Computazione per l interazione naturale: Richiami di algebra lineare

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1 Computazione per l interazione naturale: Richiami di algebra lineare Corso di Interazione uomo-macchina II Prof. Giuseppe Boccignone Dipartimento di Informatica Università di Milano boccignone@di.unimi.it //vettori Un vettore colonna D-dimensionale In 3 dimensioni

2 //vettori In 3 dimensioni In Matlab: >> x = [3; 2; 5] x = // trasposizione di vettori Un vettore riga D-dimensionale definito come la trasposta del vettore colonna In Matlab >> x' 3 2 5

3 // prodotto scalare Il prodotto interno (prodotto scalare, dot product) di due vettori In Matlab >> a = [2;2;2]; >> b = [3;3;3]; >> a' * b 18 >> dot(a,b) 18 // norma di un vettore Norma euclidea del vettore (lunghezza) Il vettore ha norma unitaria se Angolo fra due vettori >> a a = >> sqrt(a' * a) >> norm(a) I vettori sono ortogonali se

4 // norma di un vettore >> a=[1;2;3]; >> b=[10; 10; 10]; >> cos_theta= dot(a,b) / (norm(a)*norm(b)) cos_theta = >> theta = acos(cos_theta) * 180 /pi theta = // basi vettoriali Un insieme di N vettori D-dimensionali Tali vettori sono linearmente indipendenti se nessuno dei vettori nell insieme puo essere scritto come combinazione lineare degli altri vettori Un insieme di N vettori l.i. genera uno spazio vettoriale N-dimensionale Ogni vettore in tale spazio puo essere rappresentato come combinazione lineare di vettori di base l.i. e unitari. Esempio per uno SV a 3 dimensioni:

5 // matrici Matrice A di m righe e n colonne, a elementi reali indica l elemento di riga i e colonna j indica la j-esima colonna indica la i-esima riga // matrici >> A=rand(4,3) A = >> i = 2; j = 3; >> a_j = A(:, j) a_j = >> a_i = A(i, :) a_i =

6 //prodotto esterno Il prodotto esterno di due vettori N-dimensionale e M-dimensionale In Matlab: >> a * b' //somma di matrici Date due matrici la somma è una matrice tale che >> A = ones(2,3) A = >> B = 2 * ones(2,3) B = >> C = A + B C =

7 //prodotto di matrici Date due matrici di elementi il loro prodotto è la matrice = matrice dei prodotti interni delle righe di A e delle colonne di B //prodotto di matrici >> A = rand(3,2) A = >> B =rand(2,3) B = >> A*B

8 //prodotto di matrici Date due matrici di elementi il loro prodotto è la matrice = somma dei prodotti esterni delle colonne di A e delle righe di B //prodotto di matrici Date due matrici di elementi il loro prodotto è la matrice = prodotti tra la matrice A e le colonne di B =

9 //prodotto di matrici Date due matrici di elementi il loro prodotto è la matrice = prodotti tra le righe di A e la matrice B //matrici trasposte La trasposta di una matrice si ottiene scambiando righe e colonne >> A A = >> A'

10 //matrici trasposte Se la matrice è simmetrica Valgono le proprietà seguenti // derivazione vettoriale Derivata vettoriale di una funzione scalare di un vettore D-dimensionale Esempio: se

11 // derivazione vettoriale La derivata vettoriale di una funzione vettoriale di un vettore D- dimensionale è definita mediante la matrice Jacobiana // derivazione vettoriale Sia data la funzione scalare La derivata (parziale) prima La derivata seconda

12 // determinanti Il determinante di una matrice M quadrata di dimensione NxN è una funzione scalare denotata come o Esempio: matrice 2x2 Esempio: matrice 3x3 (mediante regola di Sarrus) // determinanti In Matlab è più semplice: >> a * b' >> det(a * b') 0

13 // determinanti Se le colonne di M non sono l.i. allora In questo caso il rango della matrice M è minore della dimensione N, e la matrice non è univocamente invertibile Il determinante è una misura della deformazione del volume, quando M è usata come una trasformazione lineare: se è grande, ho molto stretching; se in valore assoluto è uguale a 1 si preserva l area: // determinanti e inversa La traccia della matrice M è la somma degli elementi della diagonale Il determinante si può calcolare come prodotto degli autovalori di M Se il determinante di una matrice quadrata M è diversa da zero possiamo calcolarne l inversa I è la matrice identità

14 // determinanti e inversa In Matlab: >> M = a * b' M = >> t=trace(m) t = 18 >> det(m) 0 >> inv(m) Warning: Matrix is singular to working precision. Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf // determinanti e inversa M = [5 12 6; ; ]; >> det(m) 4452 >> invm = inv(m) invm = >> M * invm >> eye(size(m))

15 // pseudo-inversa (Moore-Penrose) Se la matrice M non è quadrata possiamo calcolarne la pseudo-inversa In questo caso vale la // pseudo-inversa (Moore-Penrose) >> M = magic(4) M = >> M=M(:,1:3) M = >> pseudom= inv(m' * M) *M' pseudom = >> pinv(m) >> pinv(m)*m

16 //autovettori e autovalori Una classe importante di equazioni lineari può essere scritta come La matrice M trasforma il vettore x scalandolo di un valore Soluzione dell equazione: Se M è reale e simmetrica, abbiamo come soluzione N (auto)vettori I coefficienti sono gli autovalori Gli autovettori sono una base dello SV N-dimensionale //autovettori e autovalori Esempio: Applico Le colonne della matrice sono l.d. dunque il determinante Ottengo le soluzioni per gli autovalori: L autovettore corrispondente a Ho infinite soluzioni: scelgo, allora

17 //autovettori e autovalori >> M = [3 1; 2 2] M = >> [V lambda] = eig(m) V = lambda =