Domande 1. Definizione di prodotto scalare di uno spazio vettoriale.

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1 Domande 1. Definizione di prodotto scalare di uno spazio vettoriale. Prova in itinere II CdL Informatica, Canale A-G Data: 09/06/2018. Tema 1. Nome e cognome: Matricola: Firma: Il compito è di 4 pagine. Svolgere gli esercizi utilizzando gli spazi vuoti di ciascuna pagina, con indicazione dei calcoli effettuati e fornendo spiegazioni chiare ed essenziali. Per ciascuna domanda, cerchiare la risposta finale. Esercizio 1. Si consideri la seguente matrice, dipendente da un parametro k R: 1 k 1 A = k 1 a) Determinare gli autovalori di A. b) Dire per quali valori di k la matrice A è diagonalizzabile. c) Per un valore di k scelto a piacere fra quelli trovati al punto b), determinare una matrice diagonalizzante di A. 2. (Facoltativa.) Dimostrare il teorema della dimensione. 4 1

2 Esercizio 2. Si considerino le rette r ed s dello spazio tridimensionale di equazioni r : { x1 + x 2 = 1 x 1 x 2 + x 3 = 2 x 1 = 1 + t s : x 2 = 2t x 3 = 1 + t t R a) Mostrare che le due rette sono incidenti e determinare le coordinate del punto P di intersezione. b) Si determini l equazione della retta ortogonale ad r ed s e passante per il punto di intersezione P. Esercizio 3. Sia f : R 3 R 3 l applicazione lineare data da: f(x 1, x 2, x 3 ) := ( 2x 1 + x 2, x 1 + x 2 + x 3, x 2 + 2x 3 ) (x 1, x 2, x 3 ) R 3 a) Dire se il vettore v = (1, 2, 0) è nel nucleo di f. b) Dire se il vettore w = (1, 0, 1) è nell immagine di f. c) Determinare la dimensione di nucleo e immagine di f. d) Sia V R 3 il sottospazio V := { (x 1, x 2, x 3 ) R 3 : x 1 2x 2 + x 3 = 0 } e sia W := f(v ) la sua immagine tramite f. Determinare, se esiste, una base di W. 3 2

3 Domande 1. Definizione di insieme ortogonale in uno spazio metrico astratto. Fare un esempio. Prova in itinere II CdL Informatica, Canale A-G Data: 09/06/2018. Tema 2. Nome e cognome: Matricola: Firma: Il compito è di 4 pagine. Svolgere gli esercizi utilizzando gli spazi vuoti di ciascuna pagina, con indicazione dei calcoli effettuati e fornendo spiegazioni chiare ed essenziali. Per ciascuna domanda, cerchiare la risposta finale. Esercizio 1. Si consideri la seguente matrice, dipendente da un parametro k R: A = 0 k a) Determinare gli autovalori di A. b) Dire per quali valori di k la matrice A è diagonalizzabile. c) Per un valore di k scelto a piacere fra quelli trovati al punto b), determinare una matrice diagonalizzante di A. 2. (Facoltativa.) Dimostrare la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. 4 1

4 Esercizio 2. Si considerino i piani Π e Π dello spazio tridimensionale di equazioni: Π : 8x 1 + x 2 x 3 = 0 Π : x 1 x 2 + x 3 = 0 a) Stabilire la posizione reciproca dei due piani. b) Trovare un equazione cartesiana del piano passante per P (1, 1, 1) e perpendicolare ai piani Π e Π. Esercizio 3. Sia f : R 3 R 3 l applicazione lineare data da: f(x 1, x 2, x 3 ) := ( x 2 x 3, x 1 x 3, x 1 x 2 ) (x 1, x 2, x 3 ) R 3 a) Dire se il vettore v = (2, 1, 1) è nel nucleo di f. b) Dire se il vettore w = (1, 0, 1) è nell immagine di f. c) Determinare la dimensione di nucleo e immagine di f. d) Sia V R 3 il sottospazio V := { (x 1, x 2, x 3 ) R 3 : x 1 x 2 = x 1 + x 2 + x 3 = 0 } e sia W := f(v ) la sua immagine tramite f. Determinare, se esiste, una base di W. 3 2

5 Domande 1. Definizione di applicazione lineare. Fare un esempio. Prova in itinere II CdL Informatica, Canale A-G Data: 09/06/2018. Tema 3. Nome e cognome: Matricola: Firma: Il compito è di 4 pagine. Svolgere gli esercizi utilizzando gli spazi vuoti di ciascuna pagina, con indicazione dei calcoli effettuati e fornendo spiegazioni chiare ed essenziali. Per ciascuna domanda, cerchiare la risposta finale. Esercizio 1. Si consideri la seguente matrice, dipendente da un parametro k R: 1 1 k 2 A = k 2 a) Determinare gli autovalori di A. b) Dire per quali valori di k la matrice A è diagonalizzabile. c) Per un valore di k scelto a piacere fra quelli trovati al punto b), determinare una matrice diagonalizzante di A. 2. (Facoltativa.) Dimostrare la formula per la distanza punto-retta. 4 1

6 Esercizio 2. Nel piano, si considerino le rette r 1, r 2 ed r 3 di equazioni { x1 = 1 + t r 1 : 2x 1 + x = 0 r 2 : 3x 1 + 2x = 0 r 3 : x 2 = 2t a) Mostrare che r 1 ed r 2 sono incidenti e determinare il punto P di intersezione. b) Si trovi un equazione cartesiana della retta r parallela ad r 3 e passante per P. c) Si trovi un equazione cartesiana della retta s perpendicolare a r 3 e passante per P. t R Esercizio 3. Sia f : R 3 R 3 l applicazione lineare data da: f(x 1, x 2, x 3 ) := ( x 2 x 3, x 1 x 3, x 1 x 2 ) (x 1, x 2, x 3 ) R 3 a) Dire se il vettore v = (2, 1, 1) è nel nucleo di f. b) Dire se il vettore w = (1, 1, 1) è nell immagine di f. c) Determinare la dimensione di nucleo e immagine di f. d) Sia V R 3 il sottospazio V := { (x 1, x 2, x 3 ) R 3 : x 1 2x 2 + x 3 = 0 } e sia W := f(v ) la sua immagine tramite f. Determinare, se esiste, una base di W. 3 2