Esercizi di GEOMETRIA e ALGEBRA LINEARE (Ingegneria Ambientale e Civile - Curriculum Ambientale)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Esercizi di GEOMETRIA e ALGEBRA LINEARE (Ingegneria Ambientale e Civile - Curriculum Ambientale)"

Transcript

1 Esercizi di GEOMETRIA e ALGEBRA LINEARE (Ingegneria Ambientale e Civile - Curriculum Ambientale). Tra le seguenti matrici, eseguire tutti i prodotti possibili: 2 ( ) A = B = C = D = ( 0 ) E = ( ) F = Data la matrice A = 0 2 2, calcolare A A t A + I Calcolare i determinanti e, quando possibile, le inverse delle seguenti matrici: 4 A = 2 2 B = C = D = Determinare quali tra i seguenti sottoinsiemi sono sottospazi vettoriali. Per i sottospazi vettoriali determinare la dimensione ed una base. U = (x, y) R 2 x + y = 0} U 2 = (x, y) R 2 x + y = 3} U 3 = (x, y, z) R 3 2x = y + } U 4 = (x, y, z, t) R 4 x + y z = 0, t = 3x} 5. Determinare la dimensione ed una base dei seguenti sottospazi vettoriali: U = L((, 0, ), (2,, ), ( 6, 2, 4)) R 3 U 2 = L((, 2, 3), (4,, 5), ( 3, 3, 2), (6, 3, )) R 3

2 U 3 = L((, 0, ), (2,, )) R 3 U 4 = L((8, 3, 5, 0), (0,,, 0), (3,, 2, )) R 4 U 5 = L((2,,, 0), (0,,, ), (0, 0, 0, )) R 4 U 6 = L((3, 0,, ), (,, 0, ), (2h, h + 2, h, h + )) (al variare di h R). 6. Stabilire quali tra le seguenti applicazioni sono lineari; per queste ultime determinare la dimensione ed una base del nucleo e dell immagine. Stabilire inoltre quali sono iniettive, quali suriettive e quali isomorfismi. f : R 4 R 3 f (x, y, z, t) = (x y, y + z, t) f 2 : R 3 R 2 f 2 (x, y, z) = (x + 3y, y 4z x) f 3 = f 2 f f 4 : R 2 R 3 f 4 (x, y) = (x + y, y, x) f 5 : R 2 R 4 f 5 (x, y) = (3x, x, 2x, 0) f 6 : R 3 R 2 f 6 (x, y, z) = (x + 3, y) f 7 : R 3 R 3 f 7 (x, y, z) = (2x + y, z, x y). 7. Per ciascuna delle seguenti applicazioni lineari determinare la matrice associata rispetto alle basi B e B, dimensione ed una base dell immagine e del nucleo: (a) f : R 4 R 3, f(x, y, z, t) = (x y, y + z, t) B = ((2,, 0, 0), (,, 0, ), (0,, 0, 0), (, 0,, )) B = ((,, ), (0,, ), (, 4, 3)); (b) g : R 3 R 2, g(x, y, z) = (x + 3y, y 4z x) B = ((,, ), (0,, ), (, 4, 3)), B = base canonica di R 2 ; (c) h = g f, B = ((2,, 0, 0), (,, 0, ), (0,, 0, 0), (, 0,, )), B = base canonica di R Data la famiglia di applicazioni lineari f λ : R 3 R 4 f λ (x, y, z) = (x y + ( λ)z, λx + 2y + λz, 2x, λy + 2z) determinare la dimensione di Im f λ al variare di λ R. 2

3 9. Determinare gli eventuali valori di λ R per i quali l applicazione lineare: f λ : R 3 R 3, f λ (x, y, z) = (5x + 2y, (λ 2)z, y x) è un isomorfismo. Per tali valori di λ determinare l inversa di f λ. 0. Determinare l applicazione lineare f : R 3 R 4 tale che Kerf = L((, 0, )), f((2,, 3)) = ( 2, 0,, 3), f((, 0, 0)) = (2, 3,, )).. ( Determinare) l applicazione lineare f : R 3 R 2 che ha la 5 matrice come matrice associata rispetto alle basi B = ((,, ), (0, 2, ), (2, 4, 3)) di R 3 e B = ((, ), (0, 2)) di R Calcolare il rango delle seguenti matrici: A = B = C = D = Risolvere, quando possibile, i seguenti sistemi lineari: 3x 5y 3z t = 2 2x y + t = 3 2x 3y + 5z = x + y z = 2 3x y z t = 2 x 4y + 6z = 5x 2y z = 5 x 5y + 6z = 0 x 3y = 4 y 3z = 2 2x + y z + t = 2 2x + 2y + z + 2t = 0 4x + 7y z + 5t = 6 8x + 2y 4z + 2t = 3 4. Discutere i seguenti sistemi lineari, al variare del parametro λ R: 3

4 λx + λy + z + t = λ x λy + z = 3λ 2x + 2z + λt = 4 ( λ)x + 2y + t = 2λ ( λ)x + y + z + t = 2 x + λy = 2 x + y + 3z t = 4 x + αy 3z + 4t = 2x y + 2z 2t = 4 3x + y z + αt = 3 4x + 3y 4z + 6t = 2 3x + y + z = ( λ)x 2y + z = 2x + 3y = λ 4x y + (2 λ)z = 2 3x + 3y + 3z = α 3x + αy + z = 0 y + αz = 2 5. Data la matrice 2 A = 2 2 trovare, se esiste, una matrice regolare E tale che E AE sia diagonale Data la matrice A = 3 2 0, trovare una matrice regolare 0 0 E tale che E AE sia diagonale. 0 0 Dire se la matrice B = è simile alla matrice A Trovare il rango delle seguenti forme quadratiche: q (x, y) = 4x 2 6xy + y 2 q 2 (x, y) = 4x 2 4xy + y 2 q 3 (x, y, z) = x 2 + y 2 + 2z 2 + 2xz 2yz. 8. Data la forma quadratica q : R 3 R definita da q(x, y, z) = 3x 2 + y 2 + 5z 2 2xz, determinare la matrice associata a q rispetto alla base B = ((, 0, ), (0, 3, 0), (5,, )). 4

5 9. Data la famiglia di forme quadratiche q α : R 3 R definita da q α (x, y, z) = αx 2 + (2α 3)y 2 + αz 2 + 2αxy, determinare gli eventuali valori di α R per i quali q α è degenere e quelli per i quali q α è definita; 20. Date le matrici A, B S 3 (R): A = B = verificare che A e B sono congruenti. 2. La matrice A S 4 (R) ha polinomio caratteristico: A (t) = (t 2 t 6)(t 2 9t + 20). La matrice B S 4 (R) ha polinomio caratteristico: B (t) = (t 2 )(t3 + 6t 2 + 3t 0). A e B sono congruenti? 22. In E 2, fissato un sistema di riferimento cartesiano, sono date le rette r di equazione 3x 4y+2 = 0 e s di equazione 2x y+8 = 0. Determinare la mutua posizione di r e s. Scrivere l equazione della retta r parallela a r e passante per P ( 3 2, ) e della retta s passante per P ed ortogonale a r. Calcolare poi l area del trapezio formato dalle rette r, s, r, s. 23. In E 2, fissato un sistema di riferimento cartesiano, sono dati i punti A (, 2), B (3, 3), C (4, 7), D (2, 6). Verificare che ABCD è un parallelogramma e calcolarne l area. 24. Date in E 2, le rette r : 3x + 4y 7 = 0 e s : x + 3y + = 0, trovare una retta t che interseca r nel punto A (, ) e dista 3 5 dall origine del riferimento. Calcolare l area del triangolo formato dalle rette r, s, t. 25. Dati in E 2 i punti A (0, 0), B (, 0), C (, 2), determinare i punti D E 2 in modo tale che A, B, C, D} sia l insieme dei vertici di un parallelogramma. 26. Dati in E 3 i punti A (, 0, ), B (2,, 0), C (3, 0, ), verificare che A, B, C sono affinemente indipendenti e trovare un equazione cartesiana del piano π passante per A, B, C. Scrivere poi una equazione della retta r per P (,, ), e ortogonale a π. 5

6 27. In E 3, verificare che il piano α : 2x + y + z + 2 = 0 e la x + y 5 = 0 retta r : sono paralleli e calcolarne la distanza. Scrivere y z 3 = 0 l equazione del piano contenente r e parallelo a α. Scrivere l equazione del piano passante per P (0,, 2) e ortogonale a r. 28. Dati, in E 3 x + y = 0, il punto P (, 2, 0) e le rette r : 2x z 2 = 0 y + z = 0 e s :, verificare che r e s sono incidenti e trovare le x 2z + 2 = 0 coordinate del punto A = r s. Scrivere un equazione del piano π passante per l origine, per P e per A. Scrivere inoltre una rappresentazione cartesiana del piano passante per P = (, 0, ) e parallelo a π. x + 2y 3z = 29. Dati la retta r : ed il piano π : αx + 3y x + y + z = 3 2z = 2α, discutere, al variare di α R, la reciproca posizione di r e π. 30. Date le rette di E 3, x y + z 3 = 0 r : 2x + y z 3 = 0 s : x 4 = y 5 = z verificare che sono sghembe e calcolarne la distanza. 3. Date in E 3 le rette x + ky z = 0 r k : x y = k s k : 3x 6y kz + = 0 x 2y kz + 3 = 0 (k 0) determinare, al variare di k R 0}, la mutua posizione di r k e s k. 32. Date le rette di E 3, r : x + 2y 2z 20 = 0 z + 6 = 0 x = + 2t s : y = t z = 4 verificare che sono parallele e calcolarne la distanza. 6

7 Soluzioni es. 3 det A = 7, det B = 0, det C = 4, det D = 442. es. 4 Una base di U è (, )}; U 2 e U 3 non sono sottospazi vettoriali; una base di U 4 è (, 0,, 3), (0,,, 0)}; es. 5 dim U = 2; dim U 2 = 2; dim U 3 = 2; dim U 4 = 3; dim U 5 = 3; dim U 6 = 3 per h ; dim U = 2 per h = ; es. 6 f è suriettiva, dim Ker f =, Ker f = L((,,, 0)). f 2 è suriettiva, dim Ker f 2 =, Ker f 2 = L(( 3,, )). f 3 è suriettiva, dim Ker f 3 = 2, Ker f 3 = L(( 2,, 0, ), ( 3, 0,, )). dim Im f 4 = 2, f 4 è iniettiva, Im f 4 = L((, 0, ), (,, 0)). dim Im f 5 =, dim Ker f 5 =, Im f 5 = L((3,, 2, 0)), Ker f 5 = L((0, )). f 6 non è lineare. f 7 è un automorfismo es. 7 (a) A = ( ) 4 3 (b) A = ( ) (c) A = es. 8 per λ 2, dim Im f λ = 3; per λ = 2, dim Im f λ = 2. es. 9 λ 2, f (x, y, z) = ( 7 x 2 7 z, 7 x z, λ 2 y) es. 0 f(x, y, z) = (2x 2z, 3x + 3y + 3z, x z, x + 2y z); non esistono. es. f(x, y, z) = (5x y + z, 2x + 3z) es. 2 ρ(a) = ρ(b) = ρ(c) = ρ(d) = 2 es. 3 es. 4 - il sistema è possibile con 2 soluzioni; - il sistema è impossibile; - il sistema è possibile con soluzioni; - il sistema è impossibile; - Per λ 0, il sistema è di Cramer, per λ = 0 è impossibile, per λ = è possibile con 2 soluzioni; 7

8 - per λ 0, 3 il sistema è impossibile, per λ = 0 è possibile con soluzioni, per λ = 3 ha una soluzione; - per ogni λ R il sistema è possibile con soluzioni. - il sistema è possibile per ogni α, è impossibile per α =. - il sistema è possibile per ogni α R. 5. E = E = 0 3 ; A e B sono simili; ρ(q ) = 2, ρ(q 2 ) =, ρ(q 3 ) = q α è degenere per α = 0, 3 ; q α è definita positiva per α > r : 6x 8y = 0, s : 4x + 3y 9 = 0, 23. Area = 7. Area = t : 2x+y 3 = 0, Area = 5 2 oppure t : x+2y 3 = 0, Area = D (0, 2), D 2 (2, 2). 26. π : y + z = 0, x = y = z. 27. d(r, α) = 2 3 6, 2x + y + z 7 = 0, x y z 3 = A (2, 2, 2), π : 2x y 3z = 0, π : 2x y 3z + = Per α 2 sono incidenti in P (2, 2 5, 3 5 ); per α = 2, r π. 30. d(r, s) = 3; perpendicolare comune x = y = z. 3. le rette sono sgembe per k R 5, 0, }, sono incidenti per k = 5 e k = ; per k = 0, s k non è una retta. 32. d(r, s) = 3. 8

Esercizi di GEOMETRIA I - Algebra Lineare B = , calcolare A A t A + I

Esercizi di GEOMETRIA I - Algebra Lineare B = , calcolare A A t A + I Esercizi di GEOMETRIA I - Algebra Lineare. Tra le seguenti matrici, eseguire tutti i prodotti possibili: 2 ( ) A = 0 3 4 B = 2 0 0 2 D = ( 0 ) E = ( ) 4 4 2 C = 2 0 5 F = 4 2 6 2. Data la matrice A = 0

Dettagli

Esercizi di Geometria e Algebra Lineare C.d.L. Ingegneria Meccanica

Esercizi di Geometria e Algebra Lineare C.d.L. Ingegneria Meccanica Esercizi di Geometria e Algebra Lineare C.d.L. Ingegneria Meccanica 1) Dati i vettori a = (2, 4), b = (1, 2), c = ( 1, 1), d = (3, 6), stabilire se c e d appartengono a Span(a, b}). 2) Nello spazio vettoriale

Dettagli

Esercizi per il corso di Algebra e Geometria L.

Esercizi per il corso di Algebra e Geometria L. Esercizi per il corso di Algebra e Geometria L AA 2006/2007 1 Foglio 1 In tutti gli esercizi che seguiranno lo spazio ambiente sarà il piano cartesiano a valori nel campo dei numeri reali, dove supporremo

Dettagli

Universita degli Studi di Ancona Laurea in Ingegneria Meccanica ed Informatica a Distanza Anno Accademico 2005/2006. Matematica 2 (Analisi)

Universita degli Studi di Ancona Laurea in Ingegneria Meccanica ed Informatica a Distanza Anno Accademico 2005/2006. Matematica 2 (Analisi) Universita degli Studi di Ancona Laurea in Ingegneria Meccanica ed Informatica a Distanza Anno Accademico 2005/2006 Matematica 2 (Analisi) Nome:................................. N. matr.:.................................

Dettagli

(2) Dato il vettore w = (1, 1, 1), calcolare T (w). (3) Determinare la matrice A associata a T rispetto alla base canonica.

(2) Dato il vettore w = (1, 1, 1), calcolare T (w). (3) Determinare la matrice A associata a T rispetto alla base canonica. 1. Applicazioni lineari Esercizio 1.1. Sia T : R 2 R 3 l applicazione lineare definita sulla base canonica di R 2 nel seguente modo: T (e 1 ) = (1, 2, 1), T (e 2 ) = (1, 0, 1). a) Esplicitare T (x, y).

Dettagli

MATRICI E SISTEMI LINEARI

MATRICI E SISTEMI LINEARI - - MATRICI E SISTEMI LINEARI ) Calcolare i seguenti determinanti: a - c - d - e - f - g - 8 7 8 h - ) Calcolare per quali valori di si annullano i seguenti determinanti: a - c - ) Calcolare il rango delle

Dettagli

Politecnico di Torino Facoltà di Architettura. Raccolta di esercizi proposti nelle prove scritte

Politecnico di Torino Facoltà di Architettura. Raccolta di esercizi proposti nelle prove scritte Politecnico di Torino Facoltà di Architettura Raccolta di esercizi proposti nelle prove scritte relativi a: algebra lineare, vettori e geometria analitica Esercizio. Determinare, al variare del parametro

Dettagli

Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 14 gennaio A)

Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 14 gennaio A) Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 4 gennaio 24 - A) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. Si considerino le rette s : { x x 2 2x 3 = 2 3x x 2 =, { x + x s 2 : 2 x 3 = x 2 =.. Stabilire

Dettagli

Esame di geometria e algebra

Esame di geometria e algebra Laurea Ing. 26 febbraio 2007 Traccia I COG 1 In R 3 sono assegnati i vettori: u 1 = (2, h, 0), u 2 = (1, 0, h), u 3 = (h, 1, 2). Stabilire se esistono valori reali del parametro h per cui S = {u 1, u 2,

Dettagli

I VERIFICA DI GEOMETRIA 1 CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA - 4 DICEMBRE 2007

I VERIFICA DI GEOMETRIA 1 CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA - 4 DICEMBRE 2007 A I VERIFICA DI GEOMETRIA 1 CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA - 4 DICEMBRE 2007 ESERCIZIO 1. Si consideri il seguente sistema di equazioni lineari x + y + 2z = 1 2x + ky + 4z = h 2x 2y + kz = 0 (a) Determinare,

Dettagli

Tempo a disposizione: 150 minuti. 1 Studiare, al variare del parametro reale k, il seguente sistema lineare: x + ky = k 2x + ky + z = 0.

Tempo a disposizione: 150 minuti. 1 Studiare, al variare del parametro reale k, il seguente sistema lineare: x + ky = k 2x + ky + z = 0. Università degli Studi di Catania Anno Accademico 014-015 Corso di Laurea in Informatica Prova in itinere di Matematica Discreta (1 CFU) 1 Dicembre 014 A Tempo a disposizione: 150 minuti 1 Studiare, al

Dettagli

Compito Parziale di Algebra lineare e Geometria analitica. 2x + 3y + 2z = 0 x y z = 0

Compito Parziale di Algebra lineare e Geometria analitica. 2x + 3y + 2z = 0 x y z = 0 Compito Parziale di Algebra lineare e Geometria analitica ) Dire se il seguente sottoinsieme di R 3 H = (x; y; z) R 3 : x + 3y + z = x y z = è o non un sottospazio vettoriale di R 3 e eventualmente calcolarne

Dettagli

Esercitazione di Geometria I 13 dicembre Esercizio 1. Esercizio 2. Esercizio 3

Esercitazione di Geometria I 13 dicembre Esercizio 1. Esercizio 2. Esercizio 3 Esercitazione di Geometria I 13 dicembre 2008 a. Completa la seguente definizione: i vettori v 1, v 2,..., v n del K-spazio vettoriale V si dicono linearmente dipendenti se... b. Siano w 1, w 2, w 3 vettori

Dettagli

Dipartimento di Matematica Corso di laurea in Fisica Compito di Geometria assegnato il 1 Febbraio 2002

Dipartimento di Matematica Corso di laurea in Fisica Compito di Geometria assegnato il 1 Febbraio 2002 Compito di Geometria assegnato il 1 Febbraio 2002 Trovare l equazione della conica irriducibile tangente all asse x nel punto A(2, 0), tangente all asse y e passante per i punti B(1, 1) e C(2, 2) Scrivere

Dettagli

Tempo a disposizione: 150 minuti. 1 È dato l endomorfismo f : R 3 R 3 definito dalle relazioni

Tempo a disposizione: 150 minuti. 1 È dato l endomorfismo f : R 3 R 3 definito dalle relazioni Università degli Studi di Catania Anno Accademico 2014-2015 Corso di Laurea in Informatica Prova in itinere di Matematica Discreta (12 CFU) 17 Aprile 2015 Prova completa Tempo a disposizione: 150 minuti

Dettagli

Sapienza Università di Roma Corso di laurea in Ingegneria Energetica Geometria A.A ESERCIZI DA CONSEGNARE prof.

Sapienza Università di Roma Corso di laurea in Ingegneria Energetica Geometria A.A ESERCIZI DA CONSEGNARE prof. Sapienza Università di Roma Corso di laurea in Ingegneria Energetica Geometria A.A. 2015-2016 ESERCIZI DA CONSEGNARE prof. Cigliola Consegna per Martedì 6 Ottobre Esercizio 1. Una matrice quadrata A si

Dettagli

CORSO DI LAUREA in Ingegneria Informatica (Vecchio Ordinamento)

CORSO DI LAUREA in Ingegneria Informatica (Vecchio Ordinamento) CORSO D LAUREA in ngegneria nformatica (Vecchio Ordinamento) Prova scritta di Geometria assegnata il 19/3/2002 Sia f : R 3 R 4 l applicazione lineare la cui matrice associata rispetto alle basi canoniche

Dettagli

(VX) (F) Se A e B sono due matrici simmetriche n n allora anche A B è una matrice simmetrica.

(VX) (F) Se A e B sono due matrici simmetriche n n allora anche A B è una matrice simmetrica. 5 luglio 010 - PROVA D ESAME - Geometria e Algebra T NOME: MATRICOLA: a=, b=, c= Sostituire ai parametri a, b, c rispettivamente la terzultima, penultima e ultima cifra del proprio numero di matricola

Dettagli

Dipartimento di Matematica Corso di laurea in Matematica Compiti di Geometria II assegnati da dicembre 2000 a dicembre 2003

Dipartimento di Matematica Corso di laurea in Matematica Compiti di Geometria II assegnati da dicembre 2000 a dicembre 2003 Dipartimento di Matematica Corso di laurea in Matematica Compiti di Geometria assegnati da dicembre 2000 a dicembre 2003 11/12/2000 n R 4 sono assegnati i punti A(3, 0, 1, 0), B(0, 0, 1, 0), C(2, 1, 0,

Dettagli

Algebra lineare Geometria 1 11 luglio 2008

Algebra lineare Geometria 1 11 luglio 2008 Algebra lineare Geometria 1 11 luglio 2008 Esercizio 1. Si considerino la funzione: { R f : 3 R 3 (α, β, γ) ( 2β α γ, (k 1)β + (1 k)γ α, 3β + (k 2)γ ) dove k è un parametro reale, e il sottospazio U =

Dettagli

Soluzioni agli Esercizi di Geometria e Algebra per Ingegneria Aerospaziale (nuovo ordinamento)

Soluzioni agli Esercizi di Geometria e Algebra per Ingegneria Aerospaziale (nuovo ordinamento) Soluzioni agli Esercizi di Geometria e Algebra per Ingegneria Aerospaziale (nuovo ordinamento) Relazioni 1) Quali delle seguenti relazioni sono di equivalenza? x, y R {0} xry x/y Q x, y Z xry x + y è divisibile

Dettagli

Esercizi per il corso di Algebra e Geometria L.

Esercizi per il corso di Algebra e Geometria L. Esercizi per il corso di Algebra e Geometria L. Alessandra Bernardi Il numero degli esercizi qui raccolti è volutamente elevato. Lo scopo è di fornire un ampio spettro di esercizi e la conseguente possibilità

Dettagli

Foglio di esercizi numero 2 Corso di Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria Ingegneria Aerospaziale e Meccanica

Foglio di esercizi numero 2 Corso di Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria Ingegneria Aerospaziale e Meccanica Foglio di esercizi numero 2 Corso di Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria Ingegneria Aerospaziale e Meccanica Esercizio 1. Sia f l endomorfismo di R 4 definito nel modo seguente: f(x, y, z, w) = (w,

Dettagli

1. Esercizi (1) Porre in forma trigonometrica i seguenti numeri complessi: 5, 2 i2, 1 + i. (2) Calcolare le seguenti radici: 2 2i,

1. Esercizi (1) Porre in forma trigonometrica i seguenti numeri complessi: 5, 2 i2, 1 + i. (2) Calcolare le seguenti radici: 2 2i, . Esercizi () Porre in forma trigonometrica i seguenti numeri complessi: 5, i, + i. () Calcolare le seguenti radici: 3 i, 5 i, 5. (3) Risolvere le seguenti equazioni: z z + 3 = ; z z = i; z + z =. (4)

Dettagli

Prova scritta di Geometria 18/01/2016, Soluzioni Ing. Meccanica a.a

Prova scritta di Geometria 18/01/2016, Soluzioni Ing. Meccanica a.a Prova scritta di Geometria 8//26, Soluzioni Ing. Meccanica a.a. 25-6 Esercizio È data la conica γ : 3x2 2xy + 3y 2 + 8x + 3 =. a) Verificare che la conica è un ellisse e determinarne la forma canonica.

Dettagli

Esercizi di ripasso: geometria e algebra lineare.

Esercizi di ripasso: geometria e algebra lineare. Esercizi di ripasso: geometria e algebra lineare. Esercizio. Sia r la retta passante per i punti A(2,, 3) e B(,, 2) in R 3. a. Scrivere l equazione cartesiana del piano Π passante per A e perpendicolare

Dettagli

Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 20 Giugno A)

Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 20 Giugno A) Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 20 Giugno 2012 - A) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio 1. Siano dati, al variare del parametro k R, i piani: π 1 : x 2y + 2z = 2, π 2 : z =

Dettagli

Esercizi di Complementi di Matematica (L-Z) a.a. 2015/2016

Esercizi di Complementi di Matematica (L-Z) a.a. 2015/2016 Esercizi di Complementi di Matematica (L-Z) a.a. 2015/2016 Prodotti scalari e forme bilineari simmetriche (1) Sia F : R 2 R 2 R un applicazione definita da F (x, y) = x 1 y 1 + 3x 1 y 2 5x 2 y 1 + 2x 2

Dettagli

Gruppo esercizi 1: Vettori e matrici [E.1] Date le due matrici e il vettore

Gruppo esercizi 1: Vettori e matrici [E.1] Date le due matrici e il vettore Gruppo esercizi 1: Vettori e matrici [E.1] Date le due matrici e il vettore A = 1 2 0 0 2 1 B = 2 1 0 1 0 2 u = (1, 2, 1), 3 2 1 1 1 1 [E.2] Date le due matrici e il vettore A = 1 2 0 0 1 0 0 1 3 B = 1

Dettagli

Per le risposte utilizza gli spazi predisposti. Quando richiesto, il procedimento va esposto brevemente, ma in maniera comprensibile.

Per le risposte utilizza gli spazi predisposti. Quando richiesto, il procedimento va esposto brevemente, ma in maniera comprensibile. COGNOME............................... NOME..................................... Punti ottenuti Esame di geometria Scrivi cognome e nome negli spazi predisposti in ciascuno dei tre fogli. Per ogni domanda

Dettagli

SPAZI EUCLIDEI, APPLICAZIONI SIMMETRICHE, FORME QUADRATICHE

SPAZI EUCLIDEI, APPLICAZIONI SIMMETRICHE, FORME QUADRATICHE SPAZI EUCLIDEI, APPLICAZIONI SIMMETRICHE, FORME QUADRATICHE. Esercizi Esercizio. In R calcolare il modulo dei vettori,, ),,, ) ed il loro angolo. Esercizio. Calcolare una base ortonormale del sottospazio

Dettagli

ESERCIZI DI MATEMATICA DISCRETA ANNO 2006/2007

ESERCIZI DI MATEMATICA DISCRETA ANNO 2006/2007 ESERCIZI DI MATEMATICA DISCRETA ANNO 6/7 //7 () Ridurre la seguente matrice ad una a scala ridotta utilizzando il metodo di Gauss-Jordan. Soluzione. () Determinare quante e quali sono le matrici a scala

Dettagli

1.[25 punti] Risolvere il seguente sistema di equazioni lineari al variare del parametro reale λ: X +Y +Z = 2. X 2Y +λz = 2

1.[25 punti] Risolvere il seguente sistema di equazioni lineari al variare del parametro reale λ: X +Y +Z = 2. X 2Y +λz = 2 Università di Modena e Reggio Emilia Facoltà di Scienze MM.FF.NN. PROVA SCRITTA DI GEOMETRIA A del 27 giugno 2011 ISTRUZIONI PER LO SVOLGIMENTO. Scrivere cognome, nome, numero di matricola in alto a destra

Dettagli

GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE Soluzioni Appello del 17 GIUGNO Compito A

GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE Soluzioni Appello del 17 GIUGNO Compito A Soluzioni Appello del 17 GIUGNO 2010 - Compito A a) Se h = 7 il sistema ha infinite soluzioni (1 variabile libera), mentre se h 7 la soluzione è unica. b) Se h = 7 allora Sol(A b) = {( 7z, 5z + 5, z),

Dettagli

10 dicembre Soluzione esame di geometria - Ingegneria gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA...

10 dicembre Soluzione esame di geometria - Ingegneria gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... 10 dicembre 003 - Soluzione esame di geometria - Ingegneria gestionale - a.a. 003-004 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura 3 ore. ISTRUZIONI

Dettagli

CdL in Ingegneria Gestionale e CdL in Ingegneria del Recupero Edilizio ed Ambientale

CdL in Ingegneria Gestionale e CdL in Ingegneria del Recupero Edilizio ed Ambientale CdL in Ingegneria Gestionale e CdL in Ingegneria del Recupero Edilizio ed Ambientale della prova scritta di Algebra Lineare e Geometria- Compito A- 8 Aprile 8 E assegnato l endomorfismo f : R 3 R 3 definito

Dettagli

(c) Stabilire per quali valori di h is sistema ammette un unica soluzione:

(c) Stabilire per quali valori di h is sistema ammette un unica soluzione: ognome e Nome: orso di Laurea: 4 settembre 3. Sia L: R 3! R 3 l applicazione lineare x x y + z L @ ya = @ x + y +za. z x y z (a) Scrivere la matrice A che rappresenta L nella base canonica di R 3 : (b)

Dettagli

Prima di risolverli, è necessario prevedere se ci saranno soluzioni e, eventualmente, quante saranno.

Prima di risolverli, è necessario prevedere se ci saranno soluzioni e, eventualmente, quante saranno. Sistemi lineari Prima di risolverli, è necessario prevedere se ci saranno soluzioni e, eventualmente, quante saranno. La discussione di un sistema si imposta in questo modo: 1 studiare il rango della matrice

Dettagli

Esercizi di MATEMATICA PER RCHITETTURA prima parte: Algebra Lineare e Geometria

Esercizi di MATEMATICA PER RCHITETTURA prima parte: Algebra Lineare e Geometria Esercizi di MATEMATICA PER RCHITETTURA prima parte: Algebra Lineare e Geometria Avvertenze In quanto segue tutti i vettori hanno il medesimo punto d origine O l origine dello spazio cartesiano. Possiamo

Dettagli

(E) : 4x 181 mod 3. h(h 1)x + 4hy = 0

(E) : 4x 181 mod 3. h(h 1)x + 4hy = 0 Dipartimento di Matematica e Informatica Anno Accademico 206-207 Corso di Laurea in Informatica (L-3) Prova scritta di Matematica Discreta (2 CFU) 6 Settembre 207 Parte A [0 punti] Sia data la successione

Dettagli

FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA

FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Cognome Nome Matricola FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Ciarellotto, Esposito, Garuti Prova del 21 settembre 2013 Dire se è vero o falso (giustificare le risposte. Bisogna necessariamente rispondere

Dettagli

Esercizi 1 Spazi vettoriali. { (x, y, z) R 3 (x, y, z) (2, 2, 2) } ;

Esercizi 1 Spazi vettoriali. { (x, y, z) R 3 (x, y, z) (2, 2, 2) } ; Esercizi 1 Spazi vettoriali Esercizio. Si dica quali dei seguenti sottoinsiemi di R 3 sono sottospazi vettoriali su R: { (x y z R 3 x y z Z } ; { (x y z R 3 x y z Q } ; { (x y z R 3 (x y z (2 2 2 } ; {

Dettagli

ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE (D) A = A = A = R 2,2. D5 Dire come bisogna scegliere i parametri h e k affinché la

ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE (D) A = A = A = R 2,2. D5 Dire come bisogna scegliere i parametri h e k affinché la ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE (D) D1 Nello spazio vettoriale R 2,2 si consideri l insieme { V = X R 2,2 XA = AX, A = ( 1 1 1 2 )} delle matrici che commutano con A. Verifiare che V = L(I 2, A). Verificare

Dettagli

Corso di Laurea in Management e Marketing Esercizi di Algebra Lineare (1)

Corso di Laurea in Management e Marketing Esercizi di Algebra Lineare (1) Corso di Laurea in Management e Marketing Esercizi di Algebra Lineare (1) 1) Si stabilisca se ciascuno dei seguenti sottoinsiemi di R 2 è costituito da vettori linearmente indipendenti. Si determini la

Dettagli

Esercizi geometria analitica nello spazio. Corso di Laurea in Informatica. Docente: Andrea Loi. Correzione

Esercizi geometria analitica nello spazio. Corso di Laurea in Informatica. Docente: Andrea Loi. Correzione Esercizi geometria analitica nello spazio Corso di Laurea in Informatica Docente: Andrea Loi Correzione 1. Denotiamo con P 1, P 13, P 3, P 1, P, P 3, P i simmetrici di un punto P rispetto ai piani coordinati

Dettagli

Corso di Matematica B - Ingegneria Informatica Testi di Esercizi

Corso di Matematica B - Ingegneria Informatica Testi di Esercizi A. Languasco - Esercizi Matematica B - 1. Sistemi lineari e Matrici 1 A: Sistemi lineari: eliminazione gaussiana Corso di Matematica B - Ingegneria Informatica Testi di Esercizi A1. Determinare, con il

Dettagli

{ x + 2y = 3 αx + 2y = 1 αx + y = 0. f(x) = e x 2 +3x+4 x 5. f(x) = x 3 e 7x.

{ x + 2y = 3 αx + 2y = 1 αx + y = 0. f(x) = e x 2 +3x+4 x 5. f(x) = x 3 e 7x. 0 Gennaio 006 Teoria: Definizione di derivata puntuale e suo significato geometrico Esercizio Determinare l equazione del piano contenente i vettori u = (,, 3 e v = (,, e passante per P o = (,, Scrivere

Dettagli

Compiti di geometria & algebra lineare. Anno: 2004

Compiti di geometria & algebra lineare. Anno: 2004 Compiti di geometria & algebra lineare Anno: 24 Anno: 24 2 Primo compitino di Geometria e Algebra 7 novembre 23 totale tempo a disposizione : 3 minuti Esercizio. [8pt.] Si risolva nel campo complesso l

Dettagli

QUADERNI DIDATTICI. Dipartimento di Matematica. Esercizi di Geometria ealgebralinearei Corso di Studi in Fisica

QUADERNI DIDATTICI. Dipartimento di Matematica. Esercizi di Geometria ealgebralinearei Corso di Studi in Fisica Università ditorino QUADERNI DIDATTICI del Dipartimento di Matematica E Abbena, G M Gianella Esercizi di Geometria ealgebralinearei Corso di Studi in Fisica Quaderno # 6 - Aprile 003 Gli esercizi proposti

Dettagli

Esercizi di Geometria Affine

Esercizi di Geometria Affine Esercizi di Geometria Affine Sansonetto Nicola dicembre 01 Geometria Affine nel Piano Esercizio 1. Nel piano affine standard A (R) dotato del riferimento canonico, si consideri la retta τ di equazione

Dettagli

PROBLEMI DI GEOMETRIA

PROBLEMI DI GEOMETRIA PROBLEMI DI GEOMETRIA Lucio Guerra 1994 v. 1 2001 v. 2.7 Dipartimento di Matematica e Informatica - Università di Perugia Indice 1. EQUAZIONI LINEARI 1 2. SPAZI VETTORIALI 2 3. APPLICAZIONI LINEARI 4 4.

Dettagli

0 < x 3. x 2 mod 5 x 0 mod 3. x 27 mod 7. 1 [7 punti] Risolvere il seguente sistema di congruenze:

0 < x 3. x 2 mod 5 x 0 mod 3. x 27 mod 7. 1 [7 punti] Risolvere il seguente sistema di congruenze: Dipartimento di Matematica e Informatica Anno Accademico 05-06 Corso di Laurea in Informatica (L-3) Prova scritta di Matematica Discreta ( CFU) 7 Settembre 06 Parte A Tempo a disposizione Ognuna delle

Dettagli

FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA INGEGNERIA CHIMICA E DEI MATERIALI 8 SETTEMBRE 2015 VERSIONE A

FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA INGEGNERIA CHIMICA E DEI MATERIALI 8 SETTEMBRE 2015 VERSIONE A FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA INGEGNERIA CHIMICA E DEI MATERIALI 8 SETTEMBRE 015 VERSIONE A DOCENTE: MATTEO LONGO 1. Domande. Esercizi Esercizio 1 (8 punti). Al variare del parametro a R, considerare

Dettagli

Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva

Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva Filippo F. Favale 8 aprile 014 Esercizio 1 Si consideri E dotato di un riferimento cartesiano ortonormale di coordinate (x, y) e origine O. Si

Dettagli

Ingegneria Gestionale - Corso di Algebra lineare e Analisi II anno accademico 2009/2010 ESERCITAZIONE 4.4

Ingegneria Gestionale - Corso di Algebra lineare e Analisi II anno accademico 2009/2010 ESERCITAZIONE 4.4 Ingegneria Gestionale - Corso di Algebra lineare e Analisi II anno accademico 9/ ESERCITAZIONE. (Cognome) (Nome) (Numero di matricola) Proposizione Vera Falsa Per due punti distinti di R passa un unica

Dettagli

Università degli Studi di Catania CdL in Ingegneria Industriale

Università degli Studi di Catania CdL in Ingegneria Industriale CdL in ngegneria ndustriale Prova scritta di Algebra Lineare e Geometria del 27 gennaio 2014 Usare solo carta fornita dal Dipartimento di Matematica e nformatica, riconsegnandola tutta. È vietato consultare

Dettagli

1 Rette e piani in R 3

1 Rette e piani in R 3 POLITECNICO DI MILANO. FACOLTÀ DI INGEGNERIA INDUSTRIALE. Analisi e Geometria 1. Sez. D - G. Docenti: Federico G. Lastaria, Mauro Saita, Nadir Zanchetta,. 1 1 Rette e piani in R 3 Una retta parametrizzata

Dettagli

8 febbraio Esame di geometria - Ingegneria gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... ISTRUZIONI

8 febbraio Esame di geometria - Ingegneria gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... ISTRUZIONI 8 febbraio 016 - Esame di geometria - Ingegneria gestionale - a.a. 015-016 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura ore. ISTRUZIONI Ti sono

Dettagli

CdL in Ingegneria Informatica (Orp-Z)

CdL in Ingegneria Informatica (Orp-Z) CdL in ngegneria nformatica (Orp-Z) Prova scritta di Algebra Lineare assegnata il 22 Novembre 2004 - A Usare solo carta fornita dal Dipartimento di Matematica e nformatica, riconsegnandola tutta. Sia f

Dettagli

Soluzione. (a) L insieme F 1 e linearmente indipendente; gli insiemi F 2 ed F 3 sono linearmente

Soluzione. (a) L insieme F 1 e linearmente indipendente; gli insiemi F 2 ed F 3 sono linearmente 1. Insiemi di generatori, lineare indipendenza, basi, dimensione. Consideriamo nello spazio vettoriale R 3 i seguenti vettori: v 1 = (0, 1, ), v = (1, 1, 1), v 3 = (, 1, 0), v 4 = (3, 3, ). Siano poi F

Dettagli

Rette e piani nello spazio Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1. Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1

Rette e piani nello spazio Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1. Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1 ette e piani nello spazio Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1 Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1 Federico Lastaria federico.lastaria@polimi.it ette e piani nello spazio. 9 Gennaio

Dettagli

Esercizi Applicazioni Lineari

Esercizi Applicazioni Lineari Esercizi Applicazioni Lineari (1) Sia f : R 4 R 2 l applicazione lineare definita dalla legge f(x, y, z, t) = (x + y + z, y + z + t). (a) Determinare il nucleo di f, l immagine di f, una loro base e le

Dettagli

ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE. Vincenzo Di Gennaro

ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE. Vincenzo Di Gennaro ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE Vincenzo Di Gennaro Sono raccolti, in ordine cronologico, gli esercizi di Algebra Lineare proposti nelle prove scritte per i vari corsi di Geometria che ho tenuto presso la

Dettagli

Corso di Laurea in Matematica - A.A. 2003/2004 Geometria Analitica I Esonero - 21 novembre 2003 (Proff. Marco Manetti e Riccardo Salvati Manni)

Corso di Laurea in Matematica - A.A. 2003/2004 Geometria Analitica I Esonero - 21 novembre 2003 (Proff. Marco Manetti e Riccardo Salvati Manni) I Esonero - 21 novembre 2003 Esercizio 1. Per ogni n>0 sia B n M n (R) la matrice simmetrica di coefficienti b ij = i + j 2, i,j =1,...,n. Determinare rango e segnatura di B 1,B 2 e B 3. Soluzione. Si

Dettagli

Ingegneria Civile. Compito di Geometria del 06/09/05. E assegnato l endomorfismo f : R 3 R 3 mediante le relazioni

Ingegneria Civile. Compito di Geometria del 06/09/05. E assegnato l endomorfismo f : R 3 R 3 mediante le relazioni Ingegneria Civile. Compito di Geometria del 06/09/05 E assegnato l endomorfismo f : R 3 R 3 mediante le relazioni I f(,, 0) = (h +,h+, ) f(,, ) = (h,h, h) f(0,, ) = (,h, h) con h parametro reale. ) Studiare

Dettagli

Prova scritta di Geometria 2 Prof. M. Boratynski

Prova scritta di Geometria 2 Prof. M. Boratynski 10/9/2008 Es. 1: Si consideri la forma bilineare simmetrica b su R 3 associata, rispetto alla base canonica {e 1, e 2, e 3 } alla matrice 3 2 1 A = 2 3 0. 1 0 1 1) Provare che (R 3, b) è uno spazio vettoriale

Dettagli

Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria TEMA A

Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria TEMA A Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria Ingegneria Aerospaziale ed Ingegneria dell Energia - Canale B Secondo Appello - luglio TEMA A Risolvere i seguenti esercizi motivando adeguatamente ogni risposta.

Dettagli

Corso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni

Corso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni Corso di Geometria 2010-11 BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni 1 Geometria dello spazio Esercizio 1. Dato il punto P 0 = ( 1, 0, 1) e il piano π : x + y + z 2 = 0, determinare: a) Le equazioni parametriche

Dettagli

COGNOME... NOME... -A

COGNOME... NOME... -A COGNOME... NOME... -A Esame di Algebra Lineare 18 gennaio 2017 Desidero che il mio risultato sia pubblicato on-line Non desidero che il mio risultato sia pubblicato on-line (nel secondo caso, mi presenterò

Dettagli

(E) : 2x 43 mod 5. (2 + h)x + y = 0

(E) : 2x 43 mod 5. (2 + h)x + y = 0 Dipartimento di Matematica e Informatica Anno Accademico 2016-2017 Corso di Laurea in Informatica (L-31) Prova scritta di Matematica Discreta (12 CFU) 27 Settembre 2017 Parte A 1 [10 punti] Sia data la

Dettagli

I FACOLTÀ DI INGEGNERIA - POLITECNICO DI BARI Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica (corso A) A.A. 2009-2010, Esercizi di Geometria analitica

I FACOLTÀ DI INGEGNERIA - POLITECNICO DI BARI Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica (corso A) A.A. 2009-2010, Esercizi di Geometria analitica I FACOLTÀ DI INGEGNERIA - POLITECNICO DI BARI Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica (corso A) A.A. 2009-2010, Esercizi di Geometria analitica Negli esercizi che seguono si suppone fissato nello spazio

Dettagli

Applicazioni lineari e diagonalizzazione. Esercizi svolti

Applicazioni lineari e diagonalizzazione. Esercizi svolti . Applicazioni lineari Esercizi svolti. Si consideri l applicazione f : K -> K definita da f(x,y) = x + y e si stabilisca se è lineare. Non è lineare. Possibile verifica: f(,) = 4; f(,4) = 6; quindi f(,4)

Dettagli

1. Calcolare gli invarianti ortogonali e riconoscere le seguenti quadriche.

1. Calcolare gli invarianti ortogonali e riconoscere le seguenti quadriche. Algebra Lineare e Geometria Analitica Politecnico di Milano Ingegneria Quadriche Esercizi 1. Calcolare gli invarianti ortogonali e riconoscere le seguenti quadriche. (a) x + y + z + xy xz yz 6x 4y + z

Dettagli

GEOMETRIA Nome... COGNOME...

GEOMETRIA Nome... COGNOME... GEOMETRIA Nome... COGNOME... 17 Gennaio 217 Ingegneria... Matricola... In caso di esito sufficiente, desidero sostenere la prova orale: [ ] in questo appello (con inizio oggi alle ore 15: in aula Magna

Dettagli

Esercizi di Matematica Discreta - Parte I

Esercizi di Matematica Discreta - Parte I Esercizi di Matematica Discreta - Parte I 7 ottobre 0 AVVISO: Sia i testi che gli svolgimenti proposti possono contenere errori e/o ripetizioni Essi sono infatti opera di vari collage e, per ovvie questioni

Dettagli

Esercizi di geometria proiettiva: fasci di coniche e polarità

Esercizi di geometria proiettiva: fasci di coniche e polarità Esercizi di geometria proiettiva: fasci di coniche e polarità Sansonetto Nicola 1 gennaio 010 1 Geometria affine Esercizio 1. Si consideri nel piano affine AR un riferimento cartesiano, la retta τ di equazione

Dettagli

2 Sistemi lineari. Metodo di riduzione a scala.

2 Sistemi lineari. Metodo di riduzione a scala. Sistemi lineari. Metodo di riduzione a scala. Esercizio.1 Utilizzando il metodo di eliminazione di Gauss, risolvere i seguenti sistemi lineari: 1. 3. x 1 x + 3x 3 = 1 x 1 x x 3 = x 1 + x + 3x 3 = 5 x 1

Dettagli

(a) 8x 9y = 2, (b) 28x + 6y = 33.

(a) 8x 9y = 2, (b) 28x + 6y = 33. Dipartimento di Matematica e Informatica Anno Accademico 2016-2017 Corso di Laurea in Informatica (L-31) Prova scritta di Matematica Discreta (12 CFU) 28 Giugno 2017 Parte A A1 1 [10 punti] Dimostrare

Dettagli

AUTOVALORI, AUTOVETTORI, AUTOSPAZI

AUTOVALORI, AUTOVETTORI, AUTOSPAZI AUTOVALORI, AUTOVETTORI, AUTOSPAZI. Esercizi Esercizio. Sia f : R 3 R 3 l endomorfismo definito da f(x, y, z) = (x+y, y +z, x+z). Calcolare gli autovalori ed una base per ogni autospazio di f. Dire se

Dettagli

Universita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA (Edile-Architettura e dell Edilizia) CONICHE DI

Universita degli Studi di Roma - Tor Vergata - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA (Edile-Architettura e dell Edilizia) CONICHE DI Universita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA (Edile-Architettura e dell Edilizia) CONICHE DI R. Docente: Prof. F. Flamini Esercizi Riepilogativi Svolti Esercizio

Dettagli

22 Novembre Sia T α : RP 1 RP 1 la trasformazione proiettiva determinata dalla matrice non

22 Novembre Sia T α : RP 1 RP 1 la trasformazione proiettiva determinata dalla matrice non Primo esonero di GEOMETRIA 3 - C. L. Matematica 22 Novembre 2013 1. Sia T α : RP 1 RP 1 la trasformazione proiettiva determinata dalla matrice non singolare ( ) α 2. 1 0 (a) Si determini, al variare del

Dettagli

= (cioè le due terne di numeri direttori ( devono essere ) proporzionali). Tale uguaglianza non è verificata, poiché risulta ρ

= (cioè le due terne di numeri direttori ( devono essere ) proporzionali). Tale uguaglianza non è verificata, poiché risulta ρ Alcuni esercizi sullo spazio euclideo R Nel seguito R indicherà lo spazio euclideo tridimensionale standard, dotato del riferimento cartesiano naturale (pag 56-57 del libro Nota: gli esercizi proposti

Dettagli

A.A. 2014/2015 Corso di Algebra Lineare

A.A. 2014/2015 Corso di Algebra Lineare A.A. 2014/2015 Corso di Algebra Lineare Stampato integrale delle lezioni Massimo Gobbino Indice Lezione 01: Vettori geometrici nel piano cartesiano. Operazioni tra vettori: somma, prodotto per un numero,

Dettagli

15 luglio Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... ISTRUZIONI

15 luglio Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... ISTRUZIONI 15 luglio 01 - Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a. 01-01 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura ore. ISTRUZIONI Ti sono

Dettagli

CLASSIFICAZIONE DELLE CONICHE AFFINI

CLASSIFICAZIONE DELLE CONICHE AFFINI CLASSIFICAZIONE DELLE CONICHE AFFINI Pre-requisiti necessari. Elementi di geometria analitica punti e rette nel piano cartesiano, conoscenza delle coniche in forma canonica). Risoluzione di equazioni e

Dettagli

REGISTRO DELLE ESERCITAZIONI

REGISTRO DELLE ESERCITAZIONI UNIVERSITA DEGLI STUDI DI GENOVA FACOLTA DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI REGISTRO DELLE ESERCITAZIONI del Corso UFFICIALE di GEOMETRIA A tenute dal prof. Domenico AREZZO nell anno accademico

Dettagli

APPLICAZIONI LINEARI

APPLICAZIONI LINEARI APPLICAZIONI LINEARI Esercizi Esercizio Date le seguenti applicazioni lineari f : R 2 R 3 definita da fx y = x 2y x + y x + y; 2 g : R 3 R 2 definita da gx y z = x + y x y; 3 h : Rx] 2 R 2 definita da

Dettagli

Esercizi di Geometria Affine ed Euclidea del Piano e dello Spazio

Esercizi di Geometria Affine ed Euclidea del Piano e dello Spazio Esercizi di Geometria Affine ed Euclidea del Piano e dello Spazio Sansonetto Nicola 15 aprile 2016 Geometria Affine nel Piano Esercizio 1. Nel piano affine standard A 2 (R) dotato del riferimento canonico,

Dettagli

Geometria analitica: rette e piani

Geometria analitica: rette e piani Geometria analitica: rette e piani Equazioni del piano Intersezioni di piani. Rette nello spazio Fasci di piani e rette Intersezioni fra piani e rette Piani e rette ortogonali Piani di forma parametrica

Dettagli

Elementi di Algebra Lineare. Spazio Vettoriale (lineare)

Elementi di Algebra Lineare. Spazio Vettoriale (lineare) Elementi di Algebra Lineare Spazio Vettoriale (lineare) Uno spazio vettoriale su un corpo F è una quadrupla (X, F, +, ) costituita da: un insieme di elementi X, detti vettori, un corpo F, i cui elementi

Dettagli

GEOMETRIA /2009 II

GEOMETRIA /2009 II Universita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA Edile e Edile-Architettura - a.a. 008/009 II Emisemestre - Settimana - Foglio 0 Docente: Prof. F. Flamini - Tutore:

Dettagli

Risoluzione di sistemi lineari

Risoluzione di sistemi lineari Risoluzione di sistemi lineari Teorema (Rouché-Capelli) Dato il sistema di m equazioni in n incognite Ax = b, con A M at(m, n) b R n x R n [A b] si ha che: matrice dei coefficienti, vettore dei termini

Dettagli

16 gennaio Soluzione esame di geometria - 12 crediti Ingegneria gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA...

16 gennaio Soluzione esame di geometria - 12 crediti Ingegneria gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... 16 gennaio 017 - Soluzione esame di geometria - 1 crediti Ingegneria gestionale - a.a. 016-017 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura ore.

Dettagli

Corso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test 1: soluzioni

Corso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test 1: soluzioni Corso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test : soluzioni k Esercizio Data la matrice A = k dipendente dal parametro k, si consideri il k sistema lineare omogeneo AX =, con X = x x. Determinare

Dettagli

CORSO DI GEOMETRIA. Esercizi su Numeri Complessi. Es. n. 1: Calcolare e rappresentare sul piano di Gauss i seguenti numeri complessi:

CORSO DI GEOMETRIA. Esercizi su Numeri Complessi. Es. n. 1: Calcolare e rappresentare sul piano di Gauss i seguenti numeri complessi: Esercizi di algebra lineare e geometria, relativi ai corsi della 1 a Facolta di Ingegneria, nuovo ordinanento. ( Curati da: P.Valabrega, C. Massaza, D. Giublesi) Gli esercizi indicati con (*) richiedono

Dettagli

Coordiante omogenee e proiezioni

Coordiante omogenee e proiezioni CAPITOLO 15 Coordiante omogenee e proiezioni Esercizio 15.1. Utilizzando le coordinate omogenee, determinare l equazione della retta r passante per i punti A(2,) e B( 1,0) e della retta s passante per

Dettagli

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA EDILE/ARCHITETTURA

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA EDILE/ARCHITETTURA CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA EDILE/ARCHITETTURA II PROVA DI ACCERTAMENTO, FILA B GEOMETRIA 19/06/008 Esercizio 0.1. Si consideri il seguente endomorfismo di R 4 T (x, y, z, w) = (x + y z + w, y z, x +

Dettagli

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA EDILE/ARCHITETTURA

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA EDILE/ARCHITETTURA CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA EDILE/ARCHITETTURA II PROVA DI ACCERTAMENTO, FILA A GEOMETRIA 19/06/008 Esercizio 0.1. Si consideri il seguente endomorfismo di R 4 T (x, y, z, w) = ( x + y + z + w, y + z,

Dettagli

QUADERNI DIDATTICI. Dipartimento di Matematica

QUADERNI DIDATTICI. Dipartimento di Matematica Università ditorino QUADERNI DIDATTICI del Dipartimento di Matematica E Abbena, G M Gianella Esercizi di Geometria ealgebralinearei AA / Quaderno # 8 - Settembre Gli esercizi proposti in questa raccolta

Dettagli

1 Rette e piani nello spazio

1 Rette e piani nello spazio 1 Rette e piani nello spazio Esercizio 1.1 È assegnato un riferimento cartesiano 0xyz. Sono assegnati la retta x = t, r : y = t, z = t, il piano π : x + y + z = 0 ed il punto P = (1, 1, 1). Scrivere le

Dettagli