Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria - DII - Ingegneria Aerospaziale Test di preparazione alla seconda prova parziale del

Transcript

1 Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria - DII - Ingegneria Aerospaziale Test di preparazione alla seconda prova parziale del 66 Problema Si consideri la trasformazione lineare L: R 4 R 3 la cui matrice standard A è A 3 (a Calcolare il rango di A ed una base di im L (b Calcolare la nullità di A ed una base di ker L (c Trovare trasformazioni lineari L : R R 4 ed L : R 3 R tali che L L L id R (d Trovare le matrici standard di L e di L Soluzione (a Calcoliamo il rango di A riducendo a scala per righe la matrice A A Segue che A ha rango 3 Una base di im L è una base di C(A Sappiamo che una base di C(A è data dalle colonne di A corrispondenti alle colonne pivot di una sua riduzione a scala Poiché le colonne pivot della riduzione trovata sono la prima, la seconda e la quarta, una base di C(A è {(,,, (,, 3, (,, } A questa domanda si può dare una risposta diversa: la matrice A ha rango 3 e dunque L è suriettiva Segue che im L R 3 e dunque si può prendere la base standard di R 3 come base di im L Per rispondere alle domande successive conviene però la scelta precedente (b La nullità di A è 4 3 (Teorema nullità +rango Una base di ker L N(A si trova risolvendo il sistema omogeneo Ax Dalla riduzione trovata per A, usando il metodo della retro-sostituzione, si trova x 4, x x 3, x x L incognita libera è x 3 t (questa scelta del parametro per evitare di avere denominatori e quindi x t, x 4t Segue N(A {( 4t, t, t, t R} ( 4,,, (c Affinché L L L id R è necessario e sufficiente che L L L (, (,, L L L (, (, Possiamo scegliere L ed L in molti modi Possiamo definire L (, (,,,, L (, (,, e in questo modo L è determinata (ricordare che una trasformazione lineare è completamente determinata se conosciamo i trasformati dei vettori di una base Segue che L L (, L(,,, (,,, L L (, L(,,, (,, 3 Se vogliamo che L L L id R dobbiamo definire L (,, (,, L (,, 3 (, Esiste una trasformazione lineare L : R 3 R che soddisfa queste due condizioni? Basta definire L sui vettori di una base di R 3 L insieme {(,,, (,, 3} è linearmente indipendente e quindi possiamo completare questo insieme ad una base di R 3 Ad esempio posso ridurre a scala per righe la matrice ottenuta mettendo in riga i due vettori (,, e (,, 3 ( 3 ( Aggiungendo a questa matrice la riga (,, ottengo una matrice triangolare superiore che ha tutti gli elementi diagonali diversi da zero e quindi una matrice di rango 3 Segue che l insieme B {(,,, (,, 3, (,, } è una base per R 3 Se, oltre alle condizioni già espresse, aggiungiamo la condizione L (,, (,, la trasformazione L è univocamente determinata e serve allo

2 scopo Dalla costruzione segue infatti che L L L id R (d Determiniamo le matrici standard di L ed L La prima è facile [L ] S4 Per la seconda, osserviamo che Conosciamo e quindi basta calcolare Calcoliamo l inversa 3 Segue che Verifichiamo che ( [L ] S [L ] S B P B ( [L ] S B, P S3 B 3 [L ] S P B S3 (P S3 B 3 ( ( [L L L ] S [L ] S [L] S3 S 4 [L ] S4 ( ( 3 3 Esposizione sintetica (a La riduzione a scala per righe di A è A 3 4 Segue che A ha rango 3 e una base per im L C(A è data dalla prima, seconda e quarta colonna di A (b ker L N(A ( 4,,, (c L è definita da L (, (,,,, L (, (,,, Poniamo L (,, (, e L (,, 3 (, Affinché L sia definita, oltre a queste due condizioni poniamo L (,, (, Adesso L è definita su una base B {(,,, (,, 3, (,, } e quindi è univocamnete determinata dalle tre condizioni poste Segue che L ed L sono le trasformazioni cercate (d [L ] S4, [L ] S [L ] S B P B

3 ( [L ] S B, P S3 B, 3 P B S3 (P S3 B 3 ( ( [L ] S Problema Si consideri la matrice A (a Calcolare il polinomio caratteristico di A (b Calcolare gli autovalori di A con le relative molteplicità (c Trovare una base per ciascun autospazio di A (d Trovare una matrice ortogonale che diagonalizza A Soluzione (a Il polinomio caratteristico si può calcolare con la definizione p(t det(a t o con la regola delle tracce Si trova (a meno del segno p(t t 3 t + 36t 3 (b Per trovare gli zeri di p(t si parte da uno dei fattori interi ±, ±, di 3 Dopo qualche prova si trova che è radice del polinomio caratteristico Dividendo p(t per t s trovano le altre due radici (sappiamo che sono tre radici reali contate con la molteplicità Quindi gli autovalori di A sono λ con molteplicità e λ 8 con molteplictà (c λ Si risolve il sistema (A x e si trovano due soluzioni linearmente indipendenti w (,, e w (,, Con Gram-Schmidt si ortogonalizza questa base v (,,, v w w v v v (,, Normalizzando i vettori si trova una base ortonormale per l autospazio V λ u (,,, u 6 (,, λ 8 Si risolve il sistema (A 8x Si trova la soluzione v 3 (,, Basta normalizzare: u 3 (,, 3 (d La matrice cercata è P ( 3 u u u Problema 3 Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita e sia L: V V un endomorfismo di V tale che L L (a Trovare i possibili autovalori di L (b Far vedere che i vettori in im L sono autovettori (c Far vedere che i vettori in ker L sono autovettori (d È vero o falso che L è diagonalizzabile? 3

4 Soluzione (a Supponiamo che λ sia un autovalore di L Allora esiste un vettore v tale che L(v λv Segue che λv L(v L (v L(L(v L(λv λl(v λ(λv λ v Poiché v, gli autovalori di L devono soddisfare l equazione λ λ e quindi i possibili autovalori sono λ, Chiamiamo V e V gli autospazi corrispondenti ai due autovalori (b Se v im L, allora esiste u V tale che v L(u Segue che L(v L(L(u L (u L(u v Segue che v V Viceversa, supponiamo che v V Segue che L(v v e quindi v im L Segue che V im L (c Se v ker L, allora L(v v e quindi v V Viceversa, se v V, allora L(v v e quindi v ker L Segue che V ker L (d Le molteplicità geometriche degli autovalori sono n dim V dim ker L null L e n dim V dim im L rango L Sappiamo che null L + rango L dim V e quindi n + n dim V Segue che le molteplicità geometriche coincidono con le molteplictà algebriche m e m : dim V n + n m + m dim V Osserviamo che una base per V formata da autovettori di L si ottiene mettendo assieme una base di ker L ed una base di im L La matrice di L rispetto a questa base è Problema 4 ( r, r rango L Nello spazio euclideo E 4 si considerino le varietà lineari { { x x x 3 x x x 4 L:, M : x 3 + x 4 x 3 (a Calcolare dim L e dim M (b Trovare equazioni parametriche per L e per M (c Determinare la posizione reciproca di L e di M (d Trovare punti di minima distanza tra L ed M e la distanza d(l, M (e Determinare la varietà lineare N parallela ad L e passante per M (f Calcolare la distanza d(l, N Soluzione (a Le matrici complete associate alle equazioni cartesiane delle varieà L ed M sono (, ( che sono gi à a scala ed hanno rango (completo e incompleto Segue che dim L dim M, e quindi L ed M sono due piani in E 4 (b La soluzione generale del primo sistema di L è ( + u v, u, v, v e quindi, posto U L, L P + U, P (,,,, U (,,,, (,,,, x + u v x u x 3 v x 4 v La soluzione generale del secondo sistema è ( + u + v, u,, v e quindi, posto W M, x + u + v x u M Q + W, Q (,,,, W (,,,, (,,,, x 3 x 4 v 4

5 (c Si verifica facilmente che L M e quindi L ed M non sono incidenti Posto v (,,,,, poiché v U W e U W, abbiamo U W v Segue che L ed M non sono sghembe Le varietà L ed M non sono nemmeno parallele perché L W ed M L (d Poniamo u (,,,, w (,,, Cerchiamo P P + t u + t v L, Q Q + t 3 v + t 4 w M tali che il vettore Q P sia ortogonale ad U e a W Abbiamo Q P Q P t u + (t 3 t v + t 4 w Poniamo x t, y t 3 t, z t 4 Segue che Q P (x + y + z, y, + x, x + z Le condizioni (Q P u, (Q P v, (Q P w si traducono nel sistema lineare 6x + y z x + y + z x + y + z che ha un unica soluzione x /, y /, z / Segue che Q P d(l, M Q P 3 (,, 3, I punti P e Q non sono univocamente determinati perché le varietà non sono sghembe Possiamo prendere ad esempio t /, t, t 3 /, t 4 /, ( 3 P,, (,, Q,,, (e N Q + u, v, w (f Essendo L parallela ad N, dim L, dim N 3, d(l, N d(p, N d(p, Q 3 Altrimenti possiamo calcolare e quindi d(l, N 3 d(l, N d(p, N Gram(Q P, u, v, w Gram(u, v, w 4 Gram(Q P, u, v, w 6 36, 6 Gram(u, v, w