Lezione 10 27/11/09. = 0 = x y + 2z = 0. Le componenti del vettore v devono essere quindi soluzione del sistema linere omogeneo. { x y +2z = 0 x z = 0

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1 Lezione 10 7/11/09 Esercizio 1 Nello spazio vettoriale euclideo V 3 sia W il sottospazio generato dai vettori v 1 = 1, 1, 1), v = 0,, 1) Determinare un vettore di W di modulo 3 ortogonale al vettore v 3 = 1, 0, 1) Soluzione dell esercizio 1 I vettori v 1 e v sono linearmente indipendenti e costitiscono quindi una base di W Il generico vettore v = xi + yj + zk appartiene a W se e soltanto se x y z = 0 = x y + z = Il vettore v è ortogonale a v 3 se e soltanto se v v 3 = 0, ovvero se e soltanto se x, y, z) 1, 0, 1) = 0 = x z = 0 Le componenti del vettore v devono essere quindi soluzione del sistema linere omogeneo { x y +z = 0 x z = 0 Il sistema ammette le 1 soluzioni t, t, t), t R Tra questi, i vettori di modulo soddisfano v = 9 = 3t = 9 = t = ± 3 Un vettore che soddisfa tutte le condizioni richieste è v = 3i + 3j + 3k Esercizio Nello spazio vettoriale V 3 determinare le componenti del vettore v di modulo 11 complanare con u 1 = i + j + k ed u = i + k, perpendicolare al vettore u 3 = i + j + k e formante un angolo ottuso con u Soluzione dell esercizio Il vettore v = xi + yj + zk deve essere combinazione lineare di u 1 e u Tale condizione è soddisfatta se: x y z = x z = 0 La condizione di ortogonalità tra v e u 3 si esprime in termini del prodotto scalalare come v u 3 = 0 Otteniamo la condizione v u 3 = x, y, z) 1, 1, ) = x + y + z = 0 I vettori v complanari ad u 1 ed u e perpendicolari ad u 3 sono soluzioni del sistema lineare omogeneo: { x z = 0 x +y +z = 0

2 Otteniamo i vettori di componenti t, 3t, t), t R Tra questi quelli di modulo 11 soddisfano v = 11t = 11 = t = 1 = t = ±1 Abbiamo individuato quindi i vettori v 1 e v di componenti rispettive 1, 3, 1) e 1, 3, 1) Di questi due vettori uno formerà un angolo acuto con u e l altro un angolo ottuso Calcoliamo cos v 1 u = v 1 u 1, 3, 1) 1, 0, 1) = = v 1 u 11 > 0 Il vettore v cercato è quindi il vettore v Esercizio 3 Nello spazio vettoriale euclideo V 3 determinare una base del complemento ortogonale al sottospazio vettoriale U generato dal vettore u 1 = i+j+k Determinare il vettore proiezione ortogonale di u 1 su v 1 = i k Soluzione dell esercizio 3 Il generico vettore v = xi + yj + zk è ortogonale al vettore u 1 se e soltanto se v u 1 = 0, cioè se e soltanto se x + y + z = 0 Il sistema ammette soluzioni Due soluzioni linearmente indipendenti del sistema sono, 1, 0) e, 0, 1) Una base del complemento ortogonale U di U in V è B U = {w 1 =, 1, 0), w =, 0, 1)} Il versore di w 1 è il vettore vers w 1 = w 1 w 1 = ) 5, 5, 0 Un vettore di U ortogonale a w 1 è t = w w vers w 1 ) vers w 1 =, 0, 1) ) ) 5, 5, 0 = 8 =, 0, 1) 5, 4 ) ) 5, 0 = 5, 4 5, 1 Normalizzando tale vettore otteniamo una base ortonormale per U, { ) B U = 5, 5, , 15, 4 15, 5 )} Per definizione il vettore t proiezione ortogonale di u 1 su v 1 ha componenti )) t = u 1 vers v 1 ) vers v 1 = 1,, ) 5, 0, ), 0, = 5 = , 0, 5 ) = 8 5, 0, 4 ) 5

3 ELEMENTI DI GEOMETRIA DEL PIANO Fisatto nel piano un riferimento cartesiano affine RAO, u 1, u ) la retta r passante per il punto P 1 x 1, y 1 ) e di vettore direttore v = l, m) ha equazioni parametriche r : { x = x1 +lt y = y 1 +mt, t R Le coordinate l, m) del vettore direttore della retta r sono dette parametri direttori della retta Condizione necessaria e sufficiente affinché tre punti P x, y), P 1 x 1, y 1 ), P x, y ) siano allineati, ovvero appartengano ad una medesima retta r, é che sia verficiate una delle due seguenti condizioni equivalenti: x x 1 y y 1 x x 1 y y 1 = 0 oppure x y 1 x 1 y 1 1 x y 1 = 0 L equazione cartesiana di una retta r è ax + by + c = 0, a, b, c R, a, b) 0, 0) Il vettore direttore di una retta r di equazione cartesiana ax + by + c = 0 è v = b, a) L equazione di una retta nel piano dipende da due parametri essenziali, le rette del piano sono Siano r ed s due rette di rispettive equazioni cartesiane s : a x + b y + c = 0 Le due rette) r ed s si incontrano in un punto P 0 x 0, y 0 ) se e soltanto se il rango della matrice a b A = a b è uguale a Le due rette sono parallele, intendendo l essere coincidenti come caso particolare del parallelismo, se e soltanto se il rango della matrice A è uguale a 1 La retta per il punto P 0 x 0, y 0 ) parallela alla retta di equazione cartesiana ax + by + c = 0 ha equazione ax x 0 ) + by y 0 ) = 0 Siano r ed s due rette non parallele di rispettive equazioni cartesiane Consideriamo la lora combinazione lineare s : a x + b y + c = 0 λax+by+cz)+µa x+b y+c ) = λa+µa )x+λb+µb )y+λc+µc ) = 0, λ, µ R, λ, µ) 0, 0) Questa rappresenta ancora l equazione di una retta Sia P 0 x 0, y 0 ) il punto di intersezione tra r ed s Al variare dei parametri reali λ e µ la precedente combinazione lineare rappresenta tutte le rette del piano uscenti dal punto P 0 comune alle rette r ed s La totalità delle rette del piano passanti per un punto P 0 è detta fascio proprio di rette ed il punto P 0 è detto centro dle fascio Se si scelgono rette r ed s parallele allora le loro combinazioni lineari sono ancora rette parallele ad r La totalità delle rette del piano parallele ad una retta data è detta fascio di rette improprio Il fascio di rette proprio generato dalle rette r ed s può essere scritto anche come ax + by + c) + ka x + b y + c ) = 0, k R,

4 dove la retta del fascio s corrisponde al valore k = Il fascio di rette improprio parallelo alla retta r : ax + by + c = 0 può essere scritto come ax + by + k = 0, k R Se sono assegnate rette r, s, t di rispettive equazioni cartesiane s : a x + b y + c = 0, t : a x + b y + c = 0, condizione necessaria e sufficiente affinché le tre rette appartengano ad uno stesso fascio è che sia soddisfatta la condizione a b c a b c a b c = 0 Sia RCO, i, j) un fissato sistema di riferimento cartesiano ortonormale P 1 x 1, y 1 ), P x, y ) è data da d = P 1 P = x x 1 ) + y y 1 ) La distanza dei punti I coseni direttori di una retta orientata r sono i coseni degli angoli convessi che r forma con gli assi orientati x, y Se r è il versore della retta orientata ed r x, r y sono le sue componenti allora i coseni direttori della retta orientata r sono dati da i r = cos îr = cos xr = r x, j r = cos ĵr = cos ŷr = r y I coseni direttori di una retta orientata r soddisfano la relazione fondamentale cos xr + cos ŷr = 1 Se la retta r ha parametri direttori l, m) i suoi coseni direttori sono dati da cos xr = l ± l + m, cos ŷr = m ± l + m Se la retta r ha equazione cartesiana ax + by + c = 0 i suoi coseni direttori sono dati da cos xr = b ± a + b, cos ŷr = a ± a + b Il segno è determinato dall orientazione delle retta r Siano r e t due rette di vettori direttori rispettivamente v = l, m) e w = l, m ) Condizione necessaria e sufficiente affinché r e t siano perpendicolari è che si abbia ll + mm = 0 Se r e t sono rappresentate dalle equazioni cartesiane t : a x + b y + c = 0,

5 allora condizione necessaria e sufficiente affinché r e t siano perpoendicolari è che si abbia aa + bb = 0 La retta perpendicolare alla retta di equazione cartesiana ax + by + c = 0 e passante per il punto P 0 x 0, y 0 ) ha equazione cartesiana bx x 0 ) ay y 0 ) = 0 Siano r ed r due rette orientate Il coseno dell angolo convesso delle due rette è uguale alla somma dei prodotti dei coseni direttori omonimi di r ed r : cos rr = ll + mm ± l + m = aa + bb ± a + b Il segno è determinato una volta fissata un orientazione su r ed r La distanza di un punto P 0 x 0, y 0 ) da una retta r di equazione cartesiana ax + by + c = 0 è data da dp 0, r) = ax 0 + by 0 + c a + b Il triangolo di vertici P 1 x 1, y 1 ), P x, y ), P 3 x 3, y 3 ) ha area S, in valore assoluto, data dal valore assoluto del determinante: S = 1 x 1 y 1 1 x y 1 x 3 y 3 1 Esercizio 4 Sia r la retta di vettore direttore v = 1, 3) passante per P 0 1, 1) Scrivere equazioni parametriche e cartesiane della retta Determinare i punti appartenenti alla retta t di equazione cartesiana x y = 0 aventi distanza 10 dalla retta r Soluzione dell esercizio 4 Le equazioni parametriche delle retta r sono r : { x = 1 t y = 1 +3t, t R Per ottenere l equazione cartesiana di r possiamo procedere in due differenti modi Dalla prima equazione parametrica ricaviamo t = x + 1 Sostituendo tale valore nella seconda equazione si ottiene l equazione cartesiana di r: y = x + 1) = r : 3x + y 4 = 0 Equivalentemente, i coefficienti a e b dell equazione cartesiana di r sono dati dalle componenti del vettore direttore di r scambiate di posto ed una di segno Inoltre se un punto P 0 x 0, y 0 ) appartiene ad una retta di equazione cartesiana ax + by + c = 0 allora deve essere ax x 0 ) + by y 0 ) = 0 Da queste informazioni ricaviamo l equazione cartesiana r : 3x 1) + 1y 1) = 3x + y 4 = 0 Il generico punto Q della retta t ha coordinate k, k), k R La sua distanza dalla retta r è allora dq, r) = ax 0 + by 0 + c = 3k + k 4 a + b = 4k

6 Imponendo che tale distanza sia uguale a 10 otteniamo 4k 4 = 10 = 4k 4 = 10 = k 1 = 3 10, k = 7 I punti di t a distanza 10 dalla retta r sono i punti di coordinate Q 1 3, ) 3, 7 Q, ) 7 Esercizio 5 Scrivere le equazioni cartesiane della rette r, di vettore direttore v r = 1, ) e passante per l origine, ed s, passante per i punti P 1 1, 1) e P 3, ) Determinare il centro del fascio di rette generato da r e da s Scrivere l equazione cartesiana della retta del fascio passante per il punto Q1, ) Individuare nel fascio la retta perpendicolare alla retta t di equaziona cartesiana x + y + 1 = 0 Soluzione dell esercizio 5 L equazione cartesiana della retta r si ottiene ricordando che i coefficienti a e b dell equazione sono uguali alle componenti del vettore direttore scambiate di posto e uno di segno e che in una retta passante per l origine il termine noto è nullo L equazione cartesiana di r è r : x + y = 0 Possiamo ottenre l equazione cartesiana di s in termini di rapporti uguali dalla relazione Otteniamo L equazione cartesiana di s è Il fascio di rette generato da r ed s ha equazione x x 1 x x 1 = y y 1 y y 1 x = y 1 1 s : x y + 1 = 0 x + y + kx y + 1) = + k)x + 1 k)y + k = 0, k R Il suo centro è l unica soluzione del sistema lineare { x +y = 0 x y = 1 Il centro del fascio è il punto C di coordinate 1 5, 5) Il punto Q deve soddisfare l equazione del fascio Imponendo tale condizione ricaviamo + k) 1) + 1 k) + k = 0 = + k + 4k + k = 0 = k = L equazione cartesiana della retta del fascio passante per Q è allora 4x 3y + = 0 I coefficienti a, b delle incognite dell equazione del fascio sono a, b) = + k, 1 k) I coefficienti a, b dell equazione di t sono a, b ) =, 1) Affinché due rette siano perpendicolari deve essere soddisfatta la condizione aa + bb = 0 Da tale relazione ricaviamo nel nostro caso + k) + 1 k) 1 = 0 = 4 + k + 1 k = 0 = 5 = 0 ASSURDO! Ovviamente esiste una retta del fascio perpendicolare a t Questa retta è la retta s che, per come abbiamo scritto l equazione del fascio, non corrisponde ad alcun valore del parametro reale k

7 Esercizio 6 Determinare i coseni direttori dell asse del segmento congiungente i punti A1, 3), B 1, 1), orientato nel verso delle x decrescenti Soluzione dell esercizio 6 L asse di un segmento è la retta perpendicolare al segmento passante per il suo punto medio Il punto medio tra A e B ha coordinate M = x A + x B, y A + y B ) = 0, ) Il vettore direttore della retta r passante per A e B è il vettore v r = 1 1, 1 3) =, ) L asse del segmento ha equazione cartesiana I suoi coseni direttori sono a meno del segno cos xt = 1x 0) + 1y ) = 0 = t : x + y = 0 b ± a + b = 1 ± a, cos ŷt = ± a + b = 1 ± Affinché la retta sia orientata nel verso delle x decrescenti deve essere cos xt < 0 Perché tale condizione sia soddisfatta è necessario prendere il segno meno al denominatore I coseni richiesti sono cos xt =, cos ŷt = Per calcolare i coseni direttori, quindi risolvere l esercizio, non era in realtà necessario calcolre nè il punto medio del segmento nè l equazione cartesiana dell asse del segmento Infatti è sufficiente conoscere il vettore direttore delle retta di cui si vogliono calcolare i coseni direttori Noto il vettore direttore direttore della retta r un vettore direttore di una qualunque retta perpendicolare ad r è il vettore v t = 1, 1) La formula per i coseni direttori l cos xt = ± m, cos ŷt = l + m ± l + m, ci fa ottenere ovviamente) un risultato identico al precedente cos xt =, cos ŷt =