Diagonalizzazione di matrici: autovalori, autovettori e costruzione della matrice diagonalizzante 1 / 13

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1 Diagonalizzazione di matrici: autovalori, autovettori e costruzione della matrice diagonalizzante 1 / 13

2 Matrici diagonali 2 / 13 Ricordiamo che una matrice quadrata si dice matrice diagonale se a ij = 0 i j. Scriveremo λ A= 0 λ , λ i R, i=1,...,n. (1) 0 0 λ n

3 Matrici diagonalizzabili 3 / 13 Definizione: Sia A M n (R) una matrice quadrata di ordine n. Diciamo che A è diagonalizzabile se esiste una matrice invertibile P M n (R) tale che: λ P 1 A P= 0 λ (2) 0 0 λ n

4 Preliminari 4 / 13 Sia A=[a ij ] M n (R). Vogliamo fare un lavoro preparatorio all eventuale costruzione di una matrice invertibile P che realizzi la (2). Si può dimostrare che le colonne di P devono soddisfare un equazione del tipo: A X = λ X, conλ R. (3) La (3) può essere riscritta, usando la matrice identità I di ordine n, come [A λ I] X = 0. (4) La teoria dei sistemi lineari (Teorema di Rouché-Capelli) ci ha insegnato che (4) ammette soluzioni non nulle se e solo se A λ I =0. (5)

5 Polinomio caratteristico e autovalori 5 / 13 Posto P(λ)= A λ I, si può osservare che P(λ) è un polinomio di grado n nella variabile λ R; P(λ) è detto polinomio caratteristico di A. Le soluzioni in R dell equazione (5), cioè P(λ) = 0, sono dette autovalori di A.

6 Autospazi e autovettori 6 / 13 Ricordiamo che ogni autovalore λ, essendo una radice di P(λ), cioè di un polinomio di grado n, ha una sua molteplicità algebrica, denotata m a (λ). Se λ è un autovalore di A, si può definire V λ ={X R n :[A λ I] X = 0}. (6)

7 Autospazi e autovettori 7 / 13 Ora definiamo un numero naturale m g (λ), chiamato molteplicità geometrica dell autovalore λ: m g (λ)=n ρ(a λ I). (7) In sostanza, m g (λ) coincide col numero di incognite libere del sistema omogeneo (4), come prescritto dal teorema di Rouché-Capelli. L insieme di soluzioni V λ è detto autospazio associato all autovalore λ; i suoi elementi non nulli sono invece chiamati autovettori associati all autovalore λ. FATTO CHE NON APPROFONDIREMO: V λ è un sottospazio vettoriale di R n e m g (λ)=dimv λ (dim= dimensione). (8)

8 8 / 13 Criterio di diagonalizzabilità Il seguente criterio consente di stabilire sotto quali condizioni una matrice è diagonalizzabile: Criterio di diagonalizzabilità: Sia A=[a ij ] M n (R). Allora A è diagonalizzabile se e solo se sono soddisfatte le due proprietà seguenti: (i) Tutte le radici di P(λ) sono reali; (ii) per ognuna di esse (autovalore), si ha m a (λ)=m g (λ).

9 Proprietà generale 9 / 13 Proprietà: Se A M n (R) e λ è un autovalore di A, allora 1 m g (λ) m a (λ). (9) In particolare, la (9) assicura che, se un autovalore ha molteplicità algebrica 1, allora automaticamente anche la sua molteplicità geometrica vale 1.

10 Fatti generali 10 / 13 Proprietà: Se A è diagonalizzabile, i numeri reali λ 1,...,λ n che compaiono nella matrice a destra in (2) sono precisamente gli autovalori di A, ognuno contato un numero di volte pari alla propria molteplicità. Osservazione: Se P(λ) ammette n radici reali distinte fra loro, allora A è diagonalizzabile. Infatti, in questo caso è ovvio che ogni autovalore abbia molteplicità algebrica 1, e quindi anche la sua molteplicità geometrica deve valere 1, grazie a (9).

11 Costruzione della matrice diagonalizzante P : premessa 11 / 13 Supponiamo che A M n (R) sia una matrice diagonalizzabile. Ricordiamo che ciò significa che esiste una matrice invertibile P M n (R) tale che: λ P 1 A P= 0 λ (10) 0 0 λ n I coefficienti λ i sulla diagonale principale, nella matrice a destra dell uguale in (10), sono gli autovalori di A, ognuno ripetuto un numero di volte pari alla sua molteplicità (algebrica, o geometrica, visto che le due coincidono quando A è diagonalizzabile).

12 Costruzione di P 12 / 13 Ora esaminiamo la costruzione della matrice diagonalizzante P in (10). Le colonne di P sono costituite da autovettori di A. Più precisamente, ad ogni autovalore λ i dobbiamo far corrispondere un numero di colonne di P pari a m g (λ i ):

13 Costruzione di P Si noti che non è importante l ordine degli autovalori, ma c è corrispondenza tra l ordine delle colonne di P e la successione degli autovalori che compaiono nella matrice diagonale a destra in (10). Ad esempio, supponiamo di scegliere come λ 1 un autovalore con m g (λ 1 )=1. Allora la prima colonna di P sarà formata da un vettore (ovviamente non nullo!) in V λ1, e nella matrice diagonale a destra in (10) si avrà: a 11 = λ 1. Poi, sempre come esempio, supponiamo di avere come λ 2 un autovalore con m g (λ 2 )=2. Allora la seconda e la terza colonna di P saranno formate da due autovettori, non nulli e non paralleli, in V λ2, e nella matrice diagonale a destra in (10) si avrà: a 22 = a 33 = λ 2. Considerando tutti gli autovalori in questo modo si completa la costruzione di P. 13 / 13