1. Esercizi (1) Porre in forma trigonometrica i seguenti numeri complessi: 5, 2 i2, 1 + i. (2) Calcolare le seguenti radici: 2 2i,

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1 . Esercizi () Porre in forma trigonometrica i seguenti numeri complessi: 5, i, + i. () Calcolare le seguenti radici: 3 i, 5 i, 5. (3) Risolvere le seguenti equazioni: z z + 3 = ; z z = i; z + z =. (4) Calcolare l area del parallelogramma di lati e ; (5) siano X, Y R 3 due vettori non nulli ed ortogonali. Dimostrare che sono linearmenteindipendenti; (6) dire se i vettori oppure linearmente indipendenti; sono linearmente dipendenti (7) dire se il vettore è combinazione lineare dei vettori (8) siano v, v, v 3, v 4 R 3. Dimostrare che se v e v sono linearmente dipendenti, allora v, v, v 4 sono linearmente dipendenti; se v, v, v 3, v 4 sono linearmente indipendenti, allora v, v 3, v + v 3, v 4 + v 3 + v sono linearmente indipendenti; se v, v, v 3, v 4 sono linearmente dipendenti, allora v, v +v 3, v 3, v + v 4 sono linearmente dipendenti; v è linearmente indipendente se e solamente se v. (9) sia S =. Determirnare S ; 4 () siano dati, al variare di k R, i vettori X = k Y = k k. Dire per quali valori di k R i vettori X e Y sono ortogonali. Dire inoltre per quali valori di k R i vettori X e Y sono linearmente dipendenti; () determinare le equazioni cartesiane e parametrica per la retta r: passante per ; 3 passante per e parallela alla retta r : X = + ;

2 t ; ortogonale alle rette s : X = + t, s : X = + t e passante per P = 3. () Determinare le equazioni cartesiane e parametriche per il piano π: ortogonale ad e passante per ; passante per P = P = 3 P 3 = ; 3 3 passante per P = P = e parallelo alla retta r : { 3x z = 3 3y z = (3) Siano dati, { al variare di k R, il piano π : kx + y 3z = k ed la x kz = k retta r :. Determinare per quali valori di k il piano y + kz = 4 π e la retta r sono paralleli; (4) siano s : X = + t, s : X = + t due rette nello spazio. Determinare un piano π che contiene s e s. Tale piano è unico? (5) sia r : X = + t. Determinare un piano π contenente r e passante per (6) Determinare le equazioni cartesiane e parametriche per la retta r passante per ed incidente alle rette s : { x y z = 3x y = { x + y z = s : y =

3 (7) Determinare le equazioni cartesiane e parametriche per la retta r incidente e ortogonale sia all asse delle x sia alla retta { x y + z = 3 s : x + y z = (8) sia π : ax+by +cz = d un piano nello spazio e siano P, Q due vettori distinti che appartengono a π. Dimostrare che la retta r passante per P e Q è contenunta in π; Determinare la distanza dall origine O della retta r di equazioni parametriche (9) Determinare la distanza dall origine O della retta r di equazioni parametriche x = t y = + t, t R. z = + 3t () Data la retta r di equazione cartesiana { x + z =, y + = determinare i punti di r la cui distanza dal piano π di equazione è pari a 4. () Date le rette { x y + z = r : y + 3z = x y z + =, r : { x + y = y + 3z = verificare che sono sghembe e determinare la loro distanza. Verificare inoltre che tale distanza è pari alla lunghezza del vettore P P, dove P e P sono i punti di intersezione con r e r, rispettivamente, dell unica retta perpendicolare e incidente le rette r e r., 3

4 4. Esercizi () Sia V uno spazio vettoriale su K. In seguito denoteremo con K l elemento neutro rispetto alla somma di K e con il vettore nullo di V. v = per ogni v V ; sia v V e λ K. Dimostrare che se λv =, allora v = oppure λ = ; un vettore v è linearmente indipendente se e solamente se v ; sia λ K. Allora λ = ; sia B = {v,..., v n }. Allora: (a) se v,... v n sono linearmente indipendenti, allora ogni sottoinsieme di B è costituito da vettori linearmente indipendenti; (b) se B è un insieme formato da vettori linearmente dipendenti, allora ogni sovrainsieme di B è costituito da vettori linearmente dipendenti. () Sia V uno spazio vettoriale su C. Dimostrare che V ammette una struttura di spazio vettoriale su R; (3) sia π : x + y z = un piano nello spazio. Stabilire se esistono due, rispettivamente tre, vettori linearmente indipendenti che appartengono a π. (4) sia K n [x] l insieme dei polinomi di grado n. Dimostrare che, x,..., x n sono linearmente indipendenti e generatori; (5) siano, + x, + x + x R [x]. Dimostrare che, + x, + x + x sono linearmente indipendenti e un sistema di generatori; (6) siano e =...., e n =. sono linearmente indipendenti e un sistema di generatori; (7) stabilire se i vettori K n. Dimostrare che e,..., e n indipendenti oppure linearmente dipendenti; i (8) stabilire se i vettori i i i i indipendenti oppure linearmente dipendenti; 3 R4. Stabilire se 3 L 3 3 (9) sia R4 sono linearmente C4 sono linearmente ; () stabilire se + x + x + x 3, x + x, x 4 R[x] sono linearmente

5 dipendenti oppure linearmente indipendenti; () stabilire se x 4 L( x, x, x + x 3, x 4 x ); () dimostrare che L(, + ix, + x + x, + x + ix + x 3 ) = C 3 [x]; (3) stabilire se l insieme {p R 5 [x] : p() =, p() = } è un sottospazio vettoriale ( di R 5 [x]. ) ( ) ( ) (4) stabilire se,, M 3 (C) sono linearmente dipendenti {( oppure ) indipendenti; } a b (5) dimostrare che W = M c d (C) : a + b id = è un sottospazio vettoriale di M (C); (6) dimostrare che l insieme delle matrici triangolari superiori, rispettivamente inferiori, è un sottospazio vettoriale di M n n (K); (7) dimostrare che se A è antisimmetrica, allora Tr(A) =. Vale il viceversa? (8) dimostrare che W = {A M n n (R) : A+A T = } è un sottospazio vettoriale di M n n (R); (9) dimostrare che W = {A M n n (C) : A = A } è chiuso rispetto alla somma ma non è chiuso rispetto alla moltiplicazione per scalare. W ammette una struttura di spazio vettoriale su R? () sia A M n n (C). Dimostrare che A è Hermitiana se e solamente se ia è anti-hermitiana; () sia A una matrice Hermitiana. Dimostrare che Tr(A) è un numero reale. 5

6 6 3. Esercizi () dire per quali valori di a R, la matrice a 3 a è non singolare. () sia A M n n (K) e sia λ K. Dimostrare che det(λa) = λ n det(a); (3) sia A M n n (R) antisimmetrica. Se n è dispari, dimostrare che det(a) = ; (4) Sia GL(n, K) = {A M n n (K) : det(a) }. Dimostrare che: Id n GL(n, K); se A, B GL(n, K), allora AB GL(n, K); A GL(n, K) se e solamente se A T GL(n, K); se A, B GL(n, K), allora A 4 B T A è una matrice invertibile; se A, B GL(n, K), allora A + B è ancora una matrice invertibile?; se K = C, allora A è invertibile se e solamente se A è invertibile se e solamente se A è invertibile; (5) dare un esempio di una matrice diagonale non invertibile; (6) dare un esempio di una matrice antisimmetrica e invertibile; (7) dare un esempio di una matrice simmetrica e non invertibile; (8) dare un esempio di una matrice Hermitiana e invertibile; (9) siano A, B M n n (R). Dimostrare che se A, B sono matrici ortogonali, allora BAB T è ancora una matrice ortogonale; () siano A, B M n n (R). Se A, B sono ortogonali, allora A + B è ortogonale? () siano A, B M n n (C). Se A, B sono matrici unitarie, allora A B è ancora una matrice unitaria () siano A, B M n n (K). Se A è invertibile e AB =, dimostrare che B =. (3) sia A = (A,..., A n ) M n n (K). Supponiamo che A è combinazione lineare delle colonne A,..., A n. Dimostrare che det(a) = ; (4) trovare, se esistono, le matrici inverse delle seguente matrici: (5) In R n, definiamo, R n R n R 3 4 6, (X, Y ) g(x, Y ) = X T Y se n = 3, verificare che g(x, Y ) è il prodotto scalare canonico di X e Y. Verificare che valgono le seguenti proprietà: (a) g(x, Y ) = g(y, X);,

7 (b) g(x, X). g(x, X) = se e solamente se X = ; (c) g(x + Z, Y ) = g(x, Y ) + g(z, Y ); (d) g(λx, Y ) = λg(x, Y ); (e) g(x, Y + Z) = g(x, Y ) + g(x, Z); (f) g(x, λy ) = λg(x, Y ); (g) se A M n n (R) è una matrice ortogonale, allora g(ax, AY ) = g(x, Y ) per ogni X, Y R n ; (h) se S R n, allora S = {v R n : g(v, s) = s S} è un sottospazio vettoriale di R n. (6) sia C n = M n (C). Definiamo C n C n C (Z, W ) h(z, W ) = Z T W Dimostrare che valgono le seguenti proprietà: (a) h(z, W ) = h(w, Z); (c) h(z, Z) R e h(z, Z). Inoltre h(z, Z) = se e solamente se Z = ; (d) h(z + L, W ) = h(z, W ) + h(l, W ); (e) h(λz, W ) = λh(z, W ); (f) h(z, W + L) = h(z, W ) + h(z, L); (g) h(z, λw ) = λh(z, W ); (h) se A M n n (C) è una matrice unitaria, allora h(az, AW ) = h(z, W ) per ogni Z, W C n ; (i) se S C n, allora S = {v R n : h(v, s) = s S} è un sottospazio vettoriale di C n. (7) Calcolare il rango delle seguenti matrici:,, (8) al variare di t C, calcolare il rango della matrice t t t t t t (9) Verificare che det = 8., 7

8 8 Suggerimento: trasformare la matrice in triangolare superiore tramite passaggi opportuni. () Stabilire se esiste l inversa delle seguenti matrici e, in caso affermativo, determinare la sua espressione A = A = 3 4 8, B = 7 6, C = 3 7 () Calcolare il determinante della seguente matrice e determinare per quali valori del parametro reale h è invertibile A = h h h 4 h 3 h 4. h () Per ognuna delle seguenti matrici discutere, al variare del parametro reale h, l esistenza dell inversa e determinare una sua espressione quando esiste. 3 4 h, B = h 6 5 h, C =. h + h 3.

9 4. Esercizi () Sia V uno spazio vettoriale su K. Siano v,..., v n V e α,..., α n K. Se v,..., v n sono linearmente indipendenti, allora dimostrare che anche i vettori v, v α v,..., v n α n v ; sono linearmente indipendenti. () Si discuta al variare del parametro k R la dipendenza lineare dei vettori: k k k k k k k k R5. (3) Dire se il vettore R 3 è combinazione lineare dei vettori 6. 3 (4) Dimostrare che i vettori i, i + x, + x + x C [x] sono linearmente indipendenti. (5) siano v = v = v 3 = 3. Al variare di k R, 3 3 dire se il vettore Z = v, v, v 3 ; (6) Si considerino le rette s : { x + x x 3 = x = k k, s : è combinazione lineare dei vettori { x x x 3 = 3x x =. (a) Stabilire la posizione reciproca di s e s. (b) Determinare equazioni per la retta s parallela alla retta X = t(,, ) T e complanare con ciascuna delle due rette s e s. (c) Calcolare la distanza del punto P = (,, ) dalla retta s. (7) si discuta la compatabilità dei seguenti sistemi lineari: x y + z = 3x + y + 3z = 6 x + 3y z =, x + 3y + z = 4x + y + z = x 5y + 3z = 5, x y + z t = 3 x + y + 3z + t = 3x + y + z t = 5. 9

10 (8) si discuta al variare di k R, la compatibilità del seguente sistema lineare: kx + z = x + y =. (k + )x + z = y + z =. (9) si dicuta al variare dei parametri α, β C, la compatibilità del seguente sistema lineare: x + 4y z = α βx + 3αy βz = β x y z = () discutere la compatibilità, al variare dei parametri presenti, dei seguenti sistemi lineari: (a) { kx + 4y + kz = (b) (c) x + ky + z = λx + 8y = λ x + λy = λ 3x + y = 3 x + y + αz = αx z = x + αy + z = () Risolvere il seguente sistema lineare: x + x 3 + x 5 = x + x 4 + x 5 = x x 4 x 5 = x + x + 3x 3 + x 4 = () si discuta al variare di k R, la lineare indipendenza dei seguenti vettori: k k 3 k 3 k. R5 4 (3) Dire se il vettore + x + x 3 è combinazione lineare dei vettori x + x, x + x + x 3, + x + x 3 R 3 [x]. (4),

11 (5) si discuta la variare di k R la lineare indipendenza dei vettori: [ ] [ ] [ ] [ ] k,,, M k k k + (R). (6) Siano P, Q R 3 due punti distinti. Dimostrare che un vettore X R 3 appartiene alla retta passante per P e Q se e solamente se la matrice A = (P Q, X Q) M 3 (R) ha rango uno. (7) Siano P, P, P 3 tre punti non allineati. Dimostrare che un vettore X R 3 appartiene al piano π passante per P, P, P 3 se e solamente se det(x P, P P, P 3 P ) =. (8) siano v,..., v m K n. Sia A = (v,..., v m ) M n m (K). Sia S = (S,..., S m ) una sua riduzione a scala. Siano S j,..., S j k le colonne che contengono i perni. Dimostrare che v j,..., v jk formano una base di L(v,..., v m ).

12 5. Esercizi () sia V uno spazio vettoriale su K. Sia B = {v,..., v n } una base di V e sia F B : V K n l applicazione che associa ad ogni vettore v le sue coordinate rispetto alla base B, i.e., F B (v) = [v] B. Dimostrare che w,... w m V sono linearmente indipendenti se e solamente se [w ] B,..., [w m ] B K n sono linearmente indipendenti; w,... w m V formano un sistema di generatori di V se e solamente se [w ] B,..., [w m ] B K n formano un sistema di generatori di K n ; Sia W = (w,..., w m ). Sia W = F B (W ) = {F B (w) : w W }. Dimostrare che W è un sottospazio vettoriale di K n ; W = L([w ] B,..., [w m ] B ); w W se e solamente se [w] B W. dim W = dim W. () sia B =. Determinare F B : R 3 R 3 ; (3) sia W = {A M (R) : A = A T }, rispettivamente W = {A M (R) : A = A T }. Dimostrare che dim W = 3, rispettivamente dim W = ; (4) dimostrare che W = {p(t) C [t] : p(i) = p() = } è un sottospazio vettoriale di C [t] e determinare una base di W ; (5) dimostrare che R[t] non ammette un sistema finito di generatori; (6) in R[t], sia W = L(, t, + t, t 3, t 3 + t ). Determinare una base di W ; (7) dire se i vettori + x + x, x x, + x + x formano una base di R [x]. (8) si discuta al variare di k R, la lineare dipendenza dei vettori, k + x + kx, k + x R [x]. (9) Sia V = M (R) e sia ([ ] [ ] [ ] [ ]) B =,,,. Dire se B è una base di V. coordinate delle matrici [ ] [, In caso affermativo, determinare le ] [, rispetto alla base B. () sia V = R [t] e sia B = ( + t, t, t t ). Dimostrare che B è una base di V. Determinare le coordinate di un polinomio a + a t + a t rispetto alla base B. ].

13 sia W = L( + t t, + t ). Determinare per quali valori del parametro k R, + kt + (k + )t W () sia π : ax + by + cz = un piano in R 3. Dimostrare che dim π = ; () sia AX = b un sistema lineare. Sia W = Sol(A ). Dimostrare che se il sistema è compatibile, allora le soluzioni dipendono da dim W parametri. Inoltre dim W = n rg(a). (3) Sia W = L. Determinare dim W ed una base di W. Completare a base di R 4 una base di W. Determinare le equazioni cartesiani di W. (4) Considerare in R 4 i seguenti sottospazi vettoriali: W = L 4 {, U = x x x 3 = x 3x + x 4 = (a) Determinare una base e le equazioni cartesiane di W. (b) Determinare una base di U. (c) Determinare una base di U + W. (d) Determinare una base e le equazioni cartesiane di U W. (e) Dire se U e W sono in somma diretta. (5) discutere al variare dei parametri h, k R, se i seguenti sottospazi W = L k k h h, U = k h k h sono in somma diretta. ([ ] [ ] [ 3 (6) sia V = M (R) e siano U = L,, ([ ] [ ] [ ]) e W = L,,. 3 3 Determinare la dimensione ed una base di U e W. Completare a base di M (R) una base di W. Dire se U e W sono in somma diretta. (7) Sia V = C 3 [t] e siano W = L ( i + t + t + t 3, + it t t 3, (i ) + ( i)t + t 3) e U = L ( + it + it + it 3, i + it + t + t 3, ( + i) + 3it + (i + )t + (i + )t 3). due sottospazi di U (a) Calcolare la dimensione ed una base di W. 3 ])

14 4 (b) Completare a base di C 3 [t] una base di U. (c) Dire se U e W sono in somma diretta. (8) sia V uno spazio vettoriale su K. Siano U, W sottospazi vettoriali di V. Se dim U = dim W = 3 e dim(u W ) =, dimostrare che dim V 5. (9) Sia V = M n n (R) e siano U = {A V : A = A T } e W = {A V : A = A T }. Dimostrare che V è in somma diretta di U e W. () siano π un piano passante per l origine ed r una retta passante per l origine. Dimostrare R 3 è in somma diretta di π e r se e solamente se π e r sono incidenti. () Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n. Sia W V un sottospazio di V. Dire se e esiste W V tale che V = W W. Tale sottospazio è unico? () Siano U e W spazi vettoriali su K. Il prodotto cartesiano di U e W è l insieme U W = {(u, w) : u U e w W }. Dimostrare che (U W ) dotato delle operazione (U W ) (U W ) U W (u, w ) + (u, w ) := (u + u, w + w ) K (U W ) U W λ(u, w) := (λu, λw) è uno spazio vettoriale su K. Siano U = {(u, W ) : u U} e W = {( V, w) : w W }. Dimostrare che U, rispettivamente W, è un sottospazio vettoriale di U W. Dimostrare che dim U = dim U, rispettivamente dim W = dim W. Dimostrare che dim(u W ) = dim U + dim W. (suggerimento: provare che U W è in somma diretta di U e W )

15 6. Esercizi () Sia T : V W una applicazione lineare. Sia S V. Ricordiamo che l immagine di S attraverso l applicazione T è il sottoinsieme T (S) = {T (s) : s S} W. Se H W, allora T (H) = {v V : T (v) H} è chiamata la controimmagine di W attraverso T. Dimostrare che Se S V è un sottospazio di V, allora T (S) è un sottospazio di V ; Se S = L(w,..., w p ), allora T (S) = L(T (w ),..., T (w p )). In particolare dim T (S) dim S. Ker T = T ( W ). Se H W è un sottospazio vettoriale, allora T (H) è un sottospazio di V. () Siano A, B M m n (K) e siano L A : K n K m, rispettivamente L B : K n K m, le applicazione lineari associate. Dimostrare che L A + L B = L A+B ; L λa = λl A. (3) Siano A M m p (K) e B M p n (K) Siano L A : K p K m, rispettivamente L B : K n K p, le applicazione lineari associate. Dimostrare che L A L B = L AB. (4) Siano T, L : V W due applicazioni lineari e sia B = {v,..., v n } una base di V. Dimostrare che T = L se e solamente se T (v ) = L(v ),..., T (v n ) = L(v n ). (5) Sia A M m n (K) e sia T : M p m (K) M p n (K) così definita: T (X) = XA. Dimostrare che T è lineare. (6) Sia T : M n n (K) K così definita: T (X) = Tr(X). Dimostrare che T è lineare. (7) Sia A M n n (K) e sia T : M n n (K) M n n (K) così definita: T (X) = X Tr(AX)Id n. Dimostrare che T è lineare. (8) Sia T : M n n (K) M n n (K) così definita: T (X) = Tr(X)X. Dimostrare che T non è lineare. (9) Sia A M n n (C) e sia T : M n n (C) M n n (C) così definita: T (X) = X (AX ). Dimostrare che T è lineare. 3 () Sia A = 9. Determinare L A : R 4 R () Sia A = i i 5 i i 4 i i 5 + i i + i. Determinare L A : C 3 C 4. 5

16 6 () Determinare l unica applicazione lineare T : R 3 R 4, tale che T = T =. T = 3 (3) Determinare l unica applicazione lineare T : R 3 R 3, tale che T = T = T = 3. 6 (4) Determinare l unica applicazione lineare T : R [t] M (R), tale che [ ] [ ] [ ] T () =, T ( t + t ) =, T (t + t ) =. (5) Sia T : R 4 R 3 così definita x T y z = x + y z + w z + y + 3w x + 3y z + 4w w Dimostrare che T è lineare. Calcolare una base per l immagine di T. Calcolare una base per il nucleo di T. Calcolare le equazioni cartesiane dell immagine di T. (6) Sia T : R 3 R 3 così definita T x y = z x y + z x + y + z y + z Dimostrare che T è lineare. Calcolare una base per l immagine di T. Calcolare una base per il nucleo di T. Calcolare le equazioni cartesiane dell immagine di T. Calcolare T. (7) sia T : V W una applicazione lineare. Siano B = {v,..., v n } una base di V e C = {w,..., w m } una base di W. Dimostrare che dim Im T = rg([t (v )] C,..., [T (v n )] C ). (8) Sia T : R 3 [t] R così definita: T (p) = p(). Dimostrare che T è lineare e calcolare una base per l immagine di T, rispettivamente il nucleo di T. (9) Sia A M m n (K) sia L A : K n K m. Dimostrare che Im L A = L(A,..., A n ). 3 4

17 dim Im L A = rg(a). b Im L A se e solamente se rg(a,..., A n ) = rg(a,..., A n, b). b Im L A se e solamente se il sistema lineare AX = b è compatibile. Ker L A = Sol(A ). In particolare dim Ker [ L A = n rg(a). ] () Sia T : R 3 [t] R p() p() così definita: T (p) =. Dimostrare che p( ) T è lineare; una base per l immagine di T. una base per il nucleo di T. () Sia v R 3. Sia T : R 3 R 3 l applicazione così definta: T (w) = w v. Dimostrare che T è lineare e determinare la dimensione ed una base del nucleo di T, rispettivamente dell immagine di T. 4 3 () Sia A = 4 3. Scrivere l applicazione lineare L A. Determinare [ ] il nucleo e l immagine di L A. (3) sia A =. Sia T : M (R) M (R) X X Tr(AX)Id. 7 Dimostrare che T è lineare. Stabilire se T è iniettiva. Determinare una base di Im T. (4) sia T : M (R) M (R) [ x y z w ] [ x y w + z w + z y w ] Dimostrare che T è lineare. Determinare una base di Ker T. Determinare una base di Im T. Dire se Ker T e Im T sono in somma diretta. Determinare un sottospazio W M (R) tale che M (K) è in somma diretta di W e Im T. (5) Sia A = (A, A, A 3 ) M 3 3 (R). Definiamo f(a) = A A, A 3. Dimostrare che: f è lineare rispetto a ciascuna colonna. f(a) = det(a). (6) Sia T : V W un applicazione lineare iniettiva. Siano v,..., v n linearmente indipendenti. Dimostrare che T (v ),..., T (v n ) sono linearmente indipendenti.

18 8 (7) Sia T : V W un applicazione e siano v,..., v n V. Supponiamo che i vettori T (v ),..., T (v n ) sono linearmente indipendenti. Dimostrare che v,..., v n sono linearmente indipendenti. (8) Sia T : V W e sia w Im T. Sia v V tale che T (v) = w. Dimostrare che T (w) = {v + z : z Ker T }. (9) sia T : V V una applicazione lineare. Dimostrare che V = Ker T Im T se e solamente se Ker T Im T = {}. (3) Scrivere, se esiste, una applicazione lineare iniettiva, rispettivamente suriettiva, T : R R 3. (3) Scrivere, se esiste, una applicazione lineare iniettiva, rispettivamente suriettiva, T : R 3 R. (3) Scrivere, se esiste, una applicazione lineare iniettiva, rispettivamente suriettiva, T : C 3 C 3. (33) Siano V e W spazi vettoriali su K. Sia Z V un sottospazio vettoriale di V, rispettivamente H W un sottospazio vettoriale di W. Sia H = {T : V W lineari : T (Z) H}. Dimostrare che H è un sottospazio vettoriale di L(V, W ). (34) Dire se i seguenti spazi vettoriali sono isomorfi e in caso affermativo scrivere esplicitamente un isomorfismo: R 3 e R [x]. R 4 e R 4 [x]. { A M n n (R) : A = A T } e { A M n n (R) : A = A T }. C 5 [t] w M 3 (C). C 4 e M (C). {A M n n (C) : A = A } e {A M n n (C) : A = A } {A M (C) : A = A : Tr(A) = } e R 3. M m n (K) e M m n (K). (35) Siano V e W spazi vettoriali su K. Sia Z V un sottospazio vettoriale di V, rispettivamente H W un sottospazio vettoriale di W. Determinare le condizioni necessarie e sufficienti affinché esista una applicazione lineare T : V W tale che Ker T = Z e Im T = H.

19 7. Esercizi () Sia T : R 4 R 3 così definita x T y x y + z + w z = z y 3w x 3y + z 4w w Trovare M T e dire se T è suriettiva. Determinare una base per il nucleo di T ed una base per l immagine di T. Determinare T. () sia T : M n n (R) M n n (R) così definita: T (A) = A A T. Determinare il nucleo di T. Determinare l immagine di T. Dire se Ker T e Im T sono in somma diretta. (3) sia v = R 3 e sia (4) sia v = T : R 3 R 3 w w + w, v v. Dimostrare che T è lineare. Trovare M T e dire se T è suriettiva. Determinare una base per il nucleo di T. Determinare una base per l immagine di T. Dire se R 3 è in somma diretta di Ker T e Im T. R 3 e sia T : R 3 R 3 v w w w, v v. Determinare M T e verificare che M T è ortogonale. Dire se T è biunivoca. Sia W = v. Dimostrare che T (w) = w per ogni w W. Dimostrare che T (v) = v. (5) Sia T : R 3 R 3 così definita T x y = z x + y + z x + 3y + 3z x y z Trovare M T e dire se T è iniettiva. Determinare una base per l immagine di T ed una base per il nucleo di T.. 9

20 Determinare T 6. 4 (6) Sia T : C 3 C 4 così definita T z = z 3 z + iz + z 3 z iz + 3z 3 z + 3iz 3 z 3 z + 4iz Determinare M T. Determinare una base per l immagine di T ed una base per il nucleo di T. (7) sia C = {e,..., e n } la base canonica di R n. Per ogni i n, definiamo e i : R n R e i x. x n. = x i. Dimostrare che e i è una applicazione lineare. Dimostrare che e,..., e n formano una base di Lin(R n, R). (8) Sia T : V W una applicazione lineare. Dimostrare che: se Z V è un sottospazio vettoriale di V, allora l insieme T (Z) := {T (z) : z Z} è un sottospazio vettoriale di W ; se Z = L(v,..., v s ), allora T (Z) = L(T (v ),..., T (v k )). Dimostrare che se T è iniettiva, allora dim Z = dim T (Z); se H W è un sottospazio vettoriale di W, allora T (H) = {v V : T (v) W } è un sottospazio vettoriale di V. se H W è un sottospazio vettoriale di W, allora dim T (H) = dim(im T H) + dim Ker T. (9) Siano W e V spazi vettoriali su K. Dimostrare che dim W dim V se e solamente se esiste una applicazione lineare iniettiva T : W W. () Siano W e V sottospazi vettoriali su K. Sia T : V W una applicazione lineare suriettiva. Dimostrare che esiste una applicazione lineare iniettiva L : W V tale che T L = Id W.

21 8. Esercizi () Sia T : R 3 R 3 l applicazione lineare definita da T = T = T =. 3 (a) Scrivere la matrice M T (C, B), dove B = e C è la base canonica. (b) Scrivere la matrice M T (C, C), dove C è la base canonica di R 3. (c) Scrivere la matrice M T (C, B). (d) Stabilire se T è suriettiva. (e) Determinare le equazioni cartesiane dell immagine di T. (f) Stabilire se 3 appartiene all immagine di T. () Sia T : R 3 R 3 l applicazione lineare definita da T = T = T =. 3 Dire se T è invertibile e in caso affermativo calcolare T. (3) [ Sia T : R [t] ] M (R) così definita: T (a o + a x + a x ) = a a a. a a a (a) Scrivere la matrice M T (C, C), dove C = { {[ ] [ ] [ ] [ ]}, + t, t } e C =,,,. (b) Calcolare una[ base del ] nucleo ed una base per l immagine di T. (c) Stabilire se appartiene all immagine di T. In caso affermativo calcolare T ([ ]). [ ] (4) Sia T : R [t] R p() così definita: T (p) =. Determinare p() M C,C (T ), dove C = {, + t, t } e C è la base canonica di R. (5) Sia T : R 3 R 3 così definita: T x y = x y + z x + y. z y z Determinare M T (C, B), dove C è la base canonica di R 3 mentre B =. Inoltre calcolare T ;

22 (6) Sia T : V W lineare e siano B e C basi di V e W rispettivamente. Dimostrare che F C (Im T ) = Im L MT (B,C). F B (Ker T ) = Ker L MT (B,C). (7) Sia v o =. Sia T : R 3 R 3 X X X, v o v o, v o v o. Dimostrare che T è lineare. Determinare T (v o ). Scrivere M T (C, C) dove C è la base canonica e verificare che M T (C, C) è ortogonale. Scrivere T. (8) Sia K[x] lo spazio dei polinomi a coefficienti in K. Se p = a + a x + + a n x n K[x], definiamo rispettivamente p = a + a x + n + a n x n, p = xa o + x a x n+ + + a n n +. Dimostrare che l applicazione rispettivamente T : K[x] K[x] p p, L : K[x] K[x] p p, è lineare. Verificare che T L = Id K[x]. T è biunivoca? L? (9) Sia T : C [x] C 3 [x] così definita p (x )p + xp Calcolare il nucleo di T e dire se + t 3 Im T.

23 () Sia B = 9. Esercizi 3 una base di R 4. Cal- colare le coordinate di un vettore v R 4 rispetto a B. Determinare M(B, C) e {[ M(C, B), ] dove [ C]} è la base{[ canonica ] [ di ]} R 4. {[ ] [ ]} () Siano B =,, C =,, D =, basi di R. Determinare: [ ] x le coordinate di rispetto a D. y [ ] x le coordinate di rispetto a C. y M(B, C). M(C, D). M(B, D). M(D, C). (3) Siano B = ( + t t, t + t, t ), C = (, + t, + t + t ) basi di R [t]. Scrivere M(B, C). (4) Siano B =, C = 3, D = basi di R3. Determinare: le coordinate di x y z rispetto a D. le coordinate di M(B, C). M(C, D). M(B, D). M(D, C). x y z rispetto a C. (5) Sia T : R 3 R 3 così definita: T x y = x + y + z y + z z x + 3y + z Siano B =, C = 3 basi di R 3. Determinare: M T (B, B)..

24 4 M T (C, C). M T (C, B). M T (B, C). Sia T : R [t] R 3 l unica applicazione lineare tale che T () =, T ( t) =, T ( + t ) = 3. Sia B = ( + t, t, t ) una base di R [t], rispettivamente B = base di R 3. Determinare: M T (B, B ). M T (C, B ), dove C = (, t, t ). M T (B, C ) dove C è la base canonica di R 3. M T (C, C ). Dimensione e base di Ker T. Dimensione e base di Ker T. (6) Sia T : R 3 R 4 l applicazione lineare così definita: T x y z = 4x 5y 7z x 3y 3z x + y + z x + y + z. Sia B =, base di R 4 e sia B =. base di R3. Sia C, rispettivamente C, la base canonica di R 4, rispettivamente la base canonica di R 3. Determinare: M T (C, C ). M T (B, C ). M T (C, B ) M T (B, B ). Determinare una base per il nucleo di T ed una base per l immagine di T. (7) Sia T : V W una applicazione lineare. Sia r = dim Im T. Dimostrare che esiste una base B di V ed una base C di W tale che M T (B, C) = ( Idr ).

25 . Esercizi () Dire per quali valori di k R l angolo fra i vettori X = () Sia k k 4 4 è acuto, ottuso, rispettivamente retto. B =. k 5 Y = Dimostrare che B è una base ortogonale. Determinare le coordinate di un vettore v R 4 rispetto a B. Determinare M(B, C), dove C è la base canonica. (3) Applicare il procedeminto di Gram-Schmidt alle basi: (4) Siano W = L 3 3 Determinare: equazioni cartesiane di U. proiezione ortogonale su (U + W ). equazioni cartesiane di W U. (5) Sia W = L ;., U = L un sottospazio di R4. Determinare una base ortogonale di W e completarla a una base ortogonale di R 4 ; Scrivere la proiezione ortogonale su W, rispettivamente W. 6 3.

26 6 (6) Sia W = L 4 un sottospazio di R4. Scrivere le equazione cartesiane di W e W rispettivamente. Determinare una base ortogonale di W. Determinare la proiezione ortogonale su W. (7) Sia B = {v,..., v n } una base di R n e siano v, w R n. Dimostrare che le seguenti condizioni sono equivalenti: (a) v = w; (b) v, v j = w, v j per ogni j =,..., n; (c) v, z = w, z per ogni z R n. (8) Sia V = M n m (R) e sia g : V V R l applicazione g(a, B) = Tr(AB T ). Dimostrare che per ogni A, B, C M m n (R) e λ, µ R si ha: (a) g(a, A) con uguaglianza se e solamente se A =. (b) g(a, B) = g(b, A). (c) g(λa + µb, C) = λg(a, C) + µg(y, Z). (d) g(a, λb + µc) = λg(a, B) + µg(a, C). Dimostrare la disuguaglianza di Cauchy-Schwartz e definire un angolo fra due matrici. se A,..., A k sono vettori non nulli ed a due a due ortogonali. Dimostrare che A,..., A k sono linearmente indipendenti. Dimostrare che esistono basi di V formate da vettori a due a due ortogonali. Due matrici A e B si dicono ortogonali se g(a, B) =. Sia S V. Dimostrare che S = {A V : g(a, s) = s S} è un sottospazio vettoriale di V. Se W = L(A,..., A s ), allora W = {A V : g(a, A) = = g(a s, A) = }. Se W è un sottospazio vettoriale di V, dimostrare che V = W W. se A,..., A k sono vettori non nulli ed a due a due ortogonali. Dimostrare che A,..., A k sono linearmente indipendenti. (9) Sia U = L i i + i + i i i C4. Scrivere le equiazioni cartesiane di U. Determinare una base ortogonale di U.

27 () Sia B = i i i i i 7 una base di C 4. De- terminare: le coordinate di un vettore v C 4 rispetto a B. applicare il procedimento di Gram-Schidt alla base B. Scrivere la proiezione ortogonale su W = L = + i U, dove U = L i i i i. + i i i () Sia C una base ortonormale di R n rispetto al prodotto scalare canonico. Sia B una base di R n. Dimostrare che B è una base ortonormale se e solamente se M(C, B) è una matrice ortogonale. () Sia C una base ortonormale di C n rispetto il prodotto Hermitiano canonico. Sia B una base di C n. Dimostrare che B è una base ortonormale se e solamente se M(C, B) è una matrice unitaria. (3) Sia V = M n m (C) e sia h : V V C l applicazione h(a, B) = Tr(AB ). Dimostrare che per ogni A, B, C M m n (C) e λ, µ C si ha: (a) h(a, A) con uguaglianza se e solamente se A =. (b) h(a, B) = h(b, A). (c) h(λa + µb, C) = λh(a, C) + µh(y, Z). (d) h(a, λb + µc) = λh(a, B) + µh(a, C). Defianiamo due matrici ortogonali se h(a, B) =. Sia S V. Dimostrare che S = {A V : g(a, s) = s S} è un sottospazio vettoriale di V. Dimostrare che se W è un sottospazio vettoriale di V, allora V = W W. se A,..., A k sono vettori non nulli ed a due a due ortogonali. Dimostrare che A,..., A k sono linearmente indipendenti. Dimostarare che esistono basi di V formata da vettori a due a due ortogonali. (4) Sia V = M n n (R) e sia g : V V R l applicazione g(x, Y ) = Tr(XY ). Dimostrare che per ogni A, B, C M n n (R) e λ, µ R si ha: (a) g(a, B) = g(b, A). (b) g(λa + µb, C) = λg(a, C) + µg(y, Z). (c) g(a, λb + µc) = λg(a, B) + µg(a, C). (d) se g(a, B) = per ogni B V, allora A =. i i.

28 8 (e) Se A, B V, diremo che A e B sono ortogonali se g(a, B) =. Sia S V. Dimostrare che S = {A V : g(a, s) = s S} è un sottospazio vettoriale di V. Sia W un sottospazio vettoriale di V. È vero che W W = {}?. Sia W = {A V : A = A T }, rispettivamente W = {A V : A = A T }, il sottospazio delle matrici simmetiche, rispettivamente antisimmetriche. Dimostrare che: (a) per ogni A W, si ha g(a, A) e l uguaglianza è verificata se e solamente se A =. (b) per ogni A W, si ha g(a, A) e l uguaglianza è verificata se e solamente se A =. (c) se A W e B W, allora g(a, B) =. (d) Dimostrare che W = W. Dimostrare che esistono basi di V formata da vettori a due a due ortogonali. (5) Sia V uno spazio vettoriale su K e siano U e W sottospazi vettoriali di V. Dimostrare che V = U W se e solamente se per ogni v V esistono e sono unici u U e w W tale che v = u + w. (6) Sia V uno spazio vettoriale su K e siano U e W sottospazi vettoriali di V tali che V = U W. Dimostrare che l applicazione P U : V V P U (v) = u dove u è l unico vettore di U tali che v = u + w, w W, è lineare. Dimostare inoltre che Ker P U =, Im P U = U, e P U + P W = Id V.

29 . Esercizi () Calcolare autovalori ed([ autovettori ]) [ delle seguenti ] applicazioni lineari: T : R R x x y, T =. y y + x T : R 3 R 3, T x x y = y + x. z x + y + z ([ ]) [ ] T : R R x y, T =. y x T : C 3 C 3, T z z = z + z 3 z. z 3 z 3 + z ([ ]) [ ] x y x z y w T : M (R) M (R), T =. z w y w z T : R [t] R [t], T (a + a t + a t ) = a + (a + a )t + ( a + a a )t 3. T : M n n (R) M n n (R), T (X) = X T. Inoltre, stabilire se sono diagonalizzabili. In caso affermativa determinare una base formata da autovettori. () Sia W R n e sia P W : R n R n la proiezione ortogonale su W. Dimostrare che gli autovalori di P W sono e. Dimostrare che P W è diagonalizzabile. (3) Siano B = ( + t t, t + t, t ), C = (, + t, + t + t ) basi di R [t]. Sia T : R [t] R [t] così definita: T (p) = p()t + p. Dimostrare che T è lineare. Scrivere le matrici M C,B (T ), M C,C (T ) e M B,B (T ). Determinare autovalori ed autovettori. Determinare una base per ogni autospazio. Dire se T è diagonalizzabile. (4) Sia T : V V un endomorfismo di V tale che T + T + Id V =, dove T = T T. Dimostrare che T è invertibile. (5) Sia T : V V un endomorfismo di V tale che T (T Id) =. Dimostrare che V = Ker T Ker (T Id) =. Dedurre che T è diagonalizzabile. (6) Sia T : V V un endomorfismo. Dimostrare che: Se λ K è un autovalore di T, allora λ è un autovalore di T. Se T è un endomorfismo di T invertibile, allora λ autovalore di T se e solamente se λ è autovalore di T. Inoltre T è diagonalizzabile se e solamente se T è diagonalizzabile. (7) Siano L, T : V V endomofismi diagonalizzabile. T + L, rispettivamente T L, è diagonalizzabile? 9

30 3 (8) Sia T : V V un endomorfismo di V. Sia λ K un autovalore di T tale che m a (λ) =. Dimostrare che m g (λ) =. (9) Sia T : V V un endomorfismo di V. Supponiamo che dim V = 7 e che l endomorfismo T ha esattamente 3 autovalori: λ, λ, λ 3 tali che m g (λ ) = e m g (λ ) = e m g (λ 3 ) =, Dimostrare che T non è diagonalizzabile. () Sia T : V V un endomorfismo di V. Supponiamo che dim V = 4 e che l endomorfismo T ha autovalori: λ e λ, tali che m g (λ ) = m g (λ ) =. Dimostrare che T è diagonalizzabile. () Sia T : V V un endomorfismo di V. Supponiamo che dim V = 5 e che l endomorfismo T ha due autovalori: λ e λ, tale che m g (λ ) = 4 e m a (λ ) =. Dimostrare che T è diagonalizzabile. () Sia A M n n (K). Dimostrare che: λ K è un autovalore di A se e solamente se λ è un autovalore di A T. A è diagonalizzabile se e solamente se A T è diagonalizzabile. Se K = C, allora λ C è un autovalore di A se e solamente se λ è un autovalore di A. (3) Discutere la diagonalizzabilità delle seguenti matrici su R e su C: ( ) (, ),, (4) Sia A =. Dire se A è diagonalizzabile su C. In caso affermativo determinare una matrice invertibile P ed una matrice diagonale D tale che P AP = D. (5) Dire se la matrice A = è diagonalizzabile su R. In caso affermativo determinare una matrice invertibile P ed una matrice diagonale D tale che P AP = D. (6) Dire se la matrice A = 3/ 3/ è diagonalizzabile. In caso affermativo determinare una matrice invertibile P ed una matrice diagonale D tale che P AP = D. (7) Stabilire per quali valori di k R la matrice è diagonalizzabile. A = k k.

31 (8) Siano A, B M n n (R). Supponiamo che esite una matrice invertibile P M n n (C) tale che P AP = B. Dimostrare che esiste una matrice invertbile Q M n n (R) tale che Q AQ = B. (9) Sia T : M (R) M (R) l applicazione lineare così definita: ([ ]) [ ] x y x y + z T = z w y + z w calcolare gli autovalori di T e dire se, giustificando la risposta, T è diagonalizzabile. In caso affermativo calcolare una base formata da autovettori di T. dire se, giustificando la risposta, T 4Id è iniettiva. () Sia T : M (R) M (R) l applicazione lineare così definita: ([ ]) [ ] x y x + y y T = z w w y + z Dire se T è diagonalizzabile. In caso affermativo determinare una base di M (R) formata da autovettori di T. 3

32 3. Esercizi () Sia T : R [t] R [t] così definita: T (a + a t + a t ) = (a + a a ) + (a + a + a )t + ( a + a + a )t. Determinare una base formata da autovettori di T. () Data la matrice A =. Determinare una matrice ortogonale U ed un matrice diagonale D tale che U T AU = D. (3) Data la matrice A = Determinare una matrice ortogonale U ed un matrice diagonale D tale che U T AU = D. (4) Data la matrice A = Determinare una matrice ortogonale U ed un matrice diagonale D tale che U T A U = D. (5) Data la matrice A = 5 5 Determinare una matrice ortogonale U ed un matrice diagonale D tale che U T AU = D. Inoltre, calcolare A 5. (6) Sia A M n n (R) una matrice ortogonale. Dimostrare che: per ogni X, Y R n, si ha AX, AY = X, Y, dove, è il prodotto scalare canonico. Vale anche il viceversa? se λ R è un autovalore di A, allora λ = ±. (7) Sia A M n n (C) e sia, il prodotto Hermitiano canonico. Dimostrare che: AZ, W = Z, A W per ogni Z, W C n. se A è Hermitiana, rispettivamente anti-hermitiana, allora gli autovalori di A sono reali, rispettivamente immaginari puri. (8) Sia A M n n (C) una matrice unitaria. Dimostrare che per ogni Z, W C n, si ha AZ, AW = Z, W, dove, è il prodotto Hermitiano canonico. Vale anche il viceversa?...

33 se λ C è un autovalore di A, allora λ =. Dedurre che gli autovalori di una matrice ortogonale A M n n (R) sono numeri complessi di norma unitaria. (9) Sia A M n n (R) e sia, il prodotto scalare canonico. Dimostrare che: AX, Y = X, A T Y per ogni X, Y R n. Se A M n n (R) è una matrice simmetrica e W R n un sottospazio vettoriale A-invariante, i.e., per ogni w W, si ha Aw W, allora W è A-invariante. Se A è una matrice antisimmetrica, allora AX, X =. Dedurre che l unico autovalore reale di A è λ = e che una matrice antisimmetrica A è diagonalizzabile se e solamente se A è la matrice nulla. () Sia W un sottospazio di K n e sia A M n n (K) una matrice invertibile. Dimostrare che W è A-invariante se e solamente se W è W è A -invariante. 33

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