definizione e notazione (direzione,verso modulo), v V, lo spazio ( insieme)

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1 1 Spazi vettoriali 1.1 Richiami ai vettori freccia definizione e notazione (direzione,verso modulo), v V, lo spazio ( insieme) dei vettori esiste la operazione binaria sul sostegno V che chiameremo somma(regola del parallelogrammo) che dovremmo indicare con un simbolo diverso dall usualesimbolo+ (manonlofaremo)echegodedelleseguentiproprietà(v1è spesso sottintesa) v1) v+ u= w V (chiusura) v2) ( v+ u)+ w= v+( u+ w) (associativa) v3) v+ 0= 0+ v= v v V (esistenzadell elementoneutro) v4) v+( v)=( v)+ v = 0 (esistenzadell anti_elemento ( v), opposto ) Le v2,v3,v4 ci dicono che (V,+) è un gruppo, anzi è un gruppo Abeliano dato che vale anche v5) v+ u= u+ v (commutativa) Ma con i vettori freccia possiamo fare anche una seconda operazione cioè moltiplicarli per uno scalare cioè un numero reale a R. Abbiamo chiamato questa seconda operazione moltiplicazione(per uno scalare), non useremo un simbolo ma la semplice giustapposizione v6) a v= va= w V (chiusura) Notare che questa operazione non è una usuale operazione n aria già definita per le strutture algebriche ma una ragionevole estensione: è una operazione binaria su due sostegni diversi, ergo una corrispondenza S V =V S V oves (ilsostegnodegliscalari)perivettorifrecciaèilcamponumericor dei reali. Remark 1 inalcunitestis V V vienedetta operazioneesternasinistra (analogamente V S V è detta operazione esterna destra ). Ma data la v6noinondistinguiamo,benchèsiausocomuneporreloscalareasinistradel vettore E immediato vedere dalla usuale definizione di questa operazione per i vettori freccia che valgono le seguenti proprietà: v7) 1 v = v1 = v (ove 1 è l elemento neutro moltiplicativo di S ) v8) a(b v) =(ab) v ( associativa...) 1

2 v9) (a + b) v = a v + b v (distributiva scalare ) v10) a( v + u) = a v + a u (distributiva vettoriale ) Vediamo che abbiamo qualcosa di simile ad un anello... ma ricordiamo che la seconda operazione(moltiplicazione per uno scalare) NON è una operazione binariasuv! Quindi siamo di fronte ad una nuova struttura.. Definition 2 Chiameremo Spazio Vettoriale V sul campo S un insieme qualsiasidielementi(vettori) v V edielementi(scalari)diun campos condue operazioni che godano delle 10 proprietà v1,...v10. Remark 3 PersemplicitàabbiamosceltoS comecampomasipuòfacilmente definire uno spazio vettoriale anche su un corpo. Esempi di spazi vettoriali e1) ovviamente i vettori freccia sul campo dei reali e2) n-ple e matrici(ci ritorneremo) e3) funzioni continue in un intervallo e4) successioni {x n C}, n = 1,2,.., con x n 2 <.Tale spazio vienedettospaziol 2. e5) funzioni f(x) quadrato sommabili nell intervallo [a, b], cioè tali che b a dx f(x 2 < :spaziol 2 [a,b] e6)polinomi... n=1 1.2 Base, indipendenza e dipendenza E noto che prendendo un riferimento cartesiano ortogonale nello spazio, allora i vetttori freccia acquistano le componenti sugli assi 1, 2, 3 individuati dai versori (vettori di modulo1)ê 1,ê 2,ê 3 cosicchè il generico vettore frecciapuòessere scritto v =v 1 ê 1 +v 2 ê 2 +v 3 ê 3 (1) Nasce così la corrispondenza biunivoca tra i vettori freccia e le terne ordinate dinumerireali(v 1,v 2,v 3 ): datounriferimentoadognivettorecorrisponedeuna terna e viceversa. Non solo ma è facile vedere che esiste una corrispondenza biunivoca tra le operazioni. Allasommatravettoricorrispondelasommatraleternedefinitainmodo naturale da (v 1,v 2,v 3 )+(u 1,u 2,u 3 )=(u 1 +v 1,u 2 +v 2,u 3 +v 3 ) (2) 2

3 Alla moltiplicazione per lo scalare corrisponde per le terne a(v 1,v 2,v 3 )=(v 1,v 2,v 3 )a=(av 1,av 2,av 3 ) (3) E facile vedere che le proprietà v1...v10 sono soddisfatte e quindi le terne ordinate sono uno spazio vettoriale isomorfo a quello dei vettori freccia. E immediato estendere alle n-ple ordinate di numeri appartenenti ad un campo S. Quindi: Le n-ple ordinate (x 1,x 2,...,x n ),x k S,k = 1,2,..n con le operazioni di somma e moltiplicazione (v 1,v 2,..,v n )+(u 1,u 2,..,u n )=(u 1 +v 1,u 2 +v 2,..,u n +v n ) (4) a(v 1,v 2,..,v n )=(v 1,v 2,..,v n )a=(av 1,av 2,..,av n ) (5) costituiscono un modello(rappresentazione) di un generico spazio vettoriale sul campo S. Tale spazio vettoriale dicesi avere dimensione n. L identificazionetraglispazivettorialifinito_dimensionali(nèarbitrarioma finito)elen-pleordinatedirealiocomplessièsìfortechemoltitestiscrivono v (v 1,v 2,..,v n ) (6) e per gli spazi vettoriali finito_dimensionali quasi tutti i teoremi sono dimostrati nel modello n-pla esempi: 0 v = 0 (7) c 0 = 0 (8) Comunque sarebbe bene mantenere in mente che evvi una differenza... Ovviamentelabasenaturale indimensionenèdatadaiversoriê 1,ê 2,..,ê n ê k (0,0,..,1,..,0) (9) ove 1 è nella k-sima posizione. Quindi v =v 1 ê 1 +v 2 ê v n ê n (10) Definition4 In uno spazio vettoriale a dimensione n, gli m vettori v (m) si dicono indipendenti se c 1 v (1) +c 2 v (2) +..+c m v (m) = 0= c 1,c 2,..,c m =0 (11) cioè se l unica combinazione lineare uguale al vettore nullo è la m-pla di coefficientic k nullanelcampos.altrimenti,cioèseesisteunacombinazionelineare con coefficienti c k non tutti nulli che dà il vettore nullo, allora diremo che gli mvettori v (m) sonodipendenti. 3

4 Ovviamente se qualcuno dei coefficienti è ancora nullo esisterà un subset di vettori v (m ),m < m di vettori dipendenti, quindi possiamo modificare la definizione di dipendenza ammettendo che tutti i c k,k = 1..m devono essere non nulli. Corollary 5 Se abbiamo m + 1 vettori dipendenti allora ognuno dei vettori può essere espresso come combinazione lineare degli altri m. Teorema 1 In uno spazio vettoriale di dimensione n esistono almeno n vettori indipendenti Proof: labasenaturale! laprovaavoi. Adottiamo da ora la convenzione di somma sugli indici ripetuti (era tempo!) Teorema 2 Inunospaziovettorialedidimensionen nonesistono n+1vettoriindipendenti Proof: se vi fossero dovrebbe essere c 1 v (1) +c 2 v (2) +..+c n v (n) +c n+1 v (n+1) = 0 soloconc 1,c 2,..,c n+1 =0 (12) ( ) Mapassandoallen-ple( v (k) v (k) 1,v(k) 2,..,v(k) n ) avremmo il sistema lineare c k v (k) j =0, j=1..n,k=1..n+1 (13) cioènequazioninelle n+1incognitec k. Talesistemaammetteinfinitesoluzioni. Ergo: il massimo numero di vettori indipendenti in uno spazio vettoriale n-dimensionale è appunto n. Ciò permette una definizione alternativa di dimensione... Definition6 Unospaziovettorialeha dimensione nseesistono n(manon più di n) vettori indipendenti Definition7 Semvettori v (m) sonoindipendentiinunospaziovettorialev (n) a dimensione n, allora l insieme di tutte le loro combinazioni lineari forma un sotto-spaziovettorialeṽ(m) V (n) adimensionem(ṽ(m) dicesianchevarietà lineare) 4

5 Per visualizzare: consideriamo i vettori freccia nello spazio normale : se prendiamo vettori nel piano(x,y), sommandoli o moltiplicandoli per uno scalare non usciamo dalpiano... seconsideriamolen-pleincuituttiglielementidaminpoisononulli... 2 Prodotto scalare Definizione(per i vettori freccia e per le n-ple) Ortogonalità Modulo 5

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