DIAGONALIZZAZIONE E FORME QUADRATICHE / ESERCIZI PROPOSTI

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1 M.GUIDA, S.ROLANDO, 204 DIAGONALIZZAZIONE E FORME QUADRATICHE / ESERCIZI PROPOSTI L asterisco contrassegna gli esercizi più difficili o che possono considerarsi meno basilari. Autovalori, autospazi e diagonalizzazione ESERCIZIO. Sia A = (i) Stabilire se i vettori (,, ) e (, 0, ) sono autovettori di A, specificandone il relativo autovalore. (ii) Verificare che 0 è autovalore di A. (iii) Calcolare tutti gli autovalori di A, specificandone la relativa molteplicità algebrica. (iv) Calcolare gli autospazi di A, specificandone la relativa dimensione. (v) Dire se A è diagonalizzabile e, in caso affermativo, diagonalizzarla. ESERCIZIO 2. Ripetere i punti (iii), (iv) e (v) dell Esercizio per le matrici A = 2 2, A 2 = , A = ESERCIZIO. Al variare di k R, studiare la diagonalizzabilità della matrice A = 0 k ESERCIZIO 4. Se esistono, determinare i valori di k R tali che v =(, 2,k) sia autovettore per la matrice A = 02 22, 20 specificandone il relativo autovalore. ESERCIZIO 5. Sia A =. (i) Stabilire se i vettori (0,, ) e (, 0, ) sono autovettori di A, specificandone il relativo autovalore. (ii) Senza calcolare il polinomio caratterisitico di A, determinare la molteplicità algebrica dell autovalore trovato al punto (i) e trovare tutti gli autovalori di A. (iii) Dire se A è diagonalizzabile.

2 2 M.GUIDA, S.ROLANDO, 204 ESERCIZIO 6. Data la matrice A = 00 0 h, 0 determinare i valori di h R tali che sia autovalore di A. Postopoih =5, determinare: (i) il polinomio caratteristico p (t) di A, verificando poi che ne è una radice; (ii) tutti gli autovalori di A ed una base per ciascun autospazio; (iii) se esistono, una matrice invertibile P R, ed una matrice diagonale D R, tali che P AP = D; (iv) se esiste, una matrice P R, non nulla tale che AP = P ESERCIZIO 7. Sia f : R R l applicazione lineare definita da f (a, b, c) =(a + b, 2b, a + b +2c). (i) Determinare la matrice A R, di f rispetto alla base canonica di R. (ii) Verificare che A è invertibile. (iii) Calcolare autovalori e autospazi di f. (iv) Determinare, se esiste, una base di R composta da autovettori di f. (v) Determinare, se esistono, una matrice invertibile P R, ed una matrice diagonale D R, tali che P AP = D. ESERCIZIO 8. Sia V 2 il piano dei vettori ordinari riferito ad una base ortonormale positiva B =(i, j) esiaf : V 2 V 2 l endomorfismo che associa ad ogni vettore x V 2 il vettore f (x) V 2 ottenuto ruotando x in senso antiorario di un angolo pari a π 4 radianti. Scrivere la matrice M di f rispetto alla base B e determinare autovalori e autospazi di f. ESERCIZIO* 9. Diagonalizzare in R oinc, se possibile, la matrice A =. ESERCIZIO* 0. Sia A una matrice quadrata di ordine n esiaλ un suo autovalore. (i) Provare che λ 2 è autovalore di A 2. (ii) Provare che l autospazio V A,λ è incluso nell autospazio V A 2,λ 2. Diagonalizzazione di matrici simmetriche e forme quadratiche ESERCIZIO. Siadatalamatrice A = (i) Determinare, se possibile, una matrice invertibile P R, ed una matrice diagonale D R, tali che P AP = D. (ii) Determinare, se possibile, una matrice ortogonale N R, ed una matrice diagonale D R, tali che N T AN = D.

3 M.GUIDA, S.ROLANDO, 204 ESERCIZIO 2. Sia q : R R la forma quadratica definita da q (x, y, z) =2x 2 + y 2 4xy 4yz. (i) Studiare il segno di q. (ii) Scrivere una forma canonica di q. (iii)* Determinare un riferimento ortonormale positivo rispetto a cui q assume la forma canonica trovata al punto precedente e scrivere le equazioni del corrispondente cambiamento di coordinate. Risultati esercizio. (i) =4, quindi è autovettore, associato all autovalore =2, quindi 0 non è autovettore. 2 (ii) det (A 0I )=deta =0(due righe uguali), quindi 0 è autovalore. (iii) Gli autovalori di A sono λ =0con m 0 =e λ =4con m 4 =2. (iv) V 0 = L ((,, 0)) con dim V 0 =; V 4 = L ((,, 0), (0, 0, )) con dim V 4 =2. (v) A è diagonalizzabile e risulta P AP = D con P = 0 0, D = Risultati esercizio 2. Matrice A. (iii) Gli autovalori sono λ =0, λ =5e λ =, tuttisemplici. (iv) V 0 = L ((,, )), V 5 = L ((,, 2)) ed V = L ((, 2, )), tutti di dimensione. (v) A è diagonalizzabile e risulta P AP = D con P = 2 2, D = Matrice A 2. (iii) Gli autovalori sono λ =2con m 2 =e λ =4con m 4 =2. (iv) V 2 = L ((, 0, )) e V 4 = L ((, 0, )),entrambididimensione. (v) A 2 non è diagonalizzabile. Matrice A. (iii) Gli autovalori sono λ =2con m 2 =2e λ =4con m 4 =. (iv) V 2 = L ((,, 0), (, 0, )) con dim V 2 =2e V 4 = L ((, 0, )) con dim V 4 =. (v) A è diagonalizzabile e risulta P AP = D con P = 0 0, D =

4 4 M.GUIDA, S.ROLANDO, 204 Risultati esercizio. A è diagonalizzabile se e solo se k =. Risultati esercizio 4. v èautovettoredia se e solo se k =oppure k = 5. Nelprimocaso v è associato all autovalore λ = 5, nel secondo all autovalore λ =. Risultati esercizio 5. (i) 0 = 0 0 =0 0, quindi 0 è autovettore, di autovalore = 2 2, quindi 0 non è autovettore. 2 (ii) Da un lato si ha m 0 dim V 0 = ρ (A) =2; dall altro, non può essere m 0 =perché tr A =e quindi A non può avere solo l autovalore nullo; dunque m 0 =2. Detti λ, λ 2, λ gli autovalori di A in C, sihaλ = λ 2 =0(perché m 0 =2)eλ +λ 2 +λ = tr A, cioè0+0+λ =,dacuiλ =. (iii) A è diagonalizzabile, ad esempio perché è simmetrica reale. Risultati esercizio 6. (i) h =5. (ii) p (t) =det(a ti )= t t 2 +5t erisultap ( ) = 0. (iii) Usando la radice e la regola di Ruffini, si ottiene p (t) = (t +)(t ) 2,dacuigli autovalori t = e t 2 = t =.RisultapoiV = L ((, 2, )) e V = L ((, 2, )). (iv) Non esistono, perché A non è diagonalizzabile. (v) Ricordiamo il seguente fatto teorico: se A R n,n è una matrice quadrata che ha almeno un autovalore e v,...,v n R n sono n vettori tali che Av j = λ j v j per ogni j =,...,n, allora la matrice P R n,n che ha v,...,v n sulle colonne è tale che λ 0 AP = P λ n Osservazione. Se A non è diagonalizzabile, allora P non risulterà invertibile (altrimenti, moltiplicando per P a sinistra, si otterrebbe che P AP è diagonale). Nota che v,...,v n egliautovaloriλ,...,λ n possono anche essere tutti uguali tra loro. Dimostrazione. Basta verificare l uguaglianza AP = PD (dove D è la matrice di autovalori): da un lato, le colonne di AP sono Av,..., Av n,perchév,...,v n sono le colonne di P ; dall altro, le colonne di PD risultano essere λ v,..., λ n v n e quindi l uguaglianza vale perché Av j = λ j v j. Nel caso dell esercizio, si vuole una P non nulla tale che AP = P (dove ed sono autovalori di A), quindi basta prendere v V e v 2, v V non tutti nulli e disporli ordinatamente sulle colonne di P. Ad esempio, possiamo fare una qualsiasi delle seguenti scelte: P = 2 2 2,P= ,P= ,P= , ecc

5 M.GUIDA, S.ROLANDO, Risultati esercizio 7. (i) A = (ii) det A =4 = 0. (iii) Gli autovalori di f (ossia di A) sonoλ =con autospazio V = L ((, 0, )) e λ 2 = λ =2 con autospazio V 2 = L ((,, 0), (0, 0, )). (iv) Una base di R composta da autovettori di f è A = ((, 0, ), (,, 0), (0, 0, )). (v) Risulta P AP = D con P = 0 00, D = Risultati esercizio 8. Si ha f (i) = 2 (, ) e f (j) = 2 (, ), per cui M = Il polinomio carattertistico di M è P (λ) = λ 2/2 2 +/2, per cui f non ha autovalori, né, di conseguenza, autospazi. D altra parte, è geometricamente evidente che non esiste alcun x = 0 tale che f (x) sia multiplo di x. Risultati esercizio 9. Il polinomio carattertistico di A è P (λ) =(λ ) 2 +, quindi A non è diagonalizzabile in R. GliautovaloridiA in C sono distinti, quindi A è diagonalizzabile in C. Risulta P AP = i 0 0 +i con P = i. i Risultati esercizio 0. Sia X = 0tale che AX = λx (tale X esiste perché λ èautovaloredi A, per ipotesi). Allora si ha A 2 X = A (AX) =A (λx) =λ (AX) =λ (λx) =λ 2 X. Ciò prova che λ 2 è autovalore di A 2 echex V A,λ X V A 2,λ 2,cioècheV A,λ V A 2,λ 2. Risultati esercizio. 2 (i) P = 0, D = (ii) N = 6, D = Risultati esercizio 2. (i) La matrice di q ha gli autovalori, 2, 4, quindi q è indefinita. (ii) Una forma canonica di q è q (x, y, z) =x 2 2y 2 +4z 2. (iii) La forma canonica trovata al punto (ii) è assunta ad esempio rispetto al riferimento con base degli assi (i, j, k ) data da i = (2,, 2), j = (, 2, 2), k = (2, 2, ). Le equazioni del corrispondente cambiamento di coordinate (rotazione) sono x y z = x y z.