Trasformazioni elementari di Givens (rotazioni elementari)

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1 Trasformazioni elementari di Givens (rotazioni elementari) Si dice trasformazione elementare di Givens o matrice di rotazione elementare G ij di ordine n una matrice che coincide con l identità di ordine n eccetto nelle posizioni ij, ji, ii, jj, ove stanno due valori c, s dipendenti da un solo parametro φ: G ij = B@ c s ove c 2 + s 2 =, c = cos φ, s = sin φ. Essa esprime una rotazione di ampiezza φ nell iperpiano individuato dai versori e i, e j R n. s c CA Si osserva che: G ij x = y ove 8 < : y k = x k y i = c.x i + s.x j y j = s.x i + c.x j k i, j

2 E sempre possibile trovare un valore di φ per cui y j =. Basta trovare c ed s tale che Formule più stabili 8 c 2 + s 2 = > < y j = = s.x i + c.x j >: c = s = r r x i x 2 i +x2 x j j x 2 i +x2 j Se x i < x j, si pone t = x i x s = c = t.s j +t 2, Se x j < x i, si pone t = x j x c = s = t.c i +t 2, La complessità della trasformazione è di 4 prodotti.

3 Si osserva che premoltiplicare una matrice per G ij significa sostituire alle righe i e j una loro combinazione lineare: G ij A = B 8 < : b kl = a kl b il = c.a il + s.a jl b jl = s.a il + c.a jl Pertanto, si può dimostrare che: δ ii = c 2 + s 2 = k i, j; l =,, n l =,, n l =,.., n G ij G T ij = δ kl = (I) kl k i, j; l =, n δ ij = cs + cs = δ ji = sc + cs = δ jj = s 2 + c 2 = G ij è ortogonale. Infatti l inversa di G ij è G T ij. Postmoltiplicare A per una matrice G ij vuol dire sostituire alle colonne i e j una loro combinazione lineare: AG ij = B 8 < : b kl = a kl b ki = c.a ki s.a kj b kj = s.a ki + c.a kj l i, j; k =,, n k =,, n k =,.., n La complessità del prodotto di una matrice con una rotazione elementare è pari a O(4n) prodotti.

4 Data una matrice A, è possibile trovare G ij tale che B = G ij A abbia l elemento b ji =. 8 c 2 + s 2 = > < b ji = = s.a ii + c.a ji >: c = s = r r a ii a 2 ii +a2 a ji ji a 2 ii +a2 ji (è preferibile usare le formule stabili). Inoltre, con O(4n) prodotti, si trova: b kl = a kl b il = c.a il + s.a jl b jl = s.a il + c.a jl k i, j; l =,, n l =,, n l =,.., n

5 Fattorizzazione QR Teorema. Sia A una matrice m n. Esiste una matrice Q ortogonale di ordine m tale che A = QR ove R è una matrice trapezoidale superiore m n. Inoltre rango(a) = rango(r). La dimostrazione dell esistenza di Q è costruttiva. Data A R m n, è possibile costruire G 2, G 3,, G m tali che G m G 3 G 2 A = B@ x x x x x x x x x ove G 2 annulla l elemento (2, ), G 3 annulla (3, ),In seguito, premoltiplicando quanto ottenuto per opportune matrici: G 2m G 24 G 23 (G m G 3 G 2 A) si annulla la seconda colonna al di sotto della diagonale; premoltiplicando per: G 3m G 35 G 34 si annulla la terza colonna G 4m G 45 si annulla la quarta colonna G rm G rr+ ove, r = min(m, n) si ottiene una matrice trapezoidale superiore. In conclusione Y G ij A = R i=r,,;j>i Se m = n, la complessità computazionale è dell O(4n 3 /3) prodotti e somme e dell O(n 2 /2) radici quadrate. CA

6 Inoltre, posto Q T = Q i=r,,;j>i G ij, si ottiene A = QR Le rotazioni di Givens sono efficienti per ottenere la fattorizzazione QR di matrici sparse. Per esempio, per matrici tridiagonali sono sufficienti n rotazioni di Givens e si ottiene una R triangolare superiore con solo tre diagonali non nulle: G n n G 23 G 2 A = R = B@ x x x x x x x x x Si ottiene la fattorizzazione con una complessità pari a O(2n) prodotti e somme e O(n ) radici quadrate. In generale, Q = Y i=,,r;j>i e si può calcolare nel seguente modo: posto Q = I; per i =, 2,, r per j = i +,, m Q = Q G T ij end; end; G T ij CA

7 Risoluzione di un sistema Poichè Esempio. G 2 A = Ax = b A = QR QRx = b Rx = Q T b = A = G 2 = Y 2 2 c s s c c s s c A G ij b = 2/ 5 2s + c = s = / 5 Q 5/ 5 4/ 5 / 5 3/ 5 2/ 2/ 5 / 5 / 5 2/ 5 A A = R A

8 Inversa di una matrice Se A è fattorizzabile nella forma A = QR, occorre risolvere gli n sistemi AX = I QRX = I RX = Q T Ciò comporta 4O(n 3 /3) prodotti per la fattorizzazione (matrici di Givens), e O(n 3 /2) prodotti per la soluzione. Si può anche calcolare A mediante l inversione della matrice R (O(n 3 /6) prodotti), eseguendo poi il prodotto dell inversa di R con Q T (O(n 3 /2) prodotti): A = R Q T

9 Osservazioni Sia A una matrice m n, di rango n (m n). Allora esiste una e una sola matrice Q m n a colonne ortonormali (Q T Q = I) e una e una sola matrice R triangolare superiore di ordine n a elementi diagonali positivi tale che A = Q R. Dim. Poichè A T A è simmetrica definita positiva (A è di rango n), per il teorema di Cholesky esiste una e una sola matrice R triangolare superiore R di ordine n a elementi diagonali positivi tale che A T A = R T R Da R T A T A = R, posto Q T = R T A T Q = AR, si prova che Q è una matrice m n; Q T Q = R T A T AR = R T R T R R = I, ossia Q è a colonne ortonormali; Q è unica; se esistesse Q 2 a colonne ortonormali tale che A = Q 2 R 2, allora R 2 = R per l unicità del fattore di Cholesky e Q 2 = AR = Q segue l unicità di Q. Poichè A = QR per il teorema di fattorizzazione generale, segue che A = (Q Q 2 ) R = Q R = (Q D )(D R ) ove D è una matrice diagonale con δ i = se r ii > e δ i = se r ii <. Allora la fattorizzazione Q R, che è unica, è un caso particolare del teorema di fattorizzazione generale.

10 A = Q R (a a n ) = (q q n ) B@ r r 2 r n r 22 r 2n... r nn CA a = q r a 2 = q r 2 + q 2 r 22 a i = q r i + q 2 r 2i + + q i r ii a n = q r n + q 2 r 2n + + q n r nn Per l ortogonalità dei q i segue: r ij = q T i a j i j q i = a i P i j= r jiq j a i P i j= r jiq j, r ii = a i Xi j= r ji q j

11 Pertanto si possono ricavare i q i e gli r ij : q = a q = q q span{a } = span{q } r = q q 2 = a 2 (a T 2 q )q q 2 = q 2 q 2 r 2 = a T 2 q span{a, a 2 } = span{q, q 2 } r 22 = q 2 q 3 = a 3 (a T 3 q )q (a T 3 q 2)q 2 q 3 = q 3 q 3 r 3 = a T 3 q span{a, a 2, a 3 } = span{q, q 2, q 3 } r 23 = a T 3 q 2 r 33 = q 3 Processo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt: Dati n vettori linearmente indipendenti è sempre possibile generare n vettori ortonormali tali che span{a,, a i } = span{q,, q i } i =,, n Tuttavia l algoritmo di Gram Schmidt non è stabile se i vettori q,, q n non sono ben linearmente indipendenti. Per esempio se a 2 non è ben linearmente indipendente da a, fl(a 2 (a T 2 q )q ) può non essere ortogonale a q per un problema di cancellazione che amplifica l errore commesso nel calcolo di fl((a T 2 q )q ) (fl(a 2 ) e fl((a T 2 q )q ) sono circa uguali, ma il secondo termine può essere affetto da errore). In questo caso si ha che q e fl(q 2 ) non sono ortogonali. Di conseguenza fl(q ) T fl(q ) I.

12 .8.8 fl(a 2 (a 2 q ) T q ) q q q.4 a 2 (a 2 q )T q q a 2 a a 2 a a e a 2 sono ben linearmente indipendenti.6 a e a 2 non sono ben linearmente indipendenti Tuttavia, poichè Q e R sono unici, si possono determinare dal teorema di fattorizzazione generale che è stabile.