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1 SPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE Esercizi Esercizio. Nello spazio euclideo standard (R 2,, ) sia data la matrice 2 3 A = 3 2 () Determinare una base rispetto alla quale A sia la matrice di un endomorfismo autoaggiunto di R 2. (2) Esiste una matrice H R 2,2 tale che D := H AH sia diagonale? È possibile scegliere H ortogonale? Svolgimento. Poiché A è simmetrica e reale, la teoria generale ci assicura che per ogni base ortonormale B di R 2 esiste f End R (R 2 ) autoaggiunto tale che MB B (f) =A. Dalla teoria segue che essendo A simmetrica e reale, essa è simile ad una matrice diagonale D: in particolare esiste una matrice H R 2,2 tale che D = H AH. La matrice D deve avere sulla diagonale gli autovalori di A. Il polinomio caratteristico di A è p A (t) = t t 2 =(t 5)(t +). Dunque gli autovalori di A sono λ := eλ 2 := 5. Per determinare la matrice H bisogna individuare una base F di V costituita da autovettori di A: in particolare bisogna risolvere i sistemi x (λ i I 2 A) =, y i =,2, ove I 2 è la matrice identità 2 2. Nel nostro caso 3 3 x 3 3 x =, = 3 3 y 3 3 y. Risolvendo i due sistemi di cui sopra si verifica facilmente che l autospazio di è E f ( ) = L( t (, )), mentre l autospazio di 5 è E f (5) = L( T (, )). Per esempio si può scegliere H =, nel qual caso D =. 5 Typeset by AMS-TEX

2 2 SPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE Sempre dalla teoria delle matrici simmetriche e reali, segue che tra le matrici H cercate ne esiste sempre una ortogonale. Per esempio, se vogliamo che H sia anche speciale (cioè det(h) = ), possiamo scegliere ( ) / 2 / 2 Ĥ = / 2 / : 2 si noti che anche con questa scelta la matrice D = Ĥ AĤ è quella già indicata sopra. Esercizio 2. Siano (V,, ) uno spazio vettoriale con prodotto scalare, f End R (V ) autoaggiunto. () Esistono m := dim R (ker(f)) tali che f sia invertibile? (2) Se è autovalore, determinare le sue molteplicità algebrica e geometrica. Svolgimento. Ricordo che f End R (V )è invertibile se e solo se è o iniettivo o suriettivo. D altra parte f è iniettivo se e solo se ker(f) ={}. Concludiamo che f è invertibile se e solo se m =. La molteplicità geometrica m g (,f)diè la dimensione dell autospazio di, che è E f () := { v V f(v) =v}={v V f(v)=}= ker(f). Quindi m g (,f) = dim R (E f ()) = dim R (ker(f)) = m. Essendo autoaggiunto f è anche diagonalizzabile, quindi la molteplicità algebrica di ogni suo autovalore coincide con quella geometrica (in generale è minore od uguale). Concludiamo che m a (,f)=m g (,f)=m. Esercizio 3. Sia C la base canonica dello spazio euclideo standard (R 3,, ) esi consideri la matrice A = a b c /2. () Esistono a, b, c R tali che A = M C C (f) per un qualche f End R(R 3 ) autoaggiunto? (2) Esistono a, b, c R tali che A sia ortogonale? Svolgimento. Ricordo preliminarmente che se B è una base ortonormale di uno spazio (U,, ) con prodotto scalare ed h End R (U) allora h è autoaggiunto se e solo se MB B (h) è simmetrica. In particolare, nel caso in esame, l endomorfismo f esiste se e solo se A è simmetrica, cioè b = c. Ricordo che A si dice ortogonale se e solo se t AA = I 3 ove I 3 è la matrice identità 3 3. Ciò significa che a, b, c devono soddisfare il sistema a 2 + c 2 = b 2 +/4= ab + c/2 =.

3 SPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE 3 Per ogni x R \{}indichiamo con sgn(x) il segno di x. Quindi b = sgn(b) 3/2 dalla seconda equazione. Sostituendo nella terza si ottiene c = sgn(b) 3a. Dalla prima allora risulta a = sgn(a)/2, dunque c = sgn(a) sgn(b) 3/2. Perché A sia ortogonale vi sono allora le seguenti possibilità: (a, b, c) =(/2, 3/2, 3/2), (a, b, c) =(/2, 3/2, 3/2), (a, b, c) =( /2, 3/2, 3/2), (a, b, c) =( /2, 3/2, 3/2), corrispondenti ordinatamente alle matrici A := /2 3/2 3/2 /2, A 2 := /2 3/2 3/2 /2, A 3 := /2 3/2 3/2 /2, A 4 := /2 3/2 3/2 /2. Si noti che A ed A 2 sono speciali, mentre A 3 ed A 4 sono non speciali: si noti che A 3 ed A 4 sono anche simmetriche. Esercizio 4. Nello spazio euclideo standard (R 3,, ) sia dato l endomorfismo f definito da f( T (,, )) = T (, 2, 3), f( T (,, ))=(2,3,6), f( T (,, )) = T (3, 6, 8). () Verificare che f è autoaggiunto. (2) Determinare una base ortonormale B di R 3 costituita da autovettori di f. (3) Calcolare M B B (f) ed una matrice ortogonale P tale che P M C C (f)p = M B B (f), ove C è la base canonica di R3. Svolgimento. Risulta MC C (f) = Poiché C è ortonormale e MC C (f) è simmetrica segue che f è autoaggiunto. Calcoliamo gli autovalori di f. Il polinomio caratteristico di f è t 2 3 p f (t) =p M C C (f)(t)= 2 t t 8 =t3 t 2 25t 3=(t+) 2 (t 3),

4 4 SPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE sicché sp R (f)={,3 } con m a (,f)=2,m a (3,f) =. Per calcolare gli autospazi di f dobbiamo risolvere i seguenti sistemi x y = 3 2 3, 2 6 x y = z z Segue allora che E f ( ) = L( T (,, ), T (5, 4, )), E f (3) = L( T (, 2, 3)). I tre vettori T (,, ), T (5, 4, ), T (, 2, 3) sono a due a due ortogonali ma nessuno di essi è un versore, quindi dobbiamo dividere ciascuno di essi rispettivamente per T (,, ) = 3, T (5, 4, ) = 42, T (, 2, 3) = 4: perciò una base ortonormale di R 3 costituita da autovettori di f è B := ( T (,, )/ 3, T (5, 4, )/ 42, (, 2, 3)/ 4). Poiché B è una base costituita da autovettori di f abbiamo MB B (f) =. 3 Una possibile matrice P è allora P := Esercizio 5. Siano (R 2,, ) lo spazio euclideo standard, f End R (R 2 ) tale che MB B 2 (f) =A= 2 2 ove B := ( T (, ), T (, )). È vero o falso che f è autoaggiunto? Svolgimento. Per stabilire se f è autoaggiunto si può procedere in due modi. Un primo metodo è quello di utilizzare la definizione di endomorfismo autoaggiunto. Precisamente si deve vedere se f(v),w = v, f(w), v, w V. Ricordo che è sufficiente verificare tale identità per gli elementi di una base. Siano v := T (, ), v 2 := T (, ): si deve quindi verificare che f(v i ),v i = v i,f(v i ),che è sempre vera per le proprietà del prodotto scalare, e che f(v ),v 2 = v,f(v 2 ). Si noti che [f(v )] B = MB B (f)[ T (, )] B =[ T ( 2,2)] B = 2 T (, )+2 T (, ) = T (, 2), [f(v 2 )] B = MB B (f)[ T (, )] B =[ T (, 2)] B =2 T (, ) = T (2, 2),

5 quindi risulta SPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE 5 f(v ),v 2 =( 2) =2=( )(2 2)= v,f(v 2 ), cioè f è autoaggiunto. Un secondo metodo consiste nel verificare che, rispetto ad una base ortonormale di V, la matrice di f è simmetrica. Nel nostro caso la base canonica C è ortonormale per definizione. Per calcolare MC C (f) iniziamo con il determinare la matrice del cambiamento di base da C a B che è la matrice avente per colonne le coordinate dei vettori di B rispetto a C, od anche MC B(id R2). Risulta MC B (id R 2)=. Inoltre (MC B(id R 2)) MC C(f)M C B(f) =MB B (f) da cui segue che cioè f è autoaggiunto. MC C (f) =MC(id B R 2)MB B (f)(mc B (id R 2)) = 2 2 = =, Esercizio 6. Sia f End R (R 2 ) l endomorfismo avente matrice che A := 4 2, 3 Rispetto alla base canonica C di R 2. () Verificare che f è diagonalizzabile (2) Determinare gli autospazi di f. (3) Verificare che f non è autoaggiunto rispetto al prodotto scalare standard in R 2. (4) Verificare che esistono infiniti prodotti scalari, in R 2 rispetto ai quali f è autoaggiunto. Svolgimento. Calcoliamo gli autovalori di f. Il suo polinomio caratteristico è p f (t) =p A (t)= t t+ =t2 3t+2=(t )(t 2), sicché sp R (f)={,2}: questo ci permette di affermare che f è diagonalizzabile. Per calcolare gli autospazi di f dobbiamo risolvere i due sistemi ( ) x = y, ( ) x = y.

6 6 SPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE Quindi E f () = L( T (2, 3)), E f (2) = L( T (, )). Se (R 2,, ) è lo spazio euclideo standard la base canonica C è ortonormale: quindi f è autoaggiunto se e solo se MC C (f) è simmetrica. Poiché, nel caso in esame, MC C (f) non è simmetrica allora f non può essere autoaggiunto. Allo stesso risultato si sarebbe potuti pervenire osservando che f( T (, )), T (, ) T (, ),f( T (, )) (verificare). Per verificare l esistenza di infiniti prodotti scalari, in R 2 rispetto ai quali f è autoaggiunto ricordiamo che f è autoaggiunto se e solo se è diagonalizzabile ed i suoi autospazi sono ortogonali. La diagonalizzabilità di fl abbiamo già verificata. Quindi è sufficiente costruire infiniti prodotti scalari per cui E f () E f (2). Poiché E f () = L( T (2, 3)), E f (2) = L( T (, )) è sufficiente costruire infiniti prodotti scalari per cui T (2, 3), T (, ) =. A trale scopo osserviamo che = , = Allora il prodotto scalare, soddisfa la condizione richiesta se e solo se T (x,x 2 ), T (y,y 2 ) = = (x 2 x ) T (2, 3)+(3x 2x 2 ) T (, ), (y 2 y ) T (2, 3)+(3y 2y 2 ) T (, ) = =(x 2 x )(y 2 y ) T (2, 3) 2 +(3x 2x 2 )(3y 2y 2 ) T (, ) 2. Quindi per ogni scelta di λ, µ ], + [ l applicazione ( T (x,x 2 ), T (y,y 2 )) λ(x 2 x )(y 2 y )+µ(3x 2x 2 )(3y 2y 2 ). soddisfa le condizioni richieste. Esercizio 7. Siano ed w := T (,, ). () Verificare che l applicazione A = f: R 3 R v T wav è lineare. (2) Determinare la matrice associata ad f rispetto alle basi canoniche. (3) Esiste una matrice B R 3,3 tale che f(v) = T vbw per ogni x V? (4) Determinare la forma quadratica L: V R associata ad A.

7 SPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE 7 Svolgimento. La verifica che f è lineare è un immediata conseguenza della distributività del prodotto di matrici rispetto alla somma ed è lasciata al lettore. Siano e := T (,, ),e 2 := T (,, ),e 3 := T (,, ) R 3, e := R: le basi canoniche di V edirsono rispettivamente C := (e,e 2,e 3 )eb:= (e). Per calcolare MB C(f) si devono determinare i numeri f(e i). Risulta da cui f(e )=3, f(e 2 )= 4, f(e 3 )=5, M C B(f) =(3 4 5) Poiché f(v) R segue che f(v) = T f(v), quindi T wav = T v t Aw, perciò si deve scegliere B := T A: d altra parte A è simmetrica, sicché B = A. Quiz Quiz. Siano (R 3,, ) lo spazio euclideo standard, f End R (R 3 ) tale che f( T (,, )) = T ( 2, 2, 2), f( T (,2,)) = T (, 2, ), f( T (5, 3, 2)) = T ( 5, 3, 2). Quale delle seguenti affermazioni è vera? a) f non è diagonalizzabile. b) f( T (5,, 2)) = T (5,, 2). c) f è autoaggiunto. d) La matrice di f rispetto alla base canonica è antisimmetrica. Svolgimento. L affermazione a) è falsa. Infatti f( T (,, )) = 2 T (,, ), f( T (,2,)) = T (, 2, ), f( T (5, 3, 2)) = T (5, 3, 2), quindi T (,, ), T (, 2, ), T (5, 3, 2) V sono autovettori per f. Inoltre =2 quindi T (,, ), T (, 2, ), T (5, 3, 2) sono linearmente indipendenti, sicché V ha una base costituita da autovettori di f, precisamente B := ( T (,, ), T (, 2, ), T (5, 3, 2)) :

8 8 SPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE perciò f è diagonalizzabile per definizione. L affermazione b) è falsa. Infatti l affermazione implicherebbe che T (5,, 2) è autovalore di f associato all autovalore. Ma, come abbiamo avuto modo di verificare sopra, f ha già i due autovalori 2 con molteplicità geometrica m g ( 2,f)= m a ( 2,f)=e con molteplicità geometrica m g (,f)=m a (,f)=2: quindi f non può avere altri autovalori. Allo stesso risultato si può pervenire procedendo per linearità. Rispetto alla base B si ha T (5,, 2) = T (,, ) + T (, 2, ) + T (5, 3, 2) da cui segue per linearità che f( T (5,, 2)) = f( T (,, ) + T (, 2, ) + T (5, 3, 2)) = = f( T (,, )) + f( T (, 2, )) + f( T (5, 3, 2)) = = T ( 2, 2, 2) + T (, 2, ) + T ( 5, 3, 2) = = T ( 6,, ) T (5,, 2). L affermazione c) è vera. Infatti abbiamo verificato sopra che f è diagonalizzabile e, dalle ipotesi, si ha che l autospazio di 2 èe f ( 2) = L( T (,, )), mentre l autospazio di èe f ( ) = L( T (, 2, ), T (5, 3, 2)). Per verificare che f è autoaggiunto basta verificare che E f ( 2) E f ( ). A tale scopo basta dimostrare che ogni vettore di una base di E f ( 2) è perpendicolare ad ogni vettore di una base di E f ( ): risulta T (,, ), T (, 2, ) = T (,, ), T (5, 3, 2) =. L affermazione d) è falsa. Infatti ricordo preliminarmente che A R n,n si dice antisimmetrica se e solo se A = T A. Abbiamo dimostrato sopra che f è autoaggiunto, quindi la sua matrice rispetto alla base canonica C, che è ortogonale per definizione di spazio euclideo, deve essere simmetrica: l unica matrice simultaneamente simmetrica ed antisimmetrica è la matrice nulla. Quindi dovrebbe essere MC C (f) =,sicchéf=ilcheè contro le ipotesi fatte su f (motivare l ultima frase). Quiz 2. Siano (V,, ) uno spazio vettoriale con prodotto scalare ed f End R (V ) autoaggiunto. Quale delle seguenti affermazioni è vera? a) f(v),f(w) = v, f 2 (w) per ogni v, w V (ricordo che f 2 := f f). b) f è invertibile. c) f(v),f(w) = v, w per ogni v, w V. d) Se f(v) =f(w) allora v = w. Svolgimento. L affermazione a) è vera. Infatti f è autoaggiunto se e solo se f(v),u = v, f(u) per ogni v, u V : in particolare ciò vale scegliendo u := f(w). L affermazione b) è falsa. Infatti, fissata una qualsiasi base ortonormale B in V, si ha da un lato che f è autoaggiunto se e solo se MB B (f) è simmetrica dall altro

9 SPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE 9 che f è invertibile se e solo se tale è MB B (f). Concludiamo che b) è equivalente ad affermare che ogni matrice simmetrica è invertibile, il che è ovviamente falso (perché?). L affermazione c) è falsa. Infatti, in caso contrario, risulterebbe f(v),f(v) = v, v per ogni v V : dunque se f(v) = si dovrebbe avere v =, ovvero f sarebbe necessariamente iniettiva, quindi invertibile essendo un endomorfismo. L affermazione d) è falsa. Infatti in caso contrario f sarebbe iniettiva, dunque invertibile. Quiz 3. Sia (V,, ) uno spazio vettoriale con prodotto scalare e sia la norma corrispondente. Dato f End R (V ) autoaggiunto siano v,v 2 V autovettori di f associati agli autovalori λ e λ 2. Quale delle seguenti affermazioni è vera? a) Se λ λ 2 allora v + v 2 2 v 2 + v 2 2. b) Se v + v 2 2 > v 2 + v 2 2 allora λ λ 2. c) v + v 2 2 > v 2 + v 2 2 se e solo se λ λ 2. d) Nessuna delle affermazioni precedenti è vera. Svolgimento. Ricordo preliminarmente che se v V si pone v 2 = v, v. Inoltre, essendo f autoaggiunto, autovettori associati ad autovalori distinti sono ortogonali. L affermazione a) è falsa. Infatti se λ λ 2 allora v,v 2 = da cui segue che v + v 2 2 = v + v 2,v +v 2 = v,v +2 v,v 2 + v 2,v 2 = v 2 + v 2 2 (Teorema di Pitagora). L affermazione b) è falsa. Infatti come sopra si ha v + v 2 2 = v 2 + v v,v 2, dunque v + v 2 2 > v 2 + v 2 2 se e solo se v,v 2 >: in particolare v e v 2 non sono ortogonali e, quindi, non possono essere associati ad autovalori distinti per quanto ricordato sopra. L affermazione c) è falsa perché implica b). Per esclusione segue che l affermazione d) è vera. Quiz 4. Siano (R 2,, ) lo spazio euclideo, f End R (V ) autoaggiunto tale che f( T (, )) = T (, ). Quale delle seguenti affermazioni è vera? a) f( T (, 5)) = T (, ). b) f( T (, 5)) = T ( 2, ). c) f( T (, 5)) = T ( 4, ). d) f( T (, 5)) = T ( 5, ). Svolgimento. Studiamo f. Innanzi tutto essendo f autoaggiunto segue che è diagonalizzabile e che V ammette una base ortogonale costituita da autovettori di f: in particolare, poiché T (, ) è autovettore di f con autovalore, segue che T (, ) deve essere anch esso autovettore di f.

10 SPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE Sia α l autovalore di T (, ). Poiché T (, 5) = 2 T (, )+3 T (, ) segue per linearità f( T (, 5)) = f( 2 T (, )+3 T (, )) = 2f( T (, ))+3f( T (, )) = = 2 T (, )+3α T (, ) = T ( 2+3α, 2 3α). In ogni caso si richiede che la seconda entrata sia : risolvendo l equazione 2 3α = si ottiene allora α =, da cui f( T (, 5)) = T ( 5, ). Concludiamo che l affermazione vera è d) mentre a), b), c) sono false.

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