono non nulli ed uguali fra loro. Viceversa, supponiamo di avere un equazione di grado 2 con tali proprietà, quindi (a meno di dividere per il coefficiente comune dei termini quadratici) riconducibile alla forma x 2 + y 2 + z 2 + x + y + z + =0: (12.1.2) ci domandiamo se l equazione (12.1.2) rappresenta una sfera e, in caso affermativo, come calcolare il suo centro ed il suo raggio. onfrontando le equazioni (12.1.1) e (12.1.2), deduciamo che, affinché l equazione (12.1.2) rappresenti una sfera, devono esistere x,y,z 2 R e % 2 R positivo per cui valgono le relazioni quindi = 2x, = 2y, = 2z, = x 2 + y 2 + z 2 % 2, x = 2, y = 2, z = 2, 4% 2 = Queste considerazioni dimostrano il seguente risultato.

3 Proposizione Sia fissato un sistema di riferimento Oxyz in S 3.L insieme S = { (x, y, z) x 2 + y 2 + z 2 + x + y + z + =0} 125 èunasferaseesolose >0. Se ciò accade, risulta S = S(, %) con p = 2, 2, 2 +, % = B Qualora valga la condizione <0 per l equazione (12.1.2), si dice che essa rappresenta una sfera immaginaria (o, anche, una sfera di raggio immaginario o a punti immaginari) Invece, quando vale la condizione =0la sfera si riduce ad un solo punto: in tal caso si dice che essa rappresenta una sfera degenere. Esempio Si consideri l equazione x 2 + y 2 + z 2 +3x 2y +1=0. Poiché 3 2 +( 2) =9> 0, essaèl equazionediunasferas in S 3.Ilsuo centro è =( 3/2, 1, 0), ilsuoraggio% =3/2. Invece l equazione x 2 + y 2 + z 2 +3x 2y +4=0 non rappresenta una sfera nel senso della Definizione 12.1, ma una sfera immaginaria: infatti 3 2 +( 2) = 3 < irconferenze nello spazio Definizione 12.5 (irconferenze). Siano fissati un piano S 3,unpunto 2 eunnumerorealepositivo% 2 R. Definiamo circonferenza (,, %) del piano, di centro e raggio% il luogo dei punti P 2 adistanzafissata% da, ovverotaliched(p, ) =%. Per rappresentare la circonferenza (,, %) ci possono essere vari modi. Il più comodo è quello di pensarla come intersezione del piano con S(, %): se ha equazione ax + by + cz = d e =(x,y,z ),otteniamoleequazionicartesianeper(,, %): ( ax + by + cz = d (x x ) 2 +(y y ) 2 +(z z ) 2 = % 2. (12.2.1) Nella figura 12.2 è illustrata una circonferenza come intersezione del piano con la sfera S(, %).

4 126 z ρ S O y x Figura 12.2 Esempio Nel piano di equazione x + y + z = 3 sia = (1, 1, 1): la circonferenza del piano di centro eraggio% =1ha equazioni cartesiane ( x + y + z =3 x 2 + y 2 + z 2 2x 2y 2z +2=0. ome abbiamo fatto nel caso della sfera, ci poniamo ora il problema inverso a quello della rappresentazione: dato un sistema della forma ( ax + by + cz = d x 2 + y 2 + z 2 + x + y + z + =0, (12.2.2) ci domandiamo se esso rappresenta una circonferenza e, in caso affermativo, come calcolare il suo centro ed il suo raggio (il piano d appartenenza è, evidentemente, quello d equazione ax + by + cz = d). Affinché il sistema (12.2.2) rappresenti una circonferenza è innanzi tutto necessario che l equazione x 2 +y 2 +z 2 + x+ y+ z+ =0rappresenti una sfera S(, %). Se ciò accade, allora occorre e basta che il piano di equazione ax + by + cz = d e la sfera S(, %) abbiano punti in comune: ciò accade se e solo se ha distanza da minore di %. Sia ora = \S(, %): come si può osservare in Figura 12.3, il centro della circonferenza èlaproiezioneortogonale 0 sul piano, mentreilraggio% 0 di soddisfa la relazione % 2 = % 02 + d(, ) 2,dacuisideduce % 0 = p % 2 d(, ) 2. (12.2.3)

5 127 S(,ρ) d(,α) ' ρ ρ' α Figura 12.3 Se, invece, d(, ) > %,allorailsistema(12.2.2)nonhasoluzioni,cioè \ S(, %) =;. ÈquestoilcasoillustratoinFigura12.4. S(,ρ) ρ α d(,α) ' Figura 12.4 Esempio Si consideri la famiglia di piani h di equazione x + y + z =1+h, h 2 R. SiaS la sfera di equazione x 2 + y 2 + z 2 2x 2y 2z 1=0. Vogliamo individuare i valori di h 2 R tali che S\ h sia una circonferenza. A tale scopo osserviamo che S ha centro nel punto =(1, 1, 1) eraggio% =2.Poiché d(, h )= 2 h p 3, segue che S\ h èunacirconferenzaseesolose 2 h < 2 p 3:svolgendoicalcoli ciò significa che S\ h èunacirconferenzaseesoloseh2 ]2 2 p 3, 2+2 p 3[.

6 128 Siano h e % h rispettivamente il centro e il raggio di questa circonferenza, di modo che ( h, h,% h )=S\ h.perdeterminare% h utilizziamo la formula (12.2.3), ottenendo r r (2 h) % h = h h 2 2 =. 3 3 Per quanto riguarda il calcolo delle coordinate del centro h,sinotichelaretta u per eperpendicolarea h ha equazioni parametriche 8 >< x =1+t y =1+t t 2 R. >: z =1+t, Dunque 1+h h = u \ h =, 1+h, 1+h Analizziamo adesso il caso in cui la distanza del centro della circonferenza dal piano è uguale al raggio della circonferenza, cioè d(, ) =%: l intersezione \ S(, %) si riduce ad un solo punto P 0.Se 6= èunpianodiversoda che passa per P 0 allora non è perpendicolare a P 0. Se chiamiamo 0 la proiezione ortogonale di su allora l intersezione \S(, %) èasuavoltaunacirconferenza di centro 0 eraggio P 0, quindi contiene infiniti punti. oncludiamo che è l unico piano passante per P 0 eperpendicolareap 0.Questocasoèillustratoin Figura S(,ρ) ρ α P0 Figura 12.5

7 Definizione 12.8 (Piano e retta tangenti a una sfera). Si considerino la sfera S(, %) S 3 eunsuopuntop 0 2S(, %): si definisce piano tangente a S(, %) nel punto P 0 l unico piano passante per P 0 eperpendicolareap 0 ; una retta tangente a S(, %) in P 0 èunaqualsiasirettapassanteperp 0 e contenuta nel piano tangente a S(, %) nel punto P 0. Si noti che il piano tangente è lo stesso per tutte le sfere passanti per il punto P 0 ed aventi centro sulla retta per P 0 e : infattiilcentroditalisferehacoordinate (x 0 + t(x x 0 ),y 0 + t(y y 0 ),z 0 + t(z z 0 )) per un opportuno t 2 R non nullo, dunque il piano tangente in P 0 ha in tal caso equazione t(x 0 x )(x x 0 )+t(y 0 y )(y y 0 )+t(z 0 z )(z z 0 )=0, cioè, semplificando t, 129 (x 0 x )(x x 0 )+(y 0 y )(y y 0 )+(z 0 z )(z z 0 )=0. (12.2.4) Sia ora una circonferenza che giace su un piano : èimmediatoverificareche ipianitangentiinp 0 alle sfere S contenenti passano tutti per una stessa retta r. Talerettainterseca solo in P 0 ed ha la proprietà di essere perpendicolare al vettore P 0 0,ove 0 2 èilcentrodi. Esempio Siano =(1, 1, 1) e % = p 3.LasferaS(, %) S 3 ha equazione x 2 + y 2 + z 2 2x 2y 2z =0 econtieneilpuntop 0 =(2, 2, 2). IlpianotangenteaS(, %) in P 0 ha equazione (2 1)(x 2) + (2 1)(y 2) + (2 1)(z 2) = 0, che, una volta semplificata, diventa x + y + z =6. La retta 8 >< x =2+t y =2 2t >: z =2+`t, ètangenteas(, %) in P 0 se e solo se ` =1. t 2 R, Osservazione Un caso interessante di circonferenze sono quelle contenute nel piano xy, cioèquellelecuiequazionicartesianesonodellaforma ( z =0 Il sistema sopra è equivalente a x 2 + y 2 + z 2 + x + y + z + =0.

8 130 ( z =0 x 2 + y 2 + x + y + =0, che rappresenta la circonferenza data come intersezione del piano xy con un cilindro circolare avente asse perpendicolare a tale piano. Spesso si parla allora della circonferenza nel piano di equazione x 2 + y 2 + x + y + =0. La trattazione che abbiamo appena visto continua a valere, con le dovute modifiche, per le circonferenze nel piano xy (calcolo del centro e del raggio, circonferenze immaginarie, calcolo della retta tangente, etc.) Intersezione di due sfere Vogliamo adesso considerare l intersezione di due sfere in S 3,diciamoS( 1,% 1 ) e S( 2,% 2 ):lastrutturaditaleinterseziones( 1,% 1 )\S( 2,% 2 ) èlegatastrettamente alla distanza d( 1, 2 ). Più in dettaglio, si possono verificare tre casi principali. 1. Nel primo caso, illustrato in Figura 12.6, la distanza d( 1, 2 ) >% 1 +% 2 oppure d( 1, 2 ) < % 1 % 2 :leduesferenonpossonoaverepuntiincomuneesono, rispettivamente, esterne o interne l una all altra. S(,ρ) S(,ρ) S(',ρ') ' ' S(',ρ') Figura Nel secondo caso, illustrato in Figura 12.7, la distanza d( 1, 2 )=% 1 + % 2 oppure d( 1, 2 )= % 1 % 2 : le due sfere hanno esattamente un punto in comune. Si dicono tangenti, rispettivamente,esternamenteointernamente.

9 131 S(,ρ) S(,ρ) P 0 S(',ρ') ' ' S(',ρ') P 0 Figura Nel terzo caso, illustrato in Figura 12.8, % 1 % 2 <d( 1, 2 ) <% 1 + % 2 : in questo caso le due sfere hanno punti in comune. Tali punti descrivono una circonferenza avente centro sulla retta che unisce i punti 1 e 2. S(,ρ) ' S(',ρ') Figura 12.8 oncentriamoci sul terzo caso: vogliamo determinarne equazioni cartesiane per la circonferenza data dall intersezione delle due sfere S( 1,% 1 ) e S( 2,% 2 ).Siosservi preliminarmente che 1 6= 2,cioèleduesferenonsonoconcentriche. Seleequazioni delle due sfere sono rispettivamente x 2 + y 2 + z x + 1 y + 1 z + 1 =0 (12.3.1) x 2 + y 2 + z x + 2 y + 2 z + 2 =0, allora tale condizione si traduce nella disuguaglianza ( 1, 1, 1) 6= ( 2, 2, 2). Le coordinate dei punti di soddisfano le due equazioni di S( 1,% 1 ) e S( 2,% 2 ), dunque soddisfano anche l equazione ottenuta sottraendo membro a membro le due

10 132 equazioni (12.3.1). Quindi le coordinate dei punti di soddisfano anche l equazione di primo grado ( 1 2 )x +( 1 2 )y +( 1 2 )z +( 1 2 )=0: poiché ( 1, 1, 1) 6= ( 2, 2, 2) tale equazione rappresenta, nello spazio S 3,unpiano che contiene. Dunquepossiamoscrivere = \S( i,% i ).Sinoticheilpiano èperpendicolarea 1 2 =( 1 2 )~ı +( 1 2 )~ +( 1 2 ) ~ k 6= ~0. Definizione (Piano radicale). Date le due sfere S 1 ed S 2 non concentriche, descritte rispettivamente dalle equazioni (12.3.1), il piano di equazione ( 1 2 )x +( 1 2 )y +( 1 2 )z +( 1 2 )=0 èdettopiano radicale della coppia di sfere S 1 ed S 2. Osservazione Se una delle due sfere è degenere (cioè è un punto), ad esempio S 1 = {P 0 } esihachep 0 2S 2,alloraèfacilevederecheilpianoradicalecoincide con il piano tangente alla sfera S 2 nel punto P 0. Esempio Si considerino le due sfere S 1 ed S 2 rispettivamente di equazione x 2 + y 2 + z 2 2x 2y +4z +5=0, x 2 + y 2 + z 2 +2x +2y 4z +5=0. Il centro di S 1 è 1 =(1, 1, 2) equellodis 2 è 2 =( 1, 1, 2), quindiladistanza d( 1, 2 )= p 24. Poiché e % 1 = % 2 =1si deduce che S 1 \S 2 = ;: di più, le sfere sono esterne l una all altra. Esempio Si considerino le due sfere S 1 e S 2 rispettivamente di equazione x 2 + y 2 + z 2 2x 4z +4=0, x 2 + y 2 + z 2 2x 2y 2z +2=0. Il centro di S 1 è 1 = (1, 0, 2), mentre il centro di S 2 è 2 = (1, 1, 1), quindi d( 1, 2 )= p 2. Per quanto riguarda i raggi, abbiamo % 1 = % 2 =1. oncludiamo che = S 1 \S 2 èunacirconferenza:calcoliamonecentroeraggio. A tale scopo osserviamo prima che il piano radicale, che contiene, ha equazione y z +1=0. La retta passante per 1 e 2 ha equazioni 8 >< x =1 y =1+t >: z =1 t, t 2 R. oncludiamo che il centro di è =(1, 1/2, 3/2). Perquantoriguardailraggio%, poiché d( 1, )=1/ p 2,segueche q % = % 2 1 d( 1, ) 2 =1/ p 2.

11 133 Quanto visto sopra circa l intersezione di due sfere può essere utile per la determinazione di sfere che soddisfino certe proprietà come, per esempio, contenere una circonferenza data o essere tangenti ad un piano dato. Esempio Si consideri la circonferenza di equazioni ( x 2 + y 2 + z 2 7=0 x + y + z 3=0. Una sfera contenente èperciòs 1 di equazione x 2 + y 2 + z 2 7=0. Per quanto osservato sopra, ogni altra sfera S contenente deve avere un equazione della forma x 2 + y 2 + z 2 + x + y + z + =0 tale che cioè (x 2 + y 2 + z 2 + x + y + z + ) (x 2 + y 2 + z 2 7) = (x + y + z 3), x 2 + y 2 + z 2 + x + y + z + = x 2 + y 2 + z 2 7+ (x + y + z 3) per un opportuno 2 R. Se, per esempio, vogliamo determinare la sfera contenente epassanteperil punto P 0 =(1, 0, 0) dobbiamo scegliere tale che ( ) = 0, ovvero = 3. Pertantolasferacercatahaequazione x 2 + y 2 + z 2 3x 3y 3z +2=0. Esempio Si consideri il piano di equazione x + y + z 3=0 esiap 0 =(1, 1, 1): sinotichep 0 2. Vogliamo determinare le sfere tangenti a in P 0.Perfareciòpossiamoprocedereinduemodi. Il primo consiste nel pensare il punto P 0 come una sfera degenere, di equazione (x 1) 2 +(y 1) 2 +(z 1) 2 =0. Dal momento che una sfera S ètangentea in P 0 se e solo se S\ = {P 0 },unatale sfera sarà necessariamente caratterizzata dalla condizione che sia il piano radicale tra essa e la sfera degenere {P 0 },equindiavràequazione x 2 + y 2 + z 2 + x + y + z + =0

12 134 tale che (x 2 + y 2 + z 2 + x + y + z + ) ((x 1) 2 +(y 1) 2 +(z 1) 2 )= (x + y + z 3), cioè x 2 + y 2 + z 2 + x + y + z + =(x 1) 2 +(y 1) 2 +(z 1) 2 + (x + y + z 3) per un opportuno 2 R. Se, per esempio, vogliamo determinare la sfera tangente a in P 0 epassanteper P 1 =(1, 0, 0) dobbiamo scegliere tale che 0 2 +( 1) 2 +( 1) 2 2 ( ) = 0, ovvero =1.Pertantolasferacercatahaequazione x 2 + y 2 + z 2 x y z =0. Il secondo metodo consiste nell osservare che ogni sfera tangente a in P 0 ha centro in un punto della retta per P 0 perpendicolare a, cioèinunpunto t avente coordinate (1 + t, 1+t, 1+t), quindihaequazionedellaforma x 2 + y 2 + z 2 2(1 + t)x 2(1 + t)y 2(1 + t)z +3+6t + t 2 % 2 =0. Poiché P 0 appartiene a tale sfera, si ha necessariamente t 2 = % 2.Aquestopuntosi osserva facilmente che tale equazione si può anche scrivere come (x 1) 2 +(y 1) 2 +(z 1) 2 + (x + y + z 3) = 0 con = 2t 2 R, cioèlastessaequazionecalcolatacolprimometodo.