(c) Calcolare il vettore P W (v) proiezione ortogonale su W del vettore v = Soluzione.

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1 CORSI DI LAUREA IN INGEGNERIA MECCANICA Corso del Prof. Manlio BORDONI A.A - PROVA SCRITTA DI GEOMETRIA DEL 8-- Esercizio. Sia W il sottospazio vettoriale di R rappresentato dal sistema lineare omogeneo kx +x kx = x x +x = x + x x = (a) Determinare per quale valore del parametro reale k il sistema dato ammette autosoluzioni,calcolare tali autosoluzioni e dedurne una base di W. (b) Per il valore di k trovato in (a),determinare equazioni cartesiane ed una base ortonormale del sottospazio W complemento ortogonale di W. (c) Calcolare il vettore P W (v) proiezione ortogonale su W del vettore v =.. (a) Il sistema ammette autosoluzioni se e solo se det k k =8 k = cioè se e solo se k =. Per tale valore di k le soluzioni sono t,per t R cui W ha dimensione ed una sua base è deata dal vettore w =. (b) Equazioni cartesiane di W si ottengono imponendo che il generico vettore x x R sia perpendicolare a w: si ha dunque una sola equazione x + x x + x =,le cui soluzioni sono s + s dimensione ed una sua base è data dai vettori v = procedimento di Gram Schmidt dà la base ortogonale w = v =, w = v < v, w > < w, w > w = Normalizzando si ha la base ortonormale richiesta: u = w w =, u = w w = s,s R, v =. Quindi W ha =.. Il.

2 (c) Risulta P W (v) = <v,w> <w,w> w = + ++ = Esercizio. È data la matrice A () =. (a) Scomporre A nelle sue parti simmetrica ed antisimmetrica. (b) Verificare che A è invertibile e calcolare la sua inversa A. (c) Calcolare A. (d) Detto T : R R l operatore associato alla matrice A,determinare se T è diagonalizzabile oppure no. (a) La parte simmetrica di A è A+t A =.. ; la parte antisimmetrica di A è A t A =. (b) A è invertibile in quanto risulta deta = e la sua inversa è A =. (c) Risulta A = A A =. 6 (d) L equazione caratteristica det(a λi) = λ +6λ λ+ = dà gli autovalori,, +. Pertanto T : R R è diagonalizzabile in quanto ammette tre autovalori reali e distinti. Esercizio. Nel piano sono date le due rette parallele r : x y =, r :x y =. (a) Determinare l equazione cartesiana della retta r che divide a metà la striscia di piano compresa fra r ed r (. ) (b) Verificato chei il punto H appartiene ad r,scrivere l equazione della retta s passante per H e perpendicolare ad r, r,r,e calcolare le coordinate dei punti A = r s e B = r s. (c) Determinare su r il punto C di ascissa positiva e tale che l area del triangolo di vertici A, B, C valga. (d) Scrivere l equazione cartesiana della circonferenza di centro C e tangente alle rette r, r.

3 (a) La retta r è costituita dai punti medi dei segmenti aventi un estremo su r e l altro su r ed è ( parallela ) ad r, r. Per trovarla,prendiamo un punto ( a) piacere su 6 r,per esempio R,ed un punto a piacere su r,per esempio R : il punto ( 7 ) medio del segmento che li unisce è M,quindi r ha equazione (x 7 ) (y ) = cioè x y 7=. (b) H r in quanto le coordinate di H soddisfanno l equazione di r : 8--7=. La retta s ha equazione (x ) (y ) = ossia x+y 6 =. Le coordinate di A = ( r) s si ottengono risolvendo il sistema formato dalle equazioni( di r) ed s e 6 sono ; analogamente si trova che le coordinate di B = r s sono. { ( ) x = t t (c) Equazioni parametriche di r sono. Detto C(t) il y =t 7 t 7 punto mobile su r,deve risultare det 6 t t 7 = ossia t = ( ) 9 per cui deve essere t =,che dà t = 9 ed il punto C,oppure ( ) t =,che dà t = edilpuntoc. Quindi il punto richiesto è 9 C = C. (d) La circonferenza richiesta ha raggio uguale alla distanza di C da r (o da r ): d(c, r) = 8 + = = e quindi la sua equazione è(x 9) +(y) = cioè x +y 8x y+97=. Esercizio. Nello spazio sono date le rette { x y = r : x z = ed s : { x + z = y =. (a) Verificare che r ed s sono sghembe. (b) Calcolare il coseno dell angolo rs con r orientata secondo le x crescenti ed s orientata secondo le x decrescenti. (c) Determinare le coordinate di un vettore n che sia perpendicolare sia ad r che ad s. (d) Determinare le equazioni cartesiane dei piani (paralleli tra loro) α e α contenenti rispettivamente r ed s e perpendicolari ad n. Calcolare la distanza fra α e α.

4 (a) Le rette r ed s sono sghembe in quanto risulta det =. (b) Un vettore direttore di r è v = secondo le x crescenti è r = ed il versore che dà l orientazione di r. Un vettore direttore di s è w = versore che dà l orientazione di s secondo le x decrescenti è s = dunque cos rs =< r, s >= + =. ed il. Risulta (c) Un vettore v perpendicolare ad r ed s è per esempio n = v w = det i j = k i +j k. (d) Il fascio di piani di asse r ha equazione x y+k(x z) = cioè(+k)x y kz = e la condizione di perpendicolarità con n èrg +k =chedà k =, k pertanto α ha equazione x y (x z) = cioè x y + z =. Il fascio di piani di asse s ha equazione x + hy + z = e la condizione di perpendicolarità con n èrg h =chedà h =,quindi α :x y + z =. La distanza tra α ed α è uguale alla distanza di un qualsiasi punto di α,per esempio l origine O,da α : d(α, α )=d(o,α )= =. +9+ Esercizio. Sia L : R n R m un applicazione lineare. (a) Dare la definizione di KerL (nucleo di L) e dimostrare che KerL è un sottospazio vettoriale di R n. (b) Enunciare e dimostrare il teorema della nullità più rango. (a) Il nucleo di L è l insieme dei vettori R n che sono portati da L nel vettore nullo di R m : KerL = {v R n L(v) =}. KerL è un sottospazio vettoriale di R n in quanto è chiuso rispetto alla somma di vettori ed al prodotto di un vettore per uno scalare. Infatti risulta:

5 se v, v KerL,cioè L(v )= e L(v )=,si ha L(v +v )=L(v )+l(v )= cioè v + v KerL; se c R e v KerL,cioè L(v) =,si ha L(cv) =cl(v) cioè cv KerL. (b) Il teorema della nullità più rango afferma che dim(kerl)+dim(iml)=n. Infatti detta A la matrice di L rispetto alle basi canoniche,il nucleo di L è rappresentato dal sistema lineare omogeneo di m equazioni in n incognite di matrice A ed ha dunque n k soluzioni,cioè ha dimensione n k,ove k indica il rango di A. Le colonne di A danno poi un sistema di generatori dell immagine di L,di cui proprio k sono indipendenti,cioè l immagine di L ha dimensione k. Pertanto sommando le dimensioni del nucleo e dell immagine di L si ottiene n. Esercizio 6. Nello spazio euclideo sono dati il piano α : ax + by + cz + d =ela retta r passante per il punto P x y e di parametri direttori l m. z n (a) Scrivere e dimostrare la formula che dà il seno dell angolo αr. (b) Scrivere e dimostrare quali sono le formule che danno le equazioni cartesiane della retta s passante per P e perpendicolare ad α. (a) sen αr = al+bm+cn (a +b +c )(l +m +n ). Infatti l angolo αr è il complementare dell an- golo nv ove n a b c è un vettore perpendicolare ad α e v l m n è un vettore direttore di r. Risulta quindi sen αr = cos( π <n,v> αr) = cos nv = n v donde la formula scritta. Il valore assoluto interviene in quanto l angolo αr è acuto oppure ottuso ma minore di un angolo piatto,per cui il suo seno è sempre positivo. (b) Equazioni cartesiane della retta s passante per P e perpendicolare ad α si ottengono imponendo che sia rg x x a y y b =. Infatti basta prendere come z z c parametri direttori di s le coordinate del vettore n di cui sopra.