L insieme delle soluzioni del sistema non costituisce un sottospazio vettoriale di R 3

Transcript

1 1) Siano dati due sottospazi vettoriali V, W di R 4 entrambi di dimensione 2. Quale tra le seguenti affermazioni è possibile? V + W ha dimensione 3 V W ha dimensione 3 V W ha dimensione 1 e V + W ha dimensione 4 V W = {0} e V + W ha dimensione 2 V = W e V + W ha dimensione 3 La risposta corretta segue dalla relazione di Grassmann. 2) Sia f : R 3 R 3 una trasformazione ortogonale con determinante 1. Quale tra le seguenti affermazioni è falsa? f può non avere autovalori reali. f può non essere diagonalizzabile. f conserva gli angoli tra due vettori. f è un isomorfismo. f conserva le lunghezze dei vettori. Il polinomio caratteristico di f ammette sempre almeno una radice reale perchè ha grado dispari. 3) Dato un sistema lineare omogeneo AX = O con matrice A R 3,, quale tra le seguenti affermazioni è falsa? L insieme delle soluzioni del sistema non costituisce un sottospazio vettoriale di R L insieme delle soluzioni del sistema non costituisce un sottospazio vettoriale di R 3 Il sistema ammette infinite soluzioni. Il sistema ammette almeno una soluzione. Il sistema non ammette un unica soluzione. 1

2 I sistemi omogenei ammettono soluzioni e, per il teorema di Rouchè Capelli, questo sistema ammette infinite soluzioni. L insieme delle soluzioni è dunque un sottospazio vettoriale. 4) Siano dati i piani x + y z + 2 = 0 e ax + by + z 1 = 0. Per quali tra i seguenti valori di a e b i piani non hanno punti in comune? a = b = 1 a + b = 1 a = b = 0 a b 1 = 0 Nessuna delle altre Per tutti gli altri valori i piani non sono paralleli. ) Se u, v e w sono vettori liberi non complanari di V 3, allora formano una base e sono linearmente indipendenti hanno la stessa direzione sono paralleli non formano una base formano una base e sono linearmente dipendenti Essere non complanari equivale a dire essere linearmente indipendenti. Tre vettori linearmente indipendenti costituiscono una base di V 3. 2

3 ESERCIZI 1) Date le rette: { r: x + z = 0 y z 7 = 0 s: x = 3t 3 y = t z = t + 2 a) verificare che le rette r ed s sono sghembe. b) determinare la retta di minima distanza tra r ed s c) determinare la sfera di raggio minimo tangente sia ad r che ad s. a) Determiniamo i vettori direttori delle rette r ed s. Essi sono r = ( 1,, 1) ed s = (3, 1, 1) quindi le rette non sono parallele. Vediamo se hanno punti in comune considerando r s: x = 3t 3 y = t z = t + 2 x + z = 0 y z 7 = 0 { 4t 1 = 0 4t 17 = 0 poichè il sistema è incompatibile, concludiamo che r s = e quindi le rette sono sghembe. x = t b) In equazioni parametriche si ha r : y = t + 7 da cui R( t, t + 7, t ) è un z = t generico punto della retta r mentre S(3t 3, t, t + 2) è un generico punto della retta s. La retta RS sarà di minima distanza se e solo se il vettore RS(3t 3 + t, t t 7, t + 2 t ) risulterà ortogonale tanto ad r quanto ad s { RS r = 0 RS s = 0 { t 9t 10 = 0 3t + 11t 14 = 0 ossia R(1, 2, 1) ed S(0, 1, 3) e quindi la retta richiesta è RS : x 1 1 = y 2 1 = z RS : x = t + 1 y = t + 2 z = 4t 1 3 { t = 1 t = 1

4 c) La sfera Σ richiesta avrà centro C nel punto medio del segmento RS e raggio R pari alla metà della lunghezza del segmento RS C = ( 1 2, 3 2, 1) mentre R = = Σ : (x 1 2 )2 + (y 3 2 )2 + (z 1) 2 = 9 2 4

5 2) In R 4 siano dati i sottospazi U = L((1, 0, 2, 1), (0, 1, 0, 0)) V = {(x, y, z, t) R 4 x+2y z = 0, x t = 0, y+2t = 0}. Si trovi una base ortonormale del sottospazio U + V e si trovi la proiezione ortogonale del vettore w = (1, 0, 0, 0) su U + V. I vettori { u 1, u 2 } che generano U sono linearmente indipendenti quindi costituiscono una base per U. Determiniamo una base per V : x (x, y, z, t) V x + 2y z = 0 x t = 0 y + 2t = 0 x (t, 2t, 3t, t) detto v = (1, 2, 3, 1) si ha che V = L( v ). Ora U +V = L( u 1, u 2, v ), determiniamo una base di U + V : rg = 3 { u 1, u 2, v } base di U + V Partendo da questa base determiniamo la base ortonormale { a 1, a 2, a 3 } richiesta. Primo passo: poniamo a 1 = u 1 = 1 u 1 6 (1, 0, 2, 1) Secondo passo: sia a 2 = u 2 in quanto u 2 è ortogonale ad u 1 ed è già di norma 1 Terzo passo: sia x 3 = v ( v a 1 ) a 1 ( v a 2 ) a 2 dove v a 1 = 6, v a 2 = 2 e quindi x 3 = (2, 0, 1, 0) da cui a 3 = x 3 1 (2, 0, 1, 0). La base ortonormale richiesta è dunque formata dai seguenti vettori a 1 = ( 1 2, 0,, 1 ) a 2 = (0, 1, 0, 0) a 3 = ( 2, 0, 1, 0) Dato il vettore w = (1, 0, 0, 0), la sua proiezione ortogonale su U + V è data da p u+v ( w ) = ( w a 1 ) a 1 + ( w a 2 ) a 2 + ( w a 3 ) a 3 x 3 = ossia p u+v ( w ) = 1 ( 1 2, 0,, 1 ) + (0, 1, 0, 0) + 2 ( 2, 0, 1, 0) = ( , 1, 1 1, 1 6 )