Geometria BAER Canale A-K Esercizi 8

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1 Geometria BAER 6-7 Canale A-K Esercizi 8 Esercizio Si consideri il sottospazio (a) Si trovi una base ortonormale di U (b) Si trovi una base ortonormale di U U = L v =, v, v 3 = (c) Si scriva la matrice della proiezione ortogonale su U rispetto alla base canonica Soluzione: a) I tre vettori sono lin indip Osserviamo che il primo ed il terzo vettore sono ortogonali tra loro, quindi prendiamo w = v, w = v 3, 4/ w 3 = v v, w w w v, w w w = / Ora abbiamo una base ortogoonale, la base ortonormale si ottiene moltiplicando w i per w i, quindi è data da { w, w, 7 w 3 } b) Il sottospazio U si ottiene imponendo che il generico vettore x R 4 sia ortogonale a tutti i vettori di una base (non necessariamente ortogonale o ortonormale) di U Basta quindi risolvere il sistema v, x = x x = v, x = ovvero x x x 3 = v 3, x = x 3 + x 4 = le cui soluzioni sono tutte multiple del vettore unitario 7 c) ) Se p è la proiezione ortogonale su U, p(e i ) = e i, (/ )w (/ )w + e i, (/ )w (/ )w + e i, (/ 7)w (/ 7)w 3 Facendo i conti, si trova Esercizio Si consideri il vettore di R 4 v = (,,, 3) t (a) Si trovi una base ortonormale del sottospazio L[v]

2 (b) Si estenda la base trovata ad una base ortonormale di R 4 Soluzione: a) v, x = x + x 3 + 3x 4 = Non è difficile trovare due soluzioni ortogonali tra loro, per esempio w = (,,, ) t, w = (,,, ) t Un altra soluzione, linearmente indipendente dalle due precedenti é w 3 = ( 3,,, ) t Il vettore w 3 è anche ortogonale a w, quindi, abbiamo che w 3 w 3,w ulw w = ( 3/,, 3/, ) t è ortogonale sia a w che a w (ed anche a v) Quindi la base cercata è { (,,, ) t, (,,, ) t, ( 3/,, 3/, ) t } b) Poichè R 4 = L[v] L[v] basta aggiungere alla base trovata prima il vettore v Esercizio 3 / 3?? Si completi la matrice / 3?? ad una matrice ortogonale??? Soluzione: La prima colonna deve avere norma, quindi il coefficiente (3, ) della matrice può essere solo ±/ 3 Scegliamo (per esempio) / 3 Allora gli altri due vettori colonna devono essere in U = L[(/ 3)(,, ) t ] Un equazione per U è x y + z =, quindi due generatori di U sono (,, ) t e (,, ) t Applichiamo Gram Schmidt per ottenere una base ortonormale di U e otteniamo i due vettori colonna (/ )(,, ) t, (/ 6)(,, ) t Esercizio 4 Si applichi il procedimento digram-schmidt per trovare una base ortonormale di R 3 alla base data dai vettori,, Soluzione: Cominciamo dai primi due vettori: v =, v =, v v v = Denotato il terzo vettore con u, calcoliamo v 3 = u u,v v v u,v v v = ortonormale cercata, basta normalizzare v, v, v 3 / / /3 /3 Per ottenere la base /3 Esercizio Si consideri il vettore (, 3,, 7) t - Si trovino le sue proiezioni ortogonali sui sottospazi U = L[(,,, ) t, (, 3, 4, ) t ] e V = L[(,,, ) t, (,, 3, ) t ] Soluzione: La base di U è composta da vettori ortogonali, basta quindi calcolare i coefficienti di Fourier e la combinazione lineari dei due vettori della base ortonormale per ottenere che la proiezione su U è il vettore (9/, 63/, 6/, 6/) t La base di V non è ortonormale, con Gram Schmidt troviamo la base ortogonale (,,, ) t, (,,, ) t Scrivendo i coefficienti di Fourier come prima, troviamo che la proiezione è (7, 4,, 4) t Esercizio 6 (a) Si trovino tutti i vettori di R aventi norma e perpendicolari al vettore ( ) 3

3 (b) Si trovino tutti i vettori aventi norma perpendicolari ai vettori v =, v = 3 (c) Si trovino tutti i vettori perpendicolari a aventi norma Geometricamente cosa è l insieme di questi vettori? Soluzione: a) ±(/ 3) ( ) 3 { x + y + 3z = b) I vettori ortogonali ai due vettori dati sono dati dalle soluzioni di, dunque formano x + z = il sottospazio L[ ]; tra questi quelli di norma sono ±(/ 3) c) I vettori ortogonali a formano il piano di equazione x + y + z = La soluzione generale (parametrica) dell equazione è s I vettori non nulli di questa forma (almeno uno tra t, s diverso da t t s ) hanno norma t + s + ts > se almeno uno tra t, s è non nullo Quindi sono quelli per cui t + s + ts = Geometricamente i vettori di norma di un piano descrivono la circonferenza unitaria giacente sul piano con centro nell origine Esercizio 7 ( ) 4 Si diagonalizzi la matrice A = e si verifichi che gli autospazi sono ortogonali tra loro Si 4 scriva quindi una matrice ortogonale M tale che M t AM è diagonale ( ( Soluzione: Gli autovalori sono 3,, gli autospazi sono E( 3) = L[ ], E( ) = L[ ] Normaliz- ) ) zando i vettori otteniamo una base ( ortonormale ) B La matrice M( cercata) è la matrice di passaggio dalla base canonica a B dunque è 3, la matrice diagonale è Esercizio 8 Sia E un sottospazio di R n, p E la proiezione ortogonale su E, si mostri che che la proiezione sul complemento E, p E si ottiene come Id p E Soluzione: Possiamo scrivere ogni vettore di R n come u = v + w con v E, w E per definizione abbiamo p E (u) = v, p E (v) = w Dunque per ogni vettore di R n abbiamo Idu p E (u) = p E (u) Esercizio 9 Sia f : R n R n tale che f(v), v = per ogni v R n ; ed f non è l applicazione nulla (a) È vero che f non è diagonalizzabile? (b) Si dia un esempio di f : R R che soddisfa queste proprietà

4 Soluzione: a) Se λ è autovalore e v autovettore associato si deve avere = f(v), v = λv, v = λ v, v, dunque poichè v deve essere λ = Quindi se f fosse diagonalizzabile, sarebbe l applicazione nulla b) Una rotazione di π/, oppure f(e ) =, f(e ) = e Esercizio 4 Si consideri la matrice A = 4 Si trovi una matrice diagonale D e una matrice 4 4 ortogonale M tali che D = M t AM 6 / 3 / / 6 Soluzione: D =, M = / 3 / / 6 6 / 3 / 6 Esercizio Si trovino matrici D diagonale e M ortogonale tali che D = M t M Soluzione: D = + / / /, M = / / / / / Esercizio Sia f : R R l unico endomorfismo tale che f (a) È vero che f è simmetrico? (b) Si calcoli la matrice canonica di f ( ) ( ) 4 =, f Soluzione: a) ) Si, perchè i f è diagonalizzabile e i due autospazi sono ortogonali ( ) ( ) 7 = 4 b) ) Se A è la matrice canonica M la matrice di passaggio dalla base canonica alla base ortonormale ottenuta normalizzando i due autovettori, abbiamo A = M ( ) M t = 7 ( / / / / ) ( ) ( ) / / 7 / / = ( ) 3 6 Esercizio 3 Sia U il sottospazio dato dalle soluzioni dell equazione x + y = (a) Trovare una base ortonormale di U ed estenderla ad una base ortonormale di R 3 (b) Sia f : R 3 R 3 simmetrico con Ker f = U Trovare le matrice canonica di f (Suggerimento f come sopra non è unica, quindi la matrice dipenderà da un parametro)

5 Soluzione: a) è facile vedere che U = L[, ], la base è già ortogonale quindi una base ortonormale di U è {u =, u = } Per l esercizio??, il sottospazio U è generato dal vettore w = Pertanto B = {u, u, w} è una base ortonormale di R 3 che estende la base data b) ) Poichè f è simmetrico, è diagonalizzabile quindi deve esserci un autospazio di dimensione ortogonale a E() = Ker f = U Quindi questo autospazio deve essere U L autovalore non si ricava dai dati del problema, quindi può essere qualsiasi k R Sappiamo già f(e 3 ) =, calcolando i coefficienti di Fourier e = u + w dunque f(e ) = k w, e allo stesso modo, f(e ) = k w Poichè la matrice di f rispetto a B é diagonale con elementi sulla diagonae,, k si poteva anche calcolare k/ k/ / / k/ 4k/ = / / / / k / / Esercizio 4 Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita,, una forma bilineare simmetrica, U, W sottospazi Si mostri che (a) Se W U allora U W Soluzione: I vettori di U sono ortogonali a tutti i vettori di U, quindi a tutti quelli di W (b) (U + W ) = U W Soluzione: Se v (U + W ) allora poichè U U + W e W U + W avremo che per ogni u U, w W v, u, = u, w, =, quindi (U + W ) (U + W ) D altra parte visto che ogni vettore di U + W si scrive come u + w con u U, w W, se v U W allora v, u + w = v, u + v, w = + quindi abbiamo l altra inclusione (c) (U V ) = U + W Soluzione: Esercizio Sia V uno spazio vettoriale,, un prodotto scalare su V Siano u, v V vettori tali che u, v, u, u = v, v = Si trovi un vettore w V tale che w, w = Soluzione: Ad esempio u + v Infatti si ha u + v, u + v = u, u + v, v + u + v, u + v Esercizio 6 Sia V uno spazio vettoriale su R di dimensione finita n V il suo duale, cioè lo spazio delle applicazioni lineari da V in R Se U è un sottospazio di V, definiamo l annullatore di U Ann(U) = {f V : f(u) = u U} (a) Si mostri che Ann(U) è un sottospazio di V e se ne determini la dimensione in funzione della dimensione di U e V (Suggerimento: per determinare la dimensione si scriva una base di V ottenuta estendendo una base di U e si scriva la base che abbiamo usato nel determinare la dimensione di Lin(V, W ) in questo caso Soluzione: Se f(u) = g(u) = per ogni u U allora per ogni a, b R af(u)+bg(u) = (af +bg)(u) = quindi l annullatore è chiuso per combinazioni lineari e ovviamente contiene lo ossia la funzione identicamente nulla

6 Sia ora una u,, u k, u k+,, u n una base di V in cui i primi k vettori sono una base di U (che quindi ha dimensione k) Una base di V è data da n funzioni f,, f n che sono le uniche applicazioni lineari da V in R tale che f i (u j ) = δ ij Allora f = a f + + a n f n appartiene all annullatore di U se e solo se a = = a k = quindi la dimensione dell annullatore è n k (b) Sia ora g una forma bilineare su V e sia T : V V l applicazione indotta da g, definita da T (u) = g u dove g u è definita ponendo g u (v) = g(u, v) R Si mostri che se U è un sottospazio di V allora T (U ) Ann(U) e se g è non degenere allora vale l uguaglianza Soluzione: Se w U allora per ogni u U abbiamo g(w, u) = g w (u) = dunque T (w) Ann(U) Se g è non degenere, allora T è isomorfismo, quindi suriettiva, quindi per qualsiasi f Ann(U) abbiamo f = g v per qualche v V Ma deve essere g v (u) = g(v, u) = per ogni u U dunque v U e abbiamo mostrato la disuguaglianza opposta (c) Si dimostri che se g è non degenere, U sottospazio di V, allora U U = V Soluzione: Che l intersezione sia banale lo abbiamo visto in classe Per quanto visto prima T è un isomorfismo di U con l annullatore di U dunque la dimensione di U U è k + n k = n