ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA

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1 ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA A 20 settembre minuti Istruzioni: Scrivere cognome, nome, matricola in STAMPATELLO negli appositi spazi. Per ogni quiz nella prima parte, indicare l affermazione giudicata corretta nella tabella in questa pagina. Trascrivere la risposta alle singole domande dell esercizio della seconda parte nelle pagine con l indicazione svolgimento. Per la brutta utilizzare i fogli distribuiti dal docente. COGNOME, NOME: MATRICOLA: DOCENTE: Q1 a b c d Q5 a b c d Q2 a b c d Q6 a b c d Q3 a b c d Q7 a b c d Q4 a b c d Q8 a b c d Non scrivere in questo spazio QUIZ ESERCIZIO TOTALE

2 A QUIZ Q1. Sia data la forma quadratica q(x, y, z) = x 2 2xy + 2y 2 2yz. (a) q è definita positiva. (b) q non è definita. (c) q è semidefinita positiva. (d) q è definita negativa. Q2. In R 3,1 siano date le matrici A = 2, B = 1, C h = h (a) dim L (A, B, C h ) = 3 per ogni h R. (b) Nessuna delle altre affermazioni è vera. (c) Esiste h R tale che L (A, B, C h ) = L (A, B). (d) Esistono due valori di h R distinti tali che A, B, C h siano linearmente dipendenti. Q3. Nello spazio con fissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale siano date le quadriche Q h di equazione S : x 2 + y 2 + hz 2 + 2x 2hz + h = 0. (a) Esiste h R tale che Q h sia un cono. (b) Esiste h R tale che Q h sia un iperboloide iperbolico (a una falda). (c) Per ogni h R la quadrica Q h è un ellissoide. (d) Per ogni h R la quadrica Q h è degenere. Q4. In R 4 si consideri un sottospazio U con dim(u) 1. (a) Esiste un sottospazio V R 4 con dim(v ) 1 tale che dim(u V ) = 0. (b) Esiste un sottospazio V R 4 con dim(v ) = 4 tale che dim(u V ) = 0. (c) Nessuna delle altre affermazioni è vera. (d) Per ogni sottospazio V R 4 con dim(v ) 1, si ha dim(u + V ) 2. 2

3 A Q5. Sia ϕ: R 3 R 2 l applicazione lineare definita da ϕ(x, y, z) = (x + y + z, x + y). Siano poi e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0), e 3 = (0, 0, 1) e f 1 = (1, 0), f 2 = (0, 1). (a) Nessuna delle altre affermazioni è vera. (b) La matrice di ϕ rispetto alle basi (e 3, e 2, e 1 ) e (f 1, f 2 ) è ( ) A = (c) ϕ è iniettiva. (d) La matrice di ϕ rispetto alle basi (e 3, e 2, e 1 ) e (f 1, f 2 ) è ( ) A = Q6. Nello spazio con fissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale siano dati i vettori v = ı + j + k, w = 2 ı j + k. (a) L equazione x ( v w) = 0 non ha soluzione. (b) L equazione x v = w non ha soluzione. (c) Nessuna delle altre affermazioni è vera. (d) L equazione x w = w ha soluzione. Q7. Nello spazio con fissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale siano dati i tre piani α, β, γ rispettivamente di equazioni: α : x + y + z = 1, β : x 2y + 3z = 1, γ : 2x y + 3z = 2. (a) Nessuna delle altre affermazioni è vera. (b) I tre piani non hanno punti in comune. (c) I tre piani hanno in comune una retta. (d) Non esiste una retta parallela ai tre piani. Q8. Sia A R 3,3 di rango 2 avente tan 8/33 e 7 14 come radici del polinomio caratteristico. (a) A ha autovalori complessi non reali. (b) A non ha autovettori reali. (c) A ha tre autovettori reali linearmente indipendenti. (d) Nessuna delle altre affermazioni è vera. 3

4 A Sia f: R 3 R 3 l endomorfismo definito da ESERCIZIO f(x, y, z) = ( 2x + 3y + 2z, 2y, 3y). (i) Scrivere la matrice A di f rispetto alle basi canoniche. (ii) Determinare una base per ker(f): f è iniettiva? (iii) Calcolare una base di Im(f): è vero o falso che ( t ) Im(f)? (iv) Calcolare una base di ogni autospazio di A: è vero o falso che A è diagonalizzabile? Svolgimento dell esercizio: 4

5 A Svolgimento dell esercizio: 5

6 6 A

7 ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA B 20 settembre minuti Istruzioni: Scrivere cognome, nome, matricola in STAMPATELLO negli appositi spazi. Per ogni quiz nella prima parte, indicare l affermazione giudicata corretta nella tabella in questa pagina. Trascrivere la risposta alle singole domande dell esercizio della seconda parte nelle pagine con l indicazione svolgimento. Per la brutta utilizzare i fogli distribuiti dal docente. COGNOME, NOME: MATRICOLA: DOCENTE: Q1 a b c d Q5 a b c d Q2 a b c d Q6 a b c d Q3 a b c d Q7 a b c d Q4 a b c d Q8 a b c d Non scrivere in questo spazio QUIZ ESERCIZIO TOTALE

8 B QUIZ Q1. Sia ϕ: R 2 R 3 l applicazione lineare definita da ϕ(x, y) = (y, x + y, x + y). Siano poi e 1 = (1, 0), e 2 = (0, 1), f 1 = (1, 0, 0) e f 2 = (0, 1, 0), f 3 = (0, 0, 1). (a) La matrice di ϕ rispetto alle basi (e 1, e 2 ) e (f 3, f 2, f 1 ) è 0 1 A = (b) Nessuna delle altre affermazioni è vera. (c) La matrice di ϕ rispetto alle basi (e 1, e 2 ) e (f 3, f 2, f 1 ) è 1 1 A = (d) ϕ è suriettiva. Q2. Sia A R 3,3 avente cos 6 e 3 21 come radici semplici del polinomio caratteristico. (a) A ha autovalori complessi non reali. (b) A ha solo autovalori reali. (c) A non è diagonalizzabile su R. (d) Nessuna delle altre affermazioni è vera. Q3. Sia data la forma quadratica q(x, y, z) = x 2 2xy + 2y 2 2yz + z 2. (a) q non è definita. (b) q è definita positiva. (c) q è definita negativa. (d) q è semidefinita positiva. Q4. Nello spazio con fissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale siano date le quadriche Q h di equazione S : x 2 + y 2 + hz 2 + 2x 2hz + h + 1 = 0. (a) Per ogni h R la quadrica Q h è un cono. (b) Esiste h R tale che Q h sia degenere. (c) Esiste h R tale che Q h sia un ellissoide. (d) Per ogni h R la quadrica Q h è un iperboloide iperbolico (a una falda). 2

9 B Q5. Nello spazio con fissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale siano dati i tre piani α, β, γ rispettivamente di equazioni: α : x + y + z = 1, β : x 2y + 3z = 1, γ : 2x y + 3z = 2. (a) Nessuna delle altre affermazioni è vera. (b) Esiste una retta parallela ai tre piani. (c) I tre piani hanno punti in comune. (d) I tre piani hanno in comune una retta. Q6. In R 3,1 siano date le matrici A = 2, B = 1, C h = h (a) Nessuna delle altre affermazioni è vera. (b) Esistono due valori di h R distinti tali che A, B, C h siano linearmente dipendenti. (c) Per ogni h R si ha L (A, B, C h ) = L (A, B). (d) dim L (A, B, C h ) = 3 per qualche h R. Q7. Nello spazio con fissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale siano dati i vettori v = ı + j + k, w = 2 ı j + k. (a) L equazione x v = w non ha soluzione. (b) L equazione x w = w ha soluzione. (c) L equazione x ( v w) = 0 non ha soluzione. (d) Nessuna delle altre affermazioni è vera. Q8. In R 4 si consideri un sottospazio U con dim(u) 1. (a) Nessuna delle altre affermazioni è vera. (b) Per ogni sottospazio V R 4 con dim(v ) 1, si ha dim(u + V ) 2. (c) Esiste un sottospazio V R 4 con dim(v ) 1 tale che dim(u V ) = 0. (d) Esiste un sottospazio V R 4 con dim(v ) = 4 tale che dim(u V ) = 0. 3

10 B Sia f: R 3 R 3 l endomorfismo definito da ESERCIZIO f(x, y, z) = (2y, 3y, 3x + 2y + 3z). (i) Scrivere la matrice A di f rispetto alle basi canoniche. (ii) Determinare una base per ker(f): f è iniettiva? (iii) Calcolare una base di Im(f): è vero o falso che ( t ) Im(f)? (iv) Calcolare una base di ogni autospazio di A: è vero o falso che A è diagonalizzabile? Svolgimento dell esercizio: 4

11 B Svolgimento dell esercizio: 5

12 6 B

13 ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA C 20 settembre minuti Istruzioni: Scrivere cognome, nome, matricola in STAMPATELLO negli appositi spazi. Per ogni quiz nella prima parte, indicare l affermazione giudicata corretta nella tabella in questa pagina. Trascrivere la risposta alle singole domande dell esercizio della seconda parte nelle pagine con l indicazione svolgimento. Per la brutta utilizzare i fogli distribuiti dal docente. COGNOME, NOME: MATRICOLA: DOCENTE: Q1 a b c d Q5 a b c d Q2 a b c d Q6 a b c d Q3 a b c d Q7 a b c d Q4 a b c d Q8 a b c d Non scrivere in questo spazio QUIZ ESERCIZIO TOTALE

14 C QUIZ Q1. Nello spazio con fissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale siano date le quadriche Q h di equazione S : x 2 + y 2 + hz 2 + 2x 2hz + h = 0. (a) Esiste h R tale che Q h sia un cono. (b) Per ogni h R la quadrica Q h è un cilindro. (c) Esiste h R tale che Q h sia un ellissoide. (d) Per ogni h R la quadrica Q h è un iperboloide iperbolico (a una falda). Q2. Nello spazio con fissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale siano dati i vettori v = ı + j + k, w = 2 ı j + k. (a) Nessuna delle altre affermazioni è vera. (b) L equazione x w = w ha soluzione. (c) L equazione x ( v w) = 0 non ha soluzione. (d) L equazione x v = w non ha soluzione. Q3. Nello spazio con fissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale siano dati i tre piani α, β, γ rispettivamente di equazioni: α : x + y + z = 1, β : x 2y + 3z = 1, γ : 2x y + 4z = 1. (a) I tre piani hanno in comune una retta. (b) Nessuna delle altre affermazioni è vera. (c) Non esiste una retta parallela ai tre piani. (d) I tre piani hanno in comune un unico punto. Q4. Sia A R 3,3 di rango 2 avente 51 e 33 come radici del polinomio caratteristico. (a) A ha tre autovettori reali linearmente indipendenti. (b) Nessuna delle altre affermazioni è vera. (c) A ha autovalori complessi non reali. (d) A non ha autovettori reali. 2

15 C Q5. In R 4 si consideri un sottospazio U con dim(u) 1. (a) Per ogni sottospazio V R 4 con dim(v ) 1, si ha dim(u + V ) 2. (b) Nessuna delle altre affermazioni è vera. (c) Esiste un sottospazio V R 4 con dim(v ) = 4 tale che dim(u V ) = 0. (d) Esiste un sottospazio V R 4 con dim(v ) 1 tale che dim(u V ) = 0. Q6. Sia data la forma quadratica q(x, y, z) = x 2 2xy + 2y 2 2yz. (a) q è semidefinita positiva. (b) q è definita negativa. (c) q non è definita. (d) q è definita positiva. Q7. In R 3,1 siano date le matrici A = 2, B = 1, C h = h (a) Esiste h R tale che L (A, B, C h ) = L (A, B). (b) Nessuna delle altre affermazioni è vera. (c) Esistono due valori di h R distinti tali che A, B, C h siano linearmente dipendenti. (d) dim L (A, B, C h ) = 3 per ogni h R. Q8. Sia ϕ: R 3 R 2 l applicazione lineare definita da ϕ(x, y, z) = (x + y + z, x + y). Siano poi e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0), e 3 = (0, 0, 1) e f 1 = (1, 0), f 2 = (0, 1). (a) La matrice di ϕ rispetto alle basi (e 3, e 2, e 1 ) e (f 1, f 2 ) è ( ) A = (b) ϕ è iniettiva. (c) La matrice di ϕ rispetto alle basi (e 3, e 2, e 1 ) e (f 1, f 2 ) è ( ) A = (d) Nessuna delle altre affermazioni è vera. 3

16 C Sia f: R 3 R 3 l endomorfismo definito da ESERCIZIO f(x, y, z) = ( 2x + 3y + 2z, 2y, 3y). (i) Scrivere la matrice A di f rispetto alle basi canoniche. (ii) Determinare una base per ker(f): f è iniettiva? (iii) Calcolare una base di Im(f): è vero o falso che ( t ) Im(f)? (iv) Calcolare una base di ogni autospazio di A: è vero o falso che A è diagonalizzabile? Svolgimento dell esercizio: 4

17 C Svolgimento dell esercizio: 5

18 6 C

19 ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA D 20 settembre minuti Istruzioni: Scrivere cognome, nome, matricola in STAMPATELLO negli appositi spazi. Per ogni quiz nella prima parte, indicare l affermazione giudicata corretta nella tabella in questa pagina. Trascrivere la risposta alle singole domande dell esercizio della seconda parte nelle pagine con l indicazione svolgimento. Per la brutta utilizzare i fogli distribuiti dal docente. COGNOME, NOME: MATRICOLA: DOCENTE: Q1 a b c d Q5 a b c d Q2 a b c d Q6 a b c d Q3 a b c d Q7 a b c d Q4 a b c d Q8 a b c d Non scrivere in questo spazio QUIZ ESERCIZIO TOTALE

20 D QUIZ Q1. In R 4 si consideri un sottospazio U con dim(u) 1. (a) Esiste un sottospazio V R 4 con dim(v ) = 4 tale che dim(u V ) = 0. (b) Esiste un sottospazio V R 4 con dim(v ) 1 tale che dim(u V ) = 0. (c) Per ogni sottospazio V R 4 con dim(v ) 1, si ha dim(u + V ) 2. (d) Nessuna delle altre affermazioni è vera. Q2. Sia data la forma quadratica q(x, y, z) = x 2 2xy + 2y 2 2yz + z 2. (a) q è semidefinita positiva. (b) q è definita negativa. (c) q non è definita. (d) q è definita positiva. Q3. Nello spazio con fissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale siano dati i vettori v = ı + j + k, w = 2 ı j + k. (a) L equazione x ( v w) = 0 non ha soluzione. (b) Nessuna delle altre affermazioni è vera. (c) L equazione x v = w non ha soluzione. (d) L equazione x w = w ha soluzione. Q4. Nello spazio con fissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale siano dati i tre piani α, β, γ rispettivamente di equazioni: α : x + y + z = 1, β : x 2y + 3z = 1, γ : 2x y + 4z = 2. (a) I tre piani hanno in comune una retta. (b) Nessuna delle altre affermazioni è vera. (c) Non esiste una retta parallela ai tre piani. (d) I tre piani hanno in comune un unico punto. 2

21 D Q5. Nello spazio con fissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale siano date le quadriche Q h di equazione S : x 2 + y 2 + hz 2 + 2x 2hz + h + 1 = 0. (a) Esiste h R tale che Q h sia un cono. (b) Per ogni h R la quadrica Q h è un cilindro. (c) Esiste h R tale che Q h sia un iperboloide iperbolico (a una falda). (d) Per ogni h R la quadrica Q h è un ellissoide. Q6. Sia ϕ: R 2 R 3 l applicazione lineare definita da ϕ(x, y) = (y, x + y, x + y). Siano poi e 1 = (1, 0), e 2 = (0, 1), f 1 = (1, 0, 0) e f 2 = (0, 1, 0), f 3 = (0, 0, 1). (a) La matrice di ϕ rispetto alle basi (e 1, e 2 ) e (f 3, f 2, f 1 ) è 1 1 A = (b) ϕ è suriettiva. (c) La matrice di ϕ rispetto alle basi (e 1, e 2 ) e (f 3, f 2, f 1 ) è 0 1 A = (d) Nessuna delle altre affermazioni è vera. Q7. Sia A R 3,3 di rango 2 avente 7/10 e ln 7 come radici del polinomio caratteristico. (a) A non è diagonalizzabile su R. (b) Nessuna delle altre affermazioni è vera. (c) A ha autovalori complessi non reali. (d) A ha solo autovalori reali. Q8. In R 3,1 siano date le matrici A = 2, B = 1, C h = h (a) Esistono due valori di h R distinti tali che A, B, C h siano linearmente dipendenti. (b) dim L (A, B, C h ) = 3 per qualche h R. (c) Per ogni h R si ha L (A, B, C h ) = L (A, B). (d) Nessuna delle altre affermazioni è vera. 3

22 D Sia f: R 3 R 3 l endomorfismo definito da ESERCIZIO f(x, y, z) = (2y, 3y, 3x + 2y + 3z). (i) Scrivere la matrice A di f rispetto alle basi canoniche. (ii) Determinare una base per ker(f): f è iniettiva? (iii) Calcolare una base di Im(f): è vero o falso che ( t ) Im(f)? (iv) Calcolare una base di ogni autospazio di A: è vero o falso che A è diagonalizzabile? Svolgimento dell esercizio: 4

23 D Svolgimento dell esercizio: 5

24 6 D