GEOMETRIA. 2 Febbraio ore. Istruzioni: Scrivere cognome, nome, numero di matricola in stampatello negli appositi spazi.

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1 GEOMETRIA 2 Febbraio ore Istruzioni: Scrivere cognome, nome, numero di matricola in stampatello negli appositi spazi. Trascrivere i risultati dei quiz della prima parte nella tabella in questa pagina. Trascrivere la risposta alle singole domande degli esercizi della seconda parte nelle pagine bianche alla fine di ogni esercizio. Per la brutta utilizzare i fogli distribuiti dal docente. Cognome e nome (stampatello): Matricola: Docente: Q1 a b c d Q5 a b c d Q2 a b c d Q6 a b c d Q3 a b c d Q7 a b c d Q4 a b c d Q8 a b c d Non scrivere in questo spazio I II

2 Prima Parte (Quiz) Q1. Per ogni h R sia data la matrice A h = h 0 0 (a) Esistono h R e B R 3,1 per cui il sistema A h X = B non ha soluzione. (b) A h è invertibile per h 0. (c) Sia h=0: allora il sistema A 0 X =B ha infinite soluzioni, qualsiasi sia B R 3,1. (d) Esiste h R tale che il sistema A h X = 0 ha solo la soluzione nulla Q2. Sia A = (a) Il vettore (2, 5, 3, 0, π) è autovettore di A. (b) Il polinomio caratteristico di A ammette 0 come radice. (c) Il numero complesso 1 + 5i è radice del polinomio caratteristico di A. (d) Il polinomio caratteristico di A è p(t) = t 5 1. Q3. Nello spazio con fissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxyz siano u = ı + j + 3 k e v = ı j + k. (a) ( u v) v = 1 ( indica il prodotto vettoriale). (b) u e v sono perpendicolari. (c) u v = 3 u + 7 v. (d) L angolo fra u e v è acuto. Q4. Sia (v 1, v 2, v 3, v 4 ) una base di R 4. (a) Se V =L (v 1, v 2 ) e W =L (v 3, v 4 ), allora V W contiene un unico vettore. (b) Si ha sempre v 1 = (1, 0, 0, 0). (c) Se V =L (v 1, v 2 ) e W =L (v 3, v 4 ), allora V W è vuoto. (d) Se V =L (v 1, v 2 ) e U =L (v 2, v 3 ), allora dim(u + V ) = 4. 2

3 Q5. Siano dati i vettori v 1 = (1, 1, t), v 2 = (1, 1, 0), v 3 = (1, 2, 0) di R 3. (a) v 1, v 2, v 3 sono linearmente indipendenti per ogni t R. (b) dim(l (v 1, v 2 )) = 1 per qualche t R. (c) v 1, v 2, v 3 sono linearmente indipendenti per infiniti t R. (d) dim(l (v 2, v 3 )) = 1. Q6. Sia data la forma quadratica in due variabili q(x, y) = 3x 2 + 2xy + 3y 2. (a) La matrice associata a q è ortogonale. (b) Per ogni (x, y) R 2 si ha q(x, y) 0. (c) Esiste (x 0, y 0 ) R 2 tale che q(x 0, y 0 ) = 1. (d) La matrice associata a q è diagonale. Q7. Nello spazio con fissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxyz sia data la quadrica Q di equazione x 2 + y 2 z 2 = 1. (a) L intersezione di Q con il piano di equazione x = 0 è un ellisse. (b) Non esistono punti dello spazio che verificano l equazione di Q. (c) L intersezione di Q con il piano di equazione y = 1 è una parabola. (d) L intersezione di Q con il piano di equazione z = 1 è una circonferenza. Q8. Nello spazio con fissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxyz siano dati la retta r ed il piano α rispettivamente di equazioni (x, y, z) = (1 t, 2 t, 3 + t), x + y + 2z = 0. (a) r ed α si intersecano. (b) r ed α sono paralleli. (c) r ed α sono perpendicolari. (d) r è contenuta in α. 3

4 Seconda Parte (Esercizi) Esercizio 1. (i) Siano A R m,n, B R m,1 : enunciare condizioni sufficienti affinché il sistema AX = B abbia infinite soluzioni. (ii) Determinare il rango di al variare di h R h 2 4 Siano dati i piani α: x y z = 2, β: 3x + y + 2z = 2, γ h : 4x + h 2 z = 4. (iii) Determinare gli eventuali valori di h R per cui l intersezione α β γ h è un punto, una retta oppure è vuota. (iv) Posto h = 1, determinare le equazioni parametriche della retta α β γ 1. (v) Posto h = 1, determinare un vettore parallelo alla retta α β γ 1. Svolgimento dell esercizio 1: 4

5 Esercizio 2. (i) Dare la definizione di autovalore di una matrice. Sia data l applicazione lineare f: R 3 R 3 tale che f(1, 0, 0) = (3, 0, 1), f(0, 1, 0) = (1, 3, 2), f(0, 0, 1) = (0, 0, 1). (ii) Scrivere la matrice A di f (rispetto alla base canonica di R 3 ). (iii) Calcolare f(1, 1, 2). (iv) f è iniettiva? f è suriettiva? (v) Determinare gli autovalori di A ed una base per ogni suo autospazio. (vi) Stabilire se A è diagonalizzabile. Svolgimento dell esercizio 2: 5

6 Esercizio 3. Nel piano con fissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxy sia data la conica C di equazione x xy 5y = 0. (i) Stabilire se C è una parabola, un ellisse, un iperbole. (ii) Determinare una rotazione del piano che riduce C in forma canonica. (iii) Disegnare C rispetto al sistema di riferimento Oxy. Svolgimento dell esercizio 3: 6