VETTORI E MATRICI. Ing. Nicola Cappuccio 2014 U.F.5 ELEMENTI SCIENTIFICI ED ELETTRONICI APPLICATI AI SISTEMI DI TELECOMUNICAZIONI
|
|
- Marcello Napolitano
- 5 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
9 9
10 10
11 11
12 12
13 13
14 14
15 15
16 16
17 17
18 18
19 19
20 20
21 21
22 22
23 23
24 24
25 I VETTRORI E MATRICI (RICHIAMI) Ad ogni matrice quadrata a coefficienti reali è possibile associare un numero reale, detto determinante, calcolato secondo un procedimento ben preciso. a a 11 1n n1 L a M O M L matrice nxn a nn a a 11 1n n1 L a M O M L a nn determinante matrice nxn il determinante di una matrice quadrata di ordine 1è pari all unico coefficiente della matrice. In simboli: a = a
26 I VETTRORI E MATRICI (RICHIAMI) 1. il determinante di un matrice quadrata di ordine 2 è pari alla differenza dei prodotti dei coefficienti della diagonale principale e di quelli sull altra diagonale: a a a11a 22 a12a 21 a21 a = il determinante di una matrice quadrata di ordine 3 è dato dalla seguente formula: a a a a a a = a ( a a a a ) a ( a a a a ) + a ( a a a a ) a a a
27 I VETTRORI E MATRICI (RICHIAMI) La si può memorizzare tramite la regola di Sarrus: a a a a a a a a a a a a a a a
28 I VETTRORI E MATRICI (RICHIAMI) Sia data una matrice quadrata A di ordine n. Il calcolo del determinante può essere effettuato tramite la regola di Laplace. Essa riconduce il problema al calcolo dei determinanti di matrici quadrate di ordine n 1. Per ogni coppia di indici (i,j) sia A ij il determinante della matrice ottenuta cancellando la i-esima riga e ela j-esima colonna. Ad esempio: a a a L a n a a a L a n A = a a a L a = n M M M M M a a a L a n1 n2 n3 nn a a L a n a a L a n M M M M a a L a n1 n3 nn 28
29 I VETTRORI E MATRICI (RICHIAMI) Lo sviluppo di Laplace del determinante rispetto alla prima riga di Aè dato dalla formula n ( 1) j= 1 1+ j a A 1 j 1 j Nel caso di una matrice quadrata di ordine 4 tale sviluppo è: a A a A + a A a A
30 I VETTRORI E MATRICI (RICHIAMI) Nota importante per al risoluzione dei sistemi di equazioni lineari: Una matrice A quadrata di ordine n si dice singolare o degenere se il suo determinante è nullo: deta=0 30
31 I VETTRORI E MATRICI (RICHIAMI) esercizio: calcolare il determinante della seguente matrice tramite il metodo di Laplace: D =
32 I VETTRORI E MATRICI (RICHIAMI) esercizio: D = a 11 A 11 a 12 A 12 + a 13 A 13 a 14 A ( 1) Applicando la regola di Sarrus a ciascuno dei determinanti di ordine 3 si ottiene D = 1 ( 1) ( 1) ( 6) + 0 ( 2) 1 ( 4) = 3 32
33 I VETTRORI E MATRICI (RICHIAMI) teorema di Binet il determinante del prodotto di matrici è pari al prodotto dei determinanti: det( A B) = det( A)det( B). 33
34 I VETTRORI E MATRICI (RICHIAMI) esercizio: calcolare il determinante della seguante matrice: = VETTORI E MATRICI
35 Prerequisiti e strumenti matematici e fisici per l elettronica delle telecomunicazioni SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI Con il termine equazione lineare in n incognite si intende un equazione del tipo a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b, dove a 1, a 2,..., a n e b sono numeri reali fissati e x 1, x 2,..., x n sono le incognite. Con sistema di m equazioni lineari in n incognite si intende la scrittura Ciascuna riga del sistema `e ovviamente un equazione lineare nelle incognite x 1, x 2,..., x n è immediato osservare che il sistema (di m equazioni ed n incognite) si può scrivere, in forma matriciale, con Ax= b 35
36 SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI A si dice la matrice del sistema, x il vettore delle incognite e b il vettore dei termini noti Con il termine soluzione del sistema intendiamo ogni vettore xtale che Ax= b 36
37 SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI SINTESI DELLE PROPRIETA DELLE MATRICI 1. Il determinante di una matrice unitaria è uguale a Il determinante di una matrice nulla è uguale a zero. 3. Il determinante di una matrice avente almeno una riga o almeno una colonna di elementi nulli è uguale a zero. 4. Il determinante di una matrice avente due righe di elementi uguali o proporzionali è uguale a zero. 5. Il determinante di una matrice avente due colonne di elementi uguali o proporzionali è uguale a zero. 6. Moltiplicando tutti gli elementi di una riga o di una colonna di una matrice per uno stesso numero reale k, il valore del determinante della matrice viene moltiplicato per k. 7. Moltiplicando tutti gli elementi di una matrice nxn per uno stesso numero reale k, il valore del determinante della matrice viene moltiplicato per kn. 8. Scambiando tra di loro gli elementi di due righe o di due colonne di una matrice il valore del determinante cambia di segno. 9. Sostituendo gli elementi di una riga di una matrice con la somma degli elementi di questa riga con gli elementi corrispondenti di un altra riga, il valore del determinante non cambia. Lo stesso accade per gli elementi di una colonna. 10.det A T = det A 12.Il determinante di una matrice triangolare (una matrice con tutti zero sopra o sotto la diagonale principale) è uguale al prodotto degli elementi della diagonale principale. 13.Lo stesso vale, ovviamente, anche per una matrice diagonale (ha elementi nulli sopra e sotto la diagonale principale). 37
38 SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI Metodo di risoluzione di Cramer valido per Sistemi di nequazioni in nincognite sia A la matrice dei coefficienti, e detta A i la matrice ottenuta da A sostituendo la riga i-esima con il vettore b dei termini noti, si ha che, le soluzioni sono rispettivamente: esempio 1: risolvere con il metodo di Cramer il seguente sistema lineare: deta = 3 38
39 SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI esempio 2: risolvere con il metodo di Cramer il seguente sistema lineare: deta = 3 39
40 40 SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI esercizi: risolvere con il metodo di Cramer i seguenti sistema lineare: = + + = + = z y x z y x z y x = + = + = z y x z y x y x = + + = + = z y x z y x z y x VETTORI E MATRICI
41 FINE 41
Corso di Matematica Generale M-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Foggia ALGEBRA LINEARE. Giovanni Villani
Corso di Matematica Generale M-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Foggia ALGEBRA LINEARE Giovanni Villani Matrici Definizione 1 Si definisce matrice di tipo m n una funzione che associa
DettagliIl determinante. Calcolo del determinante di matrici particolari. matrici di ordine 2: sia. a11 a A = allora
Calcolo del determinante di matrici particolari matrici di ordine 2: sia allora Esempio. [ ] a11 a A = 12, a 21 a 22 det A = a 11 a 22 a 21 a 12. Calcolare il determinante di [ ] 1 2 A =. 3 4 matrici di
DettagliCorso di Matematica e Statistica 3 Algebra delle matrici. Una tabella rettangolare: la matrice. Una tabella rettangolare: la matrice
Pordenone Corso di Matematica e Statistica 3 Algebra delle UNIVERSITAS STUDIORUM UTINENSIS Giorgio T. Bagni Facoltà di Scienze della Formazione Dipartimento di Matematica e Informatica Università di Udine
Dettagliil determinante che si ottiene da A, sopprimendo la i - esima riga e la j - esima colonna. Si definisce complemento algebrico dell'elemento a ij
Determinanti Sia data la matrice quadrata a... a n a a n =...... a... a n nn Chiamiamo determinante di il numero det o che ad essa viene associato. det = a a... a... a... a n n n... a nn Un generico elemento
DettagliMATRICI E VETTORI APPROFONDIMENTO PER IL CORSO DI LABORATORIO DI INFORMATICA SARA POLTRONIERI
MATRICI E VETTORI APPROFONDIMENTO PER IL CORSO DI LABORATORIO DI INFORMATICA SARA POLTRONIERI LE MATRICI DEFINIZIONE: Una matrice è un insieme di numeri disposti su righe e colonne. 1 3 7 M = 2 5 1 M è
DettagliGeometria BAER I canale Foglio esercizi 2
Geometria BAER I canale Foglio esercizi Esercizio. ( ) Data la matrice, determinare tutte le matrici X Mat( ) tali che AX = 0 e tutte le matrici Y Mat( ) tali che Y 0. ( ) ( ) ( ) x y x + z y + w Soluzione:
DettagliDeterminante. Elisabetta Colombo. Determinante. Corso di Approfondimenti di Matematica per Biotecnologie, Anno Accademico ,
Corso di Approfondimenti di Matematica per Biotecnologie, Anno Accademico 2011-2012, 1 n=2 2 3 con le 4 n=2 n=2 con le Ad ogni matrice quadrata A = (a ij ) j=1...n i=1...n di ordine n si può associare
DettagliGeometria BIAR Esercizi 2
Geometria BIAR 0- Esercizi Esercizio. a Si consideri il generico vettore v b R c (a) Si trovi un vettore riga x (x, y, z) tale che x v a (b) Si trovi un vettore riga x (x, y, z) tale che x v kb (c) Si
DettagliI sistemi lineari di n equazioni in n incognite
I sistemi lineari I sistemi lineari di n equazioni in n incognite I sistemi lineari di n equazioni in n incognite, sono formati da equazioni di primo grado, in cui le incognite hanno tutte esponente uguale
DettagliGeometria BAER I canale Foglio esercizi 2
Geometria BAER I canale Foglio esercizi 2 Esercizio 1. Calcolare il determinante e l inversa (quando esiste) della matrice ( ) cos θ sin θ R θ =, θ [0, 2π] sin θ cos θ Soluzione: Il determinante ( é cos
DettagliAPPLICAZIONI. Im f = {b B a A tale che f (a) = b}.
APPLICAZIONI Diremo applicazione (o funzione) da un insieme A ad un insieme B una legge f che associa ad ogni elemento a A uno ed un solo elemento b B. Scriviamo f : A B e il corrispondente o immagine
DettagliSistemi II. Sistemi II. Elisabetta Colombo
Corso di Approfondimenti di Matematica per Biotecnologie, Anno Accademico 2011-2012, http://users.mat.unimi.it/users/colombo/programmabio.html 1 2 3 con R.C.+ o 1.10 Rango massimo e determinante con R.C.+
Dettagli= elemento che compare nella seconda riga e quinta colonna = -4 In generale una matrice A di m righe e n colonne si denota con
Definizione di matrice Una matrice (di numeri reali) è una tabella di m x n numeri disposti su m righe e n colonne. I numeri che compaiono nella tabella si dicono elementi della matrice. La loro individuazione
DettagliMatrici. Prof. Walter Pugliese
Matrici Prof. Walter Pugliese Le matrici Una matrice è un insieme di numeri reali organizzati in righe e colonne. Se n è il numero delle righe e m e il numero delle colonne si dice che la matrice è di
DettagliCapitolo 3 Matrici. Marco Robutti. Facoltà di ingegneria Università degli studi di Pavia. Anno accademico
Capitolo 3 Matrici Marco Robutti Facoltà di ingegneria Università degli studi di Pavia Anno accademico 2017-2018 Tutorato di geometria e algebra lineare Definizione (Matrice) Una matrice A M R (k, n) è
DettagliMATRICI E SISTEMI LINEARI
MATRICI E SISTEMI LINEARI - PARTE I - Felice Iavernaro Dipartimento di Matematica Università di Bari 27 Febbraio 2006 Felice Iavernaro (Univ. Bari) Matrici e Sistemi lineari 27/02/2006 1 / 1 Definizione
DettagliMATRICI E SISTEMI LINEARI
1 Rappresentazione di dati strutturati MATRICI E SISTEMI LINEARI Gli elementi di una matrice, detti coefficienti, possono essere qualsiasi e non devono necessariamente essere omogenei tra loro; di solito
DettagliSistemi Lineari. Andrea Galasso
Sistemi Lineari Andrea Galasso Esercizi svolti Teorema. (Rouché-Capelli. Un sistema lineare Ax = b ammette soluzioni se e solo se il rango della matrice dei coefficienti A è uguale al rango della matrice
DettagliMATEMATICA. a.a. 2014/ Sistemi di equazioni lineari
MATEMATICA a.a. 2014/15 8. Sistemi di equazioni lineari SISTEMI LINEARI Si definisce sistema lineare un sistema di p equazioni di primo grado in q incognite. a11x1 + a12 x2 +... + a1 qxq = k1 a21x1 + a22x2
DettagliSISTEMI LINEARI: APPROFONDIMENTI ED ESEMPI
SISTEMI LINEARI: APPROFONDIMENTI ED ESEMPI Appunti presi dalle lezioni del prof. Nedo Checcaglini Liceo Scientifico di Castiglion Fiorentino (Classe 4B) January 17, 005 1 SISTEMI LINEARI Se a ik, b i R,
DettagliLEZIONE i i 3
LEZIONE 5 51 Determinanti In questo lezione affronteremo da un punto di vista prettamente operativo la nozione di determinante, descrivendone le proprietà ed i metodi di calcolo, senza entrare nei dettagli
DettagliArgomento 12 Matrici
Argomento 2 Matrici 2 Vettori di R n eoperazioni I Vettore di R n : x =(x i ) i=n =(x i ) n i=,conx i R componenti di x I R n = spazio dei vettori reali a n componenti = spazio vettoriale reale n-dimensionale
DettagliIntroduzione soft alla matematica per l economia e la finanza. Marta Cardin, Paola Ferretti, Stefania Funari
Introduzione soft alla matematica per l economia e la finanza Marta Cardin, Paola Ferretti, Stefania Funari Capitolo Sistemi di equazioni lineari.8 Il Teorema di Cramer Si consideri un generico sistema
Dettagli, è Det(A) = a 11 a 22 a 12 a 21. ( il determinante della matrice che si ottiene da A. la 1 a riga e la 2 a colonna di A
G Parmeggiani, 2/12/2013 Algebra Lineare 1 A, corso di laurea SGI, aa 2013/2014 Nota 4: Calcolo di determinanti Sia A una matrice quadrata di ordine n Il determinante di A è un numero che dipende da A
DettagliAlgebra lineare. Laboratorio di programmazione e calcolo CdL in Chimica. Pierluigi Amodio
Algebra lineare Laboratorio di programmazione e calcolo CdL in Chimica Pierluigi Amodio Dipartimento di Matematica Università di Bari pierluigi.amodio@uniba.it http://dm.uniba.it/ amodio A.A. 2016/17 P.
DettagliLEZIONE i 0 3 Le sottomatrici 2 2 di A sono. 1 2 i i 3. Invece (
LEZIONE 6 6 Determinanti In questa lezione affronteremo da un punto di vista prettamente operativo la nozione di determinante, descrivendone le proprietà ed i metodi di calcolo, senza entrare nei dettagli
DettagliG. Parmeggiani, 17/5/2018 Algebra Lineare, a.a. 2017/2018, numero di MATRICOLA PARI
G Parmeggiani, 17/5/2018 Algebra Lineare, aa 2017/2018, Scuola di Scienze - Corsi di laurea: Studenti: Statistica per l economia e l impresa Statistica per le tecnologie e le scienze numero di MATRICOLA
DettagliMATRICI e DETERMINANTI. Prof.ssa Maddalena Dominijanni
MATRICI e DETERMINANTI Le matrici non sono altro che tabelle di elementi ordinati per righe e colonne. Se m = n la matrice si dice quadrata Matrice quadrata di ordine 3 Matrice rettangolare di tipo 2 3
DettagliPreCorso di Matematica - PCM Corso M-Z
PreCorso di Matematica - PCM Corso M-Z DOCENTE: M. Auteri Outline Docente: Auteri PreCorso di Matematica 2016 2 Definizione di matrice Una matrice (di numeri reali) è una tabella di m x n numeri disposti
DettagliCorso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 2: soluzioni
Corso di Geometria 2- BIAR, BSIR Esercizi 2: soluzioni Esercizio Calcolare il determinante della matrice 2 3 : 3 2 a) con lo sviluppo lungo la prima riga, b) con lo sviluppo lungo la terza colonna, c)
DettagliArgomento 13 Sistemi lineari
Sistemi lineari: definizioni Argomento Sistemi lineari Un equazione nelle n incognite x,, x n della forma c x + + c n x n = b ove c,, c n sono numeri reali (detti coefficienti) e b è un numero reale (detto
Dettaglideterminante della sottomatrice ottenuta da A cancellando la i-esima riga e la j-esima colonna
Data una matrice quadrata A di ordine n si definisce minore complementare m ij dell elemento generico a ij della matrice A il determinante della sottomatrice ottenuta da A cancellando la i-esima riga e
DettagliALGEBRA LINEARE PARTE III
DIEM sez Matematica Finanziaria Università degli studi di Genova Dicembre 200 Indice PREMESSA 2 GENERALITA 2 RAPPRESENTAZIONE DI UN SISTEMA LINEARE IN FORMA MATRI- CIALE 2 3 SOLUZIONE DI SISTEMI LINEARI
DettagliDeterminanti. Definizione ed esempi. Definizione ed esempi. Proprietà dei determinanti Rango di matrici
Introduzione S S S Rango di matrici Si dice sottomatrice d'una matrice data la matrice ottenuta selezionando un certo numero di righe e di colonne della matrice iniziale. Lezione 24.wpd 08/01/2011 XXIV
DettagliCORSO DI GEOMETRIA DETERMINANTE A.A. 2018/2019 PROF. VALENTINA BEORCHIA
CORSO DI GEOMETRIA DETERMINANTE AA 2018/2019 PROF VALENTINA BEORCHIA INDICE 1 Definizione induttiva di determinante 1 2 Caratterizzazione delle matrici quadrate di rango massimo 5 3 Regole di Laplace 6
DettagliRichiami di algebra delle matrici a valori reali
Richiami di algebra delle matrici a valori reali Vettore v n = v 1 v 2. v n Vettore trasposto v n = (v 1, v 2,..., v n ) v n = (v 1, v 2,..., v n ) A. Pollice - Statistica Multivariata Vettore nullo o
DettagliElementi di Algebra Matriciale. (richiami)
Elementi di Algebra Matriciale Definizione di matrice (richiami) Matrice quadrata, diagonale, identità, triangolare, simmetrica Matrice trasposta Principali operazioni su matrici e vettori: somma, sottrazione,
Dettaglia a 1n A = a n1... a nn a 11 x a 1n x n = b 1 a n1 x a nn x n = b n ] sono determinati. 2- La matrice A = [ a ij
Recupero. 2, Determinanti. 1. Determinanti Consideriamo una matrice A = a 11... a 1n.. a n1... a nn quadrata di ordine n ad elementi in R. Sappiamo che sono equivalenti la affermazioni 1- tutti i sistemi
Dettagli1. Sistemi di equazioni lineari. 1.1 Considerazioni preliminari
1. Sistemi di equazioni lineari 1.1 Considerazioni preliminari I sistemi lineari sono sistemi di equazioni di primo grado in più incognite. Molti problemi di matematica e fisica portano alla soluzione
DettagliMATRICI. Matrici Una matrice A con n-righe e m-colonne, ad elementi reali, è una tabella con la seguente forma: a 2 m. a n m) i j R, 1 i n, 1 j m.
MATRICI Matrici Una matrice A con n-righe e m-colonne, ad elementi reali, è una tabella con la seguente forma: 11 a 12 a 1 3 a 1m A=(a a 21 a 2 3 a 2m con a a n1 a n2 a n 3 a nm i j R, 1 i n, 1 j m. per
DettagliLEZIONE 4. Le sottomatrici 2 2 di A sono. Invece ( 1 3 non è sottomatrice di A.
LEZIONE 4 4 Determinanti In questa lezione affronteremo da un punto di vista prettamente operativo la nozione di determinante, descrivendone le proprietà ed i metodi di calcolo, senza entrare nei dettagli
DettagliSistemi lineari. 2x 1 + x 2 x 3 = 2 x 1 x 2 + x 3 = 1 x 1 + 3x 2 2x 3 = 0. x 1 x 2 x 3
Sistemi lineari 2x 1 + x 2 x 3 = 2 x 1 x 2 + x 3 = 1 x 1 + 3x 2 2x 3 = 0 2 1 1 1 1 1 1 3 2 x 1 x 2 x 3 = 2 1 0 n j=1 a i,jx j = b i, i = 1,, n Ax = b A = (a i,j ) R n n matrice invertibile (det(a) 0) b
DettagliLezione Determinanti
Lezione 6 6 Determinanti In questa lezione affronteremo da un punto di vista prettamente operativo la nozione di determinante, descrivendone le proprietà ed i metodi di calcolo, senza entrare nei dettagli
DettagliCOGNOME E NOME MATRICOLA FIRMA. METODI MATEMATICI PER L INGEGNERIA DELL INFORMAZIONE (Comunicazioni Elettronica a.a.
..................................................................................................................... COGNOME E NOME MATRICOLA FIRMA METODI MATEMATICI PER L INGEGNERIA DELL INFORMAZIONE
DettagliSi noti che la matrice trasposta A ha lo stesso determinante. Questa proprietà è generale;
Ottavio Serra Matrici e determinanti In questa nota estenderemo a matrici quadrate di ordine n qualsiasi il concetto di determinante introdotto nelle scuole secondarie per matrici di ordine 2 come tecnica
DettagliA =, c d. d = ad cb. c d A =
Geometria e Algebra (II), 271112 1 Definizione D ora innanzi, al posto di dire matrice quadrata di tipo n n o matrice quadrata n n diremo matrice quadrata di ordine n o in breve matrice di ordine n Il
DettagliDeterminante, autovalori e autovettori
Determinante, autovalori e autovettori Lorenzo Pareschi Dipartimento di Matematica, Universitá di Ferrara http://wwwlorenzopareschicom lorenzopareschi@unifeit Lorenzo Pareschi (Univ Ferrara) Determinante,
Dettagli( ) TEORIA DELLE MATRICI. A. Scimone a.s pag 1
. Scimone a.s 1997 98 pag 1 TEORI DELLE MTRICI Dato un campo K, definiamo matrice ad elementi in K di tipo (m, n) un insieme di numeri ordinati secondo righe e colonne in una tabella rettangolare del tipo
Dettagli2x 5y +4z = 3 x 2y + z =5 x 4y +6z = A =
Esercizio 1. Risolvere il sistema lineare 2x 5y +4z = x 2y + z =5 x 4y +6z =10 (1) Soluz. La matrice dei coefficienti è 1 4 6, calcoliamone il rango. Il determinante di A è (applico la regola di Sarrus):
DettagliAnno Accademico 2015/2016
Mod. 136/1 ALMA MATER STUDIORUM UNIVERSITÀ DI BOLOGNA Anno Accademico 2015/2016 Scuola di Scienze Corsi di Laurea o di Diploma Triennale in Matematica (nuovo ordinamento) Insegnamento Geometria I Docente
DettagliIl prodotto tra matrici non è commutativo. Nelle notazioni precedenti, ponendo n = p e m = q si hanno:
L anello delle matrici Esempio. Siano A = [ ] 0 1 3 0 2 1, B = 1 2 0 0 1 2 3 4, 1 0 calcolare AB e BA. Osservazioni Siano A Mat m,n (K) e B Mat p,q (K). Il prodotto AB è definito se n = p. Si ha AB Mat
DettagliIl teorema di Rouché-Capelli
Luciano Battaia Questi appunti (1), ad uso degli studenti del corso di Matematica (A-La) del corso di laurea in Commercio Estero dell Università Ca Foscari di Venezia, campus di Treviso, contengono un
DettagliCORSO DI ALGEBRA LINEARE Anno Accademico 2004/2005 Appunti su SISTEMI di EQUAZIONI LINEARI
CORSO DI ALGEBRA LINEARE Anno Accademico 2004/2005 Appunti su SISTEMI di EQUAZIONI LINEARI Lo studente ha forse già incontrato i sistemi di equazioni lineari alla scuola secondaria Con il termine equazione
DettagliMATRICI E OPERAZIONI
MATRICI E SISTEMI MATRICI E OPERAZIONI Matrici, somma e prodotto (definizioni, esempi, non commutatività del prodotto, legge di annullamento del prodotto Potenze e inverse di matrici quadrate (definizioni
DettagliEquivalentemente, le colonne di A sono linearmente indipendenti se e solo se
Lezioni di Algebra Lineare. Versione novembre 2008 VI. Il determinante Il determinante det A di una matrice A, reale e quadrata, è un numero reale associato ad A. Dunque det è una funzione dall insieme
DettagliALGEBRA LINEARE PARTE II
DIEM sez. Matematica Finanziaria Marina Resta Università degli studi di Genova Dicembre 005 Indice PREMESSA INVERSA DI UNA MATRICE DETERMINANTE. DETERMINANTE DI MATRICI ELEMENTARI................. MATRICI
DettagliAPPUNTI DI ALGEBRA LINEARE
APPUNTI DI ALGEBRA LINEARE. Definizione Si dice spazio vettoriale (sul campo dei numeri reali R) un insieme V per il quale siano definite l operazione interna di somma (che ad ogni coppia di vettori e
Dettagli4. Richiami: sistemi lineari e matrici
4 Richiami: sistemi lineari e matrici Vettori 4a Combinazioni lineari Indichiamo con R n l insieme delle n-uple ordinate di elementi di R, { } R n := x = (x 1, x 2,, x n ) x i R, i = 1,,n Si dice che x
DettagliLezione 11. Somma di matrici Prodotto di una matrice per uno scalare Prodotto di matrici Determinante Sistemi lineari in forma matriciale
Lezione Somma di matrici Prodotto di una matrice per uno scalare Prodotto di matrici Determinante Sistemi lineari in forma matriciale Matrici. Somma Date due matrici n x m, A = A ij e B = B ij, con i =,,,
DettagliDefinizione. In algebra lineare, una matrice è una tabella ordinata di elementi.
Matrici Definizione In algebra lineare, una matrice è una tabella ordinata di elementi. Algebra lineare Branca della matematica che si occupa dello studio di : vettori, spazi vettoriali, trasformazioni
Dettaglia.a MATEMATICA GENERALE: SISTEMI LINEARI E MATRICI
aa 2012-2013 MATEMATICA GENERALE: SISTEMI LINEARI E MATRICI 1 Sistemi di equazioni lineari Definizione 11 i Un equazione lineare nelle indeterminate (o incognite X 1,, X 1 m a coefficienti interi (o razionali,
DettagliMatrici quadrate particolari
Matrici quadrate particolari Sia A Mn(K) una matrice quadrata. Gli elementi (a 1,1, a 2,2,, a n,n ) costituiscono la diagonale principale di A. Gli elementi (a 1,n, a 2,n-1,, a n-1,2, a n,1 ) costituiscono
DettagliMatrici triangolari [Abate, 3.2] Lezioni 05 e 06. Determinante di una matrice triangolare [Abate, es. 9.3] Matrici ridotte per righe.
Matrici triangolari [Abate, 32] Definizione Una matrice A = a ij ) R m,n si dice triangolare superiore se a ij = 0 per ogni i > j; triangolare inferiore se a ij = 0 per ogni i < j Lezioni 05 e 06 Una matrice
DettagliMetodi per la risoluzione di sistemi lineari
Metodi per la risoluzione di sistemi lineari 1 Sistemi di equazioni lineari 1.1 Determinante di matrici quadrate Ad ogni matrice quadrata A è associato un numero reale det(a) detto determinante della matrice
DettagliCorso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 3: soluzioni
Corso di Geometria - BIAR, BSIR Esercizi : soluzioni Rango e teorema di Rouché-Capelli Esercizio. Calcolare il rango di ciascuna delle seguenti matrici: ( ) ( ) ( ) A =, A =, A =, A 4 = ( ). a a a Soluzione.
DettagliEsercitazione di Matematica su matrici e sistemi lineari
Esercitazione di Matematica su matrici e sistemi lineari Notazioni: deta, A T =trasposta di A, A 1 =inversa di A. 1. Si considerino le matrici A, B, C, D denite da 1 0 5 1 A = 0, B = 0 0, C = 0 1 0 6 1
DettagliRichiami di Algebra Lineare
Appendice A Richiami di Algebra Lineare In questo capitolo sono presentati alcuni concetti di algebra lineare L algebra lineare è quella branca della matematica che si occupa dello studio di vettori, spazi
DettagliLeLing12: Ancora sui determinanti.
LeLing2: Ancora sui determinanti. Ārgomenti svolti: Sviluppi di Laplace. Prodotto vettoriale e generalizzazioni. Rango e determinante: i minori. Il polinomio caratteristico. Ēsercizi consigliati: Geoling
DettagliMetodi per la risoluzione di sistemi lineari
Metodi per la risoluzione di sistemi lineari Sistemi di equazioni lineari. Rango di matrici Come è noto (vedi [] sez.0.8), ad ogni matrice quadrata A è associato un numero reale det(a) detto determinante
DettagliChi non risolve esercizi non impara la matematica.
5.5 esercizi 9 Per trovare la seconda equazione ragioniamo così: la parte espropriata del primo terreno è x/00, la parte espropriata del secondo è y/00 e in totale sono stati espropriati 000 m, quindi
DettagliI determinanti. a11 a A = 12 a 21 a 22
I determinanti. Queste note, basate sugli appunti delle lezioni, riepilogano rapidamente la definizione e le proprietà del determinante. Vengono inoltre illustrati i metodi di calcolo e alcune dimostrazioni.
DettagliSistemi di equazioni lineari. la soluzione è unica se det(a) 0 e vale
Sistemi di equazioni lineari a 00 x 0 + a 01 x 1 + a 02 x 2 = b 0 a 10 x 0 + a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 20 x 0 + a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 Per N equazioni N 1 j=0 a ij x j = b i i = 0, N 1 la soluzione
DettagliAppunti su Indipendenza Lineare di Vettori
Appunti su Indipendenza Lineare di Vettori Claudia Fassino a.a. Queste dispense, relative a una parte del corso di Matematica Computazionale (Laurea in Informatica), rappresentano solo un aiuto per lo
Dettagli4 Autovettori e autovalori
4 Autovettori e autovalori 41 Cambiamenti di base Sia V uno spazio vettoriale tale che dim V n Si è visto in sezione 12 che uno spazio vettoriale ammette basi distinte, ma tutte con la medesima cardinalità
Dettagliossia può anche essere localizzato univocamente sul piano complesso con la sua forma polare.
ALGEBRA COMPLESSA Nel corso dei secoli gli insiemi dei numeri sono andati man mano allargandosi per rispondere all esigenza di dare soluzione a equazioni e problemi sempre nuovi I numeri complessi sono
DettagliSistemi lineari. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara
Sistemi lineari Lorenzo Pareschi Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara http://utenti.unife.it/lorenzo.pareschi/ lorenzo.pareschi@unife.it Lorenzo Pareschi (Univ. Ferrara)
DettagliRegistro Lezioni di Algebra lineare del 15 e 16 novembre 2016.
Registro Lezioni di Algebra lineare del 15 e 16 novembre 2016 Di seguito si riporta il riassunto degli argomenti svolti; i riferimenti sono a parti del Cap8 Elementi di geometria e algebra lineare Par5
DettagliRichiami di Algebra Lineare
Richiami di Algebra Lineare Fabrizio Silvestri December 14, 010 Matrice Sia R il campo dei numeri reali. Si indica con R m n l insieme delle matrici ad elementi reali con m righe ed n colonne. Se A R n
DettagliElementi di Algebra Lineare Il determinante
Elementi di Algebra Lineare Cristina Turrini UNIMI - 2015/2016 Cristina Turrini (UNIMI - 2015/2016) Elementi di Algebra Lineare 1 / 17 index 1 2 Sottomatrici e minori Cristina Turrini (UNIMI - 2015/2016)
DettagliDIARIO DEL CORSO DI MATHEMATICS FOR DATA SCIENCE TRENTO, A.A. 2018/19 DOCENTI: ANDREA CARANTI, SIMONE UGOLINI
DIARIO DEL CORSO DI MATHEMATICS FOR DATA SCIENCE TRENTO, A.A. 2018/19 DOCENTI: ANDREA CARANTI, SIMONE UGOLINI Nota. La descrizione di lezioni non ancora svolte si deve intendere come una previsione/pianificazione.
Dettagli0.1 Soluzioni esercitazione IV, del 28/10/2008
1 0.1 Soluzioni esercitazione IV, del 28/10/2008 Esercizio 0.1.1. Risolvere, usando il teorema di Cramer, i seguenti sistemi lineari 2x + y + z = 0 x + 3z = 1 x y z = 1 kx + y z = 1 x y + 2z = 1 2x + 2y
DettagliCorso di Matematica per la Chimica
Dott.ssa Maria Carmela De Bonis a.a. 2013-14 Pivoting e stabilità Se la matrice A non appartiene a nessuna delle categorie precedenti può accadere che al k esimo passo risulti a (k) k,k = 0, e quindi il
DettagliEttore Panella Algebra delle matrici e Sistemi lineari 1 MATRICI. Si definisce matrice un insieme ordinato di numeri disposti su righe e colonne.
Ettore Panella Algebra delle matrici e Sistemi lineari 1 MATRICI Si definisce matrice un insieme ordinato di numeri disposti su righe e colonne. 1-3 4 5 7 0 La precedente è una matrice 2 3 costituita da
DettagliA titolo di esempio proponiamo la risoluzione del sistema sia con il metodo della matrice inversa sia con il metodo di Cramer.
) Trovare le soluzioni del seguente sistema lineare: x+ y+ z = 3x y + z = 0 x + 5y 4z = 5 Osserviamo in primo luogo che il sistema dato è un sistema quadrato di tre equazioni in tre incognite, precisamente
DettagliUNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TERAMO FACOLTÀ DI SCIENZE POLITICHE CORSO DI LAUREA IN ECONOMIA BANCARIA FINANZIARIA ED ASSICURATIVA
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TERAMO FACOLTÀ DI SCIENZE POLITICHE CORSO DI LAUREA IN ECONOMIA BANCARIA FINANZIARIA ED ASSICURATIVA II Parziale - Compito C 3/5/25 A. A. 24 25 ) Risolvere il seguente sistema
DettagliESERCIZI SULLE MATRICI
ESERCIZI SULLE MATRICI Consideriamo il sistema lineare a, x + a, x + + a,n x n = b a, x + a, x + + a,n x n = b a m, x + a m, x + + a m,n x n = b m di m equazioni in n incognite che ha a, a,n A = a m, a
DettagliAnno Accademico 2016/2017
Mod. 136/1 ALMA MATER STUDIORUM UNIVERSITÀ DI BOLOGNA Anno Accademico 2016/2017 Scuola di Scienze Corsi di Laurea o di Diploma Triennale in Matematica (nuovo ordinamento) Insegnamento Geometria I Docente
DettagliSui determinanti e l indipendenza lineare di vettori
Sui determinanti e l indipendenza lineare di vettori 1 Si dice che m vettori v 1, v 2,,v m di R n sono linearmente indipendenti, se una loro combinazione lineare può dare il vettore nullo solo se i coefficienti
DettagliESERCIZI PROPOSTI. det A = = per cui il sistema si può risolvere applicando le formule di Cramer, cioè: dove: = =
ESERCIZI PROPOSTI Risolvere i seguenti sistemi lineari )-0), utilizzando, dove possibile, sia il metodo di Cramer sia quello della matrice inversa, dopo aver analizzato gli esempi a)-d): 2x + + 4z 5 a)
DettagliIstituzioni di Matematica I. Esercizi su sistemi lineari. & % x + y " #z = "1 & '#x " y+ z =1
Istituzioni di Matematica I Esercizi su sistemi lineari Esempio. Dire per quali valori di λ R il sistema x " y+ z = 2 % x + y " z = " x " y+ z = ha una sola soluzione, per quali nessuna, per quali infinite
DettagliInversa. Inversa. Elisabetta Colombo
Corso di Approfondimenti di Matematica per Biotecnologie, Anno Accademico 00-0, http://users.mat.unimi.it/users/colombo/programmabio.html e 3 con i Matrici inverse di matrici quadrate e con i Sia A una
DettagliMATRICI. 1. Esercizi
MATICI Esercizio Siano A = 0, B = Esercizi 2, C = 0 2 2 Calcolare: a2a B; b3a + 2B 4C; c 2A + B + 2C 2B; d3b + 2(2A C (A + B + 2C isolvere, se possibile: ( 3X + 2(A X + B + 2(C + 2X = 0; (2 4A + 2(B +
Dettagli1 Risoluzione di sistemi lineari con l uso dei determinanti
2006 Trapani Dispensa di Geometria, 1 Risoluzione di sistemi lineari con l uso dei determinanti Sia A una matrice n n con det(a) 0 consideriamo il sistema lineare AX = b abbiamo n = numero di righe di
Dettagli3. Vettori, Spazi Vettoriali e Matrici
3. Vettori, Spazi Vettoriali e Matrici Vettori e Spazi Vettoriali Operazioni tra vettori Basi Trasformazioni ed Operatori Operazioni tra Matrici Autovalori ed autovettori Forme quadratiche, quadriche e
DettagliSISTEMI LINEARI MATRICI E SISTEMI 1
MATRICI E SISTEMI SISTEMI LINEARI Sistemi lineari e forma matriciale (definizioni e risoluzione). Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi lineari parametrici. Esercizio Risolvere il sistema omogeneo la cui
DettagliSISTEMI LINEARI. x y + 2t = 0 2x + y + z t = 0 x z t = 0 ; S 3 : ; S 5x 2y z = 1 4x 7y = 3
SISTEMI LINEARI. Esercizi Esercizio. Verificare se (,, ) è soluzione del sistema x y + z = x + y z = 3. Trovare poi tutte le soluzioni del sistema. Esercizio. Scrivere un sistema lineare di 3 equazioni
DettagliLEZIONE 2. ( ) a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b, ove a j, b R sono fissati.
LEZIONE 2 2 Sistemi di equazioni lineari Definizione 2 Un equazione lineare nelle n incognite x, x 2,, x n a coefficienti reali, è un equazione della forma (2 a x + a 2 x 2 + + a n x n = b, ove a j, b
DettagliSistemi di equazioni lineari
Sistemi di equazioni lineari a 00 x 0 + a 01 x 1 + a 02 x 2 = b 0 a 10 x 0 + a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 20 x 0 + a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 Per N equazioni N 1 j=0 a ij x j = b i i = 0, N 1 sono equivalenti
DettagliMetodi Matematici per l Economia anno 2017/2018 Gruppo B
Metodi Matematici per l Economia anno 2017/2018 Gruppo B Docente: Giacomo Dimarco Dipartimento di Matematica e Informatica Università di Ferrara https://sites.google.com/a/unife.it/giacomo-dimarco-home-page/
DettagliMatematica II
Matematica II 29..0. Somma di due matrici. Siano m ed n due interi positivi fissati. Date due matrici A, B R m n di tipo m n, sommando a ciascun elemento di A il corrispondente elemento di B, si ottiene
Dettagli