3. Vettori, Spazi Vettoriali e Matrici

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1 3. Vettori, Spazi Vettoriali e Matrici Vettori e Spazi Vettoriali Operazioni tra vettori Basi Trasformazioni ed Operatori Operazioni tra Matrici Autovalori ed autovettori Forme quadratiche, quadriche e quadriche in forma canonica

2 Vettori e Matrici Un vettore è un insieme ordinato di grandezze Ogni vettore è un punto in uno spazio vettoriale Lo spazio vettoriale è identificato da una base di vettori di riferimento, gli elementi dei vettori sono quindi le coordinate nella base di riferimento. Ogni dato multivariato è descritto in uno spazio vettoriale (cartesiano) in cui gli assi di base sono le grandezze che compongono il vettore stesso. Una matrice è una collezione di vettori riga. 2

3 Esempio 2D Acidità clorofilla clorofilla [2.68, 3.66] acidità 3

4 Notazione di vettori e matrici Vettore Matrice 4

5 Prodotto interno o scalare x,y x T y y T x Operazioni tra vettori Modulo (Norma) di un vettore (Teorema di Pitagora, distanza Euclidea) Proiezione ortogonale di y su x d x x T x x k 2 k1 d k1 x k y k y y T u x u x x u x versore di x (stessa direzione e modulo unitario) u x Angolo tra vettori cos xy xt y x y 5

6 Operazioni tra vettori Due vettori sono detti: Ortogonali se x T y 0 Ortonormali se x T y 0 e x y 1 Un insieme di n vettori è detto linearmente dipendente se: a 1 x 1 a 2 x 2 a n x n 0 per a k 0 Un insieme di n vettori è detto linearmente indipendente se: a 1 x 1 a 2 x 2 a n x n 0 per a k 0 k 6

7 Operazioni tra matrici Il determinante di una matrice quadrata A dxd è definito come: det A d d i1 k1 a ik deta ik k j 1 Dove A ik è la matrice minore di A ottenuta rimuovendo da A la i-esima riga e la j-esima colonna La traccia di A è la somma degli elementi diagonali Tr A d k1 a kk Il rango di A è il numero massimo di righe (o colonne) linearmente indipendenti Una matrice quadrata è detta non-singolare se il rango coincide con la dimensione Una matrice non singolare ha determinante non nullo 7

8 Prodotto tra matrici prodotto righe per colonne A mn B nq C mq a b u v w au bx av by aw bz c d x y z cu dx cv dy cw dz 8

9 Operazioni tra matrici Matrici speciali: Identità: Diagonale: I a a a nn Una matrice quadrata è detta ortonormale se A T A AA T I La matrice inversa di una matrice quadrata è definita come: A 1 A AA 1 I La matrice inversa esiste se e solo se A è non singolare La matrice pseudo-inversa estende il concetto di matrice inversa a matrici rettangolari o a matrici quadrate singolari A A T A 1 A T con A A I 9

10 Spazio vettoriale Lo spazio a dimensione dove risiedono vettori a dimensione n è detto spazio vettoriale. Un insieme di vettori {u 1,u 2,,u n } forma una base dello spazio vettoriale se qualunque vettore può essere rappresentato come combinazione lineare dei {u i } x a 1 u 1 a 2 u 2 a n u n I coefficienti {a i } sono le componenti di x nella base {u} Per formare una base i vettori{u} devono essere linearmente indipendenti Una base è detta: ortogonale : u T 0 i j i u j 0 i j ortonormale : u T 1 i j i u j 0 i j Gli assi cartesiani sono un esempio di base ortonormale Data una base qualunque si può costruire una base ortonormale con il procedimento di proiezione di Gram-Schmidt La distanza tra due vettori dello spazio è definita come il modulo del vettore differenza (distanza euclidea) 10

11 Trasformazioni Lineari Una trasformazione lineare è una regola che associa ad ogni vettore dello spazio X N un vettore nello spazio Y M, la trasformazione lineare è rappresentata da una matrice Dato un vettore xx il corrispondente vettore y Y è dato da: y 1 a 11 y 1 a 21 y M a 12 a 22 a 13 a 23 a M 1 a M 2 a M 3 Le dimensioni degli spazi di partenza e di arrivo sono generalmente diverse Una trasformazione lineare rappresentata da una matrice A è detta ortonormale se AA T =A T A=I Implica che A T =A -1 Una trasformazione ortonormale preserva il modulo del vettore a 1N a 2N a MN x 1 x 1 Y Mx1 A MxN X Nx1 x N y y T y Ax T Ax x T A T Ax x T x x Quindi una matrice ortonormale compie una operazione di rotazione del sistema di riferimento I vettori riga di una trasformazione ortonormale formano una base ortonormale. 11

12 Autovettori ed autovalori Un vettore v è autovettore della matrice A NxN se esiste uno scalare (autovalore) tale che: Calcolo dell autovalore: A v v A v v A Iv 0 A I 0 La matrice formata dagli autovettori colonna è detta matrice modale Proprietà: Se A è non singolare tutti gli autovalori sono non zero Se A è reale e simmetrica tutti gli autovettori associati ad autovalori distinti sono ortogonali 12

13 Intepretazione degli autovettori Se A è una matrice che descrive una trasformazione lineare allora un autovettore rappresenta una direzione invariante nello spazio vettoriale Esempio: Matrice di rotazione che ruota vettori nello spazio 3D attorno all asse z ha come singolo autovettore [0 0 1] e 1 come autovalore corrispondente cos sin 0 A sin cos x y 13

14 Forme quadratiche L equazione generica di una curva quadratica (es. ellisse) è generalmente scritta in forma implicita a x 2 2b xy c y 2 k E noto come la equazione si semplifichi con un cambiamento di base da x,y agli assi principali dell ellisse 1 x 2 2 y 2 k L equazione della quadrica si può scrivere in forma matriciale come: a x 2 2b xy c y 2 x y a b x b c y Gli assi principali dell ellisse coincidono con gli autovettori della matrice associata e gli autovalori sono proprio i termini che compaiono nella equazione canonica. 14

15 Esempio di calcolo di autovettori e autovalori 13 x 2 10 x y 13 y x x y y A v v A I v 0 deta I 0 det ; 2 18 y v v 1 x A 1 I v 1 0 v v 0 v A 2 I v v v 2 0 v v v

16 Quadriche in forma canonica Gli autovettori della matrice generatrice della quadrica formano una base nella cui base la quadrica è scritta in forma canonica, quindi la matrice generatrice diventa diagonale. a x 2 2b xy c y 2 x a y b b x 1 u 2 2 w 2 u c y w 1 0 u o 2 w Le quadriche non definiscono solo le ellissi il segno degli autovalori consente di discriminare il tipo di curva: 1 >0 e 2 >0 ellisse 1 2 <0 iperbole 1 =0 e 2 >0 retta 16

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