Algebra Proff. A. D Andrea e P. Papi Primo scritto

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1 Algebra Proff. A. D Andrea e P. Papi Primo scritto 6 febbraio 8 Nome e Cognome: Numero di Matricola: Esercizio Punti totali Punteggio otale 3 Occorre motivare le risposte. Una soluzione corretta priva di motivazione riceverà punti. Il tempo a disposizione è due ore e mezzo. Non si possono usare testi e i cellulari devono essere tenuti spenti e non in vista. Si possono consultare due fogli formato A4 con eventuali appunti. Voto/3:

2 Esercizio. generatori. Determinare i sottogruppi di (Z 6, +); di ciascun sottogruppo ciclico elencare i Calcolare il numero di elementi di ordine 6 nel gruppo simmetrico S 6. Il gruppo è ciclico e ha 6 elementi. Per il eorema di Lagrange, l ordine di ciascun suo sottogruppo è un numero che divide 6, e quindi,, 4, 8 oppure 6. Sempre per il eorema di Lagrange, l ordine di un elemento di ciascun sottogruppo divide l ordine del sottogruppo al quale appartiene; calcoliamo quindi l ordine degli elementi di Z 6. L identità ha ordine ; l elemento 8 ha ordine ; gli elementi 4 e hanno ordine 4; gli elementi, 6,, 4 hanno ordine 8; tutti i dispari hanno ordine 6. Un sottogruppo di ordine 8 può contenere solo elementi di ordine,, 4, 8; ma in totale questi sono esattamente 8, quindi l unico sottoinsieme con 8 elementi che può essere un sottogruppo è {,, 4, 6, 8,,, 4}, che è effettivamente il sottogruppo generato da. Per le altre possibili cardinalità si procede alla stessa maniera, e si ottiene che: l unico sottogruppo di ordine è {, 8}; l unico sottogruppo di ordine 4 è {, 4, 8, }; l unico sottogruppo di ordine è {,, 4, 6, 8,,, 4}. Ciascun sottogruppo è ciclico; ciascun elemento di ordine n in un sottogruppo di ordine n ne è un generatore ciclico. Gli elementi di ordine 6 sono i 6-cicli e i prodotti di un 3-ciclo e una trasposizione disgiunti. Procedendo come fatto a lezione più volte, si vede che i 6-cicli sono 5! =, mentre i prodotti disgiunti di 3-cicli e trasposizioni sono 5 4! =. In totale, abbiamo 4 elementi di ordine 6 in S 6.

3 Esercizio. Risolvere il sistema di congruenze { 3x 7 mod 3 7x 3 mod 5. L inverso di 3 modulo 3 è 9, mentre l inverso di 7 modulo 5 è 3. Moltiplicando ciascuna congruenza per tali numeri si ottiene il sistema equivalente { x mod 3 x 9 mod 5. Con un po d occhio, o con qualsiasi altra procedura, si vede che 4 risolve il sistema. Per il teorema cinese dei resti, la soluzione generale è allora x 4 mod 95 =

4 Esercizio 3. L applicazione lineare : R 3 R 3 soddisfa:. ker è generato dal vettore ;. l autospazio di autovalore ha equazione x + x + x 3 =. Scrivere la matrice associata a utilizzando le basi canoniche sia in partenza che in arrivo. Dire se è diagonalizzabile. Innanzitutto, la somma delle molteplicità geometriche degli autovalori di è almeno 3 (gli autovalori che conosciamo hanno molteplicità geometriche e, e potrebbero esserci in principio altri autovalori). Pertanto la somma delle molteplicità geometriche degli autovalori di è esattamente 3 (poiché non può superare dim R 3 ), non ci sono altri autovalori, la molteplicità geometrica dell autovalore è esattamente, e è diagonalizzabile. Una base dell autospazio di autovalore è data, ad esempio, dai vettori (,, ) e (,, ). Pertanto, sappiamo che =, =, =. Da queste informazioni, si ricava facilmente per linearità che =, =, =. La matrice associata a è quindi. 4

5 Esercizio 4. Sia V lo spazio vettoriale delle matrici 3 3 a coefficienti reali, e sia S V il sottoinsieme delle matrici antisimmetriche (cioè delle matrici uguali a meno la propria trasposta: A = A t ). Mostrare che S è un sottospazio vettoriale di V. Calcolare la dimensione di S esibendone una base. Completare la base trovata ad una base di V. Una matrice è antisimmetrica se è della forma a b a c b c = a + b + c, pertanto S è il sottospazio generato dalle tre matrici scritte a secondo membro che, essendo linearmente indipendenti, ne formano anche una base. La dimensione di S è allora uguale a 3. In modo simile, ci si convince che dim V = 9. Per completare una base di S ad una di V dobbiamo aggiungere 9 3 = 6 elementi. Una possibilità è quella di aggiungere,,,,,. Si vede infatti molto facilmente che le nove matrici così ottenute sono tra loro linearmente indipendenti (provate!). 5

6 Esercizio 5. Per ciascuna delle seguenti affermazioni, dare una dimostrazione se è vera o esibire un controesempio se è falsa.. Se v, v sono due autovettori non proporzionali per un applicazione lineare F : R N R N relativi allo stesso autovalore, allora v, v sono linearmente indipendenti.. Se due permutazioni in un gruppo alterno A n hanno lo stesso ordine, allora sono coniugate. 3. Siano A, B matrici quadrate a coefficienti reali. Se AB è invertibile allora sia A che B sono invertibili. 4. Siano A, B matrici quadrate a coefficienti reali. Se A + B è invertibile allora sia A che B sono invertibili. 5. Un gruppo di ordine 7 non ha sottogruppi non banali.. Vero. In generale, due vettori non proporzionali sono linearmente indipendenti; il resto della frase serve solo a distrarre!. Falso. ( 3 4 5) e ( 3 5 4) hanno lo stesso ordine (e persino la stessa struttura ciclica!!!) ma non sono coniugate in A Vero. Se AB è invertibile, allora det(ab) = det(a) det(b) è diverso da. Ma allora sia det(a) che det(b) sono diversi da, e quindi A e B sono entrambe invertibili. 4. Falso. + =. uttavia, l identità è invertibile, mentre i due addendi sono matrici non invertibili (hanno determinante nullo). 5. Vero. Un gruppo di ordine 7 ha solo sottogruppi di ordine che divide 7, che è primo. Pertanto, i soli sottogruppi hanno ordine o 7, e sono quindi banali. 6