Esercizi di geometria per Fisica / Fisica e Astrofisica

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1 Esercizi di geometria per Fisica / Fisica e strofisica Foglio 5 - Soluzioni Esercizio 1. Nello spazio R 3, si considerino i punti (1,0,0), (1,0,2), (0, 1,0), D (2, 1,2), E (2,1, 0), F (0, 1,2), G (3,2,0), H (3, 2,2) e le rette r 1, r 2, r 3 e r 4 passanti, rispettivamente, per e, per e D, per E e F, per G e H. (a) Disegnare nello spazio R 3 gli otto punti e le quattro rette. (b) Scrivere le equazioni cartesiane e parametriche delle quattro rette r 1, r 2, r 3 ed r 4. (c) Mostrare che r 1, r 2, r 3 ed r 4 sono a due a due sghembe. (d) Trovare una retta s passante per e incidente r 2 e r 3. La retta s è univocamente determinata? Soluzione. (a) Gli oggetti sono disegnati in figura (il solido serve da griglia tridimensionale ). z D r 1 F H r 2 r 3 y r 4 E x G (b) In generale, per trovare le equazioni cartesiane di una retta per due punti ci sono diverse formule, che funzionano sempre; ma se trovate due equazioni lineari indipendenti che sono soddisfatte dalle coordinate dei due punti, allora quelle sono le equazioni cartesiane della retta. La retta r 1 per e ha equazioni cartesiane e parametriche, rispettivamente, r 2 r 1 x = z, y + 1 = 0, r 1 r 2 La retta r 2 per e D ha equazioni cartesiane e parametriche, rispettivamente, r 3 x + z = 2, y = 1, r 3 x = t, y = 1, La retta r 3 per E ed F ha equazioni cartesiane e parametriche, rispettivamente, x = t, y = 1, z = 2 t,

2 La retta r 4 per G ed H ha equazioni cartesiane e parametriche, rispettivamente, r 4 x = 3, r 4 x = 3, y = 2 2t, (c) Un metodo per mostrare che due rette sono sghembe è quello di far vedere che non sono parallele (i loro vettori indipendenti non sono uno multiplo dell altro) e che non sono incidenti (il sistema delle loro equazioni cartesiane messe insieme non ha soluzioni). Ora i vettori direttori di r 1, r 2, r 3 ed r 4 sono, rispettivamente (0,0, 1), (1,0, 1), (1, 0, 1) e (0, 2, 1). Questi vettori sono a due a due linearmente indipendenti (attenzione non stiamo dicendo che i quattro vettori sono linearmente indipendenti!), quindi le rette sono a due a due non parallele. Inoltre se si mettono insieme le equazioni cartesiane di r 1 ed r 2, ad esempio, si ottiene il sistema > > x = z, y + 1 = 0, che è evidentemente incompatibile. Lo stesso accade per le altre cinque intersezioni (le possibili coppie di rette sono sei in tutto). Quindi le quattro rette sono a due a due non incidenti. Possiamo concludere che le rette sono a due a due sghembe. (d) La retta s passante per ed incidente r 2 ed r 3 è l intersezione dei piani α e β, dove α è il piano contenente ed r 2 e β è il piano contenente ed r 3. Per trovare il piano α, scriviamo l equazione del fascio di piani passanti per la retta r 2 α λ,µ λ(x z) + µ(y + 1) = 0. Tra questi piani, quello che passa per si ottiene imponendo che le coordinate di soddisfino l equazione. Si ottiene λ + µ = 0. Sostituendo µ = λ nell equazione di α λ,µ, si ottiene α x y z = 1. Per trovare il piano β, scriviamo l equazione del fascio di piani passanti per la retta r 3 β λ,µ λ(x + z 2) + µ(y 1) = 0. Tra questi piani, quello che passa per si ottiene imponendo che le coordinate di soddisfino l equazione. Si ottiene λ µ = 0. Sostituendo µ = λ nell equazione di β λ,µ, si ottiene Quindi la retta s ha equazioni cartesiane s β x + y + z = 1. x y z = 1, x + y + z = 1. Osserviamo che la retta s è univocamente determinata. Esercizio 2. Siano r 1, r 2, r 3 e r 4 le rette dell esercizio precedente. (a) Scrivere le coordinate del generico punto P(t) della retta r 1, con parametro t R. (b) Per ogni valore di t R, determinare la retta s(t) passante per P(t) e incidente r 2 ed r 3. (c) Nell insieme di rette {s(t) t R}, trovare quelle incidenti anche r 4. (d) Dedurre quante e quali sono le rette incidenti le quattro rette r 1, r 2, r 3 e r 4. Soluzione. (a) Il generico punto P(t) di r 1 ha coordinate (1,0, t). (b) Per trovare il la retta s(t), procediamo come nell esercizio 1(d). Tra i piani passanti per r 2, α λ,µ λ(x z) + µ(y + 1) = 0,

3 quello che passa per P(t) si ottiene imponendo che le coordinate di P(t) soddisfino l equazione λ(1 t) + µ = 0. Sostituendo µ = (t 1)λ nell equazione di α λ,µ, si ottiene Tra i piani passanti per la retta r 3 α (x z) + (t 1)(y + 1) = 0. β λ,µ λ(x + z 2) + µ(y 1) = 0, quello che passa per P(t) si ottiene imponendo che le coordinate di P(t) soddisfino l equazione λ(t 1) µ = 0. Sostituendo µ = (t 1)λ nell equazione di β λ,µ, si ottiene β (x + z 2) + (t 1)(y 1) = 0. Quindi la retta s(t) ha equazioni cartesiane (x z) + (t 1)(y + 1) = 0, s(t) (x + z 2) + (t 1)(y 1) = 0. (c) Perchè le rette s(t) ed r 4 siano incidenti, il sistema ottenuto mettendo insieme le loro equazioni, (x z) + (t 1)(y + 1) = 0, > (x + z 2) + (t 1)(y 1) = 0, x = 3, > deve essere compatibile. La matrice completa di questo sistema è = 1 t t 1 t 1 1 t Sviluppando il suo determinante con Laplace lungo la terza riga, otteniamo t t det = t 1 1 t t t = ( 4t2 + t 6) + 6 = 4t(t 2). Quindi la matrice è singolare se e solo se t = 0 e t = 2. In questi due casi la matrice dei coefficienti e la matrice completa del sistema hanno entrambe rango 3, dunque il sistema ammette esattamente una soluzione. Se invece t 0 e t 2, i ranghi delle due matrici sono diversi e il sistema non ammette soluzioni. Dunque, tra le rette dell insieme {s(t) t R}, ce ne sono due incidenti anche r 4 e sono quelle corrispondenti ai parametri t = 0 e t = 2, rispettivamente di equazioni 1 x y z = 1, x y + z = 1, e x + y z + 1 = 0, x + y + z = 3. (d) Per quanto osservato nei punti precedenti, possiamo concludere che le due rette trovate in (c) sono le uniche rette incidenti le quattro rette r 1, r 2, r 3 ed r 4. Esercizio 3. Siamo in R 3, in una stanza che ha come pavimento il piano xy e come pareti i piani xz e yz. Dal pavimento parte un piano inclinato, passante per i tre punti P (0, 1,0), Q (0, 3,2) e (4,3, 0). Sulla parete xz c è una finestra, delimitata dalle rette verticali x = 1 e x = 4 e dalle rette orizzontali z = 1 e z = 3. Dalla finestra entrano i raggi del sole, tutti paralleli tra loro, che proiettano sul pavimento e sul piano inclinato la sagoma della finestra. I raggi del sole hanno un inclinazione tale che il vertice (4,0,1) della finestra viene proiettato nel punto (4, 2,0) del pavimento.

4 z D Q F E P D F E y x (a) Scrivere l equazione cartesiana del piano inclinato. (b) alcolare l angolo tra il pavimento e il piano inclinato. (c) Determinare tutti i punti indicati sul bordo della finestra e le corrispondenti proiezioni. Soluzione. (a) Il piano inclinato α passa per i punti P (0, 1,0), Q (0,3, 2) e (4,3, 0), dunque ha equazione 0 x y 1 z = 0, ovvero α x 2y + 2z + 2 = (b) Il piano inclinato α è perpendicolare al vettore (1, 2, 2), mentre il pavimento è perpendicolare al vettore (0,0, 1). Quindi l angolo ϕ tra i due piani è uguale all angolo tra i due vettori e si ha cos ϕ = llora ϕ = arccos(2/3). (1, 2,2) (0,0, 1) (1, 2,2) (0, 0, 1) = ( 2) p 12 + ( 2) = (c) I punti,, D ed E sono i vertici del rettangolo F ed hanno coordinate (4,0, 1), (4, 0,3), D (1, 0,3) e (1, 0,1). Il punto (4, 2,0) è dato nel testo dell esercizio. I raggi del sole hanno tutti la stessa direzione, che è la direzione del vettore = (0,2, 1). I raggi che toccano i punti, D ed E hanno, rispettivamente, equazioni parametriche r z = 3 t, t R, r D z = 3 t, Le corispondenti equazioni cartesiane sono, rispettivamente, t R, r E z = 1 t, r r D r E y + 2z = 2.

5 I punti, D ed E sono le intersezioni di queste tre rette con il piano inclinato α, quindi le loro coordinate si trovano risolvendo, rispettivamente, i sistemi x 2y + 2z + 2 = 0. Risolvendo tali sistemi si ottiene (4,4,1), D (1,3, 3/2) ed E (1, 5/3, 1/6). Restano da determinare i punti, F, ed F. I punti ed F sono le intersezioni della retta r, intersezione del pavimento con il piano inclinato α, con le proiezioni sul pavimento dei lati ed E della finestra. La retta r ha equazioni cartesiane r z = 0. La proiezione sul pavimento della retta ha equazioni x = 4 e mentre la proiezione della retta E ha equazioni y = 2 e z = 0. Dunque ed F si trovano, risp., risolvendo i sistemi > > > r e > y = 2, z = 0. Risolvendo i sistemi si ottiene (4,3, 0) ed F (2, 2,0). I raggi di sole passanti per ed F hanno, rispettivamente, equazioni parametriche y = 3 + 2t, z = 0 t, t R, r F Le corrispondenti equazioni cartesiane sono, rispettivamente, y = 2 + 2t, z = t. r y + 2z = 3, r F y + 2z = 2. Infine, i punti ed F sono le intersezioni di questi due raggi con il piano xz, che ha equazione cartesiana y = 0. Dunque le loro coordinate si ottengono risolvendo i sistemi y + 2z = 3, y = 0. Risolvendo questi sistemi, si ottiene (4, 0, 3/2) ed F (2, 0, 1).