Corso di Matematica per la Chimica

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Corso di Matematica per la Chimica"

Transcript

1 Dott.ssa Maria Carmela De Bonis a.a

2 Pivoting e stabilità Se la matrice A non appartiene a nessuna delle categorie precedenti può accadere che al k esimo passo risulti a (k) k,k = 0, e quindi il metodo di Gauss, così com è stato descritto, non può proseguire. Tuttavia se a (k) k,k = 0 necessariamente qualche altro elemento a (k) i,k, i = k + 1,..., n, della colonna k esima della matrice dei coefficienti deve essere non nullo, altrimenti la matrice dei coefficienti sarebbe singolare. Se, ad esempio, a (k) r,k 0, basta scambiare l equazione k esima con la r esima e poi procedere con le eliminazioni. Dunque ogni sistema non singolare, mediante opportuni scambi di righe, può essere sempre ricondotto alla forma triangolare superiore con il metodo di Gauss.

3 Discutiamo ora della stabilità del metodo di Gauss. È possibile provare che l esistenza di pivot molto piccoli (in valore assoluto) rispetto all ordine di grandezza degli elementi della matrice è causa di cancellazione numerica e quindi di instabilità. Dunque per assicurare una migliore stabilità numerica al metodo di eliminazione di Gauss è possibile permutare l ordine delle equazioni anche quando l elemento pivot non è nullo ma è piccolo. Tale strategia algoritmica è detta pivoting.

4 Il pivoting consiste nello scegliere, al generico passo k esimo, l elemento pivot in maniera ottimale. Le due strategie di pivoting più utilizzate sono le seguenti: pivoting parziale: si sceglie r uguale al più piccolo intero k tale che a (k) r,k = max k i n a(k) i,k e, se r k, si scambia l equazione k esima con l r esima; pivoting totale: si sceglie la coppia (r, s), con r, s k tale che a (k) r,s = max k i,j n a(k) i,j e si scambiamo l equazione k esima con l r esima e l incognita k esima (con il suo coefficiente) con l s esima.

5 La strategia del pivoting totale combinata con il metodo di Gauss assicura la stabilità dell algoritmo complessivo. Tuttavia essa può risultare molto costosa. La strategia di pivoting parziale è meno costosa e, poiché, in generale, risulta soddisfacente nella maggior parte dei casi, essa è la strategia più utilizzata. Osservazione Il metodo di eliminazione di Gauss senza pivoting è comunque numericamente stabile quando: la matrice A del sistema è a diagonale dominante per colonne (in questo caso la strategia di pivot non produce scambi); la matrice A del sistema è simmetrica e definita positiva (in questo caso la strategia effettua scambi ma non produce miglioramenti).

6 Esempio Pivoting e stabilità Consideriamo il sistema lineare Ax = b di ordine n = 18, dove ( a i,j = cos (j 1) 2i 1 ) 2n π, i, j = 1,..., n, e b i = n a i,j, i = 1,..., n, j=1 la cui soluzione esatta è x = (1, 1,..., 1) T. Tale matrice è ben condizionata, risultando cond(a) = A A 1 = Risolvendo il sistema con il metodo di eliminazione di Gauss senza e con la strategia di pivoting parziale, si ottengono i seguenti risultati:

7 Gauss e e e e e e e e e e e e e e e e e e-001 Gauss + pivoting parziale e e e e e e e e e e e e e e e e e e-001

8 Il metodo di eliminazione di Gauss, dal punto di vista matriciale, può essere riletto come la costruzione di una successione di matrici [A b] = [A (1) b (1) ],..., [A (k) b (k) ],..., [A (n) b (n) ] in modo tale che A (n) sia triangolare superiore e b (n) sia il nuovo termine noto. Le matrici della successione sono tra loro legate da una trasformazione del tipo [A (k+1) b (k+1) ] = M (k) [A (k) b (k) ], k = 1,..., n 1

9 dove M (k) = m k+1,k m k+2,k m n,k è detta matrice elementare di Gauss.

10 Si ha quindi che A = [M (1) ] 1 A (2) = [M (1) ] 1 [M (2) ] 1 A (3) = = [M (1) ] 1 [M (n 1) ] 1 A (n) e Ponendo b = [M (1) ] 1 [M (n 1) ] 1 b (n). si ottiene L = [M (1) ] 1 [M (n 1) ] 1, U = A (n) e y = b (n), A = LU e b = Ly, dove U è la matrice triangolare superiore che si ottiene alla fine del metodo di eliminazione di Gauss e L è una matrice triangolare inferiore (è prodotto di inverse di matrici triangolari inferiori).

11 La matrice L è definita come m 2, L =.. m k+1,k 1... m..... k+2,k m n, m n,k m n,n 1 1 e dunque per costruirla basta, ad ogni passo del metodo di Gauss, memorizzare i moltiplicatori cambiati di segno.

12 schema algoritmo for k=1:n-1 for i=k+1:n a i,k = a i,k /a k,k ; costruzione matrice L for j=k+1:n a i,j = a i,j a i,k a k,j ; costruzione matrice U end end end L=eye(n)+tril(A,-1) U=triu(A)

13 Dunque, con piccoli accorgimenti algoritmici, dal metodo di Gauss è possibile calcolare le due matrici L ed U tali che A = LU. Si effettua in tal modo una decomposizione della matrice A detta fattorizzazione LU di A.

14 Calcolate le matrici L e U, il sistema Ax = b, può essere risolto mediante i due sistemi Ly = b e Ux = y, il primo triangolare inferiore e il secondo triangolare superiore. Risolvere il primo sistema equivale a calcolare il nuovo termine noto. La differenza con l algoritmo di Gauss è che, invece di farlo contestualmente alla riduzione in forma triangolare, tale calcolo viene effettuato in modo indipendente. Il costo computazionale complessivo ammonta dunque a n3 3 + n2 di cui n3 3 per la fattorizzazione LU e n2 per le due sostituzioni (all indietro e in avanti).

15 Le fattorizzazioni di matrici hanno diversi utilizzi. Nel caso specifico della fattorizzazione LU la prima immediata applicazione è il calcolo del determinante di A. Infatti det(a) = det(lu) = det(l) det(u) = det(u) = n u i,i. i=1

16 Un altra possibile applicazione scaturisce dall esigenza di risolvere p sistemi che hanno tutti la stessa matrice dei coefficienti A, cioè o in altri termini il sistema Ax 1 = b 1, Ax 2 = b 2,..., Ax p = b p, AX = B, con A R n n, X, B R n p. Infatti in tal caso la fattorizzazione viene effettuata una sola volta e ogni sistema viene poi risolto mediante 2 algoritmi di sostituzione, per un costo computazionale ( ) complessivo che si riduce quindi a n pn2 (contro p n n2 2 se si risolvesse ciascun sistema indipendentemente dagli altri). Osserviamo infine che se p = n e B = I, risolvere il sistema AX = B, è equivalente a calcolare A 1.

17 Il metodo di Gauss con la variante del pivoting esegue ancora una fattorizzazione di matrice nei seguenti termini PA = LU e Pb = Ly dove P R n n, detta matrice di permutazione, contiene le informazioni relative agli scambi di righe. Vale il seguente Teorema Per ogni matrice A R n n esiste una matrice di permutazione P R n n tale che PA = LU.

18 Sia A R n n una matrice simmetrica definita positiva. In questo caso speciale è possibile costruire un algoritmo, antagonista del metodo di Gauss, e quindi una fattorizzazione alternativa a quella LU, che è più conveniente dal punto di vista computazionale. Vale il seguente Teorema Se A R n n è una matrice simmetrica definita positiva esiste ed è unica la fattorizzazione A = LL T dove L è una matrice triangolare inferiore con elementi diagonali non nulli.

19 Posto A = (a i,j ) i,j=1,...,n e L = (l i,j ) i,j=1,...,n, si ha a i,j = n l i,k lk,j T = k=1 n l i,k l j,k. k=1 Poiché la matrice è simmetrica, possiamo considerare solo gli elementi di A con j i. Otteniamo e j 1 a i,j = l i,k l j,k + l i,j l j,j, i = 1,..., n, j = 1,..., i 1 k=1 i 1 a i,i = li,k 2 + li,i, 2 i = 1,..., n. k=1

20 Da cui l 1,1 = a 1,1 l i,j = 1 l j,j [ ] j 1 a i,j l i,k l j,k k=1 i 1 l i,i = ai,i k=1 l 2 i,k i = 2,..., n j = 1,..., i 1

21 schema algoritmo l 1,1 = a 1,1 for i=2:n for j=1:i-1 l i,j = 0; for k=1:j-1 l i,j = l i,j + l i,k l j,k ; end l i,j = (a i,j l i,j )/l j,j ; end l i,i = 0; for k=1:i-1 l i,i = l i,i + li,k 2 ; end l i,i = a i,i l i,i ; end j 1 operazioni 1 operazione i 1 operazioni 1 operazione

22 costo computazionale n i 1 i + j + n 2 = i=1 j=1 = = 1 2 = n i + i=1 n i=1 n i i=1 i(i 1) 2 n i i=1 n i i=1 n(n + 1) n 2 n i + n 2 i=1 n i 2 + n 2 i=1 = n n2 + n 3 n3 6 (n + 1)n(2n + 1) 12 + n 2

23 È possibile provare che l algoritmo di Cholesky è stabile. Ricordiamo che, peraltro, anche l algoritmo di Gauss, senza pivoting, è stabile per le matrici simmetriche definite positive.

24 Molte routine automatiche calcolano R = L T anzicché L, ma è evidente che l algoritmo è lo stesso (con un attento uso degli indici), data la simmetria della matrice di partenza A. In tali casi dunque scriveremo A = R T R. Osserviamo infine che se si vuole risolvere il sistema Ax = b mediante la fattorizzazione di Cholesky basterà, una volta computata la fattorizzazione, e quindi calcolata L ( o rispettivamente R), risolvere i seguenti due sistemi Ly = b, L T x = y (R T y = b, Rx = y rispettivamente)

25 Chiudiamo questa carrellata dei principali metodi diretti per la risoluzione di un sistema lineare descrivendo le principali function di Matlab che implementano tali metodi. Sia allora A una matrice non singolare di ordine n e b un vettore colonna di ordine n. risoluzione dei sistemi diagonali: se la matrice dei coefficienti A è diagonale, A\b risolve il sistema mediante n operazioni di divisione; risoluzione dei sistemi triangolari: se la matrice dei coefficienti A è triagolare (superiore o inferiore) A\b risolve il sistema mediante algoritmo di sostituzione (all indietro o in avanti a seconda struttura della matrice);

26 risoluzione di sistemi con matrice dei coefficienti qualsiasi: A\b risolve il sistema mediante metodo di eliminazione di Gauss (in realtà con la fattorizzazione LU) con pivoting e gli algoritmi di sostituzione; risoluzione di un sistema con matrice simmetrica e definita positiva: A\b risolve il sistema mediante metodo di Cholesky e gli algoritmi di sostituzione; fattorizzazione LU: il comando [L,U,P] = lu(a) calcola i fattori L, U e la matrice di permutazione P tali che PA = LU; fattorizzazione di Cholesky: se la matrice A è simmetrica e definita positiva, il comando R = chol(a) calcola il fattore triangolare superiore R tale che A = R T R;

27 calcolo del determinante di una matrice: det(a) calcola il determinante della matrice non singolare A, utilizzando la fattorizzazione LU; condizionamento: il comando cond(a,p), con p = 1, 2, inf, fro, calcola il numero di condizionamento rispettivamente in norma 1, 2, infinito e Frobenius; inversa di una matrice: inv(a), calcola l inversa della matrice utilizzando la fattorizzazione LU.

Corso di Calcolo Numerico

Corso di Calcolo Numerico Corso di Calcolo Numerico Dottssa MC De Bonis Università degli Studi della Basilicata, Potenza Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Corso di Calcolo Numerico - Dottssa MC De Bonis

Dettagli

Sistemi lineari. 2x 1 + x 2 x 3 = 2 x 1 x 2 + x 3 = 1 x 1 + 3x 2 2x 3 = 0. x 1 x 2 x 3

Sistemi lineari. 2x 1 + x 2 x 3 = 2 x 1 x 2 + x 3 = 1 x 1 + 3x 2 2x 3 = 0. x 1 x 2 x 3 Sistemi lineari 2x 1 + x 2 x 3 = 2 x 1 x 2 + x 3 = 1 x 1 + 3x 2 2x 3 = 0 2 1 1 1 1 1 1 3 2 x 1 x 2 x 3 = 2 1 0 n j=1 a i,jx j = b i, i = 1,, n Ax = b A = (a i,j ) R n n matrice invertibile (det(a) 0) b

Dettagli

Esercitazione di Calcolo Numerico 1 22 Aprile Determinare la fattorizzazione LU della matrice a 1 1 A = 3a 2 a 2a a a 2 A =

Esercitazione di Calcolo Numerico 1 22 Aprile Determinare la fattorizzazione LU della matrice a 1 1 A = 3a 2 a 2a a a 2 A = Esercitazione di Calcolo Numerico 22 Aprile 29. Determinare la fattorizzazione LU della matrice a A = 3a 2 a 2a a a 2 ed utilizzarla per calcolare il det(a). 2. Calcolare il determinante della matrice

Dettagli

Esercitazione 5: Sistemi a risoluzione immediata.

Esercitazione 5: Sistemi a risoluzione immediata. Esercitazione 5: Sistemi a risoluzione immediata. Ipotesi: Supponiamo le matrici non singolari. Nota: Per verificare che si ha risolto correttamente il sistema lineare Ax = b basta calcolare la norma del

Dettagli

2. Risolvere con il metodo di eliminazione di Gauss con pivoting parziale il seguente sistema lineare:

2. Risolvere con il metodo di eliminazione di Gauss con pivoting parziale il seguente sistema lineare: Esercizi sui metodi diretti per la risoluzione di sistemi lineari 1. Data la matrice 1 0 2 1 3 1 5 2 1 determinare la sua fattorizzazione P LR. Risolvere il sistema Ax = b con b = (3, 5, 6) T mediante

Dettagli

Per esempio, una matrice 4 4 triangolare alta ha la forma. 0 a. mentre una matrice di ordine 4 triangolare bassa è del tipo

Per esempio, una matrice 4 4 triangolare alta ha la forma. 0 a. mentre una matrice di ordine 4 triangolare bassa è del tipo Matrici triangolari Prima di esporre il metodo LU per la risoluzione di sistemi lineari, introduciamo la nozione di matrice triangolare Ci limiteremo al caso di matrici quadrate anche se l estensione a

Dettagli

Un sistema lineare si rappresenta in generale come

Un sistema lineare si rappresenta in generale come SISTEMI LINEARI Un sistema lineare si rappresenta in generale come n j=1 a ij x j = b i i = 1, 2,..., m o anche AX = B. La soluzione esiste se e solo se B appartiene allo spazio lineare generato dalle

Dettagli

Corso di Calcolo Numerico

Corso di Calcolo Numerico Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale Sede di Fermo Corso di 7 - CALCOLO NUMERICO CON MATRICI Richiami teorici Operazioni fondamentali Siano A = {a ij } e B = {b ij }, i = 1,..., m, j = 1,..., n due

Dettagli

Risoluzione di sistemi lineari sparsi e di grandi dimensioni

Risoluzione di sistemi lineari sparsi e di grandi dimensioni Risoluzione di sistemi lineari sparsi e di grandi dimensioni Un sistema lineare Ax = b con A R n n, b R n, è sparso quando il numero di elementi della matrice A diversi da zero è αn, con n α. Una caratteristica

Dettagli

Metodi diretti per la soluzione di sistemi lineari

Metodi diretti per la soluzione di sistemi lineari Metodi diretti per la soluzione di sistemi lineari N Del Buono 1 Introduzione Consideriamo un sistema di n equazioni in n incognite a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x

Dettagli

Metodi numerici per la risoluzione di Sistemi Lineari

Metodi numerici per la risoluzione di Sistemi Lineari Metodi numerici per la risoluzione di Sistemi Lineari Dipartimento di Matematica tel. 011 0907503 stefano.berrone@polito.it http://calvino.polito.it/~sberrone Laboratorio di modellazione e progettazione

Dettagli

Corso di Analisi Numerica - AN1. Parte 2: metodi diretti per sistemi lineari. Roberto Ferretti

Corso di Analisi Numerica - AN1. Parte 2: metodi diretti per sistemi lineari. Roberto Ferretti Corso di Analisi Numerica - AN1 Parte 2: metodi diretti per sistemi lineari Roberto Ferretti Richiami sulle norme e sui sistemi lineari Il Metodo di Eliminazione di Gauss Il Metodo di Eliminazione con

Dettagli

Corso di Matematica per la Chimica

Corso di Matematica per la Chimica Corso di Matematica per la Chimica Dott.ssa Maria Carmela De Bonis Dipartimento di Matematica, Informatica e Economia Università della Basilicata a.a. 2014-15 Propagazione degli errori introdotti nei dati

Dettagli

Motivazione: Come si fa? Matrici simmetriche. Fattorizzazioni di matrici speciali

Motivazione: Come si fa? Matrici simmetriche. Fattorizzazioni di matrici speciali Motivazione: Fattorizzazioni di matrici speciali Diminuire la complessità computazionale = evitare operazioni inutili = risparmiare tempo di calcolo Diminuire l occupazione di memoria Come si fa? Si tiene

Dettagli

Matrici elementari e fattorizzazioni

Matrici elementari e fattorizzazioni Matrici elementari e fattorizzazioni Dario A Bini, Università di Pisa 19 ottobre 2015 Sommario Questo modulo didattico introduce ed analizza la classe delle matrici elementari Tale classe verrà usata per

Dettagli

Esercizi su algebra lineare, fattorizzazione LU e risoluzione di sistemi lineari

Esercizi su algebra lineare, fattorizzazione LU e risoluzione di sistemi lineari Esercizi su algebra lineare, fattorizzazione LU e risoluzione di sistemi lineari 4 maggio Nota: gli esercizi più impegnativi sono contrassegnati dal simbolo ( ) Esercizio Siano 3 6 8 6 4 3 3 ) determinare

Dettagli

Geometria BIAR Esercizi 2

Geometria BIAR Esercizi 2 Geometria BIAR 0- Esercizi Esercizio. a Si consideri il generico vettore v b R c (a) Si trovi un vettore riga x (x, y, z) tale che x v a (b) Si trovi un vettore riga x (x, y, z) tale che x v kb (c) Si

Dettagli

SISTEMI LINEARI. x y + 2t = 0 2x + y + z t = 0 x z t = 0 ; S 3 : ; S 5x 2y z = 1 4x 7y = 3

SISTEMI LINEARI. x y + 2t = 0 2x + y + z t = 0 x z t = 0 ; S 3 : ; S 5x 2y z = 1 4x 7y = 3 SISTEMI LINEARI. Esercizi Esercizio. Verificare se (,, ) è soluzione del sistema x y + z = x + y z = 3. Trovare poi tutte le soluzioni del sistema. Esercizio. Scrivere un sistema lineare di 3 equazioni

Dettagli

Esercitazione 1-I parte

Esercitazione 1-I parte Esercitazione 1-I parte Argomento: Sistemi triangolari Scopo: Implementare il metodo di sostituzione all indietro per la risoluzione di sistemi triangolari superiori. function x=indietro(a,b) Sintassi

Dettagli

Corso di Calcolo Numerico

Corso di Calcolo Numerico Corso di Calcolo Numerico Dott.ssa M.C. De Bonis Università degli Studi della Basilicata, Potenza Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Risoluzione di Equazioni Algebriche Le equazioni

Dettagli

9 Metodi diretti per la risoluzione di sistemi lineari: fattorizzazione P A = LU

9 Metodi diretti per la risoluzione di sistemi lineari: fattorizzazione P A = LU 9 Metodi diretti per la risoluzione di sistemi lineari: fattorizzazione P A LU 9.1 Il metodo di Gauss Come si è visto nella sezione 3.3, per la risoluzione di un sistema lineare si può considerare al posto

Dettagli

Sistemi lineari. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara

Sistemi lineari. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara Sistemi lineari Lorenzo Pareschi Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara http://utenti.unife.it/lorenzo.pareschi/ lorenzo.pareschi@unife.it Lorenzo Pareschi (Univ. Ferrara)

Dettagli

Decomposizione LU di una matrice quadrata

Decomposizione LU di una matrice quadrata Appendice al Cap. 5 Decomposizione LU di una matrice quadrata Una qualunque matrice quadrata M = {m ij } di ordine N, reale, invertibile, i cui minori principali siano tutti non nulli, si può sempre decomporre

Dettagli

LEZIONE Equazioni matriciali. Negli Esempi e si sono studiati più sistemi diversi AX 1 = B 1, AX 2 = R m,n, B = (b i,h ) 1 i m

LEZIONE Equazioni matriciali. Negli Esempi e si sono studiati più sistemi diversi AX 1 = B 1, AX 2 = R m,n, B = (b i,h ) 1 i m LEZIONE 4 41 Equazioni matriciali Negli Esempi 336 e 337 si sono studiati più sistemi diversi AX 1 = B 1, AX 2 = B 2,, AX p = B p aventi la stessa matrice incompleta A Tale tipo di problema si presenta

Dettagli

RICHIAMI PER IL CORSO DI ANALISI NUMERICA

RICHIAMI PER IL CORSO DI ANALISI NUMERICA RICHIAMI PER IL CORSO DI ANALISI NUMERICA Anno accademico 211 212 1 RICHIAMI: PRECISIONE FINITA (USO DI UN COMPUTER) IN UN COMPUTER UNA QUALUNQUE INFORMAZIONE VIENE RAPPRESENTATA COME UNA SEQUENZA FINITA

Dettagli

= 3 (con qualunque precisione di macchina) e richiede una sola operazione, mentre attraverso il calcolo dell'inversa 1/7 si ottiene la soluzione

= 3 (con qualunque precisione di macchina) e richiede una sola operazione, mentre attraverso il calcolo dell'inversa 1/7 si ottiene la soluzione CAP2A-DUDOC Versione aggiornata il 2/0/93 2- METODI DIRETTI I metodi diretti per la risoluzione numerica dei sistemi lineari consistono sostanzialmente nell'applicazione del metodo di riduzione di Gauss

Dettagli

Esercizi svolti. risolvere, se possibile, l equazione xa + B = O, essendo x un incognita reale

Esercizi svolti. risolvere, se possibile, l equazione xa + B = O, essendo x un incognita reale Esercizi svolti 1. Matrici e operazioni fra matrici 1.1 Date le matrici 1 2 1 6 A = B = 5 2 9 15 6 risolvere, se possibile, l equazione xa + B = O, essendo x un incognita reale Osservazione iniziale: qualunque

Dettagli

Si consideri il sistema a coefficienti reali di m equazioni lineari in n incognite

Si consideri il sistema a coefficienti reali di m equazioni lineari in n incognite 3 Sistemi lineari 3 Generalità Si consideri il sistema a coefficienti reali di m equazioni lineari in n incognite ovvero, in forma matriciale, a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x

Dettagli

Metodi per la risoluzione di sistemi lineari

Metodi per la risoluzione di sistemi lineari Metodi per la risoluzione di sistemi lineari Sistemi di equazioni lineari. Rango di matrici Come è noto (vedi [] sez.0.8), ad ogni matrice quadrata A è associato un numero reale det(a) detto determinante

Dettagli

Corso di Matematica per la Chimica. Dott.ssa Maria Carmela De Bonis a.a

Corso di Matematica per la Chimica. Dott.ssa Maria Carmela De Bonis a.a Dott.ssa Maria Carmela De Bonis a.a. 2013-14 Autovalori ed Autovettori di una matrice Siano Se A = (a i,j ) i,j=1,...,n R n n, 0 x = (x i ) i=1,...,n R n λ R Ax = λx (1) allora λ è detto autovalore di

Dettagli

SISTEMI LINEARI MATRICI E SISTEMI 1

SISTEMI LINEARI MATRICI E SISTEMI 1 MATRICI E SISTEMI SISTEMI LINEARI Sistemi lineari e forma matriciale (definizioni e risoluzione). Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi lineari parametrici. Esercizio Risolvere il sistema omogeneo la cui

Dettagli

Sistemi lineari - Parte Seconda - Esercizi

Sistemi lineari - Parte Seconda - Esercizi Sistemi lineari - Parte Seconda - Esercizi Terminologia Operazioni elementari sulle righe. Equivalenza per righe. Riduzione a scala per righe. Rango di una matrice. Forma canonica per righe. Eliminazione

Dettagli

SISTEMI LINEARI: APPROFONDIMENTI ED ESEMPI

SISTEMI LINEARI: APPROFONDIMENTI ED ESEMPI SISTEMI LINEARI: APPROFONDIMENTI ED ESEMPI Appunti presi dalle lezioni del prof. Nedo Checcaglini Liceo Scientifico di Castiglion Fiorentino (Classe 4B) January 17, 005 1 SISTEMI LINEARI Se a ik, b i R,

Dettagli

LEZIONE 3. Typeset by AMS-TEX

LEZIONE 3. Typeset by AMS-TEX LEZIONE 3 3 Risoluzione di sistemi Supponiamo che AX = B sia un sistema di equazioni lineari Ad esso associamo la sua matrice completa (A B Per la Proposizione 236 sappiamo di poter trasformare, con operazioni

Dettagli

Vettori e matrici. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara

Vettori e matrici. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara Vettori e matrici Lorenzo Pareschi Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara http://utentiunifeit/lorenzopareschi/ lorenzopareschi@unifeit Lorenzo Pareschi Univ Ferrara

Dettagli

Esercizi sui sistemi di equazioni lineari.

Esercizi sui sistemi di equazioni lineari. Esercizi sui sistemi di equazioni lineari Risolvere il sistema di equazioni lineari x y + z 6 x + y z x y z Si tratta di un sistema di tre equazioni lineari nelle tre incognite x, y e z Poichè m n, la

Dettagli

a + 2b + c 3d = 0, a + c d = 0 c d

a + 2b + c 3d = 0, a + c d = 0 c d SPAZI VETTORIALI 1. Esercizi Esercizio 1. Stabilire quali dei seguenti sottoinsiemi sono sottospazi: V 1 = {(x, y, z) R 3 /x = y = z} V = {(x, y, z) R 3 /x = 4} V 3 = {(x, y, z) R 3 /z = x } V 4 = {(x,

Dettagli

SISTEMI LINEARI, METODO DI GAUSS

SISTEMI LINEARI, METODO DI GAUSS SISTEMI LINEARI, METODO DI GAUSS Abbiamo visto che un sistema di m equazioni lineari in n incognite si può rappresentare in forma matriciale come A x = b dove: A è la matrice di tipo (m, n) dei coefficienti

Dettagli

Inversa. Inversa. Elisabetta Colombo

Inversa. Inversa. Elisabetta Colombo Corso di Approfondimenti di Matematica per Biotecnologie, Anno Accademico 00-0, http://users.mat.unimi.it/users/colombo/programmabio.html e 3 con i Matrici inverse di matrici quadrate e con i Sia A una

Dettagli

Autovalori ed autovettori di una matrice

Autovalori ed autovettori di una matrice Autovalori ed autovettori di una matrice Lucia Gastaldi DICATAM http://www.ing.unibs.it/gastaldi/ Indice 1 Definizioni di autovalori ed autovettori Autovalori ed autovettori 2 Metodo delle potenze 3 Calcolo

Dettagli

Giuseppe Accascina. Note del corso di Geometria e Algebra

Giuseppe Accascina. Note del corso di Geometria e Algebra Giuseppe Accascina Note del corso di Geometria e Algebra Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Gestionale Anno Accademico 26-27 ii Istruzioni per l uso Faremo spesso riferimento a ciò che è stato

Dettagli

( ), i, j = 1,2,...,n, si cerca un vettore x!r n tale che

( ), i, j = 1,2,...,n, si cerca un vettore x!r n tale che 4. Sistemi di equazioni algebriche lineari La soluzione numerica della maggior parte dei problemi di interesse nell ingegneria, anche molto complessi, si riduce alla soluzione di un sistema di equazioni

Dettagli

Riassumiamo le proprietà dei numeri reali da noi utilizzate nel corso di Geometria.

Riassumiamo le proprietà dei numeri reali da noi utilizzate nel corso di Geometria. Capitolo 2 Campi 2.1 Introduzione Studiamo ora i campi. Essi sono una generalizzazione dell insieme R dei numeri reali con le operazioni di addizione e di moltiplicazione. Nel secondo paragrafo ricordiamo

Dettagli

La riduzione a gradini e i sistemi lineari (senza il concetto di rango)

La riduzione a gradini e i sistemi lineari (senza il concetto di rango) CAPITOLO 4 La riduzione a gradini e i sistemi lineari (senza il concetto di rango) Esercizio 4.1. Risolvere il seguente sistema non omogeneo: 2x+4y +4z = 4 x z = 1 x+3y +4z = 3 Esercizio 4.2. Risolvere

Dettagli

3. Vettori, Spazi Vettoriali e Matrici

3. Vettori, Spazi Vettoriali e Matrici 3. Vettori, Spazi Vettoriali e Matrici Vettori e Spazi Vettoriali Operazioni tra vettori Basi Trasformazioni ed Operatori Operazioni tra Matrici Autovalori ed autovettori Forme quadratiche, quadriche e

Dettagli

Complementi di Algebra e Fondamenti di Geometria

Complementi di Algebra e Fondamenti di Geometria Complementi di Algebra e Fondamenti di Geometria Capitolo 3 Forma canonica di Jordan M. Ciampa Ingegneria Elettrica, a.a. 29/2 Capitolo 3 Forma canonica di Jordan Nel Capitolo si è discusso il problema

Dettagli

Prendiamo in considerazione la matrice tridiagonale

Prendiamo in considerazione la matrice tridiagonale Questi esercizi sono il completamento di quelli sui sistemi lineari già a disposizione. Ogni esercizio proposto può fare riferimento a qualcuno di questi. In ogni caso sono riportati tutti i dati essenziali

Dettagli

Corso di Matematica e Statistica 3 Algebra delle matrici. Una tabella rettangolare: la matrice. Una tabella rettangolare: la matrice

Corso di Matematica e Statistica 3 Algebra delle matrici. Una tabella rettangolare: la matrice. Una tabella rettangolare: la matrice Pordenone Corso di Matematica e Statistica 3 Algebra delle UNIVERSITAS STUDIORUM UTINENSIS Giorgio T. Bagni Facoltà di Scienze della Formazione Dipartimento di Matematica e Informatica Università di Udine

Dettagli

Quali condizionisi si possono richiedere sulla funzione interpolante?

Quali condizionisi si possono richiedere sulla funzione interpolante? INTERPOLAZIONE Problema generale di INTERPOLAZIONE Dati n punti distinti ( i, i ) i=,..,n si vuole costruire una funzione f() tale che nei nodi ( i ) i=,..n soddisfi a certe condizioni, dette Condizioni

Dettagli

RICHIAMI DI ALGEBRA LINEARE E NORME DI MATRICI E VETTORI. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n. a m1 a m2 a mn

RICHIAMI DI ALGEBRA LINEARE E NORME DI MATRICI E VETTORI. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n. a m1 a m2 a mn RICHIAMI DI ALGEBRA LINEARE E NORME DI MATRICI E VETTORI LUCIA GASTALDI 1. Matrici. Operazioni fondamentali. Una matrice A è un insieme di m n numeri reali (o complessi) ordinati, rappresentato nella tabella

Dettagli

( ) TEORIA DELLE MATRICI. A. Scimone a.s pag 1

( ) TEORIA DELLE MATRICI. A. Scimone a.s pag 1 . Scimone a.s 1997 98 pag 1 TEORI DELLE MTRICI Dato un campo K, definiamo matrice ad elementi in K di tipo (m, n) un insieme di numeri ordinati secondo righe e colonne in una tabella rettangolare del tipo

Dettagli

I. Foglio di esercizi su vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti. , v 2 = α v 1 + β v 2 + γ v 3. α v 1 + β v 2 + γ v 3 = 0. + γ.

I. Foglio di esercizi su vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti. , v 2 = α v 1 + β v 2 + γ v 3. α v 1 + β v 2 + γ v 3 = 0. + γ. ESERCIZI SVOLTI DI ALGEBRA LINEARE (Sono svolti alcune degli esercizi proposti nei fogli di esercizi su vettori linearmente dipendenti e vettori linearmente indipendenti e su sistemi lineari ) I. Foglio

Dettagli

Prodotto scalare e ortogonalità

Prodotto scalare e ortogonalità Prodotto scalare e ortogonalità 12 Novembre 1 Il prodotto scalare 1.1 Definizione Possiamo estendere la definizione di prodotto scalare, già data per i vettori del piano, ai vettori dello spazio. Siano

Dettagli

08 - Matrici, Determinante e Rango

08 - Matrici, Determinante e Rango Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 08 - Matrici, Determinante e Rango Anno Accademico 2013/2014 D.

Dettagli

Corso di Geometria e Algebra Lineare - Sezione di Metodi Numerici

Corso di Geometria e Algebra Lineare - Sezione di Metodi Numerici Corso di Geometria e Algebra Lineare - Sezione di Metodi Numerici C. Vergara 3. Metodo della fattorizzazione LU per la risoluzione di un sistema lineare Errori di arrotondamento. Prima di affrontare la

Dettagli

Universita degli Studi di Ancona - Facolta di Ingegneria Laurea in Ing. Elettronica (VO) Ing. Informatica e Automatica - Ing. delle Telecomunicazioni

Universita degli Studi di Ancona - Facolta di Ingegneria Laurea in Ing. Elettronica (VO) Ing. Informatica e Automatica - Ing. delle Telecomunicazioni Universita degli Studi di Ancona - Facolta di Ingegneria Laurea in Ing. Elettronica (VO) Ing. Informatica e Automatica - Ing. delle Telecomunicazioni ANALISI NUMERICA - Primo Parziale - TEMA A (Prof. A.M.Perdon)

Dettagli

Esercitazione 6: Metodi iterativi per sistemi lineari.

Esercitazione 6: Metodi iterativi per sistemi lineari. Esercitazione 6: Metodi iterativi per sistemi lineari. Richiami di Teoria Iterazione di Jacobi e Gauss Seidel. I metodi iterativi sono basati sul calcolo della soluzione x del sistema lineare Ax = b come

Dettagli

Metodi iterativi per sistemi lineari

Metodi iterativi per sistemi lineari Metodi iterativi per sistemi lineari Mirano a costruire la soluzione x di un sistema lineare come limite di una successione di vettori Per matrici piene di ordine n il costo computazionale è dell ordine

Dettagli

Calcolo Numerico Informatica Manolo Venturin A.A. 2010 2011 Guida all esame

Calcolo Numerico Informatica Manolo Venturin A.A. 2010 2011 Guida all esame Calcolo Numerico Informatica Manolo Venturin A.A. 2010 2011 Guida all esame Testo aggiornato al 23 maggio 2011. L esame consiste in una prova scritta della durata di 2 ore. Tale prova è composta da tre/-

Dettagli

Assemblaggio degli Elementi: Soluzione del Problema Strutturale Discreto

Assemblaggio degli Elementi: Soluzione del Problema Strutturale Discreto Il Metodo degli Elementi Finiti Assemblaggio degli Elementi: Soluzione del Problema Strutturale Discreto Dalle dispense del prof. Dario Amodio e dalle lezioni del prof. Giovanni Santucci Per ottenere la

Dettagli

= elemento che compare nella seconda riga e quinta colonna = -4 In generale una matrice A di m righe e n colonne si denota con

= elemento che compare nella seconda riga e quinta colonna = -4 In generale una matrice A di m righe e n colonne si denota con Definizione di matrice Una matrice (di numeri reali) è una tabella di m x n numeri disposti su m righe e n colonne. I numeri che compaiono nella tabella si dicono elementi della matrice. La loro individuazione

Dettagli

Esercitazione di Matematica su matrici e sistemi lineari

Esercitazione di Matematica su matrici e sistemi lineari Esercitazione di Matematica su matrici e sistemi lineari Notazioni: deta, A T =trasposta di A, A 1 =inversa di A. 1. Si considerino le matrici A, B, C, D denite da 1 0 5 1 A = 0, B = 0 0, C = 0 1 0 6 1

Dettagli

Richiami di algebra delle matrici

Richiami di algebra delle matrici Richiami di algebra delle matrici (S. Terzi) 1. SPAZI VETTORIALI I. ALCUNE DEFINIZIONI 1) Definizione di spazio vettoriale Sia S un insieme di vettori di ordine n. S è detto spazio lineare se e' un insieme

Dettagli

Autovalori e autovettori, matrici simmetriche e forme quadratiche (cenni) (prof. M. Salvetti)

Autovalori e autovettori, matrici simmetriche e forme quadratiche (cenni) (prof. M. Salvetti) Autovalori e autovettori, matrici simmetriche e forme quadratiche (cenni) (prof. M. Salvetti) April 14, 2011 (alcune note non complete sugli argomenti trattati: eventuali completamenti saranno aggiunti)

Dettagli

Condizionamento del problema

Condizionamento del problema Condizionamento del problema x 1 + 2x 2 = 3.499x 1 + 1.001x 2 = 1.5 La soluzione esatta è x = (1, 1) T. Perturbando la matrice dei coefficienti o il termine noto: x 1 + 2x 2 = 3.5x 1 + 1.002x 2 = 1.5 x

Dettagli

POTENZE DI MATRICI QUADRATE

POTENZE DI MATRICI QUADRATE POTENZE DI MATRICI QUADRATE In alcune applicazioni pratiche, quali lo studio di sistemi dinamici discreti, può essere necessario calcolare le potenze A k, per k N\{0}, di una matrice quadrata A M n n (R)

Dettagli

Capitolo 6. Sistemi lineari di equazioni differenziali. 1

Capitolo 6. Sistemi lineari di equazioni differenziali. 1 Capitolo 6 Sistemi lineari di equazioni differenziali L integrale generale In questo capitolo utilizzeremo la forma canonica di Jordan per studiare alcuni tipi di equazioni differenziali Un sistema lineare

Dettagli

(x B x A, y B y A ) = (4, 2) ha modulo

(x B x A, y B y A ) = (4, 2) ha modulo GEOMETRIA PIANA 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(0, 4), e B(4, ) trovarne la distanza e trovare poi i punti C allineati con A e con B che verificano: (1) AC = CB (punto medio del segmento AB); ()

Dettagli

Corso di Matematica per la Chimica

Corso di Matematica per la Chimica Dott.ssa Maria Carmela De Bonis a.a. 203-4 I sistemi lineari Generalità sui sistemi lineari Molti problemi dell ingegneria, della fisica, della chimica, dell informatica e dell economia, si modellizzano

Dettagli

ESERCITAZIONI DI LABORATORIO DI CALCOLO NUMERICO. Parte II: Applicazioni a Matrici e Sistemi Lineari

ESERCITAZIONI DI LABORATORIO DI CALCOLO NUMERICO. Parte II: Applicazioni a Matrici e Sistemi Lineari ESERCITAZIONI DI LABORATORIO DI CALCOLO NUMERICO Parte II: Applicazioni a Matrici e Sistemi Lineari Prof. L. Pareschi Dott. Giacomo Dimarco Applicazioni a Matrici e Sistemi Lineari Operazioni matriciali

Dettagli

Dipendenza e indipendenza lineare (senza il concetto di rango)

Dipendenza e indipendenza lineare (senza il concetto di rango) CAPITOLO 5 Dipendenza e indipendenza lineare (senza il concetto di rango) Esercizio 5.1. Scrivere un vettore w R 3 linearmente dipendente dal vettore v ( 1, 9, 0). Esercizio 5.2. Stabilire se i vettori

Dettagli

Sistemi di equazioni lineari

Sistemi di equazioni lineari Sistemi di equazioni lineari A. Bertapelle 25 ottobre 212 Cos è un sistema lineare? Definizione Un sistema di m equazioni lineari (o brevemente sistema lineare) nelle n incognite x 1,..., x n, a coefficienti

Dettagli

Università Politecnica delle Marche - Facoltà di Ingegneria Ing. Informatica e Automatica - Ing. Logistica e Produzione

Università Politecnica delle Marche - Facoltà di Ingegneria Ing. Informatica e Automatica - Ing. Logistica e Produzione ANALISI NUMERICA - Primo Parziale - TEMA A PARTE I. Si chiede allo studente di trattare i seguenti argomenti nel modo più completo possibile. 1. Propagazione degli errori nel caso di operazioni elementari

Dettagli

ESTRAZIONE DI DATI 3D DA IMMAGINI DIGITALI. (Visione 3D)

ESTRAZIONE DI DATI 3D DA IMMAGINI DIGITALI. (Visione 3D) ESTRAZIONE DI DATI 3D DA IMMAGINI DIGITALI () Calibrazione intrinseca Spesso risulta utile calibrare la sola componente intrinseca di un sistema di visione (matrice K), e non si dispone di oggetti di forma

Dettagli

Teorema di Thevenin generalizzato

Teorema di Thevenin generalizzato Teorema di Thevenin generalizzato Si considerino due reti elettriche lineari, A e B, aventi rispettivamente N A e N B nodi interni. Esse si interfacciano attraverso n (n 3) fili di collegamento, in cui

Dettagli

Le matrici. Sia K un campo con elemento neutro dell addizione 0 ed elemento neutro della moltiplicazione 1.

Le matrici. Sia K un campo con elemento neutro dell addizione 0 ed elemento neutro della moltiplicazione 1. Le matrici Sia K un campo con elemento neutro dell addizione 0 ed elemento neutro della moltiplicazione 1. Siano m, n N\{0}. Una matrice m n a coefficienti in K è una tabella di m n elementi di K disposti

Dettagli

Anno 2. Risoluzione di sistemi di primo grado in due incognite

Anno 2. Risoluzione di sistemi di primo grado in due incognite Anno Risoluzione di sistemi di primo grado in due incognite Introduzione In questa lezione impareremo alcuni metodi per risolvere un sistema di due equazioni in due incognite. Al termine di questa lezione

Dettagli

ha come obiettivo quello di costruire a partire da A una matrice U, m n, che abbia il

ha come obiettivo quello di costruire a partire da A una matrice U, m n, che abbia il Facoltà di Scienze Statistiche, Algebra Lineare 1 A, G.Parmeggiani LEZIONE 6 Eliminazione di Gauss con scambi di righe Sia A O una matrice m n. Abbiamo illustrato nella Lezione 5 un algoritmo che ha come

Dettagli

Note per il corso di Geometria e algebra lineare 2009-10 Corso di laurea in Ing. Elettronica e delle Telecomunicazioni

Note per il corso di Geometria e algebra lineare 2009-10 Corso di laurea in Ing. Elettronica e delle Telecomunicazioni Note per il corso di Geometria e algebra lineare 009-0 Corso di laurea in Ing. Elettronica e delle Telecomunicazioni Spazi di n-uple e matrici. I prodotti cartesiani RR R e RRR R 3, costituiti dalle coppie

Dettagli

Corso di Calcolo Numerico

Corso di Calcolo Numerico Corso di Calcolo Numerico Dottssa MC De Bonis Università degli Studi della Basilicata, Potenza Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Corso di Calcolo Numerico - Dottssa MC De Bonis

Dettagli

MATRICI E VETTORI APPROFONDIMENTO PER IL CORSO DI LABORATORIO DI INFORMATICA SARA POLTRONIERI

MATRICI E VETTORI APPROFONDIMENTO PER IL CORSO DI LABORATORIO DI INFORMATICA SARA POLTRONIERI MATRICI E VETTORI APPROFONDIMENTO PER IL CORSO DI LABORATORIO DI INFORMATICA SARA POLTRONIERI LE MATRICI DEFINIZIONE: Una matrice è un insieme di numeri disposti su righe e colonne. 1 3 7 M = 2 5 1 M è

Dettagli

Inversa di una matrice

Inversa di una matrice Geometria Lingotto. LeLing: La matrice inversa. Ārgomenti svolti: Inversa di una matrice. Unicita e calcolo della inversa. La inversa di una matrice. Il gruppo delle matrici invertibili. Ēsercizi consigliati:

Dettagli

Parte 1. Sistemi lineari, algoritmo di Gauss, matrici

Parte 1. Sistemi lineari, algoritmo di Gauss, matrici Parte 1. Sistemi lineari, algoritmo di Gauss, matrici A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Brevi richiami sugli insiemi, 1 Insiemi numerici, 3 3 L insieme R n, 4 4 Equazioni

Dettagli

Esercizi svolti sui sistemi lineari

Esercizi svolti sui sistemi lineari Francesco Daddi - www.webalice.it/francesco.daddi Esercizi svolti sui sistemi lineari Esercizio 1. Risolvere il seguente sistema lineare al variare del parametro reale t: tx+(t 1)y + z =1 (t 1)y + tz =1

Dettagli

Algoritmi per operazioni con le matrici

Algoritmi per operazioni con le matrici Algoritmi per operazioni con le matrici 1 Sommario Definizioni Alcune operazioni principali sulle matrici Somma di due matrici Trasposta di una matrice Prodotto di matrici: algoritmo classico Prodotto

Dettagli

4.5 Metodo del simplesso

4.5 Metodo del simplesso 4.5 Metodo del simplesso min z = c T x s.v. Ax = b x PL in forma standard Esamina una sequenza di soluzioni di base ammissibili con valori non crescenti della funzione obiettivo fino a raggiungerne una

Dettagli

2x 5y +4z = 3 x 2y + z =5 x 4y +6z = A =

2x 5y +4z = 3 x 2y + z =5 x 4y +6z = A = Esercizio 1. Risolvere il sistema lineare 2x 5y +4z = x 2y + z =5 x 4y +6z =10 (1) Soluz. La matrice dei coefficienti è 1 4 6, calcoliamone il rango. Il determinante di A è (applico la regola di Sarrus):

Dettagli

e così via per tutte le colonne. Una prima proprietà importante ci dice quello che accade quando si fanno delle permutazioni di colonne di A.

e così via per tutte le colonne. Una prima proprietà importante ci dice quello che accade quando si fanno delle permutazioni di colonne di A. Capitolo 3 DETERMINANTE Il problema di stabilire se un insieme di vettori è linearmente indipendente (ad esempio se lo sono le colonne di una matrice quadrata, e quindi se la matrice è invertibile) non

Dettagli

Il programma OCTAVE per l insegnamento dell algebra lineare nella Scuola Secondaria p. 1

Il programma OCTAVE per l insegnamento dell algebra lineare nella Scuola Secondaria p. 1 Il programma OCTAVE per l insegnamento dell algebra lineare nella Scuola Secondaria R. Vitolo Dipartimento di Matematica Università di Lecce SaLUG! - Salento Linux User Group Il programma OCTAVE per l

Dettagli

Le matrici. A cura di Benedetta Noris, 17 aprile Cos è una matrice. 2 Rappresentazione di una matrice generica 2

Le matrici. A cura di Benedetta Noris, 17 aprile Cos è una matrice. 2 Rappresentazione di una matrice generica 2 Le matrici A cura di Benedetta Noris, 17 aprile 2012 benedetta.noris1@unimib.it Indice 1 Cos è una matrice 1 2 Rappresentazione di una matrice generica 2 3 Somma di matrici e prodotto di una matrice per

Dettagli

1.1 Coordinate sulla retta e nel piano; rette nel piano

1.1 Coordinate sulla retta e nel piano; rette nel piano 1 Sistemi lineari 11 Coordinate sulla retta e nel piano; rette nel piano Coordinate sulla retta Scelti su una retta un primo punto O (origine) ed un diverso secondo punto U (unita ), l identificazione

Dettagli

1 Esercizi di Matlab. L operatore : permette di estrarre sottomatrici da una matrice assegnata. Vediamo alcuni esempi.

1 Esercizi di Matlab. L operatore : permette di estrarre sottomatrici da una matrice assegnata. Vediamo alcuni esempi. Esercizi di Matlab L operatore : permette di estrarre sottomatrici da una matrice assegnata. Vediamo alcuni esempi. Esempio Consideriamo la matrice A formata da n = righe e m = colonne M = 5 6 7 8. 9 0

Dettagli

CONGRUENZE. proprietà delle congruenze: la congruenza è una relazione di equivalenza inoltre: Criteri di divisibilità

CONGRUENZE. proprietà delle congruenze: la congruenza è una relazione di equivalenza inoltre: Criteri di divisibilità CONGRUENZE I) Definizione: due numeri naturali a e b si dicono congrui modulo un numero naturale p se hanno lo stesso resto nella divisione intera per p. Si scrive a b mod p oppure a b (p) proprietà delle

Dettagli

11.4 Chiusura transitiva

11.4 Chiusura transitiva 6 11.4 Chiusura transitiva Il problema che consideriamo in questa sezione riguarda il calcolo della chiusura transitiva di un grafo. Dato un grafo orientato G = hv,ei, si vuole determinare il grafo orientato)

Dettagli

Argomento 13 Sistemi lineari

Argomento 13 Sistemi lineari Sistemi lineari: definizioni Argomento 3 Sistemi lineari I Un equazione nelle n incognite x,,x n della forma c x + + c n x n = b ove c,,c n sono numeri reali (detti coefficienti) eb è un numero reale (detto

Dettagli

1. Proprietà della somma di matrici. 1. (A + B) + C = A + (B + C) qualunque. 2. A + B = B + A qualunque siano le matrici

1. Proprietà della somma di matrici. 1. (A + B) + C = A + (B + C) qualunque. 2. A + B = B + A qualunque siano le matrici Matrici R. Notari 1 1. Proprietà della somma di matrici 1. (A + B) + C = A + (B + C) qualunque siano le matrici A, B, C Mat(m, n; K). 2. A + B = B + A qualunque siano le matrici A, B Mat(m, n; K). 3. Sia

Dettagli

Metodi e Modelli per l Ottimizzazione Combinatoria Ripasso sulla Programmazione Lineare e il metodo del Simplesso (parte I)

Metodi e Modelli per l Ottimizzazione Combinatoria Ripasso sulla Programmazione Lineare e il metodo del Simplesso (parte I) Metodi e Modelli per l Ottimizzazione Combinatoria Ripasso sulla Programmazione Lineare e il metodo del Simplesso (parte I) Luigi De Giovanni Giacomo Zambelli 1 Problemi di programmazione lineare Un problema

Dettagli

SISTEMI LINEARI QUADRATI: METODI ITERATIVI

SISTEMI LINEARI QUADRATI: METODI ITERATIVI SISTEMI LINEARI QUADRATI: METODI ITERATIVI CALCOLO NUMERICO e PROGRAMMAZIONE SISTEMI LINEARI QUADRATI:METODI ITERATIVI p./54 RICHIAMI di ALGEBRA LINEARE DEFINIZIONI A R n n simmetrica se A = A T ; A C

Dettagli

Prodotti scalari e matrici

Prodotti scalari e matrici Prodotti scalari e matrici 1 Forme bilineari e matrici In questa sezione vogliamo studiare la corrispondenza biunivoca che esiste tra l insieme delle forme bilineari su di un certo spazio vettoriale V

Dettagli

ALGEBRA LINEARE PARTE II

ALGEBRA LINEARE PARTE II DIEM sez. Matematica Finanziaria Marina Resta Università degli studi di Genova Dicembre 005 Indice PREMESSA INVERSA DI UNA MATRICE DETERMINANTE. DETERMINANTE DI MATRICI ELEMENTARI................. MATRICI

Dettagli