Esercizio 1 Dato il sistema:

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1 Leione - Esercitaioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9- Eserciio Dato il sistema: R ) ( a) studiare il rango della matrice incompleta del sistema; b) studiare il rango della matrice completa del sistema; c) discutere la compatibilità del sistema; d) per determinare le soluioni del sistema S, una base e dimensione della copertura lineare di S: L(S). a) La matrice del coefficienti delle incognite è A e il suo determinante è (). Per e, il rango è. Per e il rango è. - ρ(a), - ρ(a)

2 Risoluione punto b) La matrice completa del sistema è: AB Per e -, il rango è. Per ha rango. Per - - ha rango. ρ(a B), ρ(a B) Risoluione punto c) Discussione del sistema: per il teorema di Rouchè-Capelli per - e il sistema dato ha ; per il sistema dato ha ; per - il sistema dato è... Risoluione punto d) Per Leione - Esercitaioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-

3 Leione - Esercitaioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9- α α α α - ) ( ponendo S{(,.,.) α R}. Questo è un sottoinsieme proprio di R ma non è sottospaio vettoriale. La sua copertura lineare è: L(S){(..,.,.) α,β R}. Una base è costituita dai vettori ((/, -,),(/,,)) e dim L(S). Eserciio Dato il sistema: R ) ( 6 ) discuterne la compatibilità; ) risolverlo quando possibile. Svolgimento:

4 6 4 7 Il rango della matrice incompleta è se.; Leione - Esercitaioni di Algebra e Geometria - Anno accademico se.. Il rango della matrice completa è per ogni. Il sistema è compatibile se e solo se.. Il sistema ammette in tal caso - soluioni. Ponendo α il sistema diventa: 6 ( ) α 4 8α 7 R dove le incognite principali sono e. Risolvendolo con il metodo di Cramer: A 64 A A 8α α α 8α 7 4α 8α 78α 7 48α 4 48α 4

5 Determiniamo le soluioni: per ogni valore di. S 8α 7 7 α 4,, αα R Esercii da risolvere ) Dato il sistema:, R discutere la compatibilità e risolverlo, al variare del parametro, quando possibile. ) I prova intermedia 8: eserciio, (solo punto b), e 4. I prova intermedia 7: eserciio (punti a, b, c, d), e. I prova intermedia 5: esercii, e. Leione - Esercitaioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-5

6 DIAGONALIZZAZIONE DI UNA MATRICE ) Autovalori e autovettori Data una matrice a A M a, n, L L a a, n M n, n M n (R) diremo che λ R è un autovalore di A se esistono X R n,, X tali che AX λx. X rappresenta la matrice delle componenti degli autovettori. L insieme degli autovettori con costituisce un sottospaio vettoriale (autospaio): V λ. Affinché esistano delle soluioni X tali che AXλX, il sistema (A-λI n )X n (sistema lineare omogeneo) deve ammettere soluioni non banali. Ciò accade se e solo se det (A-λI n ) Leione - Esercitaioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-6

7 Data la matrice Eserciio A M ( R a) determinare gli autovalori di A con le rispettive molteplicità algebriche; b) determinare gli autospai relativi agli autovalori determinati al punto a). ) a) AX λx ha soluioni non banali se e solo se det(a- λi ) λ det(a λi ) det λ (- - λ)( - λ)(-- λ) λ allora gli autovalori sono: λ con molteplicità algebrica ; λ con molteplicità algebrica ; λ con molteplicità algebrica. b) determinare gli autospai relativi significa trovare i vettori rappresentati da X in generale non nulli tali che Leione - Esercitaioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-7

8 Leione - Esercitaioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-8 AXλX b ) AX X (A I )X 4 V - {(,,α) α R} e dim V - b ) AX X (A- I )X 4 V {(α,α,-α/) α R} e dim V b ) AX X (AI )X V - {(α,,α) α R} e dim V -

9 Data la matrice Eserciio A M ( R a) determinare gli autovalori di A con le rispettive molteplicità algebriche; b) determinare gli autospai relativi agli autovalori determinati al punto a). a) AX λx ha soluioni non banali se e solo se det(a- λi ) λ det(a λi ) det λ (-- λ)( - λ)(-- λ) λ allora gli autovalori sono: λ con molteplicità algebrica ; λ con molteplicità algebrica. b) determinare gli autospai relativi significa trovare i vettori rappresentati da X non banali tali che b ) AX X (A-I )X ) Leione - Esercitaioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-9

10 Leione - Esercitaioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9- V {(,α,) α R} e dim V b ) AX -X (AI )X V - {(α,-α,) α R} e dim V - Eserciio Per quali valori del parametro reale h la matrice assegnata ammette un autovalore uguale a? h h con h h tali soluioni esistono se e solo se il determinante della matrice assegnata risulta nullo:.. h..

11 Leione - Esercitaioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9- Eserciio 4 In V(R) rispetto alla base B(e, e ), per quali valori del parametro reale a la matrice assegnata ammette come autovettore v e e? a Svolgimento Devono esistere a, λ R tali che: λ a Cioè λ λ λ a a a Attenione: se la richiesta fosse stata per quali valori del parametro reale a w e è autovettore, la risposta sarebbe stata mai. Infatti le componenti del vettore w sono (,): λ a

12 ) Diagonaliaione λ impossibile Teorema Una matrice A M n (R) a coefficienti reali è diagonaliabile se e solo se: a) det(a- λi n ) ammette n soluioni reali λ i (contate con la molteplicità algebrica) e b) la molteplicità algebrica di ciascun λ i uguaglia la dimensione dell autospaio associato. Riprendiamo gli esercii svolti: Eserciio La matrice è diagonaliabile: esiste una matrice simile A' M ( R) molt.alg(-) dim V - ; molt.alg() dim V ; molt.alg(-) dim V -. Leione - Esercitaioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-

13 Leione - Esercitaioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9- Eserciio La matrice A non è diagonaliabile. molt.alg() dim V ; molt.alg(-) mentre dim V -. Esercii da svolgere ) Come eserciio con ) M ( R A ) Determinare gli autovalori di ) ( M 4 R A ) Per quali valori del parametri reale la matrice assegnata ammette per autovalore λ? - A 4) I prova intermedia 8: eserciio 5 punti a) e b).