Sistemi di equazioni lineari. la soluzione è unica se det(a) 0 e vale

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1 Sistemi di equazioni lineari a 00 x 0 + a 01 x 1 + a 02 x 2 = b 0 a 10 x 0 + a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 20 x 0 + a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 Per N equazioni N 1 j=0 a ij x j = b i i = 0, N 1 la soluzione è unica se det(a) 0 e vale x = A 1 b

2 Matrici triangolari U è triangolare superiore se: u ij = 0 per i > j. U = u 00 u 01 u 02 0 u 11 u u 22 U x = b è molto facile da risolvere. Analogamente L è triangolare inferiore se l ij = 0 per i < j. L = U = l l 10 l 11 0 l 20 l 21 l 22 u 00 u 01 u 02 0 u 11 u u 22 u 00 x 0 + u 01 x 1 + u 02 x 2 = b 0 u 11 x 1 + u 12 x 2 = b 1 u 22 x 2 = b 2

3 la cui soluzione è data da x 2 = b 2 /u 22 x 1 = (b 1 u 12 x 2 ) /u 11 x 0 = (b 0 u 01 x 1 u 02 x 2 ) /u 00 ogni x i viene usato solo dopo essere stato calcolato. Per un sistema di N equazioni in N incognite la soluzione sarà: x i = b i N 1 k=i+1 u ik x k /u ii che va applicata calcolando gli x i a partire dall ultimo all indietro. Data l efficacia di questo metodo, cerco di ridurre ogni sistema di equazioni A x = b ad un sistema triangolare U x = b con opportuni U e b.

4 Eliminazione gaussiana Prendo un sistema di tre equazioni in tre incognite a 00 x 0 + a 01 x 1 + a 02 x 2 = b 0 a 10 x 0 + a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 20 x 0 + a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 sommando ad un equazione il multiplo di un altra la soluzione non cambia. Sottraggo allora alla seconda equazione la prima moltiplicata per λ e ottengo (a 10 λa 00 ) x 0 + (a 11 λa 01 ) x 1 + (a 12 λa 02 ) x 2 = b 1 λb 0 voglio eliminare il termine che moltiplica x 1, cosa che posso fare se scelgo λ = a 10 /a 00 ottenendo in questo modo che a 10 = 0

5 Posso ora ripetere il procedimento per la terza riga sottraendo la prima moltiplicata per a 20 /a 00 e ottengo a 00 x 0 + a 01 x 1 + a 02 x 2 = b 0 a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 con a 11 = a 11 a 10 a 00 a 01 a 12 = a 12 a 10 a 00 a 02 a 21 = a 21 a 20 a 00 a 01 a 22 = a 22 a 20 a 00 a 02 b 1 = b 1 a 10 a 00 b 0 b 2 = b 2 a 20 a 00 b 0

6 Sottraggo ora alla terza riga la seconda moltiplicata per a 21 /a 11 e ottengo a 00 x 0 + a 01 x 1 + a 02 x 2 = b 0 a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 22 x 2 = b 2 dove a 22 = a 22 a 21 a a 12 e b 2 = b 2 a a b 1 11 A x = b è stata quindi trasformata in U x = b e il sistema può ora essere risolto per backsubstitution.

7 Pivoting Il metodo fin qui descritto non è molto stabile, cioè gli errori si propagano amplificandosi, e possono portare a soluzioni molto sbagliate. Si vede con la pratica che l eliminazione gaussiana è molto più stabile se gli elementi di matrice sulla diagonale principale sono più grandi degli altri in valore assoluto. Ciò si ottiene scambiando tra loro righe della matrice (pivoting parziale) oppure righe e colonne (full pivoting). Se a 20 = max ( a 00 a 10 a 20 ) il pivoting parziale richiede lo scambio della prima e terza riga. Guardo ora la seconda e terza riga: se a 21 > a 11 scambio la seconda e la terza riga.

8 Come risultato su ogni diagonale sono piazzati gli elementi di massimo modulo tra quelli che stanno sotto l elemento diagonale. Scambiando le righe gli x i sono invariati. Se scambio le colonne i e j, anche x i viene scambiato con x j.

9 Inversa di una matrice AA 1 = A 1 A = 1 Se chiamo c ij gli elementi di matrice di A 1 j a ij c jk = δ ik Sono N sistemi di equazioni. Fisso un valore di k e chiamo b (i) il vettore che ha la i-esima componente uguale a uno, e nulle tutte le altre. j a ij c jk = b (i) k Si vede quindi che risolvere uno dei sistemi di equazioni vuole dire trovare gli elementi di matrice di una colonna della matrice inversa. Ripetendo per tutti i valori di i trovo la matrice intera. In questo calcolo non è necessario fare N volte l eliminazione gaussiana, perché questa si può fare contemporaneamente per tutte le equazioni.

10 Cerco di scrivere Decomposizione LU A = LU con L triangolare inferiore, U triangolare superiore e l ii = 1 i = 1,..., N. Allora il sistema di equazioni diventa e posto A x = b LU x = b U x = y devo risolvere due sistemi triangolari L y = b e U x = y Il tempo di soluzione è quindi O(N) se la matrice A è LU-decomposta. Se ho M sistemi di equazioni A x i = b i

11 posso fare la decomposizione una volta sola per tutti gli M sistemi e impiegherò 1/M del tempo necessario con l eliminazione gaussiana. Per ricavare L e U osservo che la prima parte dell eliminazione gaussiana, che azzera la prima colonna sotto la diagonale si ottiene anche moltiplicando A per L 1 1 = l l l l a 00 a 01 a 02 a 10 a 11 a 12 a 20 a 21 a 22 = a 00 a 01 a 02 a 10 l 10 a 00 a 11 l 10 a 01 a 12 l 10 a 02 a 20 l 20 a 00 a 21 l 20 a 01 a 22 l 20 a 02

12 Scegliendo ora gli stessi valori di l 10 e l 20 si azzera la prima colonna. Moltiplicando poi il risultato per l 21 1 si azzera la seconda colonna sotto la diagonale. Iterando il procedimento L 1 N 1 L 1 N 2 L 1 1 A ha tutti gli elementi sotto la diagonale nulli ed è quindi triangolare superiore. Questa è la matrice U. Chiamando ho che L 1 = L 1 N 1 L 1 N 2 L 1 1 L 1 A = U e quindi A = LU

13 Resta da dimostrare che L è triangolare inferiore con elementi diagonali uguali ad uno. L inverso di L 1 1 = Infatti l l è L 1 = l l L 1 1 L 1 = l l l l = l 10 + l l 20 + l L 1 L 2 = l l l 21 1 = l l 20 l 21 1 L N L N 1 L 1 = ( L 1 1 L 1 2 ) 1 L 1 N è una matrice triangolare inferiore con elementi diagonali uguali a 1

14 Soluzione di sistemi LU-decomposti l l 20 l 21 1 y 0 y 1 y 2 = b 0 b 1 b 2 y 0 = b 0 y 0 = b 0 l 10 y 0 + y 1 = b 1 y 1 = b 1 l 10 y 0 l 20 y 0 + l 21 y 1 + y 2 = b 2 y 2 = b 2 l 20 y 1 l 21 y 1 y i = b i u 00 u 01 u 02 0 u 11 u u 22 i 1 j=0 l ij y j x 0 x 1 x 2 = y 0 y 1 y 2 u 22 x 2 = y 2 x 2 = y 2 /u 22 u 11 x 1 + u 12 x 2 = y 1 x 1 = (y 1 u 12 x 2 ) /u 11 u 00 x 0 + u 01 x 1 + u 02 x 2 = y 2 x 0 = (y 2 u 01 x 1 u 02 x 2 ) /u 00 x i = y i N 1 j=i+1 u ij x j u ii

15 Calcolo esplicito di L e U l l 20 l 20 1 u 00 u 01 u 02 0 u 11 u u 22 = a 00 a 01 a 02 a 10 a 11 a 12 a 20 a 21 a 22 Scrivendo la matrice prodotto LU esplicitamente u 00 u 01 u 02 l 10 u 00 l 10 u 01 + u 11 l 10 u 02 + u 12 l 20 u 00 l 20 u 01 + l 21 u 11 l 20 u 02 + l 21 u 12 + u 22 Le prime 3 equazioni sono già risolte. Le successive danno l i0 = a i0 /u 00 0 i N 1 u 1i = a 1i l 10 u 0i 1 i N 1 l 21 = (a 21 l 20 u 02 )/u 11 u 22 = a 22 l 20 u 02 l 21 u 12

16 Matrici Tridiagonali Si chiamano così se a i,i, a i+1,i, a i,i+1 sono gli unici elementi diversi da zero. La decomposizione assume una forma semplice a 00 a a 10 a 11 a a 21 a 22 a a 32 a 33 = l l l 32 1 u 00 u u 11 u u 22 u u 33 Si possono ora scrivere le equazioni per gli elementi a i,i+1 a 01 = u 01 a 12 = u 12 a 23 = u 23 per cui i u i,i+1 sono subito determinati. Per gli elementi diagonali a 00 = u 00 a 11 = l 10 u 01 + u 11 a 22 = l 21 u 12 + u 22 a 33 = l 32 u 23 + u 33

17 e per quelli sotto la diagonale principale a 10 = l 10 u 00 a 21 = l 21 u 11 a 32 = l 32 u 22 L ordine in cui calcolo i vari l e u è molto importante 1. calcolo u i,i+1 2. calcolo l i+1,i e u i,i nella sequenza: u 00 l 10 u 11 l 21 u 22 l 32 u 33 In generale, per una matrice di ordine N, la formula di risoluzione sarà: u i,i+1 = a i,i+1 u 11 = a 11 u i,i = a i,i l i,i 1 u i 1,i l i+1,i = a i+1,i /u i,i

18 Nota bene il procedimento di decomposizione è, in questo caso, O(N), mentre in generale è O(N 3 ); poiché anche la backsubstitution è O(N), un sistema di equazioni tridiagonali può essere risolto con un algoritmo O(N).