Rette e piani: eq. parametriche di rette

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1 In A 3 (R) fissiamo un riferimento affine [O, B], con B = ( e 1, e 2, e 3 ). Assi coordinati: asse delle ascisse: [O, < e 1 >], asse delle ordinate: [O, < e 2 >], asse delle quote: [O, < e 3 >]. Piani coordinati: piano x, y: [O, < e 1, e 2 >], con equazione z = 0; piano y, z: [O, < e 2, e 3 >], con equazione x = 0; piano x, z: [O, < e 1, e 3 >], con equazione y = 0.

2 Rette e piani: eq. parametriche di rette Siano P 0 = (x 0 ; y 0 ; z 0 ) un punto e w = (a; b; c) un vettore di R 3 e sia r la retta passante per P 0 di direzione w. Poiché r = [P 0, < w >], allora ha equazioni parametriche x = x 0 + ta y = y 0 + tb, t R, (a; b; c) (0; 0; 0). z = z 0 + tc

3 Rette e piani: eq. parametriche di un piano Siano P 0 = (x 0 ; y 0 ; z 0 ) un punto e v = (a 1 ; a 2 ; a 3 ), w = (b 1 ; b 2 ; b 3 ) vettore di R 3 linearmente indipendenti. Il generico vettore appartenente a < v, w > ha componenti λa 1 + µb 1, λa 2 + µb 2, λa 3 + µb 3. Detto α = [P 0, < v, w >] il piano passante per P 0 e avente giacitura < v, w >, tale piano ha equazioni parametriche x = x 0 + λa 1 + µb 1 [ a1 a y = y 0 + λa 2 + µb 2, (λ; µ) (0; 0) con rg 2 a 3 b z = z 0 + λa 3 + µb 1 b 2 b 3 3 ] = 2.

4 Rette e piani: eq. cartesiane di piani e rette I piani in A 3 (R) sono iperpiani, quindi hanno equazione cartesiana della forma ax + by + cz + d = 0, (a; b; c) (0; 0; 0) Una retta è individuata da due piani incidenti, quindi ha equazioni cartesiane della forma: { [ ] ax + by + cz + d = 0 a b c a x + b y + c z + d con rg = 0 a b c = 2.

5 Esercizio 13. Scrivere le equazioni parametriche e cartesiane della retta (a) passante per l origine del sistema di riferimento e avente direzione v = (1; 2; 2); (b) passante per i punti A(4; 3; 1) e B(6; 3; 2).

6 Esercizio 14. Scrivere le equazioni parametriche e un equazione cartesiana per il piano: (a) passante per il punto P(1; 2; 1) e avente giacitura individuata dai vettori v = e e 2, w = e 2 e 3 ; (b) passante per i punti A(3; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 1; 4); (c) passante per il punto Q(4; 7; 8) e parallelo al piano α di equazione: x y z = 0.

7 Posizioni reciproche tra due rette nello spazio r : { ax + by + cz + d = 0 a x + b y + c z + d = 0 s : { ax + by + cz + d = 0 a x + b y + c z + d = 0 Determinare i parametri direttori, confrontarli,..., oppure studiare la matrice del sistema r s. Parametri direttori (ad es. di r): regola dei minori l = b c b c, m = a c a c, n = a b a b. sghembe: rg[a d] = 4 complanari: rg[a d] < 4 incidenti: rga =rg[a d] = 3 parallele: rga = 2 coincidenti: rga =rg[a d] = 2 distinte: rga = 2, rg[a d] = 3

8 Esercizio 15. Stabilire la posizione reciproca tra le rette r : { x + y z = 0 2x y + z = 2 ed s : x = 1 y = 3 + t z = 6 + t, t R.

9 Compiti. (a) Scrivere le eq. cartesiane della retta passante per i punti C(6; 7; 8) e D(2; 3; 4) [x y + 1 = 0 = x z + 2] (b) Determinare le posizioni reciproche delle rette a e b, delle rette c e d e delle rette c ed e dove: a : c : x = 5 + t y = 3 2t z = 1 + 4t, t R, b : x = 3 v y = 1 + 4v z = 4v { { x + 2y + z = 0 3x + 6y + 1 = 0, d : z + 3 = 0 y = 0 { 2x + 4y + 3z + 3 = 0 e :. x + 2y 3z 12 = 0, v R, [Le rette a ed b sono sghembe, così come le rette c e d. La retta e è coincidente alla retta c.],

10 Compiti. (a) Scrivere le eq. cartesiane della retta passante per i punti C(6; 7; 8) e D(2; 3; 4) [x y + 1 = 0 = x z + 2] (b) Determinare le posizioni reciproche delle rette a e b, delle rette c e d e delle rette c ed e dove: a : c : x = 5 + t y = 3 2t z = 1 + 4t, t R, b : x = 3 v y = 1 + 4v z = 4v { { x + 2y + z = 0 3x + 6y + 1 = 0, d : z + 3 = 0 y = 0 { 2x + 4y + 3z + 3 = 0 e :. x + 2y 3z 12 = 0, v R, [Le rette a ed b sono sghembe, così come le rette c e d. La retta e è coincidente alla retta c.],

11 Esercizio 16.

12 Fasci di piani nello spazio affine Definizione Dato un piano π 0 di equazione a 0 x + b 0 y + c 0 z + d 0 = 0, si chiama fascio improprio di sostegno π 0 la totalità dei piani paralleli a π 0, incluso π 0. F π0 : a 0 x + b 0 y + c 0 z + k = 0, k R

13 Fasci di piani nello spazio affine Definizione Sia r una retta A 3 (R). Si chiama fascio proprio di sostegno r la totalità dei piani passanti per r. Se r : allora il fascio ha equazione { ax + by + cz + d = 0 a x + b y + c z + d = 0, F r : λ(ax+by+cz+d)+µ(a x+b y+c z+d ) = 0, λ, µ R, (λ; µ) (0; 0).

14 Esercizio 17. (a) Esercizio 14. c). Scrivere le equazioni parametriche e un equazione cartesiana per il piano passante per il punto Q(4; 7; 8) e parallelo al piano α di equazione: x y z = 0. (b) Verificare che la retta b : { x = y x = z + 1 appartiene al piano β di equazione x + y 2z 2 = 0.

15 Esercizio 17. (a) Esercizio 14. c). Scrivere le equazioni parametriche e un equazione cartesiana per il piano passante per il punto Q(4; 7; 8) e parallelo al piano α di equazione: x y z = 0. (b) Verificare che la retta b : { x = y x = z + 1 appartiene al piano β di equazione x + y 2z 2 = 0.

16 Esercizio 18. (a) Dopo aver verificato che le rette r : { x 2y = 0 x + y + z = 0 ed s : x = 1 + t y = 2 + 2t z = 0, t R sono complanari, scrivere l equazione del piano da esse individuato. (b) Dopo aver verificato che le rette s : x = 1 + h y = h z = 2 + h, h R e t : x = 2k y = 2 2k z = 2k, k R sono complanari, scrivere l equazione del piano che le contiene. (c) Dopo aver verificato che le rette u : { x = 2z + 1 y = 3z e v : { x = z + 2 y = 2z 3 sono sghembe, determinare i piani paralleli su cui esse giacciono.

17 Esercizio 18. (a) Dopo aver verificato che le rette r : { x 2y = 0 x + y + z = 0 ed s : x = 1 + t y = 2 + 2t z = 0, t R sono complanari, scrivere l equazione del piano da esse individuato. (b) Dopo aver verificato che le rette s : x = 1 + h y = h z = 2 + h, h R e t : x = 2k y = 2 2k z = 2k, k R sono complanari, scrivere l equazione del piano che le contiene. (c) Dopo aver verificato che le rette u : { x = 2z + 1 y = 3z e v : { x = z + 2 y = 2z 3 sono sghembe, determinare i piani paralleli su cui esse giacciono.

18 Esercizio 18. (a) Dopo aver verificato che le rette r : { x 2y = 0 x + y + z = 0 ed s : x = 1 + t y = 2 + 2t z = 0, t R sono complanari, scrivere l equazione del piano da esse individuato. (b) Dopo aver verificato che le rette s : x = 1 + h y = h z = 2 + h, h R e t : x = 2k y = 2 2k z = 2k, k R sono complanari, scrivere l equazione del piano che le contiene. (c) Dopo aver verificato che le rette u : { x = 2z + 1 y = 3z e v : { x = z + 2 y = 2z 3 sono sghembe, determinare i piani paralleli su cui esse giacciono.

19 Compiti. (a) Scrivere l equazione del piano contenente il punto Q(3; 3; 1) e la retta x = 2 + 3h r : y = 5 + h, h R. z = 1 + h [y z 4 = 0] (b) Scrivere l equazione del piano passante per i punti A(1; 0; 2) e B(1; 1; 0) e parallelo alla retta r di equazione r : { x y + 1 = 0 3x + 5z 7 = 0. [7x 10y 5z + 3 = 0]

20 Compiti. (a) Scrivere l equazione del piano contenente il punto Q(3; 3; 1) e la retta x = 2 + 3h r : y = 5 + h, h R. z = 1 + h [y z 4 = 0] (b) Scrivere l equazione del piano passante per i punti A(1; 0; 2) e B(1; 1; 0) e parallelo alla retta r di equazione r : { x y + 1 = 0 3x + 5z 7 = 0. [7x 10y 5z + 3 = 0]

21 Compito.

22 Esercizio 19. Determinare la posizione reciproca dei piani: (a) α : x y +z = 0, β : 2x+y z+4 = 0, γ : x y +5z 3 = 0; (b) π : x + 3y 4z 6 = 0, σ : x 2y + 3z = 0, ρ : 2x + y z 6 = 0.

23 Esercizio 20. Scrivere l equazione della retta passante per il punto P(1; 2; 3) e incidente le rette r : 2x 2 = y + 1 = 2z ed s : x 2 = y 1 = z.

24 Esercizio 20. Scrivere l equazione della retta passante per il punto P(1; 2; 3) e incidente le rette r : 2x 2 = y + 1 = 2z ed s : x 2 = y 1 = z. Traccia risoluzione: [1 modo] la retta cercata è data dall intersezione tra il piano per r e P e il piano per s e P (sono condizioni di complanarità, non di incidenza, quindi bisogna controllare che tale intersezione dia una retta non parallela né a r né a s); [2 modo] considerare due punti generici R ed S con R r e S s. Imporre che i vettori PR e PS siano linearmente dipendenti (così si ricavano i due parametri da cui dipendono le coordinate di R e di S e si può scrivere la retta passante per P, di direzione PR).

25 Esercizio 21. Date le rette: asse x, r : x = 2 h y = 1 + h z = 1, h R s : x = 1 + 3t y = 2 z = t, t R scrivere l equazione cartesiana del luogo di rette incidenti alle tre rette date. Si svolge in modo analogo all es. precedente (1 modo): il ruolo del punto P lo assume ora il punto X = (α, 0, 0), punto generico dell asse x. In questo modo si ottiene il luogo { x + y + (α 3)z α = 0 2x + (α 1)y + 6z 2α = 0 Ora si tratta di: (a) eliminare il parametro; (b) escludere le rette che sono espresse dal luogo, ma che sono parallele a r o a s Soluzione: [y 2 6z 2 + xy 2xz 2yz 3y + 12z = 0, escluse le rette x + y 3 = 0 = z e x + 3z 6 = 0 = y]

26 Esercizio 21. Date le rette: asse x, r : x = 2 h y = 1 + h z = 1, h R s : x = 1 + 3t y = 2 z = t, t R scrivere l equazione cartesiana del luogo di rette incidenti alle tre rette date. Si svolge in modo analogo all es. precedente (1 modo): il ruolo del punto P lo assume ora il punto X = (α, 0, 0), punto generico dell asse x. In questo modo si ottiene il luogo { x + y + (α 3)z α = 0 2x + (α 1)y + 6z 2α = 0 Ora si tratta di: (a) eliminare il parametro; (b) escludere le rette che sono espresse dal luogo, ma che sono parallele a r o a s Soluzione: [y 2 6z 2 + xy 2xz 2yz 3y + 12z = 0, escluse le rette x + y 3 = 0 = z e x + 3z 6 = 0 = y]

27 Esercizio 22. Scrivere l equazione del luogo delle rette incidenti r : { x + y + 1 = 0 x y + 2z = 0 ed s : { x = z y = 0 e parallele al piano α : 2x 2y + 3 = 0. [1 modo] scrivere la retta data dall intersezione tra F r ed F s ; essa dipende da due parametri. Imponendo il parallelismo con α si elimina un parametro. L altro va eliminato (nel sistema F r F s ) per avere l eq. cartesiana del luogo. [2 modo] Siano R ed S punti qualsiasi delle rette r ed s rispettivamente. Scrivere l eq. della retta rt(r, S) e imporre il parallelismo con il piano α (condizione parallelismo: al + bm + cn = 0).

28 Esercizio 22. Scrivere l equazione del luogo delle rette incidenti r : { x + y + 1 = 0 x y + 2z = 0 ed s : { x = z y = 0 e parallele al piano α : 2x 2y + 3 = 0. [1 modo] scrivere la retta data dall intersezione tra F r ed F s ; essa dipende da due parametri. Imponendo il parallelismo con α si elimina un parametro. L altro va eliminato (nel sistema F r F s ) per avere l eq. cartesiana del luogo. [2 modo] Siano R ed S punti qualsiasi delle rette r ed s rispettivamente. Scrivere l eq. della retta rt(r, S) e imporre il parallelismo con il piano α (condizione parallelismo: al + bm + cn = 0).

29 Esercizio 23. Discutere (dando interpretazione geometrica), al variare di α R, e ove possibile risolvere, il sistema y αz = 1 α 2x + (α 3)y + 2z = α + 1 x + αy αz = 1.