OLITECNICO DI MILANO I FACOLTÀ DI INGEGNERIA 1 APPELLO DI GEOMETRIA 19 GENNAIO 2009

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1 OLITECNICO DI MILANO I FACOLTÀ DI INGEGNERIA 1 APPELLO DI GEOMETRIA 19 GENNAIO 2009 Decidere se le seguenti affermazioni sono vere o false barrando le caselle opportune: Se le matrici A e B sono diagonalizzabili, anche la matrice A+B è diagonalizzabile. Ogni autovalore semplice è regolare. Una matrice ortogonalmente diagonalizzabile è simmetrica. Se X e Y sono due autovettori, il rango della matrice XY T è 1. Ogni matrice ortogonale impropria di ordine 2 è la matrice di una rotazione nel piano. L equazione di una conica col centro nell origine è priva del termine noto. Una forma quadratica di rango 2 è riducibile. Se r ed s sono due rette sghembe, il minimo segmento RS con R r ed S rs è ortogonale ad entrambe. Si considerino i 3 piani: p) kx+y = 1, q) y+kz = 1, r) 2x+ky+z = 2 (k reale). spondere ai seguenti quesiti: un punto Per k = 0, i tre piani hanno in comune nessun punto una retta passano per una stessa retta Per k = 3, i tre piani non hanno punti in comune hanno uguali distanze dall origine sono paralleli a una stessa retta Per k = 1, i tre piani hanno in comune un punto hanno in comune due punti Per k = -1, il piano q taglia gli altri due secondo due rette parallele incidenti sghembe

2 Si considerino le matrici: O = , P = , Q = , R = occhi B = P Q O R. Rispondere ai seguenti quesiti: V e la matrice a F λ 2 (λ 1)(λ 2) Il polinomio caratteristico di B è λ(λ 1) 2 (λ 2) λ(λ 1)(λ 2) 2 diagonalizzabile La matrice B è invertibile triangolare a blocchi simmetrica La matrice B+BT è diagonalizzabile ortogonale simmetrica La matrice B BT è diagonalizzabile ha rango 2 Si considerino la matrice A = spondere ai seguenti quesiti: 0 k 1 k k-2 (k reale) e il vettore X = [x y 1]T.. è la matrice dei coefficienti di una conica Per ogni k 1, A ha tutti gli autovalori reali è ortogonalmente diagonalizzabile semplice Per k = 1, A ha un autovalore nullo doppio regolare Per k = 1, la matrice A 2 ha tre autovettori reali indipendenti ha tre autovettori reali mutuamente ortogonali

3 OLITECNICO DI MILANO I FACOLTÀ DI INGEGNERIA 1 I APPELLO DI GEOM.ETRIA 3 FEBBRAIO 2009 Decidere se le seguenti affermazioni sono vere o false barrando le caselle opportune: Due matrici simili hanno lo stesso numero di colonne indipendenti. Se X è un autovettore di A, X è un autovettore di A. Se la matrice A 3-5I non è diagonalizzabile, A non può avere tutti gli autovalori regolari. Se X è un autovettore di A associato all autovalore λ, f(x) è un autovettore di f(a) associato all autovalore f(λ). Le coniche di equazione x 2 +y 2 -hy = 0 sono circonferenze con i centri sull asse x. Se tre piani sono paralleli, la matrice quadrata dei coefficienti delle loro equazioni ha rango 2. Le equazioni (x-1) 2 +2y 2 =1 e (x-1) 2-2y 2 =1 rappresentano due coniche concentriche. Gli asintoti di un iperbole sono le bisettrici degli assi. Si considerino le coniche F di equazione x 2-2xy - 2y + k = 0 spondere ai seguenti quesiti: (k R). un ellisse Per ogni valore di k, la conica F è una parabola un iperbole è il punto C(-1,-1) Per ogni valore di k, il centro di F è l intersezione degli asintoti non esiste (= F non è a centro) è degenere Per k = 0, la conica F è tangente all asse x ha il centro nell origine degenere Per k = -1, la conica F è tangente alla retta 2y+1 = 0 priva di punti reali

4 Sia A una matrice non diagonalizzabile di ordine 5 con due soli autovalori distinti α e β. ispondere ai seguenti quesiti: α è un autovalore regolare Se r(αi-a) = 2 ed α è triplo, β è un autovalore regolare r(βi-a) > 3 α è un autovalore regolare Se α ha molteplicità 4, β è un autovalore regolare r(βi-a) > 3 idempotente Per α = 0 e β = 1, la matrice A può essere nilpotente ortogonale Se A è reale, la matrice AAT è ortogonalmente diagonalizzabile ha cinque autovettori mutuamente ortogonali ha cinque autovettori reali Si considerino le matrici B = spondere ai seguenti quesiti: 2 h 0 h h e P = è diagonalizzabile Per ogni h reale, la matrice B ha tutti gli autovalori reali è singolare ha tutti gli autovalori 0 Per h = 2, la matrice B ha tutti gli autovalori positivi ha tutti gli autovalori negativi è reale e simmetrica Per h = 1, la matrice (B - 2I) 2 ha gli autovalori distinti

5 OLITECNICO DI MILANO I FACOLTÀ DI INGEGNERIA II APPELLO DI GEOM.ETRIA 23 FEBBRAIO 2009 Decidere se le seguenti affermazioni sono vere o false barrando le caselle opportune: Il prodotto di due matrici simmetriche è una matrice simmetrica. Se X, Y, Z sono vettori, r[x Y Z] = r[x+y Y-Z 3Z]. Ogni matrice quadrata è radice del suo polinomio caratteristico. I vettori [i 1]T e [-i 1]T sono ortogonali. In una matrice ortogonale, la somma dei quadrati degli elementi principali è 1. Due iperboli con gli stessi assi hanno gli stessi asintoti. Due ellissi con gli stessi vertici coincidono. Se la retta r è sghemba con s ed s è sghemba con t, allora r è sghemba con t. Si considerino la matrice reale C = k -2 5 k e il vettore X = [x y 1]T. spondere ai seguenti quesiti: per ogni k C è simile alla matrice D = diag(2, 3, 2) per k = 3 per k = 1 C e D hanno lo stesso polinomio caratteristico per ogni k solo per k = 3 solo per k = 1 Per ogni k, la matrice C + CT è diagonalizzabile ha tre autovettori mutuamente ortogonali ha un autovalore reale

6 Si consideri la matrice reale A =. Rispondere ai seguenti quesiti: h h 1-h = 2 r(ata) > 2 < 2 = det (AAT) det (ATA) = det A detat = 0 entrambe diagonalizzabili Le matrici AAT ed ATA sono entrambe simmetriche simili tra loro ogni h La matrice AAT è invertibile per 3 soli valori di h nessun valore di h Si considerino le rette: r : hx + y - z = h+1 2x+hy+(1-h)z = h spondere ai seguenti quesiti: ed s: x = h - t y = h + 2t z = (1+h) 2t (h e t reali). per ogni valore di h r è definita solo per h 2 solo per h ± 2 per h = 2 r è parallela al piano xy per h = - 2 per h = 2 per un solo valore di h r è incidente all asse y per due valori di h per nessun valore di h

7 OLITECNICO DI MILANO I FACOLTÀ DI INGEGNERIA V APPELLO DI GEOMETRIA 10 GIUGNO 2009 Decidere se le seguenti affermazioni sono vere o false barrando le caselle opportune: Se la matrice A è simile a una matrice diagonalizzabile, anche A è diagonalizzabile. Se X e Y sono due vettori non nulli, il rango della matrice XY T è 1. Ogni matrice simmetrica è ortogonalmente diagonalizzabile. L equazione (x - y) 2 + x = 0 rappresenta una parabola. Le colonne di una matrice ortogonale formano un sistema ortonormale. Ogni matrice quadrata è radice del suo polinomio caratteristico La distanza di un piano dall origine è il termine noto della sua equazione. L equazione 3x 2 -xy+y 2-2x+y = 0 rappresenta una conica tangente alla retta y = 2x nell origine. Si considerino le matrici: H = , K = , L = , O = occhi B = HK O L. Rispondere ai seguenti quesiti: V e la matrice a F diagonale a blocchi La matrice B è triangolare a blocchi singolare = deth detl det B = det(hl) = 50 reali gli autovalori di B sono semplici regolari 4 autovettori indipendenti La matrice B possiede 3 autovettori indipendenti 2 soli autovettori indipendenti

8 Si considerino i piani: a) x+(h+1)y+(h 2 -h)z = 1, b) (h+1)x+hy+z = 0, c) y +hz = h (h reale) a matrice (quadrata) A dei coefficienti delle loro equazioni. Rispondere ai seguenti quesiti: h = 0 I tre piani non hanno punti in comune per h = 1 h = -1 per h = 1 I piani a e b sono ortogonali per h = - 2 mai Per h = 0, il piano c taglia gli altri due secondo due rette parallele incidenti sghembe è invertibile Per h = -1, la matrice dei coefficienti A è simile alla matrice -A è simile alla matrice A 2 Si considerino la matrice A dell esercizio precedente e il vettore X = [x y 1]T. Rispondere seguenti quesiti: è simmetrica per h = 0 La matrice A ha tutti gli autovalori reali per h = 1 è diagonalizzabile per h = -1 è un iperbole Per h = 0, la conica di equazione X T AX = 0 è una conica degenere passa per l origine è tangente all asse y Per h = 1, la conica di equazione X T AX = 0 ha il centro sulla retta x+2y = 0 è tangente alla retta 2y+1 = 0

9 OLITECNICO DI MILANO I FACOLTÀ DI INGEGNERIA APPELLO DI GEOMETRIA 8 LUGLIO 2009 Decidere se le seguenti affermazioni sono vere o false barrando le caselle opportune: Un polinomio di grado positivo s ha, nel campo complesso, s radici distinte. In una matrice triangolare, gli autovalori coincidono con gli elementi principali. Il determinante di una matrice triangolare a blocchi è la somma dei determinanti dei blocchi. Gli autovalori di una matrice emisimmetrica sono tutti nulli. Il prodotto di tre matrici ortogonali è ortogonale. L equazione 3x 2-2xy+y 2 +1 = 0 rappresenta una conica priva di punti reali. Se r ed s sono due rette sghembe, esiste un unico piano passante per r e parallelo ad s. Tre piani aventi due punti distinti in comune appartengono a un fascio. Si considerino i piani: α) x - ky+(k+1)z = k, β) 2x - kz = 0, γ) y - kz = 2 (k reale) a matrice (quadrata) M dei coefficienti delle loro equazioni. Rispondere ai seguenti quesiti: k = 2 I piani α e β sono ortogonali per k = 1 k = -2 per ogni k I tre piani hanno un solo punto in comune per k 2, -1/2 solo per k = 2 parallele Per k = 2, il piano α taglia β e γ secondo rette incidenti sghembe hanno in comune un punto

10 Si consideri la matrice reale A = h 7-4 h Rispondere ai seguenti quesiti: distinti Gli autovalori di A sono indipendenti da h regolari per due valori di h singolare Per h = 4, la matrice A è diagonalizzabile simile alla matrice diag(3, 3, 2) Per h = 1, la matrice A possiede tre autovettori indipendenti è la matrice dei coefficienti di un sistema lin. omogeneo senza autosoluzioni è simile alla matrice diag(2,3,2) distinti Per ogni h, la matrice A-AT ha gli autovalori regolari reali Si considerino la matrice B = A+A T +4I (dove A è la matrice reale dell esercizio precente) e i vettori X = [x y 1] T ed U = [h ]. Rispondere ai seguenti quesiti: La famiglia delle coniche di equazione X T BX = 0 contiene due parabole non degeneri un iperbole equilatera una conica col centro nell origine sono tutte irriducibili Le coniche di equazione X T BX = 0 hanno nell origine la stessa tangente sono tutte a centro Per ogni h, la matrice B è diagonalizzabile ha tre autovettori mutuamente ortogonali ha un autovalore immaginario

11 OLITECNICO DI MILANO I FACOLTÀ DI INGEGNERIA ROVA COMPLEMENTARE I GEOMETRIA 26 GENNAIO 2009 Si consideri la matrice A = a a a 3 +a 2 +a i) Determinare i valori del parametro a per cui A è reale e simmetrica. ii) iii) Per ciascuno dei valori reali trovati, scrivere le equazioni cartesiane delle coniche che hanno A come matrice dei coefficienti e riconoscerle. Per il più piccolo di tali valori, costruire una matrice ortogonale U che diagonalizzi A. iv) Per il più grande di tali valori, esprimere la matrice A -1 (se esiste) come polinomio in A.

12 OLITECNICO DI MILANO I FACOLTÀ DI INGEGNERIA ROVA COMPLEMENTARE I GEOMETRIA 11 FEBBRAIO 2009 consideri la famiglia R delle coniche di equazione α(-3x 2-2x +y+ 1/2) +β( 2xy - x + y ) + γ( x 2 +y 2-2y) = 0 (α, β, γ reali) Scrivere l equazione della conica K di R che ha il centro nell origine Verificare che K è un iperbole irriducibile e trovarne gli asintoti Scrivere le equazioni degli assi di K e la sua equazione canonica Trovare una matrice ortogonale U che diagonalizzi la matrice dei coefficienti di K (facoltativo) Verificare che le tangenti a K nei punti P(0,1) e Q(0.-1) sono parallele

13 OLITECNICO DI MILANO I FACOLTÀ DI INGEGNERIA ROVA COMPLEMENTARE I GEOMETRIA 2 MARZO 2009 Si considerino la matrice A = 1 α 3α α 1-2α -1 3α α e il vettore X = x y Determinare il valore del parametro α per cui l equazione XTAX = 0 rappresenta un iperbole equilatera K (non degenere) e trovare centro e asintoti di K. 2. Determinare un valore del parametro α per cui l equazione XTAX = 0 rappresenta una conica H degenere. Per tale valore trovare, se esistono, tre autovettori mutuamente ortogonali di A. 3. Detto S il sistema lineare omogeneo che ha A come matrice dei coefficienti, determinare il numero di soluzioni indipendenti di S per i due valori di α trovati. 4. Esprimere la matrice A 5 come polinomio in A di grado < 3 usando il teorema di Cayley-Hamilton.