Soluzioni dell esame scritto di Algebra Lineare del 14 giugno 2017

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1 Soluzioni dell esame scritto di lgebra Lineare del 14 giugno 217 Esercizio 1 Dati due sottoinsiemi, B di uno stesso insieme, la loro differenza simmetrica è il sottoinsieme definito come: B := ( B) ( B) (dove indica la differenza insiemistica). Sia ora f : X Y un applicazione. Si dimostri o si trovi un controesempio alle seguenti asserzioni: (i) f( B) f() f(b) (ii) f( B) f() f(b) Soluzione: (i) è falsa, (ii) è vera. er mostrare che (i) è falsa, consideriamo il seguente controesempio: f : {1, 2} {1} definita (unicamente!) come f(1) = 1, f(2) = 1, ed i sottoinsiemi = {1} e B = {2}. In tal caso, B = {1, 2} e f( B) = {1}, mentre f() f(b) =. er mostrare che (ii) è vera, mostriamo che (come già visto in classe, e nei compiti di esame passati): (a) f( B) = f() f(b) (b) f( B) f() f(b) Mostriamo (a): y f( B) x B tale che f(x) = y y f() oppure y f(b) y f() f(b) Mostriamo (b): y f( B) x B tale che f(x) = y y f() ed y f(b) y f() f(b) (mentre l inclusione inversa non è vera perché la seconda freccia di implicazione qui sopra in generale non si inverte: se y f() ed y f(b) si può solo concludere che esiste un x 1 ed un x 2 B con f(x 1 ) = f(x 2 ) = y). Da (a) e (b) segue che: f() f(b) = (f() f(b)) (f() f(b)) f( B) f( B) = f( B).

2 Esercizio 2 Si consideri il seguente sistema parametrico con parametri t, s R: x + ty + (s + 1)z = 3 (t 1)y + sz = 2 x + y + (t + 2)z = s + 1. (i) stabilire per quali coppie di parametri (t, s) il seguente sistema lineare ammette soluzioni; (ii) per ogni valore di (t, s) per il quale il sistema precedente ammette soluzione, determinare la dimensione dello spazio delle soluzioni. Nota: non mi interessa che esplicitiate le soluzioni. Soluzione: stabilire per quali coppie di parametri etc etc significa studiare tutte le coppie possibili: lo studio deve essere esaustivo. La soluzione è: (a) er ogni coppia (t, s) con t ±1, si ha rk() = rk( b) = 3, quindi 1! soluzione; (b) er t = 1 ed s = ±2, si ha rk() = rk( b) = 2, quindi 1 soluzioni; (c) er t = 1 ed s ±2, si ha rk() = 2, rk( b) = 3, quindi nessuna soluzione; (d) er t = 1 ed s =, si ha rk() = rk( b) = 2, quindi 1 soluzioni; (e) er t = 1 ed s, si ha rk() = 2, rk( b) = 3, quindi nessuna soluzione. Mostriamo (a): det() = (t 1)(t + 1), quindi se t ±1 si ha rk() = 3, e quindi per forza rk( b) = 3 ed 1! soluzione per il teorema di Rouché-Capelli. Mostriamo (b) e (c): per t = 1 la matrice del sistema diventa s 3 s s s 3 s 2 2 s s 2 dove a destra è indicata una matrice equivalente per trasformazioni di Gauss. In tal caso rk() = 2, e si ha rk( b) = 3 se e solo se le due ultime righe sono l.i.: ciò accade se e solo se s = ±2, il che dimostra (b) e (c), sempre per Rouché-Capelli. Mostriamo (d) ed (e): per t = 1 la matrice del sistema diventa s 3 2 s s s 3 2 s 2 2 s 2 s In tal caso rk() = 2, e si ha rk( b) = 3 se e solo se le due ultime righe sono l.i.: ciò accade se e solo se s =, il che dimostra (d) ed (e), sempre per Rouché-Capelli.

3 Esercizio 3 Si consideri la retta r di E 3 di equazioni 3x+z = x+y +z =. (i) determinare la distanza di r dal piano π : 2x y Sia ora σ : E 3 E 3 la simmetria rispetto al punto = (1, 2, 3): (ii) determinare σ (x, y, z); (iii) determinare le equazioni cartesiane della retta σ (r). (i) esplicitando un vettore direzione r = (1, 2, 3) di r si vede immediatamente che la retta è parallela al piano π. La distanza è data allora dalla distanza di un qualsiasi punto Q di r da π. rendendo per esempio Q = (,, ) r otteniamo dalla formula distanza punto-piano: d(r, π) = d(q, π) = = (ii) Il simmetrico σ (X) rispetto a è il punto definito dalla relazione: σ (X) = X = 2 X ovvero, in coordinate canoniche X = (x, y, z), σ (x, y, z) = (2 x, 4 y, 6 z). (iii) Se le equazioni di r sono date da g 1 (x, y, z) = g 2 (x, y, z) =, le equazioni di σ (r) si ottengono componendo g 1, g 2 con σ 1 (x, y, z): difatti, X σ (r) σ 1 (X) r g 1(σ 1 (X)) = g 2(σ 1 (X)) =. Esplicitamente, poiché σ 1 (x, y, z) = (2 x, 4 y, 6 z) (si noti che in questo caso σ 1 (x, y, z) = σ (x, y, z) perché si tratta di una riflessione!) otteniamo σ (r) : g 1 (2 x, 4 y, 6 z) = g 2 (2 x, 4 y, 6 z) = cioè σ (r) : 3x + z = x + y + z = 12. Un metodo alternativo consiste nel trovare un punto Q e un vettore direzione r della retta σ (r): per es. Q = σ (Q) = (2, 4, 6), r = σ ( r) = r = ( 1, 2, 3) e quindi trovare l equazione cartesiana come usualmente da questi due dati.

4 Esercizio 4 Si consideri l applicazione lineare f : R 3 R 3 la cui matrice nelle coordinate canoniche (x, y, z) è: 1 2 = e sia V il sottospazio vettoriale di equazione z =. (i) Determinare dimensione e equazioni cartesiane della controimmagine f 1 (V ); (ii) Determinare dimensione e equazioni cartesiane di f (f 1 (V )); (iii) è vero che f (V ) f 1 (V ) = R3? (i) Si ha che X = (x, y, z) f 1 (V ) se e solo se f (X) V, cioè se e solo se esistono s, t R tali che x + 2y = t 2x + 4y = s x y + z = ertanto f 1 (V ) è un piano π di equazione x y + z =, la cui giacitura è data da Span(b 1 = (1, 1, ), b 2 = (1, 1, 2)). (ii) L insieme f (f 1 (V )) è dunque l immagine del piano π tramite f. oiché f è lineare, f (π) = Span f (b 1 ) = 3 6, f (b 2 ) = L immagine f (f 1 (V )) è allora la retta r : y = 2x. 1 2 = (iii) No. Si ha f (V ) = Span{f (e 1 ) = (1, 2, 1), f (e 2 ) = (2, 4, 1)}. Dunque vale f (V ) + f 1 (V ) = f(v ) + π = R3 in quanto f(e 2 ) π, ed esistono pertanto tre vettori indipendenti in f (V ) + f 1 (V ). Ma la somma non è diretta, in quanto la retta vettoriale (1, 2, 1)R appartiene a entrambi i sottospazi. 1 2 R

5 Esercizio 5 Sia V un sottospazio vettoriale di dimensione d di E n. (i) Si dia la definizione di proiezione ortogonale di un punto E n su V, che denoteremo π V ( ); (ii) si enunci (senza dimostrazione) la formula della proiezione di Fourier per determinare π V ( ). Sia ora = + V un sottospazio affine di dimensione d di E n : (iii) Si dia la definizione di proiezione ortogonale π ( ) di un punto su ; come si modifica la formula di Fourier data al punto (ii) per determinare π ( )? (i) La proiezione ortogonale di un punto E n su un sottospazio V è per definizione l unico punto π V ( ) che verifica le due condizioni: π V ( ) V e π V ( ) V. (ii) La formula della proiezione di Fourier dice che, se B = {b 1,..., b d } è una base ortonormale per V, si ha d π V ( ) = ( O b i )b i i=1 (iii) La formula della proiezione su un sottospazio affine = + V, dove B = {b 1,..., b d } è sempre una base ortonormale per V, si scrive: π V ( d ) = ( b i )b i i=1 dunque π V ( ) = + d i=1 ( b i )b i.