Facoltà di INGEGNERIA E ARCHITETTURA Anno Accademico 2016/17 Registro lezioni del docente ZUDDAS FABIO

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1 Facoltà di INGEGNERIA E ARCHITETTURA Anno Accademico 2016/17 Registro lezioni del docente ZUDDAS FABIO Attività didattica GEOMETRIA E ALGEBRA [IN/0079] Periodo di svolgimento: Secondo Semestre Docente titolare del corso: ZUDDAS FABIO matr Riepilogo registro docente: ZUDDAS FABIO matr Docente interno - PROFESSORE ASSOCIATO Stato registro docente: Bozza Ore inserite: 70 ore Ore previste dall'offerta didattica: 70 ore Gruppi di studenti con i quali è stata svolta l'attività - ore per gruppo - prevista per tutti gli studenti (senza gruppi associati) - 70 ore Ore inserite per tipologia di attività 70 ore lezione : - prevista per tutti gli studenti (senza gruppi associati) - 70 ore Osservazioni: Firma del docente titolare del corso: Firma del presidente: Data: Pagina 1 di 9

2 Dettaglio delle attività svolte: GEOMETRIA E ALGEBRA [IN/0079] 28/02/ lezione - Lezione 1 Introduzione al corso. Vettori applicati nel piano e nello spazio: somma di vettori e prodotto per scalari e proprietà, definizione di spazio vettoriale. 01/03/ lezione - Lezione 2 Basi di uno spazio vettoriale e coordinate. Calcolo e di lunghezze e angoli nello spazio dei vettori applicati rispetto a una base ortonormale 03/03/ lezione - Ora fine: 14:00 Lezione 3 Prodotto scalare standard e definizione di prodotto scalare in generale; disuguaglianza di Cauchy- Schwarz e disuguaglianza triangolare (enunciati). Coordinate di un punto nello spazio, equazioni parametriche e cartesiane di piani e rette 06/03/ lezione - Lezione 4 Normale a un piano in equazione cartesiana e esercizi sulla perpendicolarità. Retta per due punti e piano per tre punti. Introduzione ai sistemi di equazioni lineari: definizione di soluzione, esempi, matrice completa del sistema Pagina 2 di 9

3 07/03/ lezione - Lezione 5 Metodo di eliminazione di Gauss-Jordan: operazioni elementari e dimostrazione del fatto che non modificano le soluzioni del sistema; esempi. 08/03/ lezione - Lezione 6 Sistemi omogenei, numero di pivot e parametri nella soluzione generale, dipendenza lineare di equazioni. Passaggio da cartesiane a parametriche per rette e piani. 13/03/ lezione - Lezione 7 Posizione reciproca di due rette; piano che contiene due rette. La nozione di campo e il campo dei numeri complessi (in particolare: inverso, coniugato, norma di un numero complesso). Vettori indipendenti e generatori in un generico spazio vettoriale su un campo K 14/03/ lezione - Lezione 8 basi, dimensione, coordinate: definizioni e esempi. Dimostrazione dell'unicità delle coordinate rispetto a una base; enunciato (senza dimostrazione) dei fatti seguenti: (1) la dimensione è il minimo numero di generatori (2) la dimensione è il massimo numero di vettori indipendenti (3) n vettori in uno spazio di dimensione n sono indipendenti se e solo se sono generatori. Esercizi (determinare se dei vettori sono indipendenti o formano una base) Pagina 3 di 9

4 15/03/ lezione - Lezione 9 Sottospazi: definizione, esempi nello spazio dei vettori geometrici, sottospazio generato da un insieme di vettori, dimostrazione del fatto che l'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo forma un sottospazio (con esempio) e caso dei sistemi non omogenei(prima parte) 20/03/ lezione - Lezione 10 Sottospazi affini e dimostrazione del fatto che l'insieme delle soluzioni di un sistema non omogeneo è un sottospazio affine. Intersezione e somma di sottospazi: definizione, esempi, formula di Grassmann; somma diretta e sottospazi supplementari. Rango di matrici: definizione e esempi. Determinante: definizione e sviluppo di Laplace. 21/03/ lezione - Lezione 11 Proprietà del determinante: additività e omogeneità rispetto alle righe (con dim.), antisimmetria (senza dim.); il determinante si annulla se e solo se la matrice non ha rango massimo (con dim.). Matrici triangolari superiori, inferiori, diagonali e loro determinante. Il criterio dei minori orlati (senza dim.) 22/03/ lezione - Lezione 12 Applicazioni geometriche del determinante (equazione cartesiana di un piano; complanarità di due rette). Esercizi sull'intersezione e la somma di due sottospazi Pagina 4 di 9

5 27/03/ lezione - Lezione 13 Applicazioni lineari: definizione, esempi geometrici. Matrice associata a un'applicazione lineare: definizione, proprietà di "tradurre" l'applicazione in coordinate (con dim.), esempi (rotazioni nel piano e nello spazio, riflessioni, proiezioni) 28/03/ lezione - Lezione 14 Composizione di applicazioni lineari e prodotto righe per colonne tra matrici. Proprietà del prodotto: non commutatività, associatività, esistenza dell'elemento neutro 29/03/ lezione - Lezione 15 Definizione di inversa di una matrice e metodi di calcolo: riduzione a gradini (con dim.) e dimostrazione del fatto che una matrice quadrata è invertibile se e solo se il suo rango è massimo; formula dei cofattori (prima parte). Forme quadratiche su R^n: (semi)definite positive/negative, indefinite, criterio delle sottomatrici principali. 03/04/ lezione - Ora inizio: 08:00 Ora fine: 11:00 Lezione 16 Criteri di positività per le forme quadratiche (seconda parte), senza dim.; forme quadratiche e prodotti scalari in R^n; matrici simmetriche (def.) Dimostrazione della formula dei cofattori per l'inversa di una matrice e esempi; teorema di Cramer (prima parte) Pagina 5 di 9

6 04/04/ lezione - Lezione 17 Teorema di Cramer (dimostrazione) e applicazioni (esercizio sulle coordinate); prodotto di matrici invertibili; inversa della trasposta. Richiami sull'iniettività, la suriettività e la biiettività di funzioni tra insiemi. 05/04/ lezione - Lezione 18 Suriettività di applicazioni lineari: immagine di un'applicazione, dimostrazione che si tratta di un sottospazio e insieme di generatori (con dim.); esempi. Iniettività di applicazioni lineari: nucleo, struttura delle controimmagini (con dim.); esempi. Teorema della dimensione, prima parte: enunciato e conseguenze (con dim.) 10/04/ lezione - Lezione 19 Dimostrazione del teorema della dimensione. Teorema di Binet (senza dim.) e determinante dell'inversa (con dim.); somma di matrici. Autovalori e autovettori: definizione, applicazioni, polinomio caratteristico, esercizi. Gli autospazi sono sottospazi vettoriali (con dim.) 11/04/ lezione - Lezione 20 molteplicità algebrica e molteplicità geometrica: definizioni e dimostrazione del fatto che la m.alg. è sempre maggiore o uguale della m.geom. Criterio di diagonalizzabilità (senza dim.) e esempi. Pagina 6 di 9

7 12/04/ lezione - Lezione 21 Definizione alternativa di diagonalizzabilità di una matrice (con dim.) e applicazioni. Matrici simmetriche: il polinomio caratteristico ha solo radici reali (con dim.), la matrice è diagonalizzabile (senza dim.), autovettori relativi a autovalori distinti sono ortogonali (con dim.) 26/04/ lezione - Lezione 22 Esercizi di richiamo su autovalori, autovettori e diagonalizzabilità. Coefficienti del polinomio caratteristico e traccia di una matrica (con dim.); relazione tra traccia, determinante e autovalori (con dim.) Definizione di matrici simili e dimostrazione del fatto che matrici simili hanno lo stesso determinante. 02/05/ lezione - Lezione 23 Isometrie lineari e matrici ortogonali. Determinazione di tutte le matrici di ortogonali di ordine 2 e corollario: le riflessioni e le rotazioni sono le uniche isometrie lineari in dimensione 2. Dimostrazione del fatto che il determinante di una matrice ortogonale è uguale a +1 o -1 (e definizione delle matrici ortogonali speciali) Dimostrazione del fatto che le matrici ortogonali speciali di ordine 3 rappresentano sempre una rotazione attorno a un asse. Pagina 7 di 9

8 03/05/ lezione - Lezione 24 Dimostrazione del fatto che le matrici ortogonali di ordine 3 con determinante -1 sono riflessioni o riflessioni rotatorie. Esercizio sulla composizione di due rotazioni. Formula della riflessione rispetto a un piano (con dim.) 08/05/ lezione - Lezione 25 Caratterizzazione delle matrici ortogonali come matrici le cui righe o colonne formano una base ortonormale (con dim.) Esercizio su come ottenere la matrice di una rotazione dati assi e angolo. Matrice di cambiamento di coordinate (def., esempio e proprietà) e relazione tra le matrici associate a uno stesso endomorfismo rispetto a basi diverse (con dim.). Matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico (con dim.) 09/05/ lezione - Lezione 26 Data una matrice simmetrica, esiste una matrice ortogonale che la diagonalizza: discussione e esercizio svolto. Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. 10/05/ lezione - Lezione 27 Metodo della rototraslazione per la riduzione a forma canonica delle coniche (con due esercizi) Pagina 8 di 9

9 15/05/ lezione - Lezione 28 Matrice completa associata all'equazione di una conica; congruenza di matrici e dimostrazione del fatto che matrici congruenti hanno lo stesso rango. Invarianti delle coniche (con esercizio). Le quadriche: elenco delle forme canoniche 16/05/ lezione - Lezione 29 Invarianti delle quadriche e criteri; esempi. Il prodotto vettoriale in R^3: definizione e proprietà 17/05/ lezione - Lezione 30 Norma del prodotto vettoriale in R^3 (con dim.) Cenni sul prodotto vettoriale tra vettori applicati, basi destrorse e sinistrorse. Dimostrazione della formula del cambiamento di coordinate. Richiami sui prodotti scalari, dimostrazione della disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e della disuguaglianza triangolare 22/05/ lezione - Ora fine: 16:00 Ore accademiche: 1 Lezione 31 Simulazione di compito d'esame Pagina 9 di 9