DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E INFORMATICA Corso di laurea in Matematica Anno accademico 2017/ anno

Transcript

1 DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E INFORMATICA Corso di laurea in Matematica Anno accademico 2017/ anno GEOMETRIA I MAT/03-12 CFU - Insegnamento annuale Docente titolare dell'insegnamento ELENA MARIA GUARDO guardo@dmi.unict.it Edificio / Indirizzo: Dipartimento di Matematica e Informatica Telefono: Orario ricevimento: giovedì dalle 12:30-13:30 oppure dietro appuntamento. L'orario dipende dai giorni in cui il docente ha lezione OBIETTIVI FORMATIVI L'obiettivo fondamentale del corso di Geometria I è quello di fornire alcuni strumenti di Algebra Lineare per il calcolo di autovettori ed autovalori di un endomorfismo tra spazi vettoriali, quali ad esempio, le proprietà delle matrici. Si forniscono alcune nozioni di Geometria nel piano e nello spazio, ed alcuni strumenti per lo studi di coniche del piano e quadriche dello spazio. In particolare, durante lo svolgimento del corso: Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): I laureati, alla fine del percorso formativo, devono: -comprendere enunciati e dimostrazioni di teoremi fondamentali nell'ambito dell'algebra, della geometria analitica, dell'algebra lineare, della geometria delle curve; dimostrare abilità matematiche nel ragionamento, nella manipolazione e nel calcolo; - risolvere problemi matematici che, pur non essendo comuni, sono di analoga natura ad altri già conosciuti dagli studenti. Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding) I laureati devono essere capaci di: - dimostrare risultati matematici noti con tecniche diverse da quelle conosciute; - costruire dimostrazioni rigorose; -costruire semplici esempi. Le sopraelencate abilità saranno conseguite attraverso un insegnamento interattivo: lo studente verificherà costantemente le proprie conoscenze, lavorando in modo autonomo o in collaborazione nell'ambito di piccoli gruppi di lavoro, su semplici nuovi problemi, proposti durante le esercitazioni, sia frontali che durante le ore di supporto. Autonomia di giudizio (making judgements) I laureati devono: - aver acquisito una consapevole autonomia di giudizio con riferimento alla valutazione e interpretazione della risoluzione di un problema di geometria; - essere in grado di costruire e sviluppare argomentazioni logiche con una chiara identificazione di assunti e conclusioni; - essere in grado di riconoscere dimostrazioni corrette, e di individuare ragionamenti fallaci. Questi obiettivi offrendo allo studente attività di esercitazione durante il

2 corso e di supporto integrativo al corso di Geometria I; esse saranno per lo studente occasioni per sviluppare in modo autonomo le proprie capacità decisionali e di giudizio. Le sopraelencate abilità saranno conseguite attraverso un insegnamento interattivo: lo studente del corso di laurea in Matematica verificherà costantemente le proprie conoscenze, lavorando in modo autonomo o in collaborazione nell'ambito di piccoli gruppi di lavoro, su semplici nuovi problemi, proposti durante le esercitazioni e durante il supporto. Abilità comunicative (communication skills) I laureati devono: - saper comunicare in modo chiaro e privo di ambiguità informazioni, idee, problemi, soluzioni e le loro conclusioni; - sapere presentare, oralmente o per iscritto, in modo chiaro e comprensibile, i più importanti teoremi dell'algebra lineare e della geometria analitica; - essere in grado di lavorare in gruppo e di operare con definiti gradi di autonomia. Per il raggiungimento delle abilità comunicative saranno previste ampie modalità di verifica e di discussione di elaborati scritti. La prova finale inoltre offrirà allo studente un'ulteriore opportunità di approfondimento e di verifica delle capacità di analisi, elaborazione e comunicazione del lavoro svolto. Capacità di apprendimento (learning skills): I laureati devono: - aver sviluppato le competenze necessarie per intraprendere studi successivi con un alto grado di autonomia; - possedere abilità di apprendimento e un elevato standard di conoscenza e competenza, tale da permettere l'accesso alle lezioni o ai programmi dei corsi di laurea magistrale in Matematica; - avere una mentalità flessibile, ed essere in grado di inserirsi prontamente negli ambienti di lavoro, adattandosi facilmente a nuove problematiche. La capacità di apprendimento sarà acquisita durante il corso di studio grazie alla suddivisione delle ore di lavoro complessive, che attribuisce un importante ed adeguato rilievo a quelle dedicate allo studio personale. PREREQUISITI RICHIESTI I prerequisiti sono quelli richiesti per l accesso al Corso di laurea. Per gli studenti con obblighi formativi aggiuntivi sono previsti dei corsi di recupero. FREQUENZA LEZIONI Propedeuticità: nessuna Frequenza: fortemente consigliata CONTENUTI DEL CORSO ALGEBRA LINEARE (I semestre, parte su cui si svolgerà la prima prova in itinere): I. Operazioni su un insieme. II. Matrici ad elementi in un campo e loro proprietà. III. Spazi vettoriali e loro proprietà. IV. Determinante di una matrice quadrata e sue proprietà. Matrici ridotte e metodo di riduzione. Rango delle matrici ridotte. Sistemi di equazioni lineari. Teorema di Rouchè-Capelli. Teorema di Cramer. Sistemi omogenei. Risoluzione dei sistemi lineari. V. Applicazioni lineari fra spazi vettoriali e loro proprietà. Il nucleo e l'immagine di una applicazione lineare. Iniettività, suriettività, isomorfismi. Teorema del Nucleo e dell' Immagine. Studio delle

3 applicazioni lineari. VI. Autovalori, autovettori ed autospazi di un endomorfismo. Endomorfismi diagonalizzabili e diagonalizzazione delle matrici. VII. Prodotto scalare in uno spazio reale. Metodo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Sottospazi di uno spazio euclideo e loro complemento ortogonale. Matrici ortogonali. GEOMETRIA ANALITICA (II semestre, parte su cui si svolgerà la seconda prova in itinere) I. II. III. IV. I vettori geometrici dello spazio ordinario. Sistemi di coordinate nel piano e nello spazio. Rette reali del piano e loro equazioni. Ortogonalità e parallelismo. I piani dello spazio ordinario. Le rette dello spazio e vari modi di rappresentarle. Ortogonalità e parallelismo. Rette complanari e rette sghembe. Distanze. Coniche nel piano e matrici ad esse associate. Classificazione delle coniche irriducibili. Polarità. Fasci di coniche. Le quadriche e matrici ad esse associate. Quadriche riducibili e irriducibili. Vertici delle quadriche e quadriche degeneri. Sezioni delle quadriche con piani tangenti. Equazioni ridotte. Ellissoidi, iperboloidi e paraboloidi. Sfere. Sezioni piane di una quadrica. TESTI DI RIFERIMENTO S. Giuffrida, A.Ragusa, Corso di Algebra Lineare, Ed. Il Cigno G.Galilei, Roma 1998 (Linear Algebra). C. Ciliberto, Algebra Lineare, Bollati-Boringhieri, 1994 (Linear Algebra) G. Paxia, Lezioni di Geometria, Spazio Libri, Catania, 2005 (Geometria) available at E. Sernesi, Geometria 1,Bollati- Boringhieri, II edition, 1989 (Geometry) PROGRAMMAZIONE DEL CORSO * Argomenti Riferimenti testi 1 * Matrici ad elementi in un campo. Somma tra matrici. Gruppo abeliano delle matrici. Prodotto di uno scalare per una matrice. Prodotto tra matrici. Proprietà delle operazioni tra matrici. Anello delle matrici quadrate. Matrici triangolari, diagonali e scalari. Matrici trasposte. Matrici simmetriche ed antisimmetriche 2 * Determinante di una matrice quadrata e sue proprietà. Teorema di Binet. Primo e secondo teorema di Laplace (no dim). Matrici invertibili. Matrice aggiunta. Calcolo dell'inversa di una matrice. Rango di una matrice. Matrici ridotte e metodo di riduzione. Rango delle matrici ridotte. Teorema di Kronecker (no dim). Sistemi di equazioni lineari. Teorema di Rouchè-Capelli. Teorema di Cramer. Sistemi omogenei. Risoluzione dei sistemi lineari. testo 1), 2)

4 3 * Spazi vettoriali e loro proprietà. Esempi: Kn, Km,n, K[X]. Sottospazi. Intersezione e somma di sottospazi. Somma diretta. Generatori di uno spazio. Spazi vettoriali finitamente generati. Dipendenza e indipendenza lineare. Criterio di indipendenza lineare. Base di uno spazio. Metodo degli scarti successivi. Completamento di un insieme libero ad una base. Lemma di Steinitz (no dim.). Dimensione di uno spazio vettoriale. Formula di Grassmann (no dim). Dimensione di una somma diretta. 4 * Applicazioni lineari fra spazi vettoriali e loro proprietà. Il nucleo e l'immagine di una applicazione lineare. Iniettività, suriettività, isomorfismi. Teorema del Nucleo e dell' Immagine. Studio delle applicazioni lineari. Matrice del cambio di base. Matrici simili. 5 * Autovalori, autovettori ed autospazi di un endomorfismo. Calcolo degli autovalori: polinomio caratteristico. Autospazi e loro dimensione. Indipendenza degli autovettori. Endomorfismi diagonalizzabili e diagonalizzazione delle matrici. 6 * Spazi con prodotto scalare (reale e complesso). Basi ortogonali, Insiemi e basi ortogonali in uno spazio euclideo. Basi ortonormali. Ortogonalizzazione (Gram- Schmidt). Sottospazi di uno spazio euclideo e loro complemento ortogonale. Matrici ortogonali. Teorema spettrale per matrici reali simmetriche (enunciato). 7 * I vettori geometrici dello spazio ordinario. Somma di vettori. Prodotto di un numero per un vettore. Prodotto scalare. Componenti dei vettori e operazioni mediante componenti. 8 * Sistemi di coordinate nel piano e nello spazio. Coordinate omogenee e punti impropri. Rette reali del piano e loro equazioni. Mutua posizione tra rette. Ortogonalità e parallelismo. Il coefficiente angolare di una retta. Fasci di rette. Distanze. I piani dello spazio ordinario. Le rette dello spazio e vari modi di rappresentarle. Ortogonalità e parallelismo. Rette complanari e rette sghembe. Angoli fra rette e piani. Fasci di piani. Distanze. 9 * Coniche nel piano e matrici ad esse associate. Invarianti ortogonali. Riduzione di una conica a forma canonica. Coniche riducibili e irriducibili. Significato geometrico del rango della matrice associata ad una conica. Classificazione delle coniche irriducibili. Studio delle coniche in forma canonica. Fuochi, direttrici ed eccentricità. Iperboli equilatere. Centro ed assi di simmetria. Circonferenze. Tangenti. Polarità. Fasci di coniche. 10 * Le quadriche e matrici ad esse associate. Quadriche riducibili e irriducibili. Vertici delle quadriche e quadriche degeneri. Coni e cilindri. Invarianti ortogonali. Rette tangenti e piano tangente. Polarità. Punti parabolici, iperbolici ed ellittici. Equazioni ridotte. Ellissoidi, iperboloidi, paraboloidi. Sfere. Sistemi di rette su una quadrica. Sezioni piane di una quadrica. testo 1), 2) * Conoscenze minime irrinunciabili per il superamento dell'esame.

5 N.B. La conoscenza degli argomenti contrassegnati con l'asterisco è condizione necessaria ma non sufficiente per il superamento dell'esame. Rispondere in maniera sufficiente o anche più che sufficiente alle domande su tali argomenti non assicura, pertanto, il superamento dell'esame. MATERIALE DIDATTICO su con avvisi oppure sulla pagina web del docente VERIFICA DELL'APPRENDIMENTO MODALITÀ DI VERIFICA DELL'APPRENDIMENTO a) esame finale: l'esame finale consiste in una prova scritta ed una orale alla fine del corso annuale e secondo il calendario degli esami. Lo studente può decidere di sostenere l'esame finale oppure di fare due prove in itinere scritte prima di sostenere la prova orale alla fine del corso. Nel caso in cui lo studente non supera una delle due prove in itinere, dovrà sostenere l'esame finale. La prova scritta è fissata secondo il calendario. La prova orale potrebbe anche non essere sostenuta nella data del calendario. Per il superamento della prova scritta dell'esame finale lo studente dovrà svolgere almeno due quesiti di Algebra Lineare ed uno di Geometria (o viceversa). La votazione della prova scritta consigliata per sostenere la prova orale è non inferiore a 12/30. b) criteri per l attribuzione del voto: sia per le prove in itinere che per l'esame finale, si terrà conto: della chiarezza espositiva, della completezza delle conoscenze, della capacità di collegare diversi argomenti. Si terrà in ogni caso conto, soprattutto nei primi appelli, del fatto che lo studente frequenta ancora il primo anno e difficilmente avrà acquisito la maturità che potrà essere invece richiesta negli anni successivi. Non è prevista la media tra il voto dello scritto e dell'orale DATE DEGLI APPELLI calendario degli esami: mi oppure su PROVE IN ITINERE Sono previste due prove in itinere. Entrambe le prove consistono in una prova scritta e si intendono superate con una votazione non inferiore ai 12/30. Ciascuna ha un valore pari a circa 1/3 dei CFU totali della materia (ovvero circa 4 crediti ciascuna). Essi verranno acquisiti solo e soltanto dopo aver superato entrambe le prove in itinere ed una prova orale. La prima prova in itinere si svolgerà durante il primo periodo di pausa delle lezioni. Generalmente, le date coincidono con quelle degli appelli previsti nella sessione di febbraio secondo il calendario delle prove scritte. Essa verterà su circa metà del programma.

6 La seconda prova in itinere si svolgerà alla fine del corso e verterà sulla seconda parte del programma (complementare alla prima parte). Le prove in itinere (superate entrambe con un voto non inferiore ai 12/30) hanno durata fino alla scadenza della sessione autunnale, ovvero l esame orale deve essere sostenuto entro e non oltre le date d esame previste dalla fine del corso fino alla sessione autunnale. Chi non supera una delle due prove in itinere, dovrà sostenere l'esame finale. N.B.:Lo studente acquisirà i CFU totali solo dopo aver superato entrambe le prove in itinere scritte e la prova orale.. PROVE DI FINE CORSO prova di fine corso: alla fine del corso è prevista una seconda prova in itinere solo per coloro che hanno superato la prima prova in itinere. Il superamento di entrambe le prove in itinere darà accesso alla prova orale. ESEMPI DI DOMANDE E/O ESERCIZI FREQUENTI Esercizi assegnati ed esercizi svolti su Domande frequenti esercizi/esami 1) Definizione di spazio vettoriale. Teorema sulle dimensioni di Nucleo ed Immagine di un applicazione lineare. Teorema di Cramer e Rouchè-Capelli. Criterio di indipendenza lineare. Criterio di indipendenza degli autospazi, molteplicità algebrica e geometrica, endomorfismi semplici. Controimmagine di un vettore. 2) Rette e piani nello spazio. Classificazione coniche. Rette tangenti. Classificazione quadriche. Piani tangenti. Vertici. Coni e cilindri. Sezioni piani di quadriche