definizione e notazione (direzione,verso modulo), v V, lo spazio ( insieme)

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "definizione e notazione (direzione,verso modulo), v V, lo spazio ( insieme)"

Transcript

1 1 Spazi vettoriali 1.1 Richiami ai vettori freccia definizione e notazione (direzione,verso modulo), v V, lo spazio ( insieme) dei vettori esiste la operazione binaria sul sostegno V che chiameremo somma(regola del parallelogrammo) che dovremmo indicare con un simbolo diverso dall usualesimbolo+ (manonlofaremo)echegodedelleseguentiproprietà(v1è spesso sottintesa) v1) v+ u= w V (chiusura) v2) ( v+ u)+ w= v+( u+ w) (associativa) v3) v+ 0= 0+ v= v v V (esistenzadell elementoneutro) v4) v+( v)=( v)+ v = 0 (esistenzadell anti_elemento ( v), opposto ) Le v2,v3,v4 ci dicono che (V,+) è un gruppo, anzi è un gruppo Abeliano dato che vale anche v5) v+ u= u+ v (commutativa) Ma con i vettori freccia possiamo fare anche una seconda operazione cioè moltiplicarli per uno scalare cioè un numero reale a R. Abbiamo chiamato questa seconda operazione moltiplicazione(per uno scalare), non useremo un simbolo ma la semplice giustapposizione v6) a v= va= w V (chiusura) Notare che questa operazione non è una usuale operazione n aria già definita per le strutture algebriche ma una ragionevole estensione: è una operazione binaria su due sostegni diversi, ergo una corrispondenza S V =V S V oves (ilsostegnodegliscalari)perivettorifrecciaèilcamponumericor dei reali. Remark 1 inalcunitestis V V vienedetta operazioneesternasinistra (analogamente V S V è detta operazione esterna destra ). Ma data la v6noinondistinguiamo,benchèsiausocomuneporreloscalareasinistradel vettore E immediato vedere dalla usuale definizione di questa operazione per i vettori freccia che valgono le seguenti proprietà: v7) 1 v = v1 = v (ove 1 è l elemento neutro moltiplicativo di S ) v8) a(b v) =(ab) v ( associativa...) 1

2 v9) (a + b) v = a v + b v (distributiva scalare ) v10) a( v + u) = a v + a u (distributiva vettoriale ) Vediamo che abbiamo qualcosa di simile ad un anello... ma ricordiamo che la seconda operazione(moltiplicazione per uno scalare) NON è una operazione binariasuv! Quindi siamo di fronte ad una nuova struttura.. Definition 2 Chiameremo Spazio Vettoriale V sul campo S un insieme qualsiasidielementi(vettori) v V edielementi(scalari)diun campos condue operazioni che godano delle 10 proprietà v1,...v10. Remark 3 PersemplicitàabbiamosceltoS comecampomasipuòfacilmente definire uno spazio vettoriale anche su un corpo. Esempi di spazi vettoriali e1) ovviamente i vettori freccia sul campo dei reali e2) n-ple e matrici(ci ritorneremo) e3) funzioni continue in un intervallo e4) successioni {x n C}, n = 1,2,.., con x n 2 <.Tale spazio vienedettospaziol 2. e5) funzioni f(x) quadrato sommabili nell intervallo [a, b], cioè tali che b a dx f(x 2 < :spaziol 2 [a,b] e6)polinomi... n=1 1.2 Base, indipendenza e dipendenza E noto che prendendo un riferimento cartesiano ortogonale nello spazio, allora i vetttori freccia acquistano le componenti sugli assi 1, 2, 3 individuati dai versori (vettori di modulo1)ê 1,ê 2,ê 3 cosicchè il generico vettore frecciapuòessere scritto v =v 1 ê 1 +v 2 ê 2 +v 3 ê 3 (1) Nasce così la corrispondenza biunivoca tra i vettori freccia e le terne ordinate dinumerireali(v 1,v 2,v 3 ): datounriferimentoadognivettorecorrisponedeuna terna e viceversa. Non solo ma è facile vedere che esiste una corrispondenza biunivoca tra le operazioni. Allasommatravettoricorrispondelasommatraleternedefinitainmodo naturale da (v 1,v 2,v 3 )+(u 1,u 2,u 3 )=(u 1 +v 1,u 2 +v 2,u 3 +v 3 ) (2) 2

3 Alla moltiplicazione per lo scalare corrisponde per le terne a(v 1,v 2,v 3 )=(v 1,v 2,v 3 )a=(av 1,av 2,av 3 ) (3) E facile vedere che le proprietà v1...v10 sono soddisfatte e quindi le terne ordinate sono uno spazio vettoriale isomorfo a quello dei vettori freccia. E immediato estendere alle n-ple ordinate di numeri appartenenti ad un campo S. Quindi: Le n-ple ordinate (x 1,x 2,...,x n ),x k S,k = 1,2,..n con le operazioni di somma e moltiplicazione (v 1,v 2,..,v n )+(u 1,u 2,..,u n )=(u 1 +v 1,u 2 +v 2,..,u n +v n ) (4) a(v 1,v 2,..,v n )=(v 1,v 2,..,v n )a=(av 1,av 2,..,av n ) (5) costituiscono un modello(rappresentazione) di un generico spazio vettoriale sul campo S. Tale spazio vettoriale dicesi avere dimensione n. L identificazionetraglispazivettorialifinito_dimensionali(nèarbitrarioma finito)elen-pleordinatedirealiocomplessièsìfortechemoltitestiscrivono v (v 1,v 2,..,v n ) (6) e per gli spazi vettoriali finito_dimensionali quasi tutti i teoremi sono dimostrati nel modello n-pla esempi: 0 v = 0 (7) c 0 = 0 (8) Comunque sarebbe bene mantenere in mente che evvi una differenza... Ovviamentelabasenaturale indimensionenèdatadaiversoriê 1,ê 2,..,ê n ê k (0,0,..,1,..,0) (9) ove 1 è nella k-sima posizione. Quindi v =v 1 ê 1 +v 2 ê v n ê n (10) Definition4 In uno spazio vettoriale a dimensione n, gli m vettori v (m) si dicono indipendenti se c 1 v (1) +c 2 v (2) +..+c m v (m) = 0= c 1,c 2,..,c m =0 (11) cioè se l unica combinazione lineare uguale al vettore nullo è la m-pla di coefficientic k nullanelcampos.altrimenti,cioèseesisteunacombinazionelineare con coefficienti c k non tutti nulli che dà il vettore nullo, allora diremo che gli mvettori v (m) sonodipendenti. 3

4 Ovviamente se qualcuno dei coefficienti è ancora nullo esisterà un subset di vettori v (m ),m < m di vettori dipendenti, quindi possiamo modificare la definizione di dipendenza ammettendo che tutti i c k,k = 1..m devono essere non nulli. Corollary 5 Se abbiamo m + 1 vettori dipendenti allora ognuno dei vettori può essere espresso come combinazione lineare degli altri m. Teorema 1 In uno spazio vettoriale di dimensione n esistono almeno n vettori indipendenti Proof: labasenaturale! laprovaavoi. Adottiamo da ora la convenzione di somma sugli indici ripetuti (era tempo!) Teorema 2 Inunospaziovettorialedidimensionen nonesistono n+1vettoriindipendenti Proof: se vi fossero dovrebbe essere c 1 v (1) +c 2 v (2) +..+c n v (n) +c n+1 v (n+1) = 0 soloconc 1,c 2,..,c n+1 =0 (12) ( ) Mapassandoallen-ple( v (k) v (k) 1,v(k) 2,..,v(k) n ) avremmo il sistema lineare c k v (k) j =0, j=1..n,k=1..n+1 (13) cioènequazioninelle n+1incognitec k. Talesistemaammetteinfinitesoluzioni. Ergo: il massimo numero di vettori indipendenti in uno spazio vettoriale n-dimensionale è appunto n. Ciò permette una definizione alternativa di dimensione... Definition6 Unospaziovettorialeha dimensione nseesistono n(manon più di n) vettori indipendenti Definition7 Semvettori v (m) sonoindipendentiinunospaziovettorialev (n) a dimensione n, allora l insieme di tutte le loro combinazioni lineari forma un sotto-spaziovettorialeṽ(m) V (n) adimensionem(ṽ(m) dicesianchevarietà lineare) 4

5 Per visualizzare: consideriamo i vettori freccia nello spazio normale : se prendiamo vettori nel piano(x,y), sommandoli o moltiplicandoli per uno scalare non usciamo dalpiano... seconsideriamolen-pleincuituttiglielementidaminpoisononulli... 2 Prodotto scalare Definizione(per i vettori freccia e per le n-ple) Ortogonalità Modulo 5

4. Operazioni binarie, gruppi e campi.

4. Operazioni binarie, gruppi e campi. 1 4. Operazioni binarie, gruppi e campi. 4.1 Definizione. Diremo - operazione binaria ovunque definita in A B a valori in C ogni funzione f : A B C - operazione binaria ovunque definita in A a valori in

Dettagli

Corso introduttivo pluridisciplinare Strutture algebriche

Corso introduttivo pluridisciplinare Strutture algebriche Corso introduttivo pluridisciplinare Strutture algebriche anno acc. 2013/2014 Univ. degli Studi di Milano Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 1 / 17 index

Dettagli

STRUTTURE ALGEBRICHE

STRUTTURE ALGEBRICHE STRUTTURE ALGEBRICHE Operazioni in un insieme Sia A un insieme non vuoto; una funzione f : A A A si dice operazione binaria (o semplicemente operazione), oppure legge di composizione interna. Per definizione

Dettagli

Dimensione di uno Spazio vettoriale

Dimensione di uno Spazio vettoriale Capitolo 4 Dimensione di uno Spazio vettoriale 4.1 Introduzione Dedichiamo questo capitolo ad un concetto fondamentale in algebra lineare: la dimensione di uno spazio vettoriale. Daremo una definizione

Dettagli

Applicazioni lineari

Applicazioni lineari Applicazioni lineari Esempi di applicazioni lineari Definizione. Se V e W sono spazi vettoriali, una applicazione lineare è una funzione f: V W tale che, per ogni v, w V e per ogni a, b R si abbia f(av

Dettagli

Lezioni di Matematica 1 - I modulo

Lezioni di Matematica 1 - I modulo Lezioni di Matematica 1 - I modulo Luciano Battaia 16 ottobre 2008 Luciano Battaia - http://www.batmath.it Matematica 1 - I modulo. Lezione del 16/10/2008 1 / 13 L introduzione dei numeri reali si può

Dettagli

Esercizi su lineare indipendenza e generatori

Esercizi su lineare indipendenza e generatori Esercizi su lineare indipendenza e generatori Per tutto il seguito, se non specificato esplicitamente K indicherà un campo e V uno spazio vettoriale su K Cose da ricordare Definizione Dei vettori v,,v

Dettagli

Prodotto libero di gruppi

Prodotto libero di gruppi Prodotto libero di gruppi 24 aprile 2014 Siano (A 1, +) e (A 2, +) gruppi abeliani. Sul prodotto cartesiano A 1 A 2 definiamo l operazione (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) := (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ). Provvisto

Dettagli

MATRICI E DETERMINANTI

MATRICI E DETERMINANTI MATRICI E DETERMINANTI 1. MATRICI Si ha la seguente Definizione 1: Un insieme di numeri, reali o complessi, ordinati secondo righe e colonne è detto matrice di ordine m x n, ove m è il numero delle righe

Dettagli

2.1 Definizione di applicazione lineare. Siano V e W due spazi vettoriali su R. Un applicazione

2.1 Definizione di applicazione lineare. Siano V e W due spazi vettoriali su R. Un applicazione Capitolo 2 MATRICI Fra tutte le applicazioni su uno spazio vettoriale interessa esaminare quelle che mantengono la struttura di spazio vettoriale e che, per questo, vengono dette lineari La loro importanza

Dettagli

Lezioni del corso di Geometria e Algebra. prof. Michele Mulazzani dott. Alessia Cattabriga

Lezioni del corso di Geometria e Algebra. prof. Michele Mulazzani dott. Alessia Cattabriga Lezioni del corso di Geometria e Algebra prof Michele Mulazzani dott Alessia Cattabriga AA 20001/2002 Indice 1 Equazioni e sistemi lineari 4 11 Alcune strutture algebriche 4 12 Operazioni standard su K

Dettagli

Capitolo I STRUTTURE ALGEBRICHE ELEMENTARI

Capitolo I STRUTTURE ALGEBRICHE ELEMENTARI Capitolo I STRUTTURE ALGEBRICHE ELEMENTARI In matematica, per semplificare la stesura di un testo, si fa ricorso ad un linguaggio specifico. In questo capitolo vengono fornite in maniera sintetica le nozioni

Dettagli

Algebra e Geometria. Ingegneria Meccanica e dei Materiali Sez (2) Ingegneria dell Automazione Industriale Sez (2)

Algebra e Geometria. Ingegneria Meccanica e dei Materiali Sez (2) Ingegneria dell Automazione Industriale Sez (2) Algebra e Geometria Ingegneria Meccanica e dei Materiali Sez (2) Ingegneria dell Automazione Industriale Sez (2) Traccia delle lezioni che saranno svolte nell anno accademico 2012/13 I seguenti appunti

Dettagli

Insiemi con un operazione

Insiemi con un operazione Capitolo 3 Insiemi con un operazione 3.1 Gruppoidi, semigruppi, monoidi Definizione 309 Un operazione binaria su un insieme G è una funzione: f : G G G Quindi, un operazione binaria f su un insieme G è

Dettagli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli A. Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Rango di una matrice, 2 Teorema degli orlati, 3 3 Calcolo con l algoritmo di Gauss, 6 4 Matrici

Dettagli

Equazione del calore e funzioni trigonometriche.

Equazione del calore e funzioni trigonometriche. CAPITOLO 1 Equazione del calore e funzioni trigonometriche. 1.1. Spazi vettoriali trigonometrici Il concetto di spazio vettoriale euclideo dovrebbe essere familiare al lettore di queste note. Per comodità

Dettagli

Prodotto elemento per elemento, NON righe per colonne Unione: M R S

Prodotto elemento per elemento, NON righe per colonne Unione: M R S Relazioni binarie Una relazione binaria può essere rappresentata con un grafo o con una matrice di incidenza. Date due relazioni R, S A 1 A 2, la matrice di incidenza a seguito di varie operazioni si può

Dettagli

AL. Algebra vettoriale e matriciale

AL. Algebra vettoriale e matriciale PPENDICI L. lgebra vettoriale e matriciale Vettori Somma di vettori: struttura di gruppo Come abbiamo richiamato nell introduzione vi sono delle grandezze fisiche caratterizzabili come vettori, cioè tali

Dettagli

I polinomi 1; x;x 2 ;x 3 sono linearmente indipendenti; infatti. 0= 1 1+ 2 x+ 3 x 2 + 4 x 3 =) 1 = 2 == 4 =0

I polinomi 1; x;x 2 ;x 3 sono linearmente indipendenti; infatti. 0= 1 1+ 2 x+ 3 x 2 + 4 x 3 =) 1 = 2 == 4 =0 ASPETTI TEORICI Spazio vettoriale Un insieme qualunque di inniti elementi V = fv i g si dice uno spazio vettoriale sull'insieme dei numeri reali R se: { E possibile denire un'operazione binaria fra gli

Dettagli

Parte 6. Applicazioni lineari

Parte 6. Applicazioni lineari Parte 6 Applicazioni lineari A Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Applicazioni fra insiemi, 2 Applicazioni lineari tra spazi vettoriali, 2 3 Applicazioni lineari da R n a R

Dettagli

Funzioni in più variabili

Funzioni in più variabili Funzioni in più variabili Corso di Analisi 1 di Andrea Centomo 27 gennaio 2011 Indichiamo con R n, n 1, l insieme delle n-uple ordinate di numeri reali R n4{(x 1, x 2,,x n ), x i R, i =1,,n}. Dato X R

Dettagli

RICHIAMI SULLE MATRICI. Una matrice di m righe e n colonne è rappresentata come

RICHIAMI SULLE MATRICI. Una matrice di m righe e n colonne è rappresentata come RICHIAMI SULLE MATRICI Una matrice di m righe e n colonne è rappresentata come A = a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n............ a m1 a m2... a mn dove m ed n sono le dimensioni di A. La matrice A può

Dettagli

09 - Funzioni reali di due variabili reali

09 - Funzioni reali di due variabili reali Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 09 - Funzioni reali di due variabili reali Anno Accademico 2013/2014

Dettagli

Anello commutativo. Un anello è commutativo se il prodotto è commutativo.

Anello commutativo. Un anello è commutativo se il prodotto è commutativo. Anello. Un anello (A, +, ) è un insieme A con due operazioni + e, dette somma e prodotto, tali che (A, +) è un gruppo abeliano, (A, ) è un monoide, e valgono le proprietà di distributività (a destra e

Dettagli

Il gruppo dei vettori

Il gruppo dei vettori Capitolo Terzo Il gruppo dei vettori 3.1. Le strutture di gruppo e di corpo Un operazione binaria (1) definita in un insieme è un applicazione fra il quadrato cartesiano dell insieme e l insieme stesso,

Dettagli

Lezioni di Algebra Lineare III. Applicazioni lineari e matrici Struttura algebrica delle soluzioni dei sistemi lineari

Lezioni di Algebra Lineare III. Applicazioni lineari e matrici Struttura algebrica delle soluzioni dei sistemi lineari Versione ottobre novembre 2008 Lezioni di Algebra Lineare III. Applicazioni lineari e matrici Struttura algebrica delle soluzioni dei sistemi lineari Contenuto 1. Applicazioni lineari 2. L insieme delle

Dettagli

Matematica B - a.a 2006/07 p. 1

Matematica B - a.a 2006/07 p. 1 Matematica B - a.a 2006/07 p. 1 Definizione 1. Un sistema lineare di m equazioni in n incognite, in forma normale, è del tipo a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + + a 2n x n = b 2 (1) = a m1 x 1 + +

Dettagli

APPENDICE NOZIONI BASE E VARIE

APPENDICE NOZIONI BASE E VARIE pag. 131 Appendice: Nozioni base e varie G. Gerla APPENDICE NOZIONI BASE E VARIE 1. Funzioni e relazioni di equivalenza Questi appunti sono rivolti a persone che abbiano già una conoscenza elementare della

Dettagli

Grandezze scalari e vettoriali

Grandezze scalari e vettoriali Grandezze scalari e vettoriali Esempio vettore spostamento: Esistono due tipi di grandezze fisiche. a) Grandezze scalari specificate da un valore numerico (positivo negativo o nullo) e (nel caso di grandezze

Dettagli

Da una a più variabili: derivate

Da una a più variabili: derivate Da una a più variabili: derivate ( ) 5 gennaio 2011 Scopo di questo articolo è di evidenziare le analogie e le differenze, relativamente al calcolo differenziale, fra le funzioni di una variabile reale

Dettagli

Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme

Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme 1. L insieme R. Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme R = R {, + }, detto anche retta reale estesa, che si ottiene aggiungendo all insieme dei numeri reali R

Dettagli

Nel seguito, senza ulteriormente specificarlo, A indicherà un anello commutativo con identità.

Nel seguito, senza ulteriormente specificarlo, A indicherà un anello commutativo con identità. 1 ANELLI Definizione 1.1. Sia A un insieme su cui sono definite due operazioni +,. (A, +, ) si dice Anello se (A, +) è un gruppo abeliano è associativa valgono le leggi distributive, cioè se a, b, c A

Dettagli

Funzioni. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara

Funzioni. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara Funzioni Lorenzo Pareschi Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara http://utenti.unife.it/lorenzo.pareschi/ lorenzo.pareschi@unife.it Lorenzo Pareschi (Univ. Ferrara)

Dettagli

1 ElencodiSA. 1.1 SA con una sola operazione binaria

1 ElencodiSA. 1.1 SA con una sola operazione binaria 1 ElencodiSA L elenco è parziale. Un elenco esaustivo sarebbe ovviamente impossibile(le SA sono infinite... potreste comunque consultare la biblioteca di Babele!). 1.1 SA con una sola operazione binaria

Dettagli

I Numeri Complessi. Si verifica facilmente che, per l operazione di somma in definita dalla (1), valgono le seguenti

I Numeri Complessi. Si verifica facilmente che, per l operazione di somma in definita dalla (1), valgono le seguenti Y T T I Numeri Complessi Operazioni di somma e prodotto su Consideriamo, insieme delle coppie ordinate di numeri reali, per cui si ha!"# $&% '( e )("+* Introduciamo in tale insieme una operazione di somma,/0"#123045"#

Dettagli

G. Pareschi ALGEBRE DI BOOLE. 1. Algebre di Boole

G. Pareschi ALGEBRE DI BOOLE. 1. Algebre di Boole G. Pareschi ALGEBRE DI BOOLE 1. Algebre di Boole Nel file precedente abbiamo incontrato la definizione di algebra di Boole come reticolo: un algebra di Boole e un reticolo limitato, complementato e distributivo.

Dettagli

Parte 2. Determinante e matrice inversa

Parte 2. Determinante e matrice inversa Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice

Dettagli

Ottimizazione vincolata

Ottimizazione vincolata Ottimizazione vincolata Ricordiamo alcuni risultati provati nella scheda sulla Teoria di Dini per una funzione F : R N+M R M di classe C 1 con (x 0, y 0 ) F 1 (a), a = (a 1,, a M ), punto in cui vale l

Dettagli

2/4 OPERATORI NEGLI SPAZI DI HILBERT INFINITODIMENSIONALI 08/09 1 INTRODUZIONE

2/4 OPERATORI NEGLI SPAZI DI HILBERT INFINITODIMENSIONALI 08/09 1 INTRODUZIONE 2/4 OPERATORI NEGLI SPAZI DI HILBERT INFINITODIMENSIONALI 08/09 INTRODUZIONE Il problema agli autovalori di un operatore La trattazione del problema agli autovalori di un operatore fatta negli spazi finitodimensionali

Dettagli

SPAZI METRICI. Uno spazio metrico X con metrica d si indica con il simbolo (X, d). METRICI 1

SPAZI METRICI. Uno spazio metrico X con metrica d si indica con il simbolo (X, d). METRICI 1 SPAZI METRICI Nel piano R 2 o nello spazio R 3 la distanza fra due punti è la lunghezza, o norma euclidea, del vettore differenza di questi due punti. Se p = (x, y, z) è un vettore in coordinate ortonormali,

Dettagli

Energia potenziale L. P. Maggio 2007. 1. Campo di forze

Energia potenziale L. P. Maggio 2007. 1. Campo di forze Energia potenziale L. P. Maggio 2007 1. Campo di forze Consideriamo un punto materiale di massa m che si muove in una certa regione dello spazio. Si dice che esso è soggetto a un campo di forze, se ad

Dettagli

Rango: Rouchè-Capelli, dimensione e basi di spazi vettoriali.

Rango: Rouchè-Capelli, dimensione e basi di spazi vettoriali. CAPITOLO 7 Rango: Rouchè-Capelli, dimensione e basi di spazi vettoriali. Esercizio 7.1. Determinare il rango delle seguenti matrici al variare del parametro t R. 1 4 2 1 4 2 A 1 = 0 t+1 1 A 2 = 0 t+1 1

Dettagli

4. Operazioni elementari per righe e colonne

4. Operazioni elementari per righe e colonne 4. Operazioni elementari per righe e colonne Sia K un campo, e sia A una matrice m n a elementi in K. Una operazione elementare per righe sulla matrice A è una operazione di uno dei seguenti tre tipi:

Dettagli

LE SUCCESSIONI 1. COS E UNA SUCCESSIONE

LE SUCCESSIONI 1. COS E UNA SUCCESSIONE LE SUCCESSIONI 1. COS E UNA SUCCESSIONE La sequenza costituisce un esempio di SUCCESSIONE. Ecco un altro esempio di successione: Una successione è dunque una sequenza infinita di numeri reali (ma potrebbe

Dettagli

ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA

ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Francesco Bottacin Padova, 24 febbraio 2012 Capitolo 1 Algebra Lineare 1.1 Spazi e sottospazi vettoriali Esercizio 1.1. Sia U il sottospazio di R 4 generato dai

Dettagli

4 Quarta lezione: Spazi di Banach e funzionali lineari. Spazio duale

4 Quarta lezione: Spazi di Banach e funzionali lineari. Spazio duale 4 Quarta lezione: Spazi di Banach e funzionali lineari. Spazio duale Spazi Metrici Ricordiamo che uno spazio metrico è una coppia (X, d) dove X è un insieme e d : X X [0, + [ è una funzione, detta metrica,

Dettagli

Analisi 2. Argomenti. Raffaele D. Facendola

Analisi 2. Argomenti. Raffaele D. Facendola Analisi 2 Argomenti Successioni di funzioni Definizione Convergenza puntuale Proprietà della convergenza puntuale Convergenza uniforme Continuità e limitatezza Teorema della continuità del limite Teorema

Dettagli

(V) (FX) Z 6 è un campo rispetto alle usuali operazioni di somma e prodotto.

(V) (FX) Z 6 è un campo rispetto alle usuali operazioni di somma e prodotto. 29 giugno 2009 - PROVA D ESAME - Geometria e Algebra T NOME: MATRICOLA: a=, b=, c= Sostituire ai parametri a, b, c rispettivamente la terzultima, penultima e ultima cifra del proprio numero di matricola

Dettagli

GEOMETRIA I Corso di Geometria I (seconda parte)

GEOMETRIA I Corso di Geometria I (seconda parte) Corso di Geometria I (seconda parte) anno acc. 2009/2010 Cambiamento del sistema di riferimento in E 3 Consideriamo in E 3 due sistemi di riferimento ortonormali R e R, ed un punto P (x, y, z) in R. Lo

Dettagli

Geometria nel piano complesso

Geometria nel piano complesso Geometria nel piano complesso Giorgio Ottaviani Contents Un introduzione formale del piano complesso 2 Il teorema di Napoleone 5 L inversione circolare 6 4 Le trasformazioni di Möbius 7 5 Il birapporto

Dettagli

APPLICAZIONI LINEARI. B si definisce surriettiva. 9 quando ogni elemento di. B risulta IMMAGINE di. almeno un elemento di A.

APPLICAZIONI LINEARI. B si definisce surriettiva. 9 quando ogni elemento di. B risulta IMMAGINE di. almeno un elemento di A. APPLICAZIONI LINEARI Siano V e W due spazi vettoriali, di dimensione m ed n sullo stesso campo di scalari R. Una APPLICAZIONE ƒ : V W viene definita APPLICAZIONE LINEARE od OMOMORFISMO se risulta, per

Dettagli

Lezioni di Geometria e Algebra. Fulvio Bisi, Francesco Bonsante, Sonia Brivio

Lezioni di Geometria e Algebra. Fulvio Bisi, Francesco Bonsante, Sonia Brivio Lezioni di Geometria e Algebra Fulvio Bisi, Francesco Bonsante, Sonia Brivio CAPITOLO 4 Applicazioni lineari 1. Definizioni ed esempi. In questo capitolo ci proponiamo di studiare le funzioni tra spazi

Dettagli

Lezione del 28-11-2006. Teoria dei vettori ordinari

Lezione del 28-11-2006. Teoria dei vettori ordinari Lezione del 8--006 Teoria dei vettori ordinari. Esercizio Sia B = {i, j, k} una base ortonormale fissata. ) Determinare le coordinate dei vettori v V 3 complanari a v =,, 0) e v =, 0, ), aventi lunghezza

Dettagli

QUARTA PROVETTA DI ALGEBRA TRENTO, 18 DICEMBRE 2015

QUARTA PROVETTA DI ALGEBRA TRENTO, 18 DICEMBRE 2015 QUARTA PROVETTA DI ALGEBRA TRENTO, 18 DICEMBRE 2015 Nota: Questi fogli contengono gli esercizi delle quattro diverse versioni della provetta che sono state assegnate. L esercizio x.y è l esercizio x della

Dettagli

x 1 + x 2 3x 4 = 0 x1 + x 2 + x 3 = 0 x 1 + x 2 3x 4 = 0.

x 1 + x 2 3x 4 = 0 x1 + x 2 + x 3 = 0 x 1 + x 2 3x 4 = 0. Problema. Sia W il sottospazio dello spazio vettoriale R 4 dato da tutte le soluzioni dell equazione x + x 2 + x = 0. (a. Sia U R 4 il sottospazio dato da tutte le soluzioni dell equazione Si determini

Dettagli

Appunti di Algebra Lineare

Appunti di Algebra Lineare Appunti di Algebra Lineare Indice 1 I vettori geometrici. 1 1.1 Introduzione................................... 1 1. Somma e prodotto per uno scalare....................... 1 1.3 Combinazioni lineari e

Dettagli

Aritmetica: operazioni ed espressioni

Aritmetica: operazioni ed espressioni / A SCUOLA DI MATEMATICA Lezioni di matematica a cura di Eugenio Amitrano Argomento n. : operazioni ed espressioni Ricostruzione di un abaco dell epoca romana - Museo RGZ di Magonza (Germania) Libero da

Dettagli

0. Piano cartesiano 1

0. Piano cartesiano 1 0. Piano cartesiano Per piano cartesiano si intende un piano dotato di due assi (che per ragioni pratiche possiamo scegliere ortogonali). Il punto in comune ai due assi è detto origine, e funziona da origine

Dettagli

ALGEBRA I: MODULI. Abbiamo indicato con 0 A, 1 A lo zero e l unità nell anello A e con 0 M l elemento neutro del gruppo abeliano (M, +).

ALGEBRA I: MODULI. Abbiamo indicato con 0 A, 1 A lo zero e l unità nell anello A e con 0 M l elemento neutro del gruppo abeliano (M, +). ALGEBRA I: MODULI 1 GENERALITÀ SUGLI A-MODULI Il concetto di A-modulo generalizza quello di spazio vettoriale su un campo K Definizione 11 Sia A un anello commutativo con unità Un A-modulo è un insieme

Dettagli

Richiami di algebra lineare e geometria di R n

Richiami di algebra lineare e geometria di R n Richiami di algebra lineare e geometria di R n combinazione lineare, conica e convessa spazi lineari insiemi convessi, funzioni convesse rif. BT.5 Combinazione lineare, conica, affine, convessa Un vettore

Dettagli

GRANDEZZE ALTERNATE SINUSOIDALI

GRANDEZZE ALTERNATE SINUSOIDALI GRANDEZZE ALTERNATE SINUSOIDALI 1 Nel campo elettrotecnico-elettronico, per indicare una qualsiasi grandezza elettrica si usa molto spesso il termine di segnale. L insieme dei valori istantanei assunti

Dettagli

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI FERRARA

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI FERRARA UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI FERRARA Anno Accademico 2012/2013 REGISTRO DELL ATTIVITÀ DIDATTICA Docente: ANDREOTTI MIRCO Titolo del corso: MATEMATICA ED ELEMENTI DI STATISTICA Corso: CORSO UFFICIALE Corso

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA ALGEBRA \ INSIEMISTICA \ TEORIA DEGLI INSIEMI (1)

APPUNTI DI MATEMATICA ALGEBRA \ INSIEMISTICA \ TEORIA DEGLI INSIEMI (1) ALGEBRA \ INSIEMISTICA \ TEORIA DEGLI INSIEMI (1) Un insieme è una collezione di oggetti. Il concetto di insieme è un concetto primitivo. Deve esistere un criterio chiaro, preciso, non ambiguo, inequivocabile,

Dettagli

1 Applicazioni Lineari tra Spazi Vettoriali

1 Applicazioni Lineari tra Spazi Vettoriali 1 Applicazioni Lineari tra Spazi Vettoriali Definizione 1 (Applicazioni lineari) Si chiama applicazione lineare una applicazione tra uno spazio vettoriale ed uno spazio vettoriale sul campo tale che "!$%!

Dettagli

Applicazioni lineari

Applicazioni lineari CAPITOLO 8 Applicazioni lineari Esercizio 8.. Sia T : R 3 R 3 l applicazione definita da T(x,x,x 3 ) = (x,x,x 3 ). Stabilire se T è lineare. Esercizio 8.. Verificare che la funzione determinante definita

Dettagli

Spazi lineari - PARTE II - Felice Iavernaro. Dipartimento di Matematica Università di Bari. 9 e 16 Marzo 2007

Spazi lineari - PARTE II - Felice Iavernaro. Dipartimento di Matematica Università di Bari. 9 e 16 Marzo 2007 Spazi lineari - PARTE II - Felice Iavernaro Dipartimento di Matematica Università di Bari 9 e 16 Marzo 2007 Felice Iavernaro (Univ. Bari) Spazi lineari 9-16/03/2007 1 / 17 Condizionamento dei sistemi lineari

Dettagli

STRUTTURE ALGEBRICHE

STRUTTURE ALGEBRICHE STRUTTURE ALGEBRICHE 1. Operazioni algebriche binarie Dato un insieme M, chiamiamo operazione algebrica binaria definita su M una qualunque applicazione f che associa ad ogni coppia ordinata (a, b) di

Dettagli

f(x) = 1 x. Il dominio di questa funzione è il sottoinsieme proprio di R dato da

f(x) = 1 x. Il dominio di questa funzione è il sottoinsieme proprio di R dato da Data una funzione reale f di variabile reale x, definita su un sottoinsieme proprio D f di R (con questo voglio dire che il dominio di f è un sottoinsieme di R che non coincide con tutto R), ci si chiede

Dettagli

DIARIO DEL CORSO DI ALGEBRA A.A. 2012/13 DOCENTE: ANDREA CARANTI

DIARIO DEL CORSO DI ALGEBRA A.A. 2012/13 DOCENTE: ANDREA CARANTI DIARIO DEL CORSO DI ALGEBRA A.A. 2012/13 DOCENTE: ANDREA CARANTI Lezione 1. lunedí 17 settembre 2011 (1 ora) Presentazione del corso. Esercizio: cosa succede a moltiplicare per 2, 3, 4,... il numero 052631578947368421,

Dettagli

MATEMATICA. { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un numero x ed un numero y che risolvano entrambe le equazioni.

MATEMATICA. { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un numero x ed un numero y che risolvano entrambe le equazioni. MATEMATICA. Sistemi lineari in due equazioni due incognite. Date due equazioni lineari nelle due incognite x, y come ad esempio { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un

Dettagli

Lezione 6 Nucleo, Immagine e Teorema della Dimensione. 1 Definizione di Nucleo e Immagine

Lezione 6 Nucleo, Immagine e Teorema della Dimensione. 1 Definizione di Nucleo e Immagine Lezione 6 Nucleo, Immagine e Teorema della Dimensione In questa lezione entriamo nel vivo della teoria delle applicazioni lineari. Per una applicazione lineare L : V W definiamo e impariamo a calcolare

Dettagli

Università degli Studi di Roma Tor Vergata. Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica

Università degli Studi di Roma Tor Vergata. Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Università degli Studi di Roma Tor Vergata. Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Esame di Geometria (Prof. F. Tovena) Argomenti: Proprietà di nucleo e immagine di una applicazione lineare. dim V = dim

Dettagli

1.1. Spazi metrici completi

1.1. Spazi metrici completi SPAZI METRICI: COMPLETEZZA E COMPATTEZZA Note informali dalle lezioni 1.1. Spazi metrici completi La nozione di convergenza di successioni è centrale nello studio degli spazi metrici. In particolare è

Dettagli

Lezioni di Geometria e Algebra. Fulvio Bisi, Francesco Bonsante, Sonia Brivio

Lezioni di Geometria e Algebra. Fulvio Bisi, Francesco Bonsante, Sonia Brivio Lezioni di Geometria e Algebra Fulvio Bisi, Francesco Bonsante, Sonia Brivio CAPITOLO 0 Preliminari.. Insiemistica e logica Il presente Capitolo introduttivo ha lo scopo di ripassare alcuni argomenti

Dettagli

LEZIONE 23. Esempio 23.1.3. Si consideri la matrice (si veda l Esempio 22.2.5) A = 1 2 2 3 3 0

LEZIONE 23. Esempio 23.1.3. Si consideri la matrice (si veda l Esempio 22.2.5) A = 1 2 2 3 3 0 LEZIONE 23 231 Diagonalizzazione di matrici Abbiamo visto nella precedente lezione che, in generale, non è immediato che, data una matrice A k n,n con k = R, C, esista sempre una base costituita da suoi

Dettagli

Rette e curve, piani e superfici

Rette e curve, piani e superfici Rette e curve piani e superfici ) dicembre 2 Scopo di questo articolo è solo quello di proporre uno schema riepilogativo che metta in luce le caratteristiche essenziali delle equazioni di rette e curve

Dettagli

3 GRAFICI DI FUNZIONI

3 GRAFICI DI FUNZIONI 3 GRAFICI DI FUNZIONI Particolari sottoinsiemi di R che noi studieremo sono i grafici di funzioni. Il grafico di una funzione f (se non è specificato il dominio di definizione) è dato da {(x, y) : x dom

Dettagli

PROVA DI VERIFICA DEL 24/10/2001

PROVA DI VERIFICA DEL 24/10/2001 PROVA DI VERIFICA DEL 24/10/2001 [1] Il prodotto di due numeri non nulli è maggiore di zero se: a. il loro rapporto è maggiore di zero, b. il loro rapporto è minore di zero, c. il loro rapporto è uguale

Dettagli

Schemi delle Lezioni di Matematica Generale. Pierpaolo Montana

Schemi delle Lezioni di Matematica Generale. Pierpaolo Montana Schemi delle Lezioni di Matematica Generale Pierpaolo Montana Al-giabr wa al-mukabalah di Al Khuwarizmi scritto approssimativamente nel 820 D.C. Manuale arabo da cui deriviamo due nomi: Algebra Algoritmo

Dettagli

LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ

LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ LE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE COSA SONO LE FUNZIONI Dati due sottoinsiemi A e B non vuoti di R, una FUNZIONE da A a B è una relazione che associa ad ogni numero reale

Dettagli

STUDIO DI UNA FUNZIONE

STUDIO DI UNA FUNZIONE STUDIO DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Data l equazione Y = f(x) di una funzione a variabili reali (X R e Y R), studiare l andamento del suo grafico. PROCEDIMENTO 1. STUDIO DEL DOMINIO (CAMPO DI ESISTENZA)

Dettagli

2 Argomenti introduttivi e generali

2 Argomenti introduttivi e generali 1 Note Oltre agli esercizi di questa lista si consiglia di svolgere quelli segnalati o assegnati sul registro e genericamente quelli presentati dal libro come esercizio o come esempio sugli argomenti svolti

Dettagli

Note di matematica per microeconomia

Note di matematica per microeconomia Note di matematica per microeconomia Luigi Balletta Funzioni di una variabile (richiami) Una funzione di variabile reale ha come insieme di partenza un sottoinsieme di R e come insieme di arrivo un sottoinsieme

Dettagli

Geometria analitica di base (prima parte)

Geometria analitica di base (prima parte) SAPERE Al termine di questo capitolo, avrai appreso: come fissare un sistema di riferimento cartesiano ortogonale il significato di equazione di una retta il significato di coefficiente angolare di una

Dettagli

Analisi Matematica di circuiti elettrici

Analisi Matematica di circuiti elettrici Analisi Matematica di circuiti elettrici Eserciziario A cura del Prof. Marco Chirizzi 2011/2012 Cap.5 Numeri complessi 5.1 Definizione di numero complesso Si definisce numero complesso un numero scritto

Dettagli

CAPITOLO 16 SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI

CAPITOLO 16 SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI CAPITOLO 16 SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI Abbiamo studiato successioni e serie numeriche, ora vogliamo studiare successioni e serie di funzioni. Dato un insieme A R, chiamiamo successione di funzioni

Dettagli

Elementi di topologia della retta

Elementi di topologia della retta Elementi di topologia della retta nome insieme definizione l insieme è un concetto primitivo che si accetta come intuitivamente noto secondo George Cantor, il padre della teoria degli insiemi: Per insieme

Dettagli

Codici Numerici. Modifica dell'informazione. Rappresentazione dei numeri.

Codici Numerici. Modifica dell'informazione. Rappresentazione dei numeri. Codici Numerici. Modifica dell'informazione. Rappresentazione dei numeri. A partire da questa lezione, ci occuperemo di come si riescono a codificare con sequenze binarie, quindi con sequenze di 0 e 1,

Dettagli

R X X. RELAZIONE TOTALE Definizione: Si definisce relazione totale tra x e y se dati X,Y diversi dall'insieme vuoto

R X X. RELAZIONE TOTALE Definizione: Si definisce relazione totale tra x e y se dati X,Y diversi dall'insieme vuoto PRODOTTO CARTESIANO Dati due insiemi non vuoti X e Y si definisce prodotto cartesiano: X Y ={ x, y x X, y Y } attenzione che (x,y) è diverso da (y,x) perchè (x,y)={x,{y}} e (y,x)={y,{x}} invece sono uguali

Dettagli

Corrispondenze e funzioni

Corrispondenze e funzioni Corrispondenze e funzioni L attività fondamentale della mente umana consiste nello stabilire corrispondenze e relazioni tra oggetti; è anche per questo motivo che il concetto di corrispondenza è uno dei

Dettagli

SPAZI VETTORIALI E ALGEBRA DELLE MATRICI

SPAZI VETTORIALI E ALGEBRA DELLE MATRICI SPAZI VETTORIALI E ALGEBRA DELLE MATRICI Appunti delle lezioni tenute dal prof. Paolo Delise e distribuiti gratuitamente con licenza Creative Commons Attribution-Non Commercial-Share Alike (revisione del

Dettagli

Funzioni di più variabili. Ottimizzazione libera e vincolata

Funzioni di più variabili. Ottimizzazione libera e vincolata libera e vincolata Generalità. Limiti e continuità per funzioni di 2 o Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor libera vincolata Lo ordinario è in corrispondenza biunivoca con i vettori di

Dettagli

Coordinate Cartesiane nel Piano

Coordinate Cartesiane nel Piano Coordinate Cartesiane nel Piano O = (0,0) origine degli assi ascissa, y ordinata sistemi monometrici: stessa unità di misura sui due assi, y sistemi dimetrici: unità di misura diverse sui due assi (spesso

Dettagli

Ricerca Operativa 2. Introduzione al metodo del Simplesso

Ricerca Operativa 2. Introduzione al metodo del Simplesso Ricerca Operativa 2. Introduzione al metodo del Simplesso Luigi De Giovanni Giacomo Zambelli 1 Problemi di programmazione lineare Un problema di ottimizzazione vincolata è definito dalla massimizzazione

Dettagli

DUE PROPOSTE ANALISI MATEMATICA. Lorenzo Orio

DUE PROPOSTE ANALISI MATEMATICA. Lorenzo Orio DUE PROPOSTE DI ANALISI MATEMATICA Lorenzo Orio Introduzione Il lavoro propone argomenti di analisi matematica trattati in maniera tale da privilegiare l intuizione e con accorgimenti nuovi. Il tratta

Dettagli

u 1 u k che rappresenta formalmente la somma degli infiniti numeri (14.1), ordinati al crescere del loro indice. I numeri u k

u 1 u k che rappresenta formalmente la somma degli infiniti numeri (14.1), ordinati al crescere del loro indice. I numeri u k Capitolo 4 Serie numeriche 4. Serie convergenti, divergenti, indeterminate Data una successione di numeri reali si chiama serie ad essa relativa il simbolo u +... + u +... u, u 2,..., u,..., (4.) oppure

Dettagli

Funzioni. Il concetto di funzione nasce da quello di corrispondenza fra grandezze. Tale corrispondenza può essere data in svariati modi:

Funzioni. Il concetto di funzione nasce da quello di corrispondenza fra grandezze. Tale corrispondenza può essere data in svariati modi: Funzioni Il concetto di funzione nasce da quello di corrispondenza fra grandezze. Tale corrispondenza può essere data in svariati modi: da un rilevamento empirico da una formula (legge) ESEMPI: 1. la temperatura

Dettagli

Appunti di LOGICA MATEMATICA (a.a.2009-2010; A.Ursini) Algebre di Boole. 1. Definizione e proprietá

Appunti di LOGICA MATEMATICA (a.a.2009-2010; A.Ursini) Algebre di Boole. 1. Definizione e proprietá Appunti di LOGICA MATEMATICA (a.a.2009-2010; A.Ursini) [# Aii [10 pagine]] Algebre di Boole Un algebra di Boole è una struttura 1. Definizione e proprietá B =< B,,, ν, 0, 1 > in cui B è un insieme non

Dettagli

Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee

Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee Se a e b sono numeri interi, si dice che a divide b, in simboli: a b, se e solo se esiste c Z tale che b = ac. Si può subito notare che:

Dettagli

I Polinomi. Michele Buizza. L'insieme dei numeri interi lo indicheremo con Z. è domenica = non vado a scuola. signica se e solo se.

I Polinomi. Michele Buizza. L'insieme dei numeri interi lo indicheremo con Z. è domenica = non vado a scuola. signica se e solo se. I Polinomi Michele Buizza 1 Insiemi In questa prima sezione ricordiamo la simbologia che useremo in questa breve dispensa. Iniziamo innanzitutto a ricordare i simboli usati per i principali insiemi numerici.

Dettagli